Логическое двуусловие

Венна Диаграмма $P\leftrightarrow Q$
(истинная часть выделена красным)

В логике и математике логическое бикондиционал , также известное как материальное бикондиционал , или эквивалентность , или би-импликация , или би-привязка , представляет собой логическую связку, используемую для соединения двух утверждений. $P$ и $Q$ составить заявление" $P$ тогда и только тогда, когда $Q$ " (часто сокращается как " $P$ если только $Q$ " ^[1]), где $P$ известен как антецедент , и $Q$ следствие . ^[2]^[3]

В настоящее время обозначения для представления эквивалентности включают в себя $\leftrightarrow ,\Leftrightarrow ,\equiv$ .

$P\leftrightarrow Q$ логически эквивалентен обоим $(P\rightarrow Q)\land (Q\rightarrow P)$ и $(P\land Q)\lor (\neg P\land \neg Q)$ и XNOR (исключающее ни) логический оператор , что означает «оба или ничего».

С семантической точки зрения единственный случай, когда логическое бикондиционал отличается от материального кондиционала, — это случай, когда гипотеза (антецедент) ложна, но вывод (следствие) истинен. В этом случае результат истинен для условного выражения, но ложен для двуусловного. ^[2]

В концептуальной интерпретации $P = Q$ означает «Все $P$ являются $Q$ и все $Q$ являются $P$ ». Другими словами, множества $P$ и $Q$ совпадают: они идентичны. Однако это не означает, что $P$ и $Q$ должны иметь одно и то же значение (например, $P$ может быть «равноугольным трехсторонним», а $Q$ может быть «равносторонним треугольником»). Когда оно сформулировано в виде предложения, антецедент является подлежащим , а консеквент — предикатом универсального утвердительного суждения (например, во фразе «все люди смертны», «мужчины» — это подлежащее, а «смертный» — это предикат).

В пропозициональной интерпретации $P\leftrightarrow Q$ означает, что $P$ подразумевает $Q$ , а $Q$ подразумевает $P$ ; другими словами, предложения логически эквивалентны в том смысле, что оба либо совместно истинны, либо совместно ложны. Опять же, это не означает, что они должны иметь одинаковое значение, поскольку $P$ может означать «треугольник ABC имеет две равные стороны», а $Q$ может быть «треугольник ABC имеет два равных угла». В общем, антецедент — это предпосылка или причина , а следствие — это следствие . Когда импликация переводится посредством гипотетического (или условного ) суждения, антецедент называется гипотезой ( или условием ), а консеквент называется тезисом .

Распространенный способ демонстрации бикондиционала формы $P\leftrightarrow Q$ заключается в том, чтобы продемонстрировать, что $P\rightarrow Q$ и $Q\rightarrow P$ отдельно (ввиду его эквивалентности соединению двух обратных кондиционалов ^[2]). Еще один способ продемонстрировать то же самое бикондиционал — продемонстрировать, что $P\rightarrow Q$ и $\neg P\rightarrow \neg Q$ .

Когда оба члена бикондиционала являются предложениями, его можно разделить на два кондиционала, один из которых называется теоремой , а другой — обратным ему . ^{[ нужна ссылка ]} Таким образом, всякий раз, когда теорема и обратное ей утверждение истинны, мы имеем биусловие. Простая теорема порождает импликацию, антецедентом которой является гипотеза , а следствием — тезис теоремы.

Часто говорят, что гипотеза является достаточным условием тезиса, а тезис — необходимым условием гипотезы. То есть достаточно, чтобы гипотеза была верной, чтобы тезис был истинным, в то время как необходимо, чтобы тезис был истинным, если бы гипотеза была верной. Когда теорема и обратное ей утверждение истинны, ее гипотеза считается необходимым и достаточным условием тезиса. То есть гипотеза является одновременно и причиной, и следствием тезиса.

Обозначения [ править ]

Обозначения для обозначения эквивалентности, используемые в истории, включают:

