Классификация конечных простых групп

В математике классификация конечных простых групп является результатом теории групп, утверждающей, что каждая конечная простая группа либо циклическая , либо знакопеременная , либо принадлежит широкому бесконечному классу, называемому группами лиева типа , либо является одной из двадцати групп. шесть или двадцать семь исключений, называемых спорадическими . Доказательство состоит из десятков тысяч страниц нескольких сотен журнальных статей, написанных примерно 100 авторами и опубликованных в основном в период с 1955 по 2004 год.

Простые группы можно рассматривать как основные строительные блоки всех конечных групп , подобно тому, как простые числа являются основными строительными блоками натуральных чисел . Теорема Йордана–Гёльдера — более точный способ сформулировать этот факт о конечных группах. Однако существенным отличием от целочисленной факторизации является то, что такие «строительные блоки» не обязательно определяют уникальную группу, поскольку может существовать много неизоморфных групп с одним и тем же композиционным рядом или, другими словами, проблема расширения не имеет решения . уникальное решение.

Горенштейн (ум. 1992), Лайонс и Соломон постепенно публикуют упрощенную и исправленную версию доказательства.

Формулировка классификационной теоремы

Основная статья: Список конечных простых групп

Теорема . Каждая конечная группа изоморфна простая одной из следующих групп:

• член одного из трех бесконечных классов таковых, а именно:
  • циклические группы простого порядка,
  • знакопеременные группы степени не ниже 5,
  • группы лиева типа ,
  • групп производная подгруппа типа Ли, такая как группа Титса
• одна из 26 групп, называемых « спорадическими группами ».

Классификация конечных простых групп

Теорема классификации имеет приложения во многих разделах математики, поскольку вопросы о структуре конечных групп (и их действии на другие математические объекты) иногда можно свести к вопросам о конечных простых группах. Благодаря классификационной теореме иногда можно ответить на такие вопросы, проверив каждое семейство простых групп и каждую спорадическую группу.

Дэниел Горенштейн объявил в 1983 году, что все конечные простые группы были классифицированы, но это было преждевременно, поскольку он был дезинформирован о доказательстве классификации квазитонких групп . О завершенном доказательстве классификации было объявлено Ашбахером (2004) после того, как Ашбахер и Смит опубликовали 1221-страничное доказательство пропавшего квазитонкого случая.

Обзор доказательства классификационной теоремы

Горенштейн ( 1982 , 1983 ) написал два тома, в которых излагаются части доказательства низкого ранга и нечетные характеристики, а Майкл Ашбахер , Ричард Лайонс и Стивен Д. Смит и др. ( 2011 )написал третий том, посвященный оставшемуся случаю характеристики 2. Доказательство можно разбить на несколько основных частей:

Группы небольшие 2-ранговые

Простые группы низкого 2-ранга представляют собой в основном группы лиева типа малого ранга над полями нечетной характеристики, а также пять чередующихся, семь характеристик 2-го типа и девять спорадических групп.

К простым группам малых 2-ранга относятся:

• Группы 2-ранга 0, другими словами, группы нечетного порядка, которые все разрешимы по теореме Фейта – Томпсона .
• Группы 2-ранга 1. Силовские 2-подгруппы являются либо циклическими, с которыми легко справиться с помощью трансфер-отображения, либо обобщенными кватернионами , которые обрабатываются с помощью теоремы Брауэра – Сузуки : в частности, не существует простых групп из 2- ранг 1, за исключением циклической группы второго порядка.
• Группы 2-ранга 2. Альперин показал, что силовская подгруппа должна быть двугранной, квазидиэдрической, сплетенной или силовской 2-подгруппой группы U ₃ (4). Первый случай был выполнен с помощью теоремы Горенштейна–Вальтера , которая показала, что единственные простые группы изоморфны L ₂ ( q ) для q нечетного или A ₇ , второй и третий случаи были выполнены с помощью теоремы Альперина–Брауэра–Горенштейна , из которой следует что единственные простые группы изоморфны L ₃ ( q ) или U ₃ ( q ) для q нечетного или M ₁₁ , а последний случай был рассмотрен Лайонсом, который показал, что U ₃ (4) является единственной простой возможностью.
• Группы секционного 2-ранга не выше 4, классифицируемые по теореме Горенштейна–Харады .

