метод Коупленда

Метод Коупленда основанную или Лулла представляет собой систему ранжированного голосования, на подсчете парных побед и поражений каждого кандидата.

В системе избиратели ранжируют кандидатов в своих бюллетенях от лучшего к худшему. Затем кандидаты соревнуются в круговом турнире , где бюллетени используются для определения того, какому кандидату отдаст предпочтение большинство избирателей в каждом матче. Кандидатом считается тот, кто выиграет наибольшее количество матчей (при ничьей можно выиграть пол-очка).

Метод Коупленда относится к классу методов Кондорсе , поскольку любой кандидат, который побеждает на всех выборах один на один, явно одержит наибольшее количество побед в целом. ^{[ 1 ]} Преимущество метода Коупленда состоит в том, что он, вероятно, является самым простым для объяснения методом Кондорсе и его легко применять вручную. С другой стороны, если победителя Кондорсе нет, процедура часто приводит к ничьей. В результате он обычно используется только для выборов с низкими ставками.

История

Метод Коупленда был разработан Рамоном Луллием в его трактате Ars Electionis 1299 года, который обсуждался Николаем Кузанским в пятнадцатом веке. ^{[ 2 ]} Однако его часто называют в честь Артура Герберта Коупленда , который независимо защищал его в лекции 1951 года. ^{[ 3 ]}

Механизм голосования

бюллетень

Входные данные такие же, как и для других ранжированных систем голосования: каждый избиратель должен предоставить упорядоченный список предпочтений кандидатов, в которых равенство допускается ( строгий слабый порядок ).

Это можно сделать, предоставив каждому избирателю список кандидатов, в котором можно поставить «1» против наиболее предпочтительного кандидата, «2» против второго предпочтения и так далее. Предполагается, что избиратель, который оставляет рейтинги некоторых кандидатов пустыми, безразличен к ним, но предпочитает им всех кандидатов с рейтингом.

Вычисление

Матрица результатов r строится следующим образом: ^{[ 4 ]} рай _это

1, если больше избирателей строго предпочитают кандидата i кандидату j , чем j предпочитают i
⁠ 1/2 , ⁠ если числа равны
0, если больше избирателей предпочитают j вместо i, чем i вместо j .

Это можно назвать «1/ Метод 1 ⁄ 2 /0 дюйма (одно число для выигрышей, ничьих и поражений соответственно).

По соглашению r _ii равно 0.

Оценка Коупленда для кандидата i представляет собой сумму по j значений r _ij . Если есть кандидат с результатом n - 1 (где n — количество кандидатов), то этот кандидат является (обязательно уникальным) победителем Кондорсе и Коупленда. В противном случае метод Кондорсе не дает решения, и кандидат с наибольшим количеством баллов становится победителем Коупленда (но не может быть уникальным).

Альтернативный (и эквивалентный) способ построения матрицы результатов — положить r _ij равным 1, если больше избирателей строго предпочитают кандидата i кандидату j, чем j, а не i , 0, если числа равны, и -1, если больше избирателей предпочитают j. для меня, чем я предпочитаю j . случае матрица r антисимметрична В этом .

Связанные предпочтения

Метод, первоначально описанный выше, иногда называют «1/ Метод 1 ⁄ 2/0 дюйма. Сам Луллий предложил метод 1/1/0, чтобы два кандидата с одинаковой поддержкой получали одинаковый балл, как если бы они победили другого. ^{[ 5 ]}

Связь предпочтений становится все более маловероятной по мере увеличения числа избирателей.

Использование в спортивных турнирах.

Метод, родственный методу Коупленда, обычно используется в турнирах по круговой системе . Обычно предполагается, что каждая пара соперников сыграет друг против друга одинаковое количество игр. r _ij — это количество раз, когда участник i выиграл у участника j плюс половина количества ничьих между ними.

Именно в такой форме она была принята в международных шахматах в середине XIX века. ^{[ 6 ]} Она была принята в первом сезоне Английской футбольной лиги (1888–1889), организаторы изначально рассматривали возможность использования системы 1/0/0. Для удобства числа были удвоены, т.е. система была записана как 2/1/0, а не как 1/. 1 ⁄ 2 /0.

( Счет Борда также использовался для оценки спортивных турниров. Счет Борда аналогичен турниру, в котором каждый заполненный бюллетень определяет результат игры между каждой парой участников.)

