Полная теория

В математической логике теория если является полной, она непротиворечива и для каждой замкнутой формулы на языке теории либо эта формула, либо ее отрицание доказуема . То есть для каждого предложения $\varphi ,$ теория $T$ содержит предложение или его отрицание, но не то и другое (то есть либо $T\vdash \varphi$ или $T\vdash \neg \varphi$ ). Рекурсивно аксиоматизируемые теории первого порядка , которые являются последовательными и достаточно богатыми, чтобы позволить сформулировать общие математические рассуждения, не могут быть полными, как демонстрирует первая теорема Гёделя о неполноте .

Это чувство полноты отличается от понятия полной логики , которое утверждает, что для каждой теории, которая может быть сформулирована в логике, все семантически действительные утверждения являются доказуемыми теоремами (в соответствующем смысле слова «семантически действительные»). Теорема Гёделя о полноте касается именно этого последнего вида полноты.

Полные теории замкнуты при ряде условий, внутренне моделирующих Т-схему :

Для набора формул $S$ : $A\land B\in S$ тогда и только тогда, когда $A\in S$ и $B\in S$ ,
Для набора формул $S$ : $A\lor B\in S$ тогда и только тогда, когда $A\in S$ или $B\in S$ .

Максимальные непротиворечивые множества являются фундаментальным инструментом теории моделей классической логики и модальной логики . Их существование в данном случае обычно является прямым следствием леммы Цорна , основанной на идее о том, что противоречие предполагает использование только конечного числа посылок. В случае модальных логик совокупности максимальных непротиворечивых множеств, расширяющих теорию , называемой канонической моделью T (замкнутую по правилу необходимости), можно придать структуру модели T .