Классификация групп небольших 2-рангов, особенно рангов не более 2, широко использует теорию обычных и модулярных характеров, которая почти никогда напрямую не используется где-либо еще в классификации.

Все группы не малого 2-го ранга можно разбить на два основных класса: группы компонентного типа и группы характеристики 2-го типа. Это связано с тем, что если группа имеет секционный 2-ранг не менее 5, то МакВильямс показал, что ее силовские 2-подгруппы связны, а из теоремы о балансе следует, что любая простая группа со связными силовскими 2-подгруппами имеет либо тип компонента, либо тип характеристики 2. . (Для групп низкого 2-ранга доказательство этого не работает, поскольку такие теоремы, как теорема о сигнальном функторе, работают только для групп с элементарными абелевыми подгруппами ранга не менее 3.)

Группы типов компонентов

Группа называется компонентного типа, если для некоторого централизатора C инволюции C / O ( C ) имеет компоненту (где O ( C ) — ядро ​​C , максимальная нормальная подгруппа нечетного порядка).Это в большей или меньшей степени группы лиева типа нечетной характеристики большого ранга и чередующиеся группы, а также некоторые спорадические группы.Важным шагом в этом случае является устранение препятствия в ядре инволюции. Это достигается с помощью B-теоремы , которая утверждает, что каждый компонент C / O ( C ) является образом C. компонента

Идея состоит в том, что эти группы имеют централизатор инволюции с компонентом, представляющим собой меньшую квазипростую группу, которую можно считать уже известной по индукции. Итак, чтобы классифицировать эти группы, нужно взять каждое центральное расширение каждой известной конечной простой группы и найти все простые группы с централизатором инволюции, содержащим его в качестве компонента. Это дает довольно большое число различных случаев для проверки: имеется не только 26 спорадических групп и 16 семейств групп лиева типа и знакопеременных групп, но и многие группы малого ранга или над малыми полями ведут себя иначе, чем общие. случае и должны рассматриваться отдельно, а группы лиева типа четной и нечетной характеристики также весьма различны.

Группы характеристики 2 типа

Группа имеет тип характеристики 2, если обобщенная подгруппа Фиттинга F *( Y ) каждой 2-локальной подгруппы Y является 2-группой.Как следует из названия, это примерно группы лиева типа над полями характеристики 2 плюс несколько других, которые чередуются, спорадичны или имеют нечетные характеристики. Их классификация разделена на случаи малого и большого ранга, где ранг представляет собой наибольший ранг нечетной абелевой подгруппы, нормализующей нетривиальную 2-подгруппу, который часто (но не всегда) совпадает с рангом картановской подалгебры, когда группа – группа лиева типа в характеристике 2.

Группы ранга 1 — это тонкие группы, классифицированные Ашбахером, а группы ранга 2 — пресловутые квазитонкие группы , классифицированные Ашбахером и Смитом. Они примерно соответствуют группам лиева типа ранга 1 или 2 над полями характеристики 2.

Группы ранга не менее 3 дополнительно подразделяются на 3 класса по теореме о трихотомии , доказанной Ашбахером для ранга 3 и Горенштейном и Лайонсом для ранга не менее 4.Эти три класса - это группы типа GF(2) (классифицированные в основном Тиммесфельдом), группы «стандартного типа» для некоторого нечетного простого числа (классифицированные теоремой Гилмана-Грисса и работами нескольких других) и группы типа уникальности, где результат Ашбахера означает, что простых групп не существует.Общий случай более высокого ранга состоит в основном из групп лиева типа над полями характеристики 2 ранга не ниже 3 или 4.

Существование и единственность простых групп.

Основная часть классификации дает характеристику каждой простой группы. Затем необходимо проверить, что для каждой характеристики существует простая группа и она уникальна. Это дает большое количество отдельных проблем; например, оригинальные доказательства существования и уникальности группы монстров насчитывали около 200 страниц, а идентификация групп Ри Томпсоном и Бомбьери была одной из самых сложных частей классификации. Многие доказательства существования и некоторые доказательства уникальности спорадических групп изначально использовали компьютерные вычисления, большинство из которых с тех пор были заменены более короткими ручными доказательствами.

