Нелинейная система

Эта статья о «нелинейности» в математике, физике и других науках. Информацию о монтаже видео и фильмов см. в разделе Система нелинейного монтажа . Чтобы узнать о других значениях, см. Нелинейность (значения) . «Нелинейная динамика» перенаправляется сюда. Информацию о журнале см. в разделе «Нелинейная динамика» (журнал) .

В математике и естественных науках нелинейная система (или нелинейная система ) — это система , в которой изменение выходных данных не пропорционально изменению входных данных. Нелинейные проблемы интересуют инженеров , биологов , физики , математики и многие другие ученые , поскольку большинство систем по своей природе нелинейны. Нелинейные динамические системы , описывающие изменения переменных во времени, могут показаться хаотичными, непредсказуемыми или нелогичными, контрастируя с гораздо более простыми линейными системами .

Обычно поведение нелинейной системы описывается в математике нелинейной системой уравнений , которая представляет собой набор одновременных уравнений , в которых неизвестные (или неизвестные функции в случае дифференциальных уравнений ) выступают как переменные многочлена степени больше единицы или в аргументе функции , не являющейся многочленом первой степени. Другими словами, в нелинейной системе уравнений решаемое уравнение(я) не может быть записано как линейная комбинация неизвестных переменных или функций , входящих в них. Системы можно определить как нелинейные, независимо от того, присутствуют ли в уравнениях известные линейные функции. В частности, дифференциальное уравнение является линейным , если оно линейно относительно неизвестной функции и ее производных, даже если оно нелинейно относительно других переменных, входящих в него.

Поскольку нелинейные динамические уравнения трудно решить, нелинейные системы обычно аппроксимируются линейными уравнениями ( линеаризация ). Это хорошо работает с некоторой точностью и некоторым диапазоном входных значений, но некоторые интересные явления, такие как солитоны , хаос , а особенности скрыты линеаризацией. Отсюда следует, что некоторые аспекты динамического поведения нелинейной системы могут оказаться нелогичными, непредсказуемыми или даже хаотичными. Хотя такое хаотичное поведение может напоминать случайное поведение, на самом деле оно не является случайным. Например, некоторые аспекты погоды кажутся хаотичными, когда простые изменения в одной части системы приводят к сложным последствиям во всей системе. Эта нелинейность является одной из причин, почему точные долгосрочные прогнозы невозможны с помощью современных технологий.

Некоторые авторы используют термин нелинейная наука для изучения нелинейных систем. Этот термин оспаривается другими:

Использование такого термина, как «нелинейная наука», равносильно тому, чтобы называть большую часть зоологии исследованием животных, не являющихся слонами.

— Станислав Улам

Определение

В математике — линейная карта (или линейная функция ). $f(x)$ это тот, который удовлетворяет обоим следующим свойствам:

• аддитивности или Принцип суперпозиции : $\textstyle f(x+y)=f(x)+f(y);$
• Однородность: $\textstyle f(\alpha x)=\alpha f(x).$

Аддитивность подразумевает однородность для любого рационального α , а для непрерывных функций — для любого действительного α . Для комплексного α однородность не следует из аддитивности. Например, антилинейное отображение аддитивно, но не однородно. Условия аддитивности и однородности часто объединяются в принципе суперпозиции.

$f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)$

Уравнение, записанное как

$f(x)=C$

называется линейным, если $f(x)$ является линейным отображением (как определено выше) и нелинейным в противном случае. Уравнение называется однородным, если $C=0$ и $f(x)$ является однородной функцией .

Определение $f(x)=C$ носит очень общий характер в этом смысле $x$ может быть любым разумным математическим объектом (числом, вектором, функцией и т. д.), а функция $f(x)$ буквально может быть любым отображением , включая интеграцию или дифференциацию со связанными ограничениями (такими как граничные значения ). Если $f(x)$ содержит дифференцирование по $x$, результатом будет дифференциальное уравнение .

Уравнения нелинейных систем

Нелинейная система уравнений состоит из системы уравнений с несколькими переменными, таких, что хотя бы одно из них не является линейным уравнением .

Для одного уравнения вида $f(x)=0,$ разработано множество методов; см. Алгоритм поиска корня . В случае, когда f является полиномом , имеется полиномиальное уравнение, такое как $x^{2}+x-1=0.$ Общие алгоритмы поиска корня применимы к корням многочленов, но, как правило, они не находят все корни, и если им не удается найти корень, это не означает, что корней нет. Специальные методы для многочленов позволяют найти все корни или действительные корни; см. изоляцию реального корня .

Решение систем полиномиальных уравнений , то есть нахождение общих нулей набора нескольких многочленов от нескольких переменных, является сложной задачей, для которой были разработаны разработанные алгоритмы, такие как базовые алгоритмы Грёбнера.