Обоснование

Во многих случаях, решаемых методом Коупленда, победителем становится единственный кандидат, удовлетворяющий критерию Кондорсе; в этих случаях аргументы в пользу этого критерия (которые сильны, но не являются общепринятыми) ^{[ 7 ]}) в равной степени применимы и к методу Коупленда.

Когда победителя Кондорсе нет, метод Коупленда стремится принять решение путем естественного расширения метода Кондорсе, объединяя предпочтения простым сложением. Оправдание этому лежит скорее в его простоте, чем в логических аргументах.

Подсчет Борда — это еще один метод, который аддитивно объединяет предпочтения. Существенная разница заключается в том, что предпочтение избирателя одного кандидата другому имеет вес в системе Борда, который увеличивается с увеличением числа кандидатов, занимающих место между ними. Аргумент с точки зрения подсчета голосов Борда заключается в том, что количество участвующих кандидатов указывает на силу предпочтения; контраргумент заключается в том, что это в тревожной степени зависит от того, какие кандидаты баллотировались на выборах.

Парта Дасгупта и Эрик Маскин попытались оправдать метод Коупленда в популярном журнале, где они сравнивают его с подсчетом голосов Борда и множественным голосованием. ^{[ 8 ]} Их аргументация основывается на достоинствах критерия Кондорсе, уделяя особое внимание мнениям, лежащим в спектре. Использование сначала метода Коупленда, а затем тай-брейка для определения результатов выборов без победителя Кондорсе представляется как «возможно, самая простая модификация» метода Кондорсе.

Связанные результаты

Как и любой другой метод голосования, метод Коупленда может привести к равным результатам, если два кандидата получат равное количество голосов; но в отличие от большинства методов, он также может привести к связям по причинам, которые не исчезают по мере увеличения электората. Это может произойти всякий раз, когда в предпочтениях голосования присутствуют циклы Кондорсе, как показано в следующем примере.

Предположим, что есть четыре кандидата: Эйбл, Бейкер, Чарли и Драммонд, и пять избирателей, из которых двое голосуют за ABCD, двое голосуют за BCDA и один голосует за DABC. Результаты между парами кандидатов показаны в основной части следующей таблицы, а балл Коупленда для первого кандидата указан в дополнительном столбце.

2-й 1-й	А	Б	С	Д	счет
А	—	3:2	3:2	2:3	2
Б	2:3	—	5:0	4:1	2
С	2:3	0:5	—	4:1	1
Д	3:2	1:4	1:4	—	1

Ни один кандидат не удовлетворяет критерию Кондорсе, и между A и B существует связь Коупленда. Если бы избирателей было в 100 раз больше, но они проголосовали примерно в тех же пропорциях (с учетом колебаний выборки), то количество бюллетеней увеличилось бы. но результаты Коупленда останутся прежними; например, строка «А» может гласить:

А	—	317:183	296:204	212:288		2

Риск ничьей вызывает особое беспокойство, поскольку основная цель метода Коупленда — выявить победителя в тех случаях, когда ни один кандидат не удовлетворяет критерию Кондорсе. Моделирование, проведенное Ричардом Дарлингтоном, предполагает, что для полей до 10 кандидатов он сможет справиться с этой задачей менее чем в половине случаев. ^{[ 9 ]}

В общем, если избиратели голосуют в соответствии с предпочтениями по спектру , теорема о медианном избирателе гарантирует отсутствие циклов Кондорсе. Следовательно, такие циклы могут возникать либо потому, что предпочтения избирателей не лежат в одном спектре, либо потому, что избиратели голосуют не в соответствии со своими предпочтениями (например, по тактическим причинам).

Николаус Тидеман и Флоренц Плассман провели масштабное исследование электоральных предпочтений. ^{[ 10 ]} Они обнаружили значительное количество циклов на подвыборах, но отметили, что их можно полностью или в значительной степени объяснить малостью числа избирателей. Они пришли к выводу, что с их данными согласуется предположение о том, что «циклы голосования будут происходить очень редко, если вообще будут происходить, на выборах с большим количеством избирателей».

Предлагаемые тай-брейки

Мгновенный сток (IRV) , минимакс и счет Борда являются естественными тай-брейками. Первые два не часто рекомендуются для такого использования, но иногда обсуждаются в связи с методом Смита , к которому применимы аналогичные соображения.

