Гамма Гудмана и Краскала

В статистике , т. е гамма Гудмана и Краскала является мерой ранговой корреляции . сходства порядка данных при ранжировании по каждой из величин. Он измеряет силу связи данных перекрестной таблицы , когда обе переменные измеряются на порядковом уровне . Он не делает никаких корректировок ни по размеру стола, ни по ничьим. Значения варьируются от −1 (100 % отрицательная ассоциация или полная инверсия) до +1 (100 % положительная ассоциация или полное согласие). Нулевое значение указывает на отсутствие ассоциации.

Эта статистика (которая отличается от лямбды Гудмана и Краскала ) названа в честь Лео Гудмана и Уильяма Краскала , которые предложили ее в серии статей с 1954 по 1972 год.

Определение

Оценка гаммы G зависит от двух величин:

• N _s — количество пар случаев, ранжированных в одинаковом порядке по обеим переменным (количество согласованных пар ),
• N _d — количество пар случаев, ранжированных в обратном порядке по обеим переменным (количество перевернутых пар),

где «связи» (случаи, когда любая из двух переменных в паре равна) отбрасываются.Затем

$G={\frac {N_{s}-N_{d}}{N_{s}+N_{d}}}\ .$

Эту статистику можно рассматривать как оценку максимального правдоподобия для теоретической величины. $\gamma$, где

$\gamma ={\frac {P_{s}-P_{d}}{P_{s}+P_{d}}}\ ,$

и где P _s и P _d — вероятности того, что случайно выбранная пара наблюдений расположится в том же или противоположном порядке соответственно при ранжировании по обеим переменным.

Критические значения для гамма-статистики иногда находятся с использованием аппроксимации, при которой преобразованное значение t статистики относится к t-распределению Стьюдента , где

$t\approx G{\sqrt {\frac {N_{s}+N_{d}}{n(1-G^{2})}}}\ ,$

и где n — количество наблюдений (а не количество пар):

$n\neq N_{s}+N_{d}.\,$

Вопрос Йоля

Особым случаем гаммы Гудмана и Краскала является коэффициент Юла Q , также известный как коэффициент ассоциации Юла . что характерно для матриц 2×2. Рассмотрим следующую таблицу непредвиденных обстоятельств событий, где каждое значение представляет собой счетчик частоты события:

	Да	Нет	Итоги
Позитивный	а	б	а + б
Отрицательный	с	д	в + д
Итоги	а + с	б + д	н

Вопрос Йоля задается следующим образом:

$Q={\frac {ad-bc}{ad+bc}}\ .$

Хотя она рассчитывается тем же способом, что и гамма Гудмана и Краскала, она имеет несколько более широкую интерпретацию, поскольку различие между номинальными и порядковыми шкалами становится вопросом произвольного обозначения дихотомических различий. Таким образом, является ли Q положительным или отрицательным, зависит только от того, какие пары аналитик считает согласованными, но в остальном он симметричен.

Q варьируется от −1 до +1. −1 отражает полную отрицательную ассоциацию, +1 отражает полную положительную ассоциацию, а 0 отражает отсутствие ассоциации вообще. Знак зависит от того, какие пары аналитик изначально считал конкордантными, но на величину этот выбор не влияет.

С точки зрения отношения шансов Юла OR, Q определяется выражением

$Q={\frac {{OR}-1}{{OR}+1}}\ .$

Юла и поэтому Q и Юла Y связаны соотношением

$Q={\frac {2Y}{1+Y^{2}}}\ ,$

$Y={\frac {1-{\sqrt {1-Q^{2}}}}{Q}}\ .$

См. также

• Коэффициент ранговой корреляции Кендалла Тау
• Лямбда Гудмана и Краскала
• Y Юла , также известный как коэффициент коллигации.

Дальнейшее чтение

• Шескин, DJ (2007) Справочник по параметрическим и непараметрическим статистическим процедурам . Чепмен и Холл/CRC, ISBN   9781584888147