История доказательства

Программа Горенштейна

В 1972 году Горенштейн (1979 , Приложение) анонсировал программу завершения классификации конечных простых групп, состоящую из следующих 16 шагов:

1. Группы низкого 2-ранга. По сути, это было сделано Горенштейном и Харадой, которые классифицировали группы с секционным 2-рангом не более 4. Большинство случаев 2-ранга не более 2 было сделано к тому времени, когда Горенштейн объявил о своей программе.
2. Полупростота двух слоев. Задача состоит в том, чтобы доказать, что 2-слой централизатора инволюции в простой группе полупрост.
3. Стандартная форма с нечетными характеристиками. Если группа имеет инволюцию с 2-компонентом, которая является группой нечетной характеристики лиева типа, цель состоит в том, чтобы показать, что она имеет централизатор инволюции в «стандартной форме», что означает, что централизатор инволюции имеет компонент, который лиева типа по нечетной характеристике и также имеет централизатор 2-го ранга 1.
4. Классификация групп нечетного типа. Задача состоит в том, чтобы показать, что если группа имеет централизатор инволюции в «стандартной форме», то она является группой лиева типа нечетной характеристики. Ашбахера Эта проблема была решена с помощью классической теоремы об инволюции .
5. Квазистандартная форма
6. Центральные инволюции
7. Классификация альтернирующих групп.
8. Некоторые спорадические группы
9. Тонкие группы. Простые тонкие конечные группы , группы с 2-локальным p -рангом не более 1 для нечетных простых чисел p , были классифицированы Ашбахером в 1978 году.
10. Группы с сильно p-вложенной подгруппой при p нечетном
11. Метод функтора сигнализатора для нечетных простых чисел. Основная проблема состоит в том, чтобы доказать теорему о функторах сигнализаторов для неразрешимых функторов сигнализаторов. Эта проблема была решена Макбрайдом в 1982 году.
12. Группы характеристического p- типа. Это проблема групп с сильно p -вложенной 2-локальной подгруппой с нечетным p , которую решал Ашбахер.
13. Квазитонкие группы. Квазитонкая группа — это группа, 2-локальные подгруппы которой имеют p -ранг не более 2 для всех нечетных простых чисел p , и задача состоит в том, чтобы классифицировать простые подгруппы типа характеристики 2. Это было завершено Ашбахером и Смитом в 2004 году.
14. Группы низкие 2-локальные 3-ранговые. Ашбахера По сути, эта проблема была решена с помощью теоремы о трихотомии для групп с e ( G ) = 3. Основное изменение состоит в том, что 2-локальный 3-ранг заменяется 2-локальным p -рангом для нечетных простых чисел.
15. Центраторы трехэлементные стандартного исполнения. По существу, это было сделано с помощью теоремы трихотомии .
16. Классификация простых групп характеристики 2 типа. Это было решено с помощью теоремы Гилмана-Грисса , в которой 3-элементы были заменены p -элементами для нечетных простых чисел.

Хронология доказательства

Многие из пунктов в таблице ниже взяты из работы Соломона (2001) . Указанная дата обычно является датой публикации полного доказательства результата, которая иногда на несколько лет позже даты доказательства или первого объявления результата, поэтому некоторые элементы появляются в «неправильном» порядке.