Дасгупта и Маскин предложили подсчет Борда в качестве тай-брейка Коупленда: это известно как метод Дасгупты-Маскина . ^{[ 11 ]} Ранее оно использовалось в фигурном катании под названием «ОБО» (= один за другим). ^{[ 5 ]}

Альтернативы можно проиллюстрировать на приведенном выше примере «Эйбл-Бейкер», в котором Эйбл и Бейкер являются совместными победителями Copeland. Чарли и Драммонд выбывают, в результате чего количество голосов сокращается до 3 A-B и 2 B-A. Любой тай-брейк выберет Эйбла. ^{[ 12 ]}

Характеристики

Метод Коупленда обладает многими стандартными желательными свойствами (см. таблицу ниже). Самое главное, что он удовлетворяет критерию Кондорсе , то есть, если кандидат победит каждого из своих соперников при голосовании один на один, этот кандидат становится победителем. Таким образом, метод Коупленда удовлетворяет теореме о медианном избирателе, которая гласит, что если взгляды лежат в пределах спектра, то победителем будет тот кандидат, которого предпочитает медианный избиратель .

Метод Коупленда также удовлетворяет критерию Смита . ^{[ 13 ]}

Утверждается, что аналогия между методом Коупленда и спортивными турнирами, а также общая простота метода Коупленда делают его более приемлемым для избирателей, чем другие алгоритмы Кондорсе. ^{[ 14 ]}

Сравнение с другими системами

Сравнение систем голосования с одним победителем
Критерий Метод	Большинство	Проигравший большинства	Взаимное большинство	Победитель Кондорсе ^{[ Тн 1 ]}	Кондорсе неудачник	Смит ^{[ Тн 1 ]}	Смит-IIA ^{[ Тн 1 ]}	ТАМ / ЛИЯ ^{[ Тн 1 ]}	Cloneproof	Monotone	Участие	Позже без вреда ^{[ Тн 1 ]}	Позже-без помощи ^{[ Тн 1 ]}	Нет любимого предательства ^{[ Тн 1 ]}	бюллетень тип
Антиплюрализм	Нет	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Да	Нет	Нет	Да	Единая отметка
Одобрение	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Да ^{[ Тн 2 ]}	Да	Да	Да	Нет	Да	Да	Approvals
Болдуин	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Ranking
Черный	Да	Да	Нет	Да	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Ranking
Край	Нет	Да	Нет	Нет	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Да	Нет	Да	Нет	Ranking
Баклин	Да	Да	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Нет	Нет	Да	Нет	Ranking
Кумбс	Да	Да	Да	Нет	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Ranking
Коупленд	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Нет	Нет	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Ranking
Доджсон	Да	Нет	Нет	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Ranking
Самая высокая медиана	Да	Да ^{[ Тн 3 ]}	Нет ^{[ Тн 4 ]}	Нет	Нет	Нет	Нет	Да ^{[ Тн 2 ]}	Да	Да	Нет ^{[ Тн 5 ]}	Нет	Да	Да	Результаты
Мгновенный сток	Да	Да	Да	Нет	Да	Нет	Нет	Нет	Да	Нет	Нет	Да	Да	Нет	Ranking
Кемени-Янг	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Только ЛИИА	Нет	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Ranking
Минимакс	Да	Нет	Нет	Да ^{[ Тн 6 ]}	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Нет	Нет ^{[ Тн 6 ]}	Нет	Нет	Ranking
Нансон	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Ranking
Множество	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Да	Да	Да	Нет	Единая отметка
Случайное голосование ^{[ Тн 7 ]}	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Единая отметка
Рейтинговые пары	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Только ЛИИА	Да	Да	Нет ^{[ Тн 5 ]}	Нет	Нет	Нет	Ranking
Сток	Да	Да	Нет	Нет	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Да	Нет	Единая отметка
Шульце	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Нет	Да	Да	Нет ^{[ Тн 5 ]}	Нет	Нет	Нет	Ranking
Счет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Да ^{[ Тн 2 ]}	Да	Да	Да	Нет	Да	Да	Результаты
Жеребьевка ^{[ Тн 8 ]}	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Нет	Да	Да	Да	Да	Да	Никто
ЗВЕЗДА	Нет	Да	Нет	Нет	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Результаты
Альтернатива Тайдману	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Да	Нет	Да	Нет	Нет	Нет	Нет	Нет	Ranking
Примечания к таблице	^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Критерий Кондорсе несовместим с критериями последовательности , участия , «позже без вреда» , «позже без помощи » и искреннего любимца . ^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Голосование за одобрение, голосование по баллам и решение большинства удовлетворяют требованиям IIA, если предположить, что избиратели оценивают кандидатов независимо, используя свою собственную абсолютную шкалу . Чтобы это произошло, на некоторых выборах некоторые избиратели должны использовать меньше своих полномочий, несмотря на наличие значимых предпочтений среди жизнеспособных кандидатов. ^ Решение большинства может избрать кандидата, однозначно наименее предпочитаемого более чем половиной избирателей, но никогда не избирает кандидата с однозначно наименьшим рейтингом более чем половиной избирателей. ^ Решение большинства не соответствует критерию взаимного большинства, но удовлетворяет критерию, если большинство ставит взаимно предпочтительный набор выше заданной абсолютной оценки, а все остальные - ниже этой оценки. ^ Перейти обратно: ^а ^б ^с При голосовании по наивысшей медиане, рейтинговых парах и голосовании Шульце для любого избирателя всегда есть получестное голосование без сожалений, при этом все остальные бюллетени остаются неизменными и при условии, что он достаточно знает о том, как будут голосовать другие. В таких обстоятельствах у избирателя всегда есть хотя бы один способ принять участие, не ставя при этом менее предпочтительного кандидата выше более предпочтительного. ^ Перейти обратно: ^а ^б Вариант Минимакса, который учитывает только парную оппозицию, а не оппозицию минус поддержка, не соответствует критерию Кондорсе и соответствует принципу «позже не будет причинен вред». ^ Победитель определяется случайным образом выбранным бюллетенем. Этот и тесно связанные с ним методы представляют математический интерес и включены сюда, чтобы продемонстрировать, что даже необоснованные методы могут соответствовать критериям метода голосования. ^ Если победитель выбирается случайным образом из кандидатов, проводится жеребьевка, чтобы продемонстрировать, что даже методы без голосования могут соответствовать некоторым критериям.

