Равномерно самый мощный тест

При статистической проверке гипотез равномерно наиболее мощный ( UMP ) тест — это тест гипотезы , который имеет наибольшую мощность. $1-\beta$ среди всех возможных тестов заданного размера α . Например, согласно лемме Неймана–Пирсона , тест отношения правдоподобия — это UMP для проверки простых (точечных) гипотез.

Настройка [ править ]

Позволять $X$ обозначают случайный вектор (соответствующий измерениям), взятый из параметризованного семейства функций плотности вероятности или функций массы вероятности. $f_{\theta }(x)$ , который зависит от неизвестного детерминированного параметра $\theta \in \Theta$ . Пространство параметров $\Theta$ разбит на два непересекающихся множества $\Theta _{0}$ и $\Theta _{1}$ . Позволять $H_{0}$ обозначим гипотезу о том, что $\theta \in \Theta _{0}$ , и пусть $H_{1}$ обозначим гипотезу о том, что $\theta \in \Theta _{1}$ .Бинарная проверка гипотез выполняется с помощью тестовой функции $\varphi (x)$ с отклоненной областью $R$ (подмножество пространства измерения).

\varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in R\\0&{\text{if }}x\in R^{c}\end{cases}}

это означает, что $H_{1}$ имеет силу, если измерение $X\in R$ и это $H_{0}$ имеет силу, если измерение $X\in R^{c}$ .Обратите внимание, что $R\cup R^{c}$ является дизъюнктным покрытием пространства измерений.

Формальное определение [ править ]

Тестовая функция $\varphi (x)$ имеет размер UMP $\alpha$ если для любой другой тестовой функции $\varphi '(x)$ удовлетворяющий

\sup _{\theta \in \Theta _{0}}\;\operatorname {E} [\varphi '(X)|\theta ]=\alpha '\leq \alpha =\sup _{\theta \in \Theta _{0}}\;\operatorname {E} [\varphi (X)|\theta ]\,

у нас есть

\forall \theta \in \Theta _{1},\quad \operatorname {E} [\varphi '(X)|\theta ]=1-\beta '(\theta )\leq 1-\beta (\theta )=\operatorname {E} [\varphi (X)|\theta ].

Карлина Рубина Теорема -

Теорему Карлина–Рубина можно рассматривать как расширение леммы Неймана–Пирсона для сложных гипотез. ^[1] Рассмотрим скалярное измерение, имеющее функцию плотности вероятности, параметризованную скалярным параметром θ , и определим отношение правдоподобия $l(x)=f_{\theta _{1}}(x)/f_{\theta _{0}}(x)$ .Если $l(x)$ монотонно не убывает, в $x$ , для любой пары $\theta _{1}\geq \theta _{0}$ (это означает, что чем больше $x$ есть, тем более вероятно $H_{1}$ есть), то пороговый тест:

\varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x>x_{0}\\0&{\text{if }}x<x_{0}\end{cases}}

где

x_{0}

выбирается таким, что

\operatorname {E} _{\theta _{0}}\varphi (X)=\alpha

— это тест UMP размера α для тестирования $H_{0}:\theta \leq \theta _{0}{\text{ vs. }}H_{1}:\theta >\theta _{0}.$

Обратите внимание, что точно такой же тест также является UMP для тестирования. $H_{0}:\theta =\theta _{0}{\text{ vs. }}H_{1}:\theta >\theta _{0}.$

Важный случай: экспоненциальное семейство [ править ]

Хотя теорема Карлина-Рубина может показаться слабой из-за ее ограничения скалярным параметром и скалярным измерением, оказывается, что существует множество задач, для которых эта теорема справедлива. В частности, одномерное экспоненциальное семейство функций плотности вероятности или функций массы вероятности с

f_{\theta }(x)=g(\theta )h(x)\exp(\eta (\theta )T(x))

имеет монотонное неубывающее отношение правдоподобия в достаточной статистике $T(x)$ , при условии, что $\eta (\theta )$ не убывает.

Пример [ править ]

Позволять $X=(X_{0},\ldots ,X_{M-1})$ обозначаем iid, нормально распределенный $N$ -мерные случайные векторы со средним $\theta m$ и ковариационная матрица $R$ . Тогда у нас есть

{\begin{aligned}f_{\theta }(X)={}&(2\pi )^{-MN/2}|R|^{-M/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}(X_{n}-\theta m)^{T}R^{-1}(X_{n}-\theta m)\right\}\\[4pt]={}&(2\pi )^{-MN/2}|R|^{-M/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}\left(\theta ^{2}m^{T}R^{-1}m\right)\right\}\\[4pt]&\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}^{T}R^{-1}X_{n}\right\}\exp \left\{\theta m^{T}R^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}\right\}\end{aligned}}

что в точности соответствует форме экспоненциального семейства, показанного в предыдущем разделе, с достаточной статистикой

T(X)=m^{T}R^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}.

Таким образом, мы приходим к выводу, что тест

\varphi (T)={\begin{cases}1&T>t_{0}\\0&T<t_{0}\end{cases}}\qquad \operatorname {E} _{\theta _{0}}\varphi (T)=\alpha

это тест UMP на размер $\alpha$ для тестирования $H_{0}:\theta \leqslant \theta _{0}$ против. $H_{1}:\theta >\theta _{0}$

Дальнейшее обсуждение [ править ]

Наконец, отметим, что вообще не существует тестов UMP для векторных параметров или для двусторонних тестов (тест, в котором одна гипотеза лежит по обе стороны альтернативы). Причина в том, что в таких ситуациях самый мощный тест заданного размера для одного возможного значения параметра (например, для $\theta _{1}$ где $\theta _{1}>\theta _{0}$ ) отличается от самого мощного теста того же размера для другого значения параметра (например, для $\theta _{2}$ где $\theta _{2}<\theta _{0}$ ). В результате ни один тест не является наиболее эффективным в таких ситуациях.

Ссылки [ править ]

^ Казелла, Г.; Бергер, Р.Л. (2008), Статистический вывод , Брукс/Коул. ISBN 0-495-39187-5 (теорема 8.3.17)

Дальнейшее чтение [ править ]

Фергюсон, Т.С. (1967). «Раздел 5.2: Равномерно наиболее мощные тесты ». Математическая статистика: подход теории принятия решений . Нью-Йорк: Академическая пресса.
Настроение, утро; Грейбилл, ФА; Боес, округ Колумбия (1974). «Раздел IX.3.2: Равномерно наиболее мощные тесты ». Введение в теорию статистики (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
Л. Л. Шарф, Статистическая обработка сигналов , Аддисон-Уэсли, 1991, раздел 4.7.

[1] Казелла, Г.; Бергер, Р.Л. (2008), Статистический вывод , Брукс/Коул. ISBN 0-495-39187-5 (теорема 8.3.17)

[1]