Для общего случая системы уравнений, образованной приравниванием нулю нескольких дифференцируемых функций , основным методом является метод Ньютона и его варианты. Как правило, они могут предоставить решение, но не предоставляют никакой информации о количестве решений.

Нелинейные рекуррентные отношения

Нелинейное рекуррентное отношение определяет последовательные члены последовательности как нелинейную функцию предыдущих членов. Примерами нелинейных рекуррентных отношений являются логистическая карта и отношения, определяющие различные последовательности Хофштадтера . Нелинейные дискретные модели, которые представляют широкий класс нелинейных рекуррентных отношений, включают модель NARMAX (нелинейное авторегрессионное скользящее среднее с экзогенными входными данными) и связанные с ней процедуры идентификации и анализа нелинейных систем . Эти подходы можно использовать для изучения широкого класса сложного нелинейного поведения во временной, частотной и пространственно-временной областях.

Нелинейные дифференциальные уравнения

Система линейных дифференциальных уравнений называется нелинейной, если она не является системой уравнений . Задачи, связанные с нелинейными дифференциальными уравнениями, чрезвычайно разнообразны, а методы решения или анализа зависят от проблемы. Примерами нелинейных дифференциальных уравнений являются уравнения Навье – Стокса в гидродинамике и уравнения Лотки – Вольтерра в биологии.

Одна из величайших трудностей нелинейных задач заключается в том, что известные решения обычно невозможно объединить в новые. Например, в линейных задачах семейство линейно независимых решений может использоваться для построения общих решений с помощью принципа суперпозиции . Хорошим примером этого является одномерный перенос тепла с граничными условиями Дирихле , решение которого можно записать как зависящую от времени линейную комбинацию синусоид разных частот; это делает решения очень гибкими. Часто удается найти несколько весьма конкретных решений нелинейных уравнений, однако отсутствие принципа суперпозиции препятствует построению новых решений.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

первого порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения часто точно решаются путем разделения переменных , особенно для автономных уравнений. Например, нелинейное уравнение

${\frac {du}{dx}}=-u^{2}$

имеет $u={\frac {1}{x+C}}$ как общее решение (а также частное решение $u=0,$ соответствующий пределу общего решения при стремлении C к бесконечности). Уравнение является нелинейным, поскольку его можно записать как

${\frac {du}{dx}}+u^{2}=0$

и левая часть уравнения не является линейной функцией $u$ и его производные. Обратите внимание, что если $u^{2}$ термин был заменен на $u$, проблема будет линейной ( проблема экспоненциального убывания ).

Обыкновенные дифференциальные уравнения второго и более высокого порядка (в более общем смысле, системы нелинейных уравнений) редко дают решения в замкнутой форме неявные решения и решения, содержащие неэлементарные интегралы , хотя встречаются .

Общие методы качественного анализа нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений включают:

• Исследование любых сохраняющихся величин , особенно в гамильтоновых системах.
• Исследование диссипативных величин (см. функцию Ляпунова ), аналогичных сохраняющимся величинам.
• Линеаризация посредством расширения Тейлора
• Преобразование переменных во что-то более простое для изучения
• Теория бифуркации
• Методы возмущений (можно применять и к алгебраическим уравнениям)
• Существование решений конечной длительности, что может произойти при определенных условиях для некоторых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Уравнения в частных производных

Основная статья: Нелинейное уравнение в частных производных

См. Также: Список нелинейных уравнений в частных производных.

Самый распространенный базовый подход к изучению нелинейных уравнений в частных производных — заменить переменные (или иным образом преобразовать задачу), чтобы результирующая задача стала проще (возможно, линейной). Иногда уравнение может быть преобразовано в одно или несколько обыкновенных дифференциальных уравнений , как видно из разделения переменных , что всегда полезно независимо от того, разрешимо ли полученное обыкновенное дифференциальное уравнение(я).

Другая распространенная (хотя и менее математическая) тактика, часто используемая в механике жидкости и тепла, заключается в использовании масштабного анализа для упрощения общего естественного уравнения в определенной конкретной краевой задаче . Например, (очень) нелинейные уравнения Навье-Стокса можно упростить до одного линейного уравнения в частных производных в случае неустановившегося, ламинарного, одномерного потока в круглой трубе; масштабный анализ обеспечивает условия, при которых поток является ламинарным и одномерным, а также дает упрощенное уравнение.