Примеры метода Коупленда

Пример с победителем Кондорсе

Предположим, что в Теннесси проводятся выборы по вопросу о местонахождении своей столицы . Население сосредоточено вокруг четырех крупных городов. Все избиратели хотят, чтобы столица была как можно ближе к ним. Возможные варианты:

Мемфис , крупнейший город, но далекий от остальных (42% избирателей)
Нэшвилл , недалеко от центра штата (26% избирателей)
Чаттануга , немного восточнее (15% избирателей)
Ноксвилл , далеко на северо-востоке (17% избирателей)

Предпочтения избирателей каждого региона таковы:

42% избирателей Дальний Запад	26% избирателей Центр	15% избирателей Центр-Восток	17% избирателей Дальний Восток
Мемфис Нэшвилл Чаттануга Ноксвилл	Нэшвилл Чаттануга Ноксвилл Мемфис	Чаттануга Ноксвилл Нэшвилл Мемфис	Ноксвилл Чаттануга Нэшвилл Мемфис

Чтобы найти победителя Кондорсе, каждый кандидат должен быть сопоставлен с каждым другим кандидатом в серии воображаемых состязаний один на один. В каждой паре каждый избиратель выберет город, физически ближайший к его местоположению. В каждой паре победителем становится кандидат, которому отдает предпочтение большинство избирателей. Когда результаты для каждой возможной пары были найдены, они были следующими:

Сравнение	Результат	Победитель
Мемфис против Нэшвилла	42 v 58	Нэшвилл
Мемфис против Ноксвилля	42 v 58	Ноксвилл
Мемфис против Чаттануги	42 v 58	Чаттануга
Нэшвилл против Ноксвилла	68 v 32	Нэшвилл
Нэшвилл против Чаттануги	68 v 32	Нэшвилл
Ноксвилл против Чаттануги	17 v 83	Чаттануга

Сумма побед и поражений каждого кандидата выглядит следующим образом:

Кандидат	Победы	Потери	Сеть	р
Мемфис	0	3	−3	0 0 0 0
Нэшвилл	3	0	3	1 0 1 1
Ноксвилл	1	2	−1	1 0 0 0
Чаттануга	2	1	1	1 0 1 0

«Нэшвилл» без поражений является победителем Кондорсе. Оценка Коупленда по методу 1/0/-1 представляет собой количество чистых побед, максимальное для Нэшвилла. Поскольку избиратели выразили то или иное предпочтение между каждой парой кандидатов, оценка ниже 1/ Метод ⁠ + 1 / 2 ⁠ /0 — это просто количество побед, которое также максимизирует Нэшвилл. Матрица r для этой системы оценок показана в последнем столбце.

