Idempotent Matrix

В линейной алгебре идентификационная матрица представляет собой матрицу , которая, когда их умножается сама по себе. То есть матрица $A$ Идемпотент тогда и только тогда, когда $A^{2}=A$Полем Для этого продукта $A^{2}$ быть определенным , $A$ обязательно должна быть квадратная матрица . Посмотрено таким образом, идентификационные матрицы являются идентификационными элементами матричных колец .

Пример

Примеры $2\times 2$ Идентификационные матрицы: $${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}3&-6\\1&-2\end{bmatrix}}$$

Примеры $3\times 3$ Идентификационные матрицы: $${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}$$

Реальный корпус 2 × 2

Если матрица ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ Тогда идентифицируется

• $a=a^{2}+bc,$
• $b=ab+bd,$ подразумевая $b(1-a-d)=0$ так $b=0$ или $d=1-a,$
• $c=ca+cd,$ подразумевая $c(1-a-d)=0$ так $c=0$ или $d=1-a,$
• $d=bc+d^{2}.$

Таким образом, необходимое условие для $2\times 2$ Матрица, чтобы быть идентифицированной, заключается в том, что либо она диагональна , либо ее след равен 1. Для идентификационных диагональных матриц, $a$ и $d$ должен быть либо 1, либо 0.

Если $b=c$, матрица ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ будет идентифицированным предоставленным $a^{2}+b^{2}=a,$ Таким образом, удовлетворяет квадратичное уравнение

$a^{2}-a+b^{2}=0,$ или $\left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}$

который представляет собой круг с центром (1/2, 0) и радиусом 1/2. С точки зрения угла θ,

$A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}$ Идентификатор.

Однако, $b=c$ не является необходимым условием: любая матрица

${\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}$ с $a^{2}+bc=a$ Идентификатор.

Характеристики

Сингулярность и регулярность

Единственная не единственная идентификационная матрица- это матрица идентификации ; То есть, если матрица неидентификации является идентифицирующей, его количество независимых строк (и столбцов) меньше его количества строк (и столбцов).

Это можно увидеть по написанию $A^{2}=A$, предполагая, что A имеет полный ранг (не сжигал) и предварительно поднимается $A^{-1}$ чтобы получить $A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I$.

Когда идентификационная матрица вычтена из матрицы идентификации, результат также является идентифицированным. Это держит с тех пор

$(I-A)(I-A)=I-A-A+A^{2}=I-A-A+A=I-A.$

Если матрица А идентична, то для всех положительных целых чисел n, $A^{n}=A$Полем Это может быть показано с использованием доказательства путем индукции. Ясно, что у нас есть результат для $n=1$, как $A^{1}=A$Полем Предположим, это $A^{k-1}=A$Полем Затем, $A^{k}=A^{k-1}A=AA=A$, так как А идентификация. Следовательно, по принципу индукции, результат следует.

Собственные значения

Идентификационная матрица всегда диагонализируется . Его собственные значения либо 0, либо 1: если $\mathbf {x}$ это ненулевая собственная вектор какой-то идентификационной матрицы $A$ и $\lambda$ его связанное собственное значение, тогда ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ что подразумевает $\lambda \in \{0,1\}.$ Это дополнительно подразумевает, что определитель идентификационной матрицы всегда равен 0 или 1. Как указано выше, если определитель равен единице, матрица инвертируется и , следовательно, является матрицей идентификации .

След

След от идентичной матрицы - сумма элементов на ее основной диагонали - равняется рангу матрицы и, таким образом, всегда является целым числом. Это обеспечивает простой способ вычисления ранга или альтернативно простой способ определения следа матрицы, элементы которой не известны специально (что полезно в статистике , например, для установления степени смещения при использовании дисперсии выборки в качестве оценка дисперсии населения ).

Отношения между идентификационными матрицами

В регрессионном анализе матрица $M=I-X(X'X)^{-1}X'$ Известно, что дает остатки $e$ от регрессии вектора зависимых переменных $y$ на матрице ковариат $X$Полем (См. Раздел о приложениях.) Теперь, пусть $X_{1}$ быть матрицей, сформированной из подмножества столбцов $X$и пусть $M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'$Полем Легко показать, что оба $M$ и $M_{1}$ идентично, но несколько удивительный факт в том, что $MM_{1}=M$Полем Это потому, что $MX_{1}=0$или, другими словами, остатки от регрессии колонн $X_{1}$ на $X$ 0 с тех пор $X_{1}$ может быть идеально интерполирован, так как это подмножество $X$ (По прямой замене также легко показать, что $MX=0$) Это приводит к двум другим важным результатам: один в том, что $(M_{1}-M)$ симметричный и идентифицирующий, а другой - это $(M_{1}-M)M=0$IE, $(M_{1}-M)$ ортогонально $M$Полем Эти результаты играют ключевую роль, например, в выводе теста F.

Любые подобные матрицы идентификационной матрицы также идентифицируют. Идемпотентность сохраняется в результате изменения основания . Это может быть показано за счет умножения преобразованной матрицы $SAS^{-1}$ с $A$ быть идентифицированным: $(SAS^{-1})^{2}=(SAS^{-1})(SAS^{-1})=SA(S^{-1}S)AS^{-1}=SA^{2}S^{-1}=SAS^{-1}$.

Приложения

Идентификационные матрицы часто возникают в регрессионном анализе и эконометрике . Например, в обычных наименьших квадратах проблема регрессии состоит в том, чтобы выбрать вектор β оценок коэффициентов, чтобы минимизировать сумму квадратных остатков (неправильные предзнаменования) e _i : в форме матрицы,

Минимизировать $(y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )$

где $y$ является вектором зависимых переменных наблюдений и $X$ является матрицей, каждый из которых является столбцом наблюдений на одной из независимых переменных . Полученная оценка

${\hat {\beta }}=\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y$

где SuperScript T указывает на транспонирование , а вектор остатков

${\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}=y-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y=\left[I-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}\right]y=My.$

Здесь оба $M$ и $X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}$(Последнее, известное как матрица шляпы ), являются идентификационными и симметричными матрицами, факт, который позволяет упростить, когда вычисляется сумма квадратных остатков:

${\hat {e}}^{\textsf {T}}{\hat {e}}=(My)^{\textsf {T}}(My)=y^{\textsf {T}}M^{\textsf {T}}My=y^{\textsf {T}}MMy=y^{\textsf {T}}My.$

Идентичность $M$ играет роль в других расчетах, например, в определении дисперсии оценки ${\hat {\beta }}$.

Идентификационный линейный оператор $P$ это оператор проекции в пространстве диапазона ⁠ $R(P)$⁠ вдоль его нулевого пространства ⁠ $N(P)$⁠ . $P$ является оператором ортогональной проекции тогда и только тогда, когда он идентифицирован и симметричен .

Смотрите также

• Идемпотенность
• Нильпотент
• Проекция (линейная алгебра)
• Шляпа Матрица