$=$ у Джорджа Буля в 1847 году. ^[4] Хотя Буль использовал $=$ главным образом на занятиях, он также рассматривал случай, что $x,y$ это предложения в $x=y$ , и в то время $=$ является эквивалентностью.
$\equiv$ во Фреге в 1879 году; ^[5]
$\sim$ в Бернейсе в 1918 году; ^[6]
$\rightleftarrows$ у Гильберта в 1927 году (пока он использовал $\sim$ как главный символ в статье); ^[7]
$\leftrightarrow$ у Гильберта и Аккермана в 1928 году ^[8] (они также представили $\rightleftarrows ,\sim$ пока они используют $\sim$ как главный символ всей книги; $\leftrightarrow$ принят многими последователями, такими как Беккер в 1933 году. ^[9]);
$E$ (префикс) в Лукасевиче в 1929 г. ^[10] и $Q$ (префикс) в Лукасевиче в 1951 г.; ^[11]
$\supset \subset$ в Хейтинге в 1930 году; ^[12]
$\Leftrightarrow$ в Бурбаки в 1954 году; ^[13]
$\subset \supset$ в Чазале в 1996 году; ^[14]

и так далее. Кто-то еще также использует $\operatorname {EQ}$ или $\operatorname {EQV}$ изредка. ^{[ нужна ссылка ]}^{[ нечеткий ]}^{[ нужны разъяснения ]}

Определение [ править ]

Логическое равенство (также известное как двуусловное) — это операция над двумя логическими значениями , обычно значениями двух высказываний , которая дает значение true тогда и только тогда, когда оба операнда ложны или оба операнда истинны. ^[2]

Таблица истинности [ править ]

Ниже представлена таблица истинности для $A\leftrightarrow B$ :

$A$	$B$	$A\leftrightarrow B$
Ф	Ф	Т
Ф	Т	Ф
Т	Ф	Ф
Т	Т	Т

Если задействовано более двух операторов, их объединение с $\leftrightarrow$ может быть неоднозначным. Например, утверждение

x_{1}\leftrightarrow x_{2}\leftrightarrow x_{3}\leftrightarrow \cdots \leftrightarrow x_{n}

может быть истолковано как

(((x_{1}\leftrightarrow x_{2})\leftrightarrow x_{3})\leftrightarrow \cdots )\leftrightarrow x_{n}

,

или может быть истолковано как утверждение, что все $x i$ совместно истинны или совместно ложны :

(x_{1}\land \cdots \land x_{n})\lor (\neg x_{1}\land \cdots \land \neg x_{n})

Как выяснилось, эти два утверждения одинаковы только тогда, когда задействовано ноль или два аргумента. Фактически, следующие таблицы истинности показывают один и тот же битовый шаблон только в строке без аргумента и в строках с двумя аргументами:

Левая диаграмма Венна ниже и линии (AB) в этих матрицах представляют одну и ту же операцию.

Диаграммы Венна [ править ]

Красные области означают истину (как в для и ).

Двуусловие двух утверждений
является отрицанием исключительного или :

~A\leftrightarrow B~~\Leftrightarrow ~~\neg (A\oplus B)

$\Leftrightarrow \neg$

Двуусловное и
исключительный или из трех утверждений
дать тот же результат:

$~A\leftrightarrow B\leftrightarrow C~~\Leftrightarrow$
$~A\oplus B\oplus C$

$\leftrightarrow$ $~~\Leftrightarrow ~~$

$\oplus$ $~~\Leftrightarrow ~~$

Но

~A\leftrightarrow B\leftrightarrow C

также может использоваться как сокращение
для

(A\leftrightarrow B)\land (B\leftrightarrow C)

$\land$ $~~\Leftrightarrow ~~$

Свойства [ править ]

Коммутативность : Да

$A\leftrightarrow B$	$\Leftrightarrow$	$B\leftrightarrow A$
	$\Leftrightarrow$

Ассоциативность : Да

$~A$	$~~~\leftrightarrow ~~~$	$(B\leftrightarrow C)$	$\Leftrightarrow$			$(A\leftrightarrow B)$	$~~~\leftrightarrow ~~~$	$~C$
	$~~~\leftrightarrow ~~~$		$\Leftrightarrow$		$\Leftrightarrow$		$~~~\leftrightarrow ~~~$

Дистрибутивность : биусловное выражение не распространяется ни на одну двоичную функцию (даже на себя), но логическая дизъюнкция распространяется на биусловное выражение.

Идемпотентность : Нет

$~A~$	$~\leftrightarrow ~$	$~A~$	$\Leftrightarrow$	$~1~$	$\nLeftrightarrow$	$~A~$
	$~\leftrightarrow ~$		$\Leftrightarrow$		$\nLeftrightarrow$

Монотонность : Нет

$A\rightarrow B$	$\nRightarrow$			$(A\leftrightarrow C)$	$\rightarrow$	$(B\leftrightarrow C)$
	$\nRightarrow$		$\Leftrightarrow$		$\rightarrow$

Сохранение истины: Да
Когда все входные данные верны, выходные данные верны.

$A\land B$	$\Rightarrow$	$A\leftrightarrow B$
	$\Rightarrow$

Сохранение ложности: Нет
Когда все входные данные ложны, выходные данные не являются ложными.

$A\leftrightarrow B$	$\nRightarrow$	$A\lor B$
	$\nRightarrow$

Спектр Уолша : (2,0,0,2)

Нелинейность ( : 0 функция линейна)

Правила вывода [ править ]

Как и все связки в логике первого порядка, бикондиционал имеет правила вывода, которые управляют его использованием в формальных доказательствах.

Двуусловное введение [ править ]

Двуусловное введение позволяет сделать вывод, что если B следует из A, а A следует из B, то A тогда и только тогда, когда B.

Например, из утверждений «если я дышу, то я жив» и «если я жив, то я дышу» можно сделать вывод, что «я дышу тогда и только тогда, когда я Я жив» или, что то же самое, «Я жив тогда и только тогда, когда я дышу». Или более схематично:

 B → A   
 A → B   
 ∴ A ↔ B

 B → A   
 A → B   
 ∴ B ↔ A

Двуусловное исключение [ править ]

Двуусловное исключение позволяет вывести условное из двуусловного: если A ↔ B истинно, то можно сделать вывод либо A → B, либо B → A.

Например, если верно, что я дышу тогда и только тогда, когда я жив, то верно и то, что если я дышу, то я жив; точно так же верно и то, что если я жив, то я дышу. Или более схематично:

 A ↔ B  
 ∴ A → B

 A ↔ B  
 ∴ B → A

Разговорное употребление [ править ]

Один однозначный способ выразить бикондиционал на простом английском языке — это принять форму « b if a и a if b стандартная форма « a if and only if b » — если не используется ». Несколько более формально можно было бы также сказать, что « b подразумевает а , а а подразумевает b », или « а необходимо и достаточно для b ». Простое английское «если» иногда может использоваться как двустороннее условие (особенно в контексте математического определения). ^[15]). В этом случае при интерпретации этих слов необходимо учитывать окружающий контекст.

Например, утверждение «Я куплю вам новый кошелек, если он вам понадобится» может быть интерпретировано как двустороннее условие, поскольку говорящий не предполагает, что покупка кошелька будет действительным результатом независимо от того, нужен он или нет (поскольку в условном). Однако фраза «облачно, если идет дождь» обычно не подразумевается как двустороннее условие, поскольку облачно все равно может быть, даже если дождя нет.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Если» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 г.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Пейл, Тимоти. «Кондиционалы и бикондиционалы» . web.mnstate.edu . Архивировано из оригинала 24 октября 2020 г. Проверено 25 ноября 2019 г.
^ Бреннан, Джозеф Г. (1961). Справочник по логике (2-е изд.). Харпер и Роу. п. 81.
^ Буль, Г. (1847). Математический анализ логики как очерк дедуктивного рассуждения . Кембридж/Лондон: Макмиллан, Барклай и Макмиллан/Джордж Белл. п. 17.
^ Фреге, Г. (1879). Концептуальное письмо, формульный язык чистого мышления, созданный по образцу арифметики (на немецком языке). Halle a/S: Издательство Louis Nebert. п. 15.
^ Бернейс, П. (1918). Вклад в аксиоматическую трактовку логического исчисления . Геттинген: Геттингенский университет. п. 3.
^ Гильберт, Д. (1928) [1927]. «Основы математики». Трактаты математического семинара Гамбургского университета (на немецком языке). 6 :65-85. дои : 10.1007/BF02940602 .
^ Гильберт, Д.; Акерманн, В. (1928). Основы теоретической логики (на немецком языке) (1-е изд.). Берлин: Издательство Юлиуса Шпрингера. п. 4.
^ Беккер, А. (1933). Аристотелевская теория возможных замков: логико-филологическое исследование глав 13–22 «Analytica Priora I» Аристотеля (на немецком языке). Берлин: Юнкер и Dünnhaupt Verlag. п. 4.
^ Лукасевич, Дж. (1958) [1929]. Слупецкий, Дж. (ред.). Элементы математической логики (на польском языке) (2-е изд.). Варшава: Национальное научное издательство.
^ Лукасевич, Дж. (1957) [1951]. Слупецкий, Дж. (ред.). Силлогистика Аристотеля с точки зрения современной формальной логики (на польском языке) (2-е изд.). Глазго, Нью-Йорк, Торонто, Мельбурн, Веллингтон, Бомбей, Калькутта, Мадрас, Карачи, Лахор, Дакка, Кейптаун, Солсбери, Найроби, Ибадан, Аккра, Куала-Лумпур и Гонконг: Oxford University Press.
^ Хейтинг, А. (1930). «Формальные правила интуиционистской логики». Протоколы заседаний Прусской академии наук, физико-математический класс (на немецком языке): 42–56.
^ Бурбаки, Н. (1954). Теория множеств (на французском языке). Париж: Hermann & Cie, Издательство. п. 32.
^ Чазал, Г. (1996). Элементы формальной логики . Париж: Научные публикации Гермеса.
^ Фактически, именно такой стиль принят в руководстве Википедии по стилю в математике .

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные с логическим бикондиционалом, на Викискладе?

Эта статья включает в себя материал из Biconditional на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[:2-1] Вайсштейн, Эрик В. «Если» . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 г.

[:1-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Пейл, Тимоти. «Кондиционалы и бикондиционалы» . web.mnstate.edu . Архивировано из оригинала 24 октября 2020 г. Проверено 25 ноября 2019 г.

[3] Бреннан, Джозеф Г. (1961). Справочник по логике (2-е изд.). Харпер и Роу. п. 81.

[boole1847-4] Буль, Г. (1847). Математический анализ логики как очерк дедуктивного рассуждения . Кембридж/Лондон: Макмиллан, Барклай и Макмиллан/Джордж Белл. п. 17.

[frege1879b-5] Фреге, Г. (1879). Концептуальное письмо, формульный язык чистого мышления, созданный по образцу арифметики (на немецком языке). Halle a/S: Издательство Louis Nebert. п. 15.

[bernays1918-6] Бернейс, П. (1918). Вклад в аксиоматическую трактовку логического исчисления . Геттинген: Геттингенский университет. п. 3.

[hilbert1927-7] Гильберт, Д. (1928) [1927]. «Основы математики». Трактаты математического семинара Гамбургского университета (на немецком языке). 6 :65-85. дои : 10.1007/BF02940602 .

[hilbert-ackermann1928-8] Гильберт, Д.; Акерманн, В. (1928). Основы теоретической логики (на немецком языке) (1-е изд.). Берлин: Издательство Юлиуса Шпрингера. п. 4.

[becker1933-9] Беккер, А. (1933). Аристотелевская теория возможных замков: логико-филологическое исследование глав 13–22 «Analytica Priora I» Аристотеля (на немецком языке). Берлин: Юнкер и Dünnhaupt Verlag. п. 4.

[lukasiewicz1929-10] Лукасевич, Дж. (1958) [1929]. Слупецкий, Дж. (ред.). Элементы математической логики (на польском языке) (2-е изд.). Варшава: Национальное научное издательство.

[lukasiewicz1951-11] Лукасевич, Дж. (1957) [1951]. Слупецкий, Дж. (ред.). Силлогистика Аристотеля с точки зрения современной формальной логики (на польском языке) (2-е изд.). Глазго, Нью-Йорк, Торонто, Мельбурн, Веллингтон, Бомбей, Калькутта, Мадрас, Карачи, Лахор, Дакка, Кейптаун, Солсбери, Найроби, Ибадан, Аккра, Куала-Лумпур и Гонконг: Oxford University Press.

[heyting1929-12] Хейтинг, А. (1930). «Формальные правила интуиционистской логики». Протоколы заседаний Прусской академии наук, физико-математический класс (на немецком языке): 42–56.

[bourbaki1954b-13] Бурбаки, Н. (1954). Теория множеств (на французском языке). Париж: Hermann & Cie, Издательство. п. 32.

[chazal1996-14] Чазал, Г. (1996). Элементы формальной логики . Париж: Научные публикации Гермеса.

[15] Фактически, именно такой стиль принят в руководстве Википедии по стилю в математике .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

v т и Общие логические связи
Tautology/True $\top$
Alternative denial (NAND gate) $\uparrow$ Converse implication $\leftarrow$ Implication (IMPLY gate) $\rightarrow$ Disjunction (OR gate) $\lor$
Negation (NOT gate) $\neg$ Exclusive or (XOR gate) $\not \leftrightarrow$ Biconditional (XNOR gate) $\leftrightarrow$ Statement (Digital buffer)
Joint denial (NOR gate) $\downarrow$ Nonimplication (NIMPLY gate) $\nrightarrow$ Converse nonimplication $\nleftarrow$ Conjunction (AND gate) $\land$
Contradiction/False $\bot$
Philosophy portal