Пример без победителя Кондорсе

На выборах с пятью кандидатами, претендующими на одно место, следующие голоса были поданы с использованием ранжированного метода голосования (100 голосов с четырьмя различными наборами):

31: А > Е > С > D > Б	30: Б > А > Е	29: С > Д > Б	10: Д > А > Е

В этом примере есть несколько равных голосов: например, 10% избирателей не отдали позиции B или C в своих рейтингах; поэтому считается, что они связали этих кандидатов друг с другом, при этом ранжируя их ниже D, A и E.

Результаты 10 возможных парных сравнений между кандидатами следующие:

Сравнение	Результат	Победитель	Сравнение	Результат	Победитель
A v B	41 v 59	Б	B v D	30 v 70	Д
И в С	71 v 29	А	Б против Е	59 v 41	Б
A v D	61 v 39	А	С в Д	60 v 10	С
А против Е	71 v 0	А	С против Е	29 v 71	И
Б против С	30 v 60	С	Д против Е	39 v 61	И

Сумма побед и поражений каждого кандидата выглядит следующим образом:

Кандидат	Победы	Потери	Сеть	р
А	3	1	2	0 0 1 1 1
Б	2	2	0	1 0 0 0 1
С	2	2	0	0 1 0 1 0
Д	1	3	−2	0 1 0 0 0
И	2	2	0	0 0 1 1 0

не Победителя Кондорсе (кандидата, победившего всех остальных кандидатов в парных сравнениях) существует. Кандидат А является победителем конкурса Коупленда. Опять же, нет пары кандидатов, между которыми избиратели не выразили бы никакого предпочтения.

Использование для создания таблиц другими методами.

Поскольку метод Коупленда обеспечивает полное упорядочение кандидатов по баллам и его легко вычислить, он часто бывает полезен для создания отсортированного списка кандидатов в сочетании с другим методом голосования, который не дает общего порядка. Например, методы Шульце и ранжированных пар создают транзитивное частичное упорядочение кандидатов, что обычно дает единственного победителя, но не является уникальным способом подсчета кандидатов, занявших второе место. Применение метода Коупленда в соответствии с частичным упорядочением соответствующего метода даст общий порядок (топологический порядок), гарантированно совместимый с частичным порядком метода, и это проще, чем поиск в глубину, когда частичный порядок задается матрицей смежности .

В более общем смысле, показатель Коупленда обладает полезным свойством: если существует такое подмножество кандидатов S, что каждый кандидат из S превосходит каждого кандидата, не входящего в S, то существует порог θ, при котором каждый кандидат с оценкой Коупленда выше θ является в S, в то время как каждый кандидат с оценкой Коупленда ниже θ не входит в S. Это делает оценку Коупленда практичной для поиска различных подмножеств кандидатов, которые могут представлять интерес, таких как набор Смита или доминирующий общий третий набор.

Внешние ссылки

Эрик Пакуит, «Методы голосования», Стэнфордская философская энциклопедия (осеннее издание 2019 г.), Эдвард Н. Залта (ред.)
класса Кондорсе PHP- библиотека , поддерживающая несколько методов Кондорсе, включая метод Коупленда.

См. также

Рейтинговое голосование
Сравнение избирательных систем
Список тем, связанных с демократией и выборами
Системы голосования
Голосование за несколько победителей - содержит информацию о некоторых вариантах Copeland с несколькими победителями.

