V-статистика

V-статистика — это класс статистики, названный в честь Рихарда фон Мизеса , который разработал свою теорию асимптотического распределения в фундаментальной статье в 1947 году. V-статистика тесно связана с U-статистикой. (U означает « непредвзятый »), представленный Василием Хёффдингом в 1948 году. V-статистика — это статистическая функция (выборки), определяемая конкретным статистическим функционалом распределения вероятностей.

Статистические функции

Статистика, которую можно представить в виде функционалов $T(F_{n})$ эмпирической функции распределения $(F_{n})$ называются статистическими функционалами . Дифференцируемость функционала T играет ключевую роль в подходе фон Мизеса; таким образом, фон Мизес рассматривает дифференцируемые статистические функционалы .

Примеры статистических функций

1. k -й – центральный момент это функционал $T(F)=\int (x-\mu )^{k}\,dF(x)$, где $\mu =E[X]$ — значение X. ​ ожидаемое Соответствующая статистическая функция -й центральный момент выборки представляет собой k ,

   $T_{n}=m_{k}=T(F_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{k}.$

2. представляет Статистика согласия хи-квадрат собой статистическую функцию T ( F _n ), соответствующую статистическому функционалу

   $T(F)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(\int _{A_{i}}\,dF-p_{i})^{2}}{p_{i}}},$

   где A _i — k ячеек, а p _i — заданные вероятности ячеек при нулевой гипотезе.
3. Крамера –фон-Мизеса и Андерсона–Дарлинга Статистика согласия основана на функционале

   $T(F)=\int (F(x)-F_{0}(x))^{2}\,w(x;F_{0})\,dF_{0}(x),$

   где w ( x ; F ₀ ) — заданная весовая функция, а F ₀ — заданное нулевое распределение. Если w — тождественная функция, то T ( F _n ) — хорошо известная Крамера – фон Мизеса статистика согласия ; если $w(x;F_{0})=[F_{0}(x)(1-F_{0}(x))]^{-1}$ тогда T ( F _n ) — статистика Андерсона–Дарлинга .

Представление в виде V-статистики

Предположим, x ₁ , ..., x _n является выборкой. В типичных приложениях статистическая функция имеет представление в виде V-статистики.

$V_{mn}={\frac {1}{n^{m}}}\sum _{i_{1}=1}^{n}\cdots \sum _{i_{m}=1}^{n}h(x_{i_{1}},x_{i_{2}},\dots ,x_{i_{m}}),$

где h — симметричная ядерная функция. Серфлинг обсуждается, как найти ядро ​​на практике. V _mn называется V-статистикой степени m .

Симметричное ядро ​​степени 2 — это функция h ( x , y ), такая что h ( x , y ) = h ( y , x ) для всех x и y в области определения h. Для выборок x ₁ , ..., x _n определяется соответствующая V-статистика

$V_{2,n}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}h(x_{i},x_{j}).$

Пример V-статистики

4. Примером V-статистики степени 2 является второй центральный момент m ₂ . Если час ( Икс , y ) знак равно ( Икс - y ) ² /2 соответствующая V-статистика равна

   $V_{2,n}={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2},$

   что является оценкой максимального правдоподобия дисперсии . При том же ядре соответствующая U-статистика представляет собой (несмещенную) выборочную дисперсию:

   $s^{2}={n \choose 2}^{-1}\sum _{i<j}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$.

Асимптотическое распределение

В примерах 1–3 асимптотическое распределение статистики разное: в (1) оно нормальное , в (2) — хи-квадрат , а в (3) — взвешенная сумма переменных хи-квадрат.

Подход фон Мизеса представляет собой объединяющую теорию, охватывающую все вышеперечисленные случаи. Неформально тип асимптотического распределения статистической функции зависит от порядка «вырождения», который определяется тем, какой член является первым неисчезающим членом в разложении Тейлора функционала T . Если это линейный член, предельное распределение нормальное; в противном случае возникают типы распределений более высокого порядка (при подходящих условиях, когда выполняется центральная предельная теорема).

Существует иерархия случаев, параллельная асимптотической теории U-статистики . Пусть A ( m ) будет свойством, определяемым:

Являюсь ​ ) :

1. Var( h ( X ₁ , ..., X _k )) = 0 для k < m , и Var ( h ( X ₁ , ..., X _k )) > 0 для k = m ;
2. н ^{м /2} R _mn стремится к нулю (по вероятности). ( R _mn — остаточный член ряда Тейлора для T .)

Случай m = 1 (невырожденное ядро):

Если A (1) истинно, статистика является выборочным средним, и Центральная предельная теорема подразумевает, что T(F _n ) асимптотически нормальна .

В примере дисперсии (4) m ₂ является асимптотически нормальным со средним значением $\sigma ^{2}$ и дисперсия $(\mu _{4}-\sigma ^{4})/n$, где $\mu _{4}=E(X-E(X))^{4}$.

Случай m = 2 (вырожденное ядро):

Предположим, что А (2) истинно и $E[h^{2}(X_{1},X_{2})]<\infty ,\,E|h(X_{1},X_{1})|<\infty ,$ и $E[h(x,X_{1})]\equiv 0$. Тогда nV _2,n сходится по распределению к взвешенной сумме независимых переменных хи-квадрат:

$nV_{2,n}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}Z_{k}^{2},$

где $Z_{k}$ являются независимыми стандартными нормальными переменными и $\lambda _{k}$ зависящие от распределения F и функционала T. — константы , В этом случае асимптотическое распределение называется квадратичной формой центрированных гауссовских случайных величин . Статистика V _{2, n} называется вырожденной ядерной V-статистикой . V-статистика, связанная с функционалом Крамера – фон Мизеса. (Пример 3) является примером вырожденной ядерной V-статистики.

См. также

• U-статистика
• Асимптотическое распределение
• Асимптотическая теория (статистика)

Ссылки

• Хоффдинг, В. (1948). «Класс статистики с асимптотически нормальным распределением» . Анналы математической статистики . 19 (3): 293–325. дои : 10.1214/aoms/1177730196 . JSTOR   2235637 .
• Koroljuk, V.S.; Borovskich, Yu.V. (1994). Theory of U -statistics (English translation by P.V.Malyshev and D.V.Malyshev from the 1989 Ukrainian ed.). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN  0-7923-2608-3 .
• Ли, Эй Джей (1990). У -статистика: теория и практика . Марселя Деккера, Inc. Нью-Йорк: ISBN  0-8247-8253-4 .
• Нейхаус, Г. (1977). «Функциональные предельные теоремы для U -статистики в вырожденном случае» . Журнал многомерного анализа . 7 (3): 424–439. дои : 10.1016/0047-259X(77)90083-5 .
• Розенблатт, М. (1952). «Предельные теоремы, связанные с вариантами статистики фон Мизеса» . Анналы математической статистики . 23 (4): 617–623. дои : 10.1214/aoms/1177729341 . JSTOR   2236587 .
• Серфлинг, Р.Дж. (1980). Аппроксимационные теоремы математической статистики . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-02403-1 .
• Тейлор, РЛ; Даффер, ПЗ; Паттерсон, РФ (1985). Предельные теоремы для сумм перестановочных случайных величин . Нью-Джерси: Роуман и Алланхельд.
• фон Мизес, Р. (1947). «Об асимптотическом распределении дифференцируемых статистических функций» . Анналы математической статистики . 18 (2): 309–348. дои : 10.1214/aoms/1177730385 . JSTOR   2235734 .