Другие методы включают изучение характеристик и использование методов, изложенных выше для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Маятник

Основная статья: Маятник (математика)

Иллюстрация маятника

Линеаризации маятника

Классической, широко изучаемой нелинейной задачей является динамика маятника без трения под действием силы тяжести . Используя лагранжеву механику , можно показать что движение маятника можно описать безразмерным нелинейным уравнением

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0$

где сила тяжести направлена ​​«вниз» и $\theta$ — это угол, который маятник образует со своим исходным положением, как показано на рисунке справа. Один из подходов к «решению» этого уравнения состоит в использовании $d\theta /dt$ как интегрирующий фактор , который в конечном итоге приведет к

$\int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}$

что является неявным решением, включающим эллиптический интеграл . Это «решение», как правило, не имеет широкого применения, поскольку большая часть сути решения скрыта в неэлементарном интеграле (неэлементарном, если только $C_{0}=2$).

Другой способ подойти к проблеме — линеаризовать любую нелинейность (в данном случае синусоидальную функцию) в различных интересующих точках с помощью разложений Тейлора . Например, линеаризация при $\theta =0$, называемое приближением малого угла, есть

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0$

с $\sin(\theta )\approx \theta$ для $\theta \approx 0$. Это простой гармонический осциллятор, соответствующий колебаниям маятника в нижней части его пути. Другая линеаризация будет при $\theta =\pi$, что соответствует маятнику, находящемуся вертикально вверх:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0$

с $\sin(\theta )\approx \pi -\theta$ для $\theta \approx \pi$. Решение этой проблемы включает в себя гиперболические синусоиды , и обратите внимание, что в отличие от приближения малых углов это приближение неустойчиво, а это означает, что $|\theta |$ обычно будет расти без ограничений, хотя возможны ограниченные решения. Это соответствует трудности уравновешивания маятника в вертикальном положении, это буквально неустойчивое состояние.

Возможна еще одна интересная линеаризация $\theta =\pi /2$, вокруг которого $\sin(\theta )\approx 1$:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0.$

Это соответствует задаче свободного падения. Очень полезную качественную картину динамики маятника можно получить, сложив воедино такие линеаризации, как показано на рисунке справа. можно использовать другие методы Для нахождения (точных) фазовых портретов и приблизительных периодов .

Типы нелинейного динамического поведения

• Амплитудная смерть - любые колебания, присутствующие в системе, прекращаются из-за какого-то взаимодействия с другой системой или обратной связи со стороны той же системы.
• Хаос - значения системы невозможно предсказать на неопределенный срок в будущем, а колебания апериодичны.
• Мультистабильность – наличие двух и более стабильных состояний.
• Солитоны – самоусиливающиеся уединенные волны.
• Предельные циклы – асимптотические периодические орбиты, к которым притягиваются дестабилизированные неподвижные точки.
• Автоколебания – колебания с обратной связью, имеющие место в открытых диссипативных физических системах.

Примеры нелинейных уравнений

• Алгебраическое уравнение Риккати
• Шарово-балочная система
• Уравнение Беллмана для оптимальной политики
• Уравнение Больцмана
• Уравнение Колбрука
• Общая теория относительности
• Теория Гинзбурга – Ландау
• уравнение Ишимори
• Уравнение Кадомцева–Петвиашвили.
• Уравнение Кортевега – де Фриза
• Уравнение Ландау–Лифшица–Гильберта
• Уравнение Льенара
• Уравнения Навье – Стокса гидродинамики .
• Нелинейная оптика
• Нелинейное уравнение Шрёдингера
• Исследование потока мощности
• Уравнение Ричардса для потока ненасыщенной воды
• Самобалансирующийся одноколесный велосипед
• Уравнение Синус-Гордон
• Van der Pol oscillator
• уравнение Власова

См. также

• Aleksandr Mikhailovich Lyapunov
• Динамическая система
• Обратная связь
• Исходное состояние
• Линейная система
• Связь мод
• Векторный солитон
• серия Вольтерра

Дальнейшее чтение

• Дидерих Хинрихсен и Энтони Дж. Притчард (2005). Теория математических систем I - Моделирование, анализ пространства состояний, устойчивость и устойчивость . Спрингер Верлаг. ISBN  9783540441250 .
• Джордан, Д.В.; Смит, П. (2007). Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения (четвертое изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-920824-1 .
• Халил, Хасан К. (2001). Нелинейные системы . Прентис Холл. ISBN  978-0-13-067389-3 .
• Крейциг, Эрвин (1998). Высшая инженерная математика . Уайли. ISBN  978-0-471-15496-9 .
• Зонтаг, Эдуардо (1998). Математическая теория управления: детерминированные конечномерные системы. Второе издание . Спрингер. ISBN  978-0-387-98489-6 .

Внешние ссылки

• Программа исследований командования и управления (CCRP)
• Институт сложных систем Новой Англии: концепции сложных систем
• Нелинейная динамика I: хаос в OpenCourseWare Массачусетского технологического института
• Библиотека нелинейных моделей – (в MATLAB ) база данных физических систем.
• Центр нелинейных исследований Лос-Аламосской национальной лаборатории