Ссылки

^ Помероль, Жан-Шарль; Серхио Барба-Ромеро (2000). Многокритериальное решение в менеджменте: принципы и практика . Спрингер. п. 122. ИСБН 0-7923-7756-7 .
^ Джордж Г. Шпиро, «Правило чисел: неприятная математика демократии, от Платона до наших дней» (2010).
^ Коупленд, Артур Герберт (1951), «Разумная» функция социального благосостояния , Семинар по математике в социальных науках, Мичиганский университет (неопубликовано).
^ Саари, Дональд Г.; Мерлин, Винсент Р. (1996). «Метод Коупленда: I.: Отношения и словарь». Экономическая теория . 8 (1): 51–76. JSTOR 25054952 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Балинский, Мишель и Рида Лараки, «Судья: не голосуйте!» (2014), особенно. сноска 4.
^ Системы подсчета очков в шахматных турнирах . ^{[ ненадежный источник? ]}
^ Эрик Пакуит, «Методы голосования», Стэнфордская энциклопедия философии (выпуск осенью 2019 г.), Эдвард Н. Залта (ред.)
^ П. Дасгупта и Э. Маскин, «Самое справедливое голосование из всех» (2004).
^ РБ Дарлингтон, «Минимакс - лучшая избирательная система в конце концов» (2016).
^ Т. Н. Тайдман и Ф. Плассман, «Моделирование результатов подсчета голосов на реальных выборах» (2012).
^ П. Дасгупта и Э. Маскин, «Самое справедливое голосование из всех» (2004). Описание их метода находится на стр. 97, где они пишут: «Если ни один [кандидат] не получит большинства против всех оппонентов, то среди тех кандидатов, которые победят наибольшее количество оппонентов в очных сравнениях, выберите победителем того, кто наберет наивысший рейтинг».
^ Альтернативный метод применения тай-брейка напрашивается при подсчете Борда, который заключается в подсчете баллов для каждого кандидата - в данном случае (8,11,6,5) - и выборе победителя Коупленда с наивысшим баллом Борда. , которым в данном случае будет Бейкер. Это имеет тот недостаток, что победитель Борды не может входить в число победителей Коупленда, и это может рассматриваться как лишение легитимности результата, если подсчет Борды был окончательным арбитром без избрания соответствующего победителя Борды.
^ Мулен, Х. (1986). «Выбор турнира». Социальный выбор и благосостояние . 3 (4): 271–191. дои : 10.1007/BF00292732 .
^ Ж.-Ф. Ласлье, «И проигравшим становится... множественное голосование» (2012).

Примечания

Э. Стеншольт, " Немонотонность в АВ "; Голосование имеет значение ; Выпуск 15, июнь 2002 г. (онлайн).
В. Р. Мерлин и Д. Г. Саари, «Метод Коупленда. II. Манипуляции, монотонность и парадоксы»; Журнал экономической теории; Том. 72, нет. 1; январь 1997 г.; 148–172.
ДГ Саари. и В. Р. Мерлин, «Метод Коупленда. I. Отношения и словарь»; Экономическая теория; Том. 8, № л; июнь 1996 г.; 51–76.

[condorcet-iia-incompatibility-15] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Критерий Кондорсе несовместим с критериями последовательности , участия , «позже без вреда» , «позже без помощи » и искреннего любимца .

[IIA_rating_methods-16] Перейти обратно: ^а ^б ^с Голосование за одобрение, голосование по баллам и решение большинства удовлетворяют требованиям IIA, если предположить, что избиратели оценивают кандидатов независимо, используя свою собственную абсолютную шкалу . Чтобы это произошло, на некоторых выборах некоторые избиратели должны использовать меньше своих полномочий, несмотря на наличие значимых предпочтений среди жизнеспособных кандидатов.

[17] Решение большинства может избрать кандидата, однозначно наименее предпочитаемого более чем половиной избирателей, но никогда не избирает кандидата с однозначно наименьшим рейтингом более чем половиной избирателей.

[mjmmc-18] Решение большинства не соответствует критерию взаимного большинства, но удовлетворяет критерию, если большинство ставит взаимно предпочтительный набор выше заданной абсолютной оценки, а все остальные - ниже этой оценки.

[semipc-19] Перейти обратно: ^а ^б ^с При голосовании по наивысшей медиане, рейтинговых парах и голосовании Шульце для любого избирателя всегда есть получестное голосование без сожалений, при этом все остальные бюллетени остаются неизменными и при условии, что он достаточно знает о том, как будут голосовать другие. В таких обстоятельствах у избирателя всегда есть хотя бы один способ принять участие, не ставя при этом менее предпочтительного кандидата выше более предпочтительного.

[MinimaxVarient-20] Перейти обратно: ^а ^б Вариант Минимакса, который учитывает только парную оппозицию, а не оппозицию минус поддержка, не соответствует критерию Кондорсе и соответствует принципу «позже не будет причинен вред».

[21] Победитель определяется случайным образом выбранным бюллетенем. Этот и тесно связанные с ним методы представляют математический интерес и включены сюда, чтобы продемонстрировать, что даже необоснованные методы могут соответствовать критериям метода голосования.

[22] Если победитель выбирается случайным образом из кандидатов, проводится жеребьевка, чтобы продемонстрировать, что даже методы без голосования могут соответствовать некоторым критериям.

[1] Помероль, Жан-Шарль; Серхио Барба-Ромеро (2000). Многокритериальное решение в менеджменте: принципы и практика . Спрингер. п. 122. ИСБН 0-7923-7756-7 .

[2] Джордж Г. Шпиро, «Правило чисел: неприятная математика демократии, от Платона до наших дней» (