Премьер четверка

В теории чисел простая четверка (иногда называемая простой четверкой ) — это набор из четырех простых чисел вида ${p, p +2, p +6, p +8}.$ ^[1] Это представляет собой ближайшую возможную группу из четырех простых чисел больше 3 и является единственным созвездием простых чисел длиной 4.

Основные четверки

Первые восемь простых четверок:

{ 5 , 7 , 11 , 13 }, {11, 13, 17 , 19 }, { 101 , 103 , 107 , 109 }, { 191 , 193 , 197 , 199 }, {821, 823, 827, 829}, {1481, 1483, 1487, 1489}, {1871, 1873, 1877, 1879}, {2081, 2083, 2087, 2089} (последовательность A007530 в OEIS )

Все простые четверки, кроме {5, 7, 11, 13}, имеют вид ${30 n + 11, 30 n + 13, 30 n + 17, 30 n + 19}$ для некоторого целого числа $n$ . (Эта структура необходима для того, чтобы ни одно из четырех простых чисел не делилось на 2, 3 или 5). Простая четверка этой формы также называется простой декадой .

Все такие простые декады имеют центры вида 210n + 15, 210n + 105 и 210n + 195, поскольку центры должны быть -1, O или +1 по модулю 7. Форма +15 также может порождать (высокое) простое число. пятерка; форма +195 также может дать начало (низкой) пятёрке; в то время как форма +105 может давать оба типа квинт и, возможно, простые шестерни. Не случайно каждое простое число в простой декаде смещено от своего центра на степень 2, а точнее на 2 или 4, поскольку все центры нечетны и делятся как на 3, так и на 5.

Четверку простых чисел можно описать как последовательную пару простых чисел-близнецов , два перекрывающихся набора троек простых чисел или две смешанные пары простых чисел-близнецов . Эти «четверные» простые числа 11 или выше также образуют ядро простых пятерок и простых шестерен путем добавления или вычитания 8 из их соответствующих центров.

Неизвестно, существует ли бесконечно много простых четверок. Доказательство того, что их бесконечно много, подразумевало бы гипотезу о простых числах-близнецах , но оно согласуется с современными знаниями о том, что может быть бесконечно много пар простых чисел-близнецов и только конечное число простых четверок простых чисел. Число простых четверок с $n$ цифрами по основанию 10 для $n$ = 2, 3, 4,... равно

1, 3, 7, 27, 128, 733, 3869, 23620, 152141, 1028789, 7188960, 51672312, 381226246, 2873279651 (последовательность A120120 в OEIS ).

По состоянию на февраль 2019 г. ^[update] Самая большая известная простая четверка имеет 10132 цифры. ^[2] Оно начинается с $p$ = 667674063382677 × 2. ³³⁶⁰⁸ − 1 , найдено Питером Кайзером.

Константа, представляющая сумму обратных величин всех простых четверок, константа Бруна для простых четверок, обозначаемая $B 4$ , представляет собой сумму обратных величин всех простых четверок:

$B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots$

со значением:

Б 4

= 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

Эту константу не следует путать с константой Бруна для двоюродных простых чисел , пар простых чисел формы $(p, p +4)$ , которая также записывается как $B 4$ .

Предполагается, что основная четверка {11, 13, 17, 19} появляется на кости Ишанго, хотя это оспаривается.

Исключая первую простую четверку, кратчайшее возможное расстояние между двумя четверками ${p, p + 2, p + 6, p + 8}$ и ${q, q + 2, q + 6, q + 8}$ равно $q - p$ = 30. Первые случаи этого относятся к $p$ = 1006301, 2594951, 3919211, 9600551, 10531061, ... ( OEIS : A059925 ).

Число Скьюса для простых четверок ${p, p + 2, p + 6, p + 8}$ равно 1172531 ( Tóth (2019) ).

Премьер-пятерняшки

Если ${p, p + 2, p + 6, p + 8}$ — простая четверка, а $p — 4$ или $p + 12$ также является простым, то пять простых чисел образуют пятерку простых чисел , которая является ближайшим допустимым созвездием пяти простых чисел.Первые несколько простых пятерок с $p + 12$ :

{5, 7, 11, 13, 17}, {11, 13, 17, 19, 23}, {101, 103, 107, 109, 113}, {1481, 1483, 1487, 1489, 1493}, {16061 , 16063, 16067, 16069, 16073}, {19421, 19423, 19427, 19429, 19433}, {21011, 21013, 21017, 21019, 21023}, { 22271, 22273, 22277 , 22279, 22283}, {43781, 43783 , 43787, 43789, 43793}, {55331, 55333, 55337, 55339, 55343} … OEIS : A022006 .

Первые простые пятерки с $p - 4$ :

{7, 11, 13, 17, 19}, {97, 101, 103, 107, 109}, {1867, 1871, 1873, 1877, 1879}, {3457, 3461, 3463, 3467, 3469}, {5647 , 5651, 5653, 5657, 5659}, {15727, 15731, 15733, 15737, 15739}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069}, { 19417, 19421, 19423 42 7, 19429}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789}, {79687, 79691, 79693, 79697, 79699}, {88807, 88811, 88813, 88817, 88819} ... OEIS : A022007 .

Пятерка простых чисел содержит две близкие пары простых чисел-близнецов, четверку простых чисел и три перекрывающихся тройки простых чисел.

