Методы частичного правдоподобия для панельных данных

Оценка частичного (объединенного) правдоподобия для панельных данных — это метод квазимаксимального правдоподобия для панельного анализа , который предполагает, что плотность $y_{it}$ данный $x_{it}$ правильно указано для каждого периода времени, но допускает неправильную спецификацию условной плотности $y_{i}=(y_{i1},\dots ,y_{iT})$ данный $x_{i}=(x_{i1},\dots ,x_{iT})$ .

Описание

Конкретно, оценка частичного правдоподобия использует произведение условных плотностей в качестве плотности совместного условного распределения. Эта общность облегчает использование методов максимального правдоподобия при настройке панельных данных, поскольку полное определение условного распределения y _i может потребовать больших вычислительных ресурсов. ^[1] С другой стороны, допущение неправильной спецификации обычно приводит к нарушению равенства информации и, следовательно, требует надежной оценки стандартной ошибки для вывода.

В следующем изложении мы проследим за лечением в Вулдридже. ^[1] В частности, асимптотический вывод выполняется при фиксированном T и растущем N.

Записывая условную плотность y _it заданном x _при как f _t ( y _it | x _it ;θ), частичная оценка максимального правдоподобия решает:

\max _{\theta \in \Theta }\sum _{i=1}^{N}\sum _{t=1}^{T}\log f_{t}(y_{it}\mid x_{it};\theta )

В этой формулировке совместная условная плотность y _i при заданном x _i моделируется как Π _t f _t ( y _it | x _it ; θ). Мы предполагаем, что f _t (y _it |x _it ; θ) правильно задан для каждого t = 1,..., T и что существует θ ₀ ∈ Θ, которое однозначно максимизирует E[f _t (y _it │x _it ; θ)]. Однако не предполагается, что условная плотность соединения задана правильно. При некоторых условиях регулярности частичная MLE непротиворечива и асимптотически нормальна.

Согласно обычному аргументу в пользу M-оценок (подробности см. в Wooldridge ^[1]), асимптотическая дисперсия √ N (θ _MLE - θ ₀ ) равна A ⁻¹ НЕТ ⁻¹ где А ⁻¹ = E[ Σ _т ∇ ²_θ logf _t (y _it │x _it ; θ)] ⁻¹ и B=E[( Σ _t ∇ _θ logf _t (y _it │x _it ; θ)) ( Σ _t ∇ _θ logf _t (y _it │x _it ; θ ) ) ^Т] . Если совместная условная плотность y _i при заданном x _i правильно указана, приведенная выше формула для асимптотической дисперсии упрощается, поскольку равенство информации говорит B=A . Тем не менее, за исключением особых обстоятельств, плотность суставов , смоделированная с помощью частичного MLE, неверна. Следовательно, для правильного вывода следует использовать приведенную выше формулу асимптотической дисперсии. Для соблюдения информационного равенства одним достаточным условием является то, что оценки плотностей для каждого периода времени некоррелированы. В динамически полных моделях это условие выполняется и, следовательно, действует упрощенная асимптотическая дисперсия. ^[1]

Объединенный QMLE для моделей Пуассона

Объединенный QMLE — это метод, который позволяет оценивать параметры, когда панельные данные доступны с результатами Пуассона. Например, можно иметь информацию о количестве патентных файлов, зарегистрированных рядом различных фирм с течением времени. Объединенный QMLE не обязательно содержит ненаблюдаемые эффекты (которые могут быть как случайными эффектами, так и фиксированными эффектами ), и метод оценки в основном предлагается для этих целей. Вычислительные требования менее строгие, особенно по сравнению с моделями Пуассона с фиксированным эффектом , но компромиссом является, возможно, сильное предположение об отсутствии ненаблюдаемой неоднородности . Объединение относится к объединению данных за разные периоды времени T , тогда как QMLE относится к методу квазимаксимального правдоподобия.

Распределение Пуассона $y_{i}$ данный $x_{i}$ указывается следующим образом: ^[2]

f(y_{i}\mid x_{i})={\frac {e^{-\mu _{i}}\mu _{i}^{y_{i}}}{y_{i}!}}

отправной точкой для пула QMLE по Пуассону является условное среднее предположение. В частности, мы предполагаем, что для некоторых $b_{0}$ в компактном пространстве параметров B условное среднее определяется выражением ^[2]

\operatorname {E} [y_{t}\mid x_{t}]=m(x_{t},b_{0})=\mu _{t}{\text{ for }}t=1,\ldots ,T.

Условие компактного пространства параметров налагается, чтобы позволить использовать методы M-оценки , в то время как условное среднее отражает тот факт, что среднее значение совокупности пуассоновского процесса является интересующим параметром. В этом конкретном случае параметр, управляющий процессом Пуассона, может изменяться относительно вектора $x_{t}\centerdot$ . ^[2] Функция m в принципе может меняться со временем, даже если ее часто определяют как статическую во времени. ^[3] Обратите внимание, что указана только функция условного среднего, и мы получим непротиворечивые оценки $b_{0}$ если это среднее условие указано правильно. Это приводит к следующему условию первого порядка, которое представляет квазилогарифмическую вероятность для объединенной оценки Пуассона: ^[2]

\ell _{i}(b)=\sum [y_{it}\log(m(x_{it},b))-m(x_{it},b)]

Популярный выбор – $m=(x_{t},b_{0})=\exp(x_{t}b_{0})$ , поскольку процессы Пуассона определяются над положительной действительной линией. ^[3] Это сводит условный момент к показательной показательной функции, где $x_{t}b_{0}$ — линейный индекс, а exp — функция связи. ^[4]

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Вулдридж, Дж. М., Эконометрический анализ перекрестных и панельных данных, MIT Press, Кембридж, Массачусетс.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Кэмерон, Калифорния и П.К. Триведи (2015) Подсчет панельных данных, Оксфордский справочник по панельным данным, изд. Б. Балтаги, Oxford University Press, стр. 233–256.
^ Перейти обратно: ^а ^б Вулдридж, Дж. (2002): Эконометрический анализ поперечных и панельных данных, MIT Press, Кембридж, Массачусетс.
^ МакКаллах, П. и Дж. А. Нелдер (1989): Обобщенные линейные модели, Монографии CRC по статистике и прикладной вероятности (Книга 37), 2-е издание, Чепмен и Холл, Лондон.

[Woolridge-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Вулдридж, Дж. М., Эконометрический анализ перекрестных и панельных данных, MIT Press, Кембридж, Массачусетс.

[CameronTrivedi-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Кэмерон, Калифорния и П.К. Триведи (2015) Подсчет панельных данных, Оксфордский справочник по панельным данным, изд. Б. Балтаги, Oxford University Press, стр. 233–256.

[Woolbridge2002-3] Перейти обратно: ^а ^б Вулдридж, Дж. (2002): Эконометрический анализ поперечных и панельных данных, MIT Press, Кембридж, Массачусетс.

[4] МакКаллах, П. и Дж. А. Нелдер (1989): Обобщенные линейные модели, Монографии CRC по статистике и прикладной вероятности (Книга 37), 2-е издание, Чепмен и Холл, Лондон.

[1]

[2]

[3]

[4]