Максимальная апостериорная оценка

В байесовской статистике максимальная апостериорной вероятности ( MAP ) оценка — это оценка неизвестной величины, которая равна моде апостериорного распределения . MAP можно использовать для получения точечной оценки ненаблюдаемой величины на основе эмпирических данных. Он тесно связан с методом оценки максимального правдоподобия (ML), но использует расширенную цель оптимизации , которая включает в себя априорное распределение (которое количественно определяет дополнительную информацию, доступную благодаря предшествующим знаниям о связанном событии) по величине, которую необходимо оценить. Таким образом, оценку MAP можно рассматривать как регуляризацию оценки максимального правдоподобия.

Описание

Предположим, что мы хотим оценить ненаблюдаемый параметр популяции. $\theta$ на основе наблюдений $x$ . Позволять $f$ быть выборочным распределением $x$ , так что $f(x\mid \theta )$ это вероятность $x$ когда базовый параметр совокупности равен $\theta$ . Тогда функция:

\theta \mapsto f(x\mid \theta )\!

известна как функция правдоподобия и оценка:

{\hat {\theta }}_{\mathrm {MLE} }(x)={\underset {\theta }{\operatorname {arg\,max} }}\ f(x\mid \theta )\!

это оценка максимального правдоподобия $\theta$ .

Теперь предположим, что априорное распределение $g$ над $\theta$ существует. Это позволяет нам лечить $\theta$ как случайная величина, как в байесовской статистике . Мы можем вычислить апостериорное распределение $\theta$ используя теорему Байеса :

\theta \mapsto f(\theta \mid x)={\frac {f(x\mid \theta )\,g(\theta )}{\displaystyle \int _{\Theta }f(x\mid \vartheta )\,g(\vartheta )\,d\vartheta }}\!

где $g$ — функция плотности $\theta$ , $\Theta$ является областью $g$ .

Затем метод максимальной апостериорной оценки оценивает $\theta$ как мода апостериорного распределения этой случайной величины:

{\begin{aligned}{\hat {\theta }}_{\mathrm {MAP} }(x)&={\underset {\theta }{\operatorname {arg\,max} }}\ f(\theta \mid x)\\&={\underset {\theta }{\operatorname {arg\,max} }}\ {\frac {f(x\mid \theta )\,g(\theta )}{\displaystyle \int _{\Theta }f(x\mid \vartheta )\,g(\vartheta )\,d\vartheta }}\\&={\underset {\theta }{\operatorname {arg\,max} }}\ f(x\mid \theta )\,g(\theta ).\end{aligned}}\!

Знаменатель апостериорного распределения (так называемое предельное правдоподобие ) всегда положителен и не зависит от $\theta$ и поэтому не играет никакой роли в оптимизации. Обратите внимание, что оценка MAP $\theta$ совпадает с оценкой ML, когда априорная $g$ является однородным (т.е. $g$ является постоянной функцией ).

Когда функция потерь имеет вид

L(\theta ,a)={\begin{cases}0,&{\text{if }}|a-\theta |<c,\\1,&{\text{otherwise}},\\\end{cases}}

как $c$ стремится к 0, оценка Байеса приближается к оценке MAP, при условии, что распределение $\theta$ он квазивогнутый. ^[1] Но обычно оценка MAP не является оценкой Байеса, если только $\theta$ является дискретным .

Вычисление

Оценки MAP можно рассчитать несколькими способами:

Аналитически, когда мода(ы) апостериорного распределения может быть задана в замкнутой форме . Это тот случай, когда сопряженные априорные значения . используются
С помощью численной оптимизации, такой как метод сопряженных градиентов или метод Ньютона . Обычно для этого требуются первые или вторые производные , которые необходимо оценить аналитически или численно.
Через модификацию алгоритма максимизации ожидания . Для этого не требуются производные от апостериорной плотности.
Методом Монте-Карло с имитацией отжига.

Ограничения

Хотя для оценки MAP требуются только мягкие условия, чтобы она была предельным случаем оценки Байеса (при функции потерь 0–1), ^[1] в целом он не очень репрезентативен для байесовских методов. Это связано с тем, что оценки MAP являются точечными оценками, тогда как байесовские методы характеризуются использованием распределений для суммирования данных и вывода выводов: таким образом, байесовские методы имеют тенденцию вместо этого сообщать апостериорное среднее или медиану вместе с достоверными интервалами . Это связано как с тем, что эти оценки оптимальны при потерях квадратичной и линейной ошибки соответственно, которые более репрезентативны для типичных функций потерь , так и потому, что для непрерывного апостериорного распределения не существует функции потерь, которая предполагает, что MAP является оптимальной точечной оценкой. Кроме того, апостериорное распределение часто может не иметь простой аналитической формы: в этом случае распределение можно смоделировать с использованием методов Монте-Карло цепи Маркова , а оптимизация для нахождения его режима (мод) может быть трудной или невозможной. ^{[ нужна ссылка ]}

Во многих типах моделей, таких как смешанные модели , задняя часть может быть мультимодальной . В таком случае обычно рекомендуется выбирать самый высокий режим: это не всегда осуществимо ( глобальная оптимизация является сложной проблемой), а в некоторых случаях даже невозможно (например, когда возникают проблемы с идентификацией ). Более того, высшая мода может быть нехарактерна для большинства задних.