Дата	Разработка
1832	Галуа вводит нормальные подгруппы и находит простые группы A n ( n ≥ 5) и PSL 2 ( F p ) ( p ≥ 5).
1854	Кэли определяет абстрактные группы
1861	Матье описывает первые две группы Матье M 11 , M 12 , первые спорадические простые группы, и объявляет о существовании M 24 .
1870	Джордан перечисляет некоторые простые группы: знакопеременные и проективные специальные линейные, и подчеркивает важность простых групп.
1872	Силов доказывает теоремы Силова.
1873	Матье вводит еще три группы Матье M 22 , M 23 , M 24 .
1892	Гёльдер доказывает, что порядок любой неабелевой конечной простой группы должен быть произведением по крайней мере четырёх (не обязательно различных) простых чисел, и требует классификации конечных простых групп.
1893	Коул классифицирует простые группы порядка до 660.
1896	Фробениус и Бернсайд начинают изучение теории характеров конечных групп.
1899	Бернсайд классифицирует простые группы такие, что централизатор каждой инволюции является нетривиальной элементарной абелевой 2-группой.
1901	Фробениус доказывает, что группа Фробениуса имеет ядро ​​Фробениуса, поэтому, в частности, это не так просто.
1901	полями и исключительные группы типа G2 Диксон определяет классические группы над произвольными конечными над полями нечетной характеристики.
1901	группы типа E6 . Диксон вводит исключительные конечные простые
1904	Бернсайд использует теорию характеров, чтобы доказать теорему Бернсайда о том, что порядок любой неабелевой конечной простой группы должен делиться как минимум на 3 различных простых числа.
1905	Диксон вводит простые группы типа G2 над полями четной характеристики.
1911	Бернсайд предполагает, что каждая неабелева конечная простая группа имеет четный порядок.
1928	Холл доказывает существование холловских подгрупп разрешимых групп.
1933	Холл начинает изучение p -групп.
1935	Брауэр начинает изучение модульных характеров .
1936	Цассенхаус классифицирует конечные точно 3-транзитивные группы подстановок.
1938	Фиттинг вводит подгруппу Фиттинга и доказывает теорему Фиттинга о том, что для разрешимых групп подгруппа Фиттинга содержит свой централизатор.
1942	Брауэр описывает модульные характеры группы, делящейся на простое число в первой степени.
1954	Брауэр классифицирует простые группы с GL 2 ( F q ) как централизатор инволюции.
1955	Теорема Брауэра-Фаулера подразумевает, что число конечных простых групп с данным централизатором инволюции конечно, что предполагает атаку на классификацию с использованием централизаторов инволюций.
1955	Шевалле вводит группы Шевалле , в частности, исключительные простые группы типов F 4 , E 7 и E 8 .
1956	Теорема Холла-Хигмана описывает возможности минимального многочлена элемента простого степенного порядка для представления p -разрешимой группы .
1957	Судзуки показывает, что все конечные простые СА-группы нечетного порядка цикличны.
1958	Теорема Брауэра -Сузуки-Уолла характеризует проективные специальные линейные группы ранга 1 и классифицирует простые CA. группы
1959	Стейнберг вводит группы Стейнберга , давая некоторые новые конечные простые группы типов 3 Д 4 и 2 E 6 (последние были независимо обнаружены примерно в то же время Титсом).
1959	Теорема Брауэра–Сузуки о группах с обобщенными кватернионными силовскими 2-подгруппами показывает, в частности, что ни одна из них не является простой.
1960	Томпсон доказывает, что группа с автоморфизмом простого порядка без неподвижных точек нильпотентна.
1960	Фейт, Маршалл Холл и Томпсон показывают, что все конечные простые CN-группы нечетного порядка цикличны.
1960	Suzuki представляет группы Suzuki с типами 2 Б 2 .
1961	Ри представляет группы Ри с типами 2 Ф 4 и 2 Г 2 .
1963	Фейт и Томпсон доказывают теорему о нечетном порядке .
1964	Титс вводит пары BN для групп лиева типа и находит группу Титса.
1965	Теорема Горенштейна –Вальтера классифицирует группы с диэдральной силовской 2-подгруппой.
1966	Глауберман доказывает теорему Z*.
1966	Янко представляет группу Янко J1 , первую новую спорадическую группу примерно за столетие.
1968	Глауберман доказывает теорему ZJ
1968	Хигман и Симс представляют группу Хигмана-Симса.
1968	Конвей представляет группы Конвея
1969	Теорема Уолтера классифицирует группы с абелевыми силовскими 2-подгруппами.
1969	Введение спорадической группы Сузуки , группы Янко J2 , группы Янко J3 , группы Маклафлина и группы Хелда .
1969	Горенштейн вводит функторы-сигнализаторы, основанные на идеях Томпсона.