Неизвестно, существует ли бесконечно много простых пятерок. Опять же, доказательство гипотезы о простых числах-близнецах не обязательно может доказать, что существует также бесконечно много простых пятерок. Кроме того, доказательство того, что существует бесконечно много простых четверок, не обязательно доказывает, что существует бесконечно много простых пятерок.

Число Скьюса для простых пятерок ${p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12}$ равно 21432401 ( Tóth (2019) ).

Премьер-шестерни

Если и $p -4$ , и $p +12$ простые, то шестерня становится простым числом . Первые несколько:

{7, 11, 13, 17, 19, 23}, {97, 101, 103, 107, 109, 113}, {16057, 16061, 16063, 16067, 16069, 16073}, {19417, 19421, 19423, 1942 7, 19429, 19433}, {43777, 43781, 43783, 43787, 43789, 43793} OEIS : A022008

Некоторые источники также называют {5, 7, 11, 13, 17, 19} простым шестёрком. Наше определение, все случаи простых чисел ${p - 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12},$ следует из определения шестерни простых чисел как ближайшего допустимого созвездия из шести простых чисел.

Шестерня простых чисел содержит две близкие пары простых чисел-близнецов, четвёрку простых чисел, четыре перекрывающихся тройки простых чисел и две перекрывающиеся пятёрки простых чисел.

Все простые шестерни, кроме {7, 11, 13, 17, 19, 23}, имеют вид $\{210n+97,\ 210n+101,\ 210n+103,\ 210n+107,\ 210n+109,\ 210n+113\}$ для некоторого целого числа $n$ . (Эта структура необходима для того, чтобы ни одно из шести простых чисел не делилось на 2, 3, 5 или 7 ).

Неизвестно, существует ли бесконечно много простых шестерен. Еще раз повторим, что доказательство гипотезы о простых числах-близнецах не обязательно может доказать, что существует также бесконечно много простых шестерен. Кроме того, доказательство того, что существует бесконечно много простых пятерняшек, не обязательно доказывает, что существует бесконечно много простых шестерен.

Число Скьюса для кортежа ${p, p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p + 16}$ равно 251331775687 ( Tóth (2019) ).

Простые k-кортежи

Простые четверки, пятерки и шестерни являются примерами простых созвездий, а простые созвездия, в свою очередь, являются примерами простых $k$ -кортежей. Созвездие простых чисел — это группа из $k$ простых чисел с минимальным простым числом $p$ и максимальным простым числом $p + n$ , удовлетворяющая следующим двум условиям:

Не все остатки по модулю $q$ представлены для любого простого числа $q.$
Для любого заданного $k$ значение $n$ является минимально возможным.

В более общем смысле, простой $k$ -кортеж возникает, если выполняется первое условие, но не обязательно второе.

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. «Простая четверка» . Математический мир . Проверено 15 июня 2007 г.
^ Двадцатка лучших: четверка на The Prime Pages . Проверено 28 февраля 2019 г.

Тот, Ласло (2019), «Об асимптотической плотности простых k-кортежей и гипотезе Харди и Литтлвуда» (PDF) , Computational Methods in Science and Technology , 25 (3), arXiv : 1910.02636 , doi : 10.12921/cmst .2019.0000033 , S2CID 203836016 .

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Простая четверка» . Математический мир . Проверено 15 июня 2007 г.

[2] Двадцатка лучших: четверка на The Prime Pages . Проверено 28 февраля 2019 г.

[1]

[2]

v т и Классы простых чисел
По формуле	Ферма ( $2 2 н + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Вагстафф $(2 п + 1)/3$ Прот ( $k \cdot2 н + 1$ ) Факториал ( $n! \pm 1$ ) Первобытный ( $p n # \pm 1$ ) Евклид ( $p n # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 n + 1$ ) Пьерпон ( $2 м \cdot3 н + 1$ ) Квартан ( $х 4 + и 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 н \pm 1$ ) Каллен ( $n \cdot2 н + 1$ ) Вудалл ( $n \cdot2 н - 1$ ) Кубинский ( $х 3 - и 3)/(Икс - у$ ) Лейланд ( $x и + и х$ ) Сабит ( $3\cdot2 н - 1$ ) Уильямс ( $(b -1)\cdot b н - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 н ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман–Шэнкс–Уильямс Перрин
По свойству	Виферих ( пара ) Стена–Солнце–Солнце Вулстенхолм Уилсон Удачливый удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Штерн Суперсингулярная (эллиптическая кривая) Суперсингулярная (теория самогона) Хороший Супер Хиггс Высокий коэффициент Уникальный
Базово -зависимый	палиндромный Эмирп Репунит $(10 н - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Нежный Первобытный Полный отчет Уникальный Счастливый Себя Смарандаш-Веллин Стробограмматический двугранный тетрадный
Узоры	Твин ( $р, р + 2$ ) Двойная цепь ( $n \pm 1, 2 n \pm 1, 4 n \pm 1, \dots$ ) Тройка ( $p, p +2 или p +4, p +6$ ) Четверка ( $р, р +2, р +6, р +8$ ) k -кортеж Двоюродный брат ( $п, р + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен/Сейф ( $п, 2п +1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательные p - n, p, p + n$ )
По размеру	Мега (1 000 000+ цифр) Самый крупный известный список
Комплексные числа	Айронстоун прайм Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопростой каталанский Эллиптический Эйлер Эйлер-Якоби Ферма Фробениус Лукас Перрин Сомер-Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупервоклассный Сфеническое число Интерпрайм Пагубный
Связанные темы	Вероятное простое число Промышленный класс Prime Незаконный премьер Формула простых чисел Премьер-разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел