Полностью положительная матрица

Не путать с положительной матрицей и положительно определенной матрицей .

В математике — полностью положительная матрица это квадратная матрица , в которой все миноры положительны: то есть определитель каждой квадратной подматрицы является положительным числом. Полностью положительная матрица имеет все элементы положительные, поэтому она также является положительной матрицей ; и у него все главные миноры положительные (и положительные собственные значения ). полностью Следовательно , симметричная положительная матрица также является положительно определенной . определяется Полностью неотрицательная матрица аналогично, за исключением того, что все миноры должны быть неотрицательными (положительными или нулевыми). Некоторые авторы используют термин «полностью положительные», чтобы включить все полностью неотрицательные матрицы.

Определение

Позволять $\mathbf {A} =(A_{ij})_{ij}$быть матрицей размера n × n . Рассмотрим любой $p\in \{1,2,\ldots ,n\}$ и любая подматрица p × p вида $\mathbf {B} =(A_{i_{k}j_{\ell }})_{k\ell }$где:

$1\leq i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n,\qquad 1\leq j_{1}<\ldots <j_{p}\leq n.$

Тогда A — вполне положительная матрица, если:

$\det(\mathbf {B} )>0$

для всех подматриц $\mathbf {B}$ которое может быть сформировано таким образом.

История

Темы, которые исторически привели к развитию теории тотальной позитивности, включают изучение:

• спектральные и матриц , свойства ядер которые полностью положительны,
• обыкновенные дифференциальные уравнения которых , функция Грина полностью положительна (М.Г. Крейн и некоторые коллеги в середине 1930-х годов),
• свойства , уменьшающие вариацию (начатые И. Я. Шёнбергом в 1930 г.),
• Частотные функции Полиа (И. Я. Шёнберга в конце 1940-х — начале 1950-х годов).

Примеры

Например, матрица Вандермонда , узлы которой положительны и возрастают, является полностью положительной матрицей.

См. также

• Сложная матрица

Дальнейшее чтение

• Аллан Пинкус (2009), Полностью положительные матрицы , Издательство Кембриджского университета , ISBN  9780521194082

Внешние ссылки

• Спектральные свойства полностью положительных ядер и матриц, Аллан Пинкус
• Параметризации канонических базисов и вполне положительных матриц, Аркадий Беренштейн
• Кратность тензорного произведения, канонические базисы и полностью положительные многообразия (2001), А. Беренштейн, А. Зелевинский