1970	Мак-Вильямс показывает, что 2-группы без нормальной абелевой подгруппы ранга 3 имеют секционный 2-ранг не более 4. (Простые группы с силовскими подгруппами, удовлетворяющими последнему условию, были позже классифицированы Горенштейном и Харадой.)
1970	Бендер ввел обобщенную подгруппу Фиттинга.
1970	Теорема Альперина–Брауэра–Горенштейна классифицирует группы с квазидиэдральными или сплетенными силовскими 2-подгруппами, завершая классификацию простых групп 2-ранга не более 2.
1971	Фишер представляет три группы Фишера
1971	Томпсон классифицирует квадратичные пары.
1971	Бендер классифицирует группу с сильно встроенной подгруппой.
1972	Горенштейн предлагает 16-шаговую программу для классификации конечных простых групп; окончательная классификация довольно точно следует его схеме.
1972	Лайонс представляет группу Лайонс
1973	Рудвалис представляет группу Рудвалис
1973	Фишер обнаруживает группу детенышей-монстров (неопубликовано), которую Фишер и Грисс используют для обнаружения группы монстров , что, в свою очередь, приводит Томпсона к спорадической группе Томпсона , а Нортона — к группе Харада-Нортон (также найденной Харадой другим способом).
1974	Томпсон классифицирует N-группы , группы, все локальные подгруппы которых разрешимы.
1974	Теорема Горенштейна –Харады классифицирует простые группы секционного 2-ранга не более 4, разделяя оставшиеся конечные простые группы на группы компонентного типа и группы характеристики 2.
1974	Титс показывает, что группы с BN-парами ранга не ниже 3 являются группами лиева типа.
1974	Ашбахер классифицирует группы с собственным 2-порожденным ядром.
1975	Горенштейн и Уолтер доказывают теорему L-баланса
1976	Глауберман доказывает разрешимую о функторе сигнализатора. теорему
1976	Ашбахер доказывает теорему о компонентах , грубо показывая, что группы нечетного типа, удовлетворяющие некоторым условиям, имеют компонент в стандартной форме. Группы с компонентом стандартной формы были классифицированы в большом сборнике работ многих авторов.
1976	О'Нан представляет группу О'Нан
1976	Янко представляет группу Янко J4 , последнюю открытую спорадическую группу.
1977	Ашбахер характеризует группы лиева типа нечетной характеристики в своей классической теореме об инволюции . После этой теоремы, которая в некотором смысле касается «большинства» простых групп, вообще стало казаться, что конец классификации близок.
1978	Тиммесфельд доказывает экстраспециальную теорему O 2 , разбивая классификацию групп типа GF(2) на несколько более мелких задач.
1978	Ашбахер классифицирует тонкие конечные группы , которые в основном представляют собой группы ранга 1 лиева типа над полями четной характеристики.
1981	Бомбьери использует теорию исключения, чтобы завершить работу Томпсона по характеристике групп Ри , что является одним из самых сложных этапов классификации.
1982	Макбрайд доказывает теорему о функторе сигнализатора для всех конечных групп.
1982	Грисс собирает группу монстров. вручную
1983	Теорема Гилмана-Грисса классифицирует группы типа характеристики 2 и ранга не менее 4 со стандартными компонентами, что является одним из трех случаев теоремы о трихотомии.
1983	Ашбахер доказывает, что ни одна конечная группа не удовлетворяет гипотезе случая единственности , одному из трех случаев, заданных теоремой трихотомии для групп типа характеристики 2.
1983	Горенштейн и Лайонс доказывают теорему о трихотомии для групп типа характеристики 2 и ранга не ниже 4, а Ашбахер доказывает случай ранга 3. Это делит эти группы на 3 подслучая: случай единственности, группы типа GF(2) и группы. со стандартным компонентом.
1983	Горенштейн объявляет, что доказательство классификации завершено, но несколько преждевременно, поскольку доказательство квазитонкого случая было неполным.
1985	Конвей, Кертис, Нортон, Паркер, Уилсон и Текрей публикуют Атлас конечных групп , содержащий базовую информацию о 93 конечных простых группах.
1994	Горенштейн, Лайонс и Соломон начинают публикацию пересмотренной классификации
2004	Ашбахер и Смит публикуют свою работу о квазитонких группах (которые в основном представляют собой группы лиева типа ранга не выше 2 по полям четной характеристики), заполняя последний пробел в известной на тот момент классификации.
2008	Харада и Соломон восполняют небольшой пробел в классификации, описывая группы со стандартной компонентой, являющейся покрытием группы Матье M22 , — случай, который случайно был исключен из доказательства классификации из-за ошибки в вычислении множителя Шура. М22.
2012	Гонтье и его коллеги анонсируют проверенную на компьютере версию теоремы Фейта–Томпсона с использованием Coq помощника по доказательству .

