Истинное значение

В логике и математике истинностное значение , иногда называемое логическим значением , — это значение, указывающее на отношение высказывания к истине , которая в классической логике имеет только два возможных значения ( истинное или ложное ). ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Вычисление

В некоторых языках программирования любое выражение может быть оценено в контексте, который ожидает логический тип данных . Обычно (хотя это зависит от языка программирования) такие выражения, как число ноль , пустая строка , пустые списки и значение null , рассматриваются как ложные, а строки с содержимым (например, «abc»), другие числа и объекты оцениваются как истинные. Иногда эти классы выражений называют «ложными» и «истинными». Например, в пустой Lisp список nil рассматривается как false, а все остальные значения рассматриваются как true. В C число 0 или 0,0 является ложным, а все остальные значения считаются истинными.

Классическая логика

	⊤	· ∧ ·
	истинный	соединение
¬	↕	↕
	⊥	· ∨ ·
	ЛОЖЬ	дизъюнкция
Обмен отрицаниями правда с ложью и соединение с дизъюнкцией.

В классической логике с ее предполагаемой семантикой значения истинности являются истинными (обозначаются 1 или истиной ⊤) и неистинными или ложными (обозначаются 0 или ложью ⊥); то есть классическая логика — это двузначная логика . Этот набор двух значений также называется логическим доменом . Соответствующей семантике логических связок являются функции истинности , значения которых выражаются в виде таблиц истинности . Логическое бикондиционал становится бинарным отношением равенства , а отрицание становится биекцией , которая меняет местами истинное и ложное. Конъюнкция и дизъюнкция двойственны по отношению к отрицанию, что выражается законами Де Моргана :

¬(

п \land q) \Leftrightarrow \neg п \lor \neg q

¬(

п \lor q) \Leftrightarrow \neg п \land \neg q

Пропозициональные переменные становятся переменными в логической области. Присвоение значений пропозициональным переменным называется оценкой .

Интуиционистская и конструктивная логика

В то время как в классической логике истинностные значения образуют булеву алгебру , в интуиционистской логике и, в более общем смысле, конструктивной математике , истинностные значения образуют алгебру Гейтинга . Такие значения истинности могут выражать различные аспекты достоверности, включая локальность, временность или вычислительный контент.

Например, можно использовать открытые множества топологического пространства как интуиционистские истинностные значения, и в этом случае истинностное значение формулы выражает то, где она выполняется, а не то, выполняется ли она.

В реализуемости истинностные значения представляют собой наборы программ, которые можно понимать как вычислительное свидетельство справедливости формулы. Например, истинностное значение утверждения «для каждого числа существует простое число, большее его» — это совокупность всех программ, которые принимают в качестве входных данных число. $n$ и выведите простое число, большее, чем $n$ .

В теории категорий истинностные значения появляются как элементы классификатора подобъектов . В частности, в топосе каждой формуле логики высшего порядка может быть присвоено значение истинности в классификаторе подобъектов.

Даже несмотря на то, что алгебра Гейтинга может состоять из многих элементов, это не следует понимать как существование значений истинности, которые не являются ни истинными, ни ложными, поскольку интуиционистская логика доказывает, что $\neg (p\neq \top \land p\neq \bot )$ ("это не тот случай, $p$ ни истинно, ни ложно»). ^{[ 3 ]}

В интуиционистской теории типов соответствие Карри-Говарда демонстрирует эквивалентность предложений и типов, согласно которой действительность эквивалентна обитанию типа.

Другие понятия интуиционистских значений истинности см. в интерпретации Брауэра-Хейтинга-Колмогорова и интуиционистской логике § Семантика .

Многозначная логика

Многозначные логики (такие как нечеткая логика и логика релевантности ) допускают более двух значений истинности, возможно, содержащих некоторую внутреннюю структуру. Например, на единичном интервале $[0,1]$ такая структура представляет собой полный порядок ; это может быть выражено как существование различных степеней истины .

Алгебраическая семантика

Не все логические системы являются истинностно-оценочными в том смысле, что логические связки можно интерпретировать как функции истинности. Например, интуиционистской логике не хватает полного набора истинностных значений, поскольку ее семантика, интерпретация Брауэра-Хейтинга-Колмогорова , определяется в терминах условий доказуемости , а не непосредственно в терминах необходимой истинности формул.

Но даже неистинно-оценочные логики могут связывать значения с логическими формулами, как это делается в алгебраической семантике . Алгебраическая семантика интуиционистской логики дается в терминах алгебр Гейтинга по сравнению с семантикой булевой алгебры классического исчисления высказываний.

См. также

Ссылки

^ Шрамко, Ярослав; Вансинг, Генрих. «Истинные ценности» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
^ «Ценность истины» . Lexico Британский словарь английского языка . Издательство Оксфордского университета . nd
^ Доказательство того, что интуиционистская логика не имеет третьего истинностного значения, Гливенко, 1928.

Внешние ссылки

Шрамко, Ярослав; Вансинг, Генрих. «Истинные ценности» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .

[1] Шрамко, Ярослав; Вансинг, Генрих. «Истинные ценности» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .

[2] «Ценность истины» . Lexico Британский словарь английского языка . Издательство Оксфордского университета . nd

[3] Доказательство того, что интуиционистская логика не имеет третьего истинностного значения, Гливенко, 1928.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

v т и Логическая Logical truth истина ⊤
Functional:	truth value truth function ⊨ tautology
Formal:	theory formal proof theorem
Negation	⊥ false contradiction inconsistency