Наконец, в отличие от оценок ML, оценка MAP не является инвариантной при перепараметризации. Переход от одной параметризации к другой предполагает введение якобиана , влияющего на положение максимума. ^[2]

В качестве примера разницы между упомянутыми выше оценками Байеса (оценками среднего и медианы) и использованием оценки MAP рассмотрим случай, когда необходимо классифицировать входные данные. $x$ как положительные или отрицательные (например, кредиты как рискованные или безопасные). Предположим, что существует всего три возможных гипотезы о правильном методе классификации. $h_{1}$ , $h_{2}$ и $h_{3}$ с задними 0,4, 0,3 и 0,3 соответственно. Предположим, что дан новый экземпляр, $x$ , $h_{1}$ классифицирует его как положительный, тогда как два других классифицируют его как отрицательный. Использование оценки MAP для правильного классификатора $h_{1}$ , $x$ классифицируется как положительный, тогда как оценки Байеса усредняют все гипотезы и классифицируют $x$ как отрицательный.

Пример

Предположим, что нам дана последовательность $(x_{1},\dots ,x_{n})$ МИР $N(\mu ,\sigma _{v}^{2})$ случайные величины и априорное распределение $\mu$ дается $N(\mu _{0},\sigma _{m}^{2})$ . Мы хотим найти оценку MAP $\mu$ . Обратите внимание, что нормальное распределение является своим собственным, сопряженным с априором , поэтому мы сможем найти решение в замкнутой форме аналитически.

Тогда функция, которую необходимо максимизировать, определяется выражением

f(\mu )f(x\mid \mu )=\pi (\mu )L(\mu )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{m}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\mu -\mu _{0}}{\sigma _{m}}}\right)^{2}\right)\prod _{j=1}^{n}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma _{v}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}\right),

что эквивалентно минимизации следующей функции $\mu$ :

\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {x_{j}-\mu }{\sigma _{v}}}\right)^{2}+\left({\frac {\mu -\mu _{0}}{\sigma _{m}}}\right)^{2}.

Таким образом, мы видим, что оценка MAP для µ имеет вид

{\hat {\mu }}_{\mathrm {MAP} }={\frac {\sigma _{m}^{2}\,n}{\sigma _{m}^{2}\,n+\sigma _{v}^{2}}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}x_{j}\right)+{\frac {\sigma _{v}^{2}}{\sigma _{m}^{2}\,n+\sigma _{v}^{2}}}\,\mu _{0}={\frac {\sigma _{m}^{2}\left(\sum _{j=1}^{n}x_{j}\right)+\sigma _{v}^{2}\,\mu _{0}}{\sigma _{m}^{2}\,n+\sigma _{v}^{2}}}.

которое оказывается линейной интерполяцией между априорным средним значением и выборочным средним, взвешенным по их соответствующим ковариациям.

Случай $\sigma _{m}\to \infty$ называется неинформативным априором и приводит к неправильному распределению вероятностей ; в этом случае ${\hat {\mu }}_{\mathrm {MAP} }\to {\hat {\mu }}_{\mathrm {MLE} }.$

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Бассетт, Роберт; Дериде, Хулио (30 января 2018 г.). «Максимальные апостериорные оценки как предел байесовских оценок». Математическое программирование : 1–16. arXiv : 1611.05917 . дои : 10.1007/s10107-018-1241-0 . ISSN 0025-5610 .
^ Мерфи, Кевин П. (2012). Машинное обучение: вероятностная перспектива . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 151–152. ISBN 978-0-262-01802-9 .

ДеГрут, М. (1970). Оптимальные статистические решения . МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-016242-5 .
Соренсон, Гарольд В. (1980). Оценка параметров: принципы и проблемы . Марсель Деккер. ISBN 0-8247-6987-2 .
Хальд, Андерс (2007). «Вывод Гаусса нормального распределения и метод наименьших квадратов, 1809 г.». История параметрического статистического вывода от Бернулли до Фишера, 1713–1935 гг . Нью-Йорк: Спрингер. стр. 55–61. ISBN 978-0-387-46409-1 .

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б Бассетт, Роберт; Дериде, Хулио (30 января 2018 г.). «Максимальные апостериорные оценки как предел байесовских оценок». Математическое программирование : 1–16. arXiv : 1611.05917 . дои : 10.1007/s10107-018-1241-0 . ISSN 0025-5610 .

[2] Мерфи, Кевин П. (2012). Машинное обучение: вероятностная перспектива . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. стр. 151–152. ISBN 978-0-262-01802-9 .

[1]

[2]