Классификация второго поколения

Доказательство теоремы в том виде, в каком оно существовало примерно в 1985 году, можно назвать доказательством первого поколения . Из-за чрезвычайной длины доказательства первого поколения много усилий было потрачено на поиск более простого доказательства, называемого классификационным доказательством второго поколения . Это усилие, названное «ревизионизмом», первоначально возглавил Дэниел Горенштейн .

По состоянию на 2023 год было опубликовано десять томов доказательства второго поколения (Горенштейн, Лайонс и Соломон, 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b; & Capdeboscq, 2021, 2023). В 2012 году Соломон подсчитал, что проекту потребуется еще пять томов, но сказал, что работа над ними идет медленно. Предполагается, что новое доказательство в конечном итоге займет около 5000 страниц. (Такая длина частично обусловлена ​​тем, что доказательство второго поколения было написано в более расслабленном стиле.) Однако с публикацией девятого тома серии GLS, включая вклад Ашбахера-Смита, эта оценка уже была достигнута, а также еще несколько тома все еще находятся в стадии подготовки (остальная часть того, что изначально предназначалось для тома 9, плюс планируемые тома 10 и 11). Ашбахер и Смит написали свои два тома, посвященные квазитонкому случаю, таким образом, что эти тома могут стать частью доказательства второго поколения.

Горенштейн и его сотрудники привели несколько причин, почему возможно более простое доказательство.

• Самое главное, что теперь известна правильная, окончательная формулировка теоремы. Могут быть применены более простые методы, которые, как известно, подходят для тех типов групп, которые, как мы знаем, являются конечно простыми. Напротив, те, кто работал над доказательством первого поколения, не знали, сколько существует спорадических групп, и фактически некоторые из спорадических групп (например, группы Янко ) были открыты при доказательстве других случаев классификационной теоремы. В результате многие части теоремы были доказаны с использованием слишком общих методов.
• Поскольку вывод был неизвестен, доказательство первого поколения состоит из множества отдельных теорем, касающихся важных частных случаев. Большая часть работы по доказательству этих теорем была посвящена анализу многочисленных частных случаев. При наличии более масштабного и организованного доказательства рассмотрение многих из этих особых случаев можно отложить до тех пор, пока не будут применены самые убедительные предположения. Цена, заплаченная за эту пересмотренную стратегию, заключается в том, что эти теоремы первого поколения больше не имеют сравнительно коротких доказательств, а вместо этого полагаются на полную классификацию.
• Многие теоремы первого поколения перекрываются и поэтому делят возможные случаи неэффективным образом. В результате неоднократно идентифицировались семейства и подсемейства конечных простых групп. Пересмотренное доказательство устраняет эту избыточность, опираясь на другое подразделение дел.
• Теоретики конечных групп имеют больше опыта в такого рода упражнениях и имеют в своем распоряжении новые методы.

Ашбахер (2004) назвал работу Ульриха Мейерфранкенфельда, Бернда Штелмахера, Гернота Строта и некоторых других над проблемой классификации программой третьего поколения . Одной из целей этого является единообразное рассмотрение всех групп характеристики 2 с использованием метода амальгамы.

Длина доказательства

Горенштейн обсудил некоторые причины, по которым не может быть краткого доказательства классификации, аналогичной классификации компактных групп Ли .

• Самая очевидная причина заключается в том, что список простых групп довольно сложен: при наличии 26 спорадических групп, вероятно, будет много особых случаев, которые придется учитывать при любом доказательстве. До сих пор никто еще не нашел четкого равномерного описания конечных простых групп, подобного параметризации компактных групп Ли диаграммами Дынкина .
• Атья и другие предположили, что классификацию следует упростить, построив некий геометрический объект, на который воздействуют группы, а затем классифицировав эти геометрические структуры. Проблема в том, что никто не смог предложить простой способ найти такую ​​геометрическую структуру, связанную с простой группой. В каком-то смысле классификация действительно работает, находя геометрические структуры, такие как BN-пары , но это происходит только в конце очень долгого и сложного анализа структуры конечной простой группы.
• Другое предложение по упрощению доказательства состоит в более широком использовании теории представлений . Проблема здесь в том, что теория представлений, похоже, требует очень жесткого контроля над подгруппами группы, чтобы работать хорошо. Для групп малого ранга такая теория управления и представления работает очень хорошо, но для групп большего ранга никому не удалось использовать ее для упрощения классификации. На заре классификации были предприняты значительные усилия по использованию теории представлений, но это так и не принесло большого успеха в случае более высокого ранга.

Последствия классификации

В этом разделе перечислены некоторые результаты, доказанные с помощью классификации конечных простых групп.

• Шрайера Гипотеза
• Сигналайзера Теорема о функторе
• Гипотеза Б
• Теорема Шура –Зассенхауза для всех групп (хотя здесь используется только теорема Фейта–Томпсона ).
• Транзитивная группа подстановок на конечном множестве, содержащем более одного элемента, имеет элемент без неподвижных точек простого степенного порядка.
• Классификация 2-транзитивных групп подстановок .
• Классификация групп перестановок ранга 3 .
• Симса Гипотеза
• Гипотеза Фробениуса о числе решений задачи x ^н = 1 .

См. также

• Теорема О'Нэна – Скотта

Ссылки

• Ашбахер, Майкл (2004). «Состояние классификации конечных простых групп» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . Том. 51, нет. 7. С. 736–740.
• Ашбахер, Майкл ; Лайонс, Ричард; Смит, Стивен Д.; Соломон, Рональд (2011), Классификация конечных простых групп: группы характеристики 2 типа , Математические обзоры и монографии, том. 172, ИСБН  978-0-8218-5336-8
• Конвей, Джон Хортон ; Кертис, Роберт Тернер; Нортон, Саймон Филлипс ; Паркер, Ричард А ; Уилсон, Роберт Арнотт (1985), Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обычные характеры для простых групп , Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853199-9
• Горенштейн, Д. (1979), «Классификация конечных простых групп. I. Простые группы и локальный анализ», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 1 (1): 43–199, doi : 10.1090/S0273- 0979-1979-14551-8 , ISSN   0002-9904 , MR   0513750
• Горенштейн, Д. (1982), Конечные простые группы , Университетская серия по математике, Нью-Йорк: Plenum Publishing Corp., ISBN  978-0-306-40779-6 , МР   0698782
• Горенштейн, Д. (1983), Классификация конечных простых групп. Том. 1. Группы нехарактеристического 2-го типа , Университетская серия по математике, Plenum Press, ISBN  978-0-306-41305-6 , МР   0746470
• Дэниел Горенштейн (1985), «Огромная теорема», Scientific American , 1 декабря 1985 г., том. 253, нет. 6, стр. 104–115.
• Горенштейн, Д. (1986), «Классификация конечных простых групп», Бюллетень Американского математического общества , новая серия, 14 (1): 1–98, doi : 10.1090/S0273-0979-1986-15392-9 , ISSN   0002-9904 , МР   0818060
• Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (1994), Классификация конечных простых групп , Математические обзоры и монографии, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-0334-9 , МР   1303592
  • Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (1996), Классификация конечных простых групп, номер 2 , Математические обзоры и монографии, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-0390-5 , МР   1358135
  • Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (1998), Классификация конечных простых групп, номер 3 , Математические обзоры и монографии, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-0391-2 , МР   1490581
  • Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (1999), Классификация конечных простых групп, номер 4. Часть II, главы 1–4: Теоремы единственности , Математические обзоры и монографии, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-1379-9 , МР   1675976
  • Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (2002), Классификация конечных простых групп, номер 5 , Математические обзоры и монографии, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-2776-5 , МР   1923000
  • Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (2005), Классификация конечных простых групп, Номер 6: Часть IV: Особый нечетный случай , Математические обзоры и монографии, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-2777-2 , МР   2104668
  • Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (2018), Классификация конечных простых групп, Номер 7: Часть III, Главы 7–11: Общий случай, Этапы 3b и 4a , Математические обзоры и монографии, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-4069-6 , МР   3752626
  • Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (2018), Классификация конечных простых групп, номер 8: Часть III, главы 12–17: Общий случай, завершено , Математические обзоры и монографии, том. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-1-4704-4189-0 , МР   3887657
  • Капдебоск, Инна ; Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (2021), Классификация конечных простых групп, номер 9: Часть V, главы 1–8: Теорема $C_{5}$ и теорема $C_{6}$, Этап 1 , Математические обзоры и монографии, вып. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-1-4704-6437-0 , МР   4244365
  • Капдебоск, Инна ; Горенштейн, Д. ; Лайонс, Ричард ; Соломон, Рональд (2023), Классификация конечных простых групп, номер 10: Часть V, главы 9–17: Теорема $C_{6}$ и теорема $C_{4}^{*}$, Случай А , Математические обзоры и монографии, вып. 40, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-1-4704-7553-6 , МР   4656413
• Марк Ронан , Симметрия и чудовище , ISBN   978-0-19-280723-6 , Oxford University Press, 2006. (Краткое введение для непрофессионала)
• Маркус дю Сотуа , «В поисках самогона» , «Четвертая власть», 2008, ISBN   978-0-00-721461-7 (еще одно введение для непрофессионала. Американское издание, опубликованное в 2009 году под названием «Симметрия: путешествие в закономерности природы»)
• Рон Соломон (1995) « О конечных простых группах и их классификации », Извещения Американского математического общества . (Не слишком технично и хорошо с точки зрения истории. Американская версия опубликована в 2009 году под названием «Симметрия: путешествие в закономерности природы»).
• Соломон, Рональд (2001), «Краткая история классификации конечных простых групп» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 38 (3): 315–352, doi : 10.1090/S0273-0979 -01-00909-0 , ISSN   0002-9904 , MR   1824893 , заархивировано (PDF) из оригинала 15 июня 2001 г. - статья получила премию Леви Л. Конанта за экспозицию.
• Томпсон, Джон Г. (1984), «Конечные неразрешимые группы», в Грюнберге, К.В.; Роузблэйд, Дж. Э. (ред.), Теория групп. Эссе для Филипа Холла , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 1–12, ISBN  978-0-12-304880-6 , МР   0780566
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Тексты для аспирантов по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN.  978-1-84800-987-5 , Збл   1203.20012

Внешние ссылки

• АТЛАС представлений конечных групп. База данных представлений и других данных с возможностью поиска для многих конечных простых групп.
• Элвес, Ричард, « Огромная теорема: классификация конечных простых групп », журнал Plus Magazine , выпуск 41, декабрь 2006 г. Для непрофессионалов.
• Мадор, Дэвид (2003) Порядки неабелевых простых групп. Архивировано 4 апреля 2005 г. в Wayback Machine. Включает список всех неабелевых простых групп до порядка 10. ¹⁰ .
• В каком смысле классификация всех конечных групп «невозможна»?
• Орнес, Стивен (2015). «Исследователи спешат спасти огромную теорему, прежде чем исчезнет ее гигантское доказательство» . Научный американец . 313 (1): 68–75. doi : 10.1038/scientificamerican0715-68 . ПМИД   26204718 .
• «Где доказательства второго (и третьего) поколения классификации конечных простых групп?» . MathOverflow . (Последнее обновление: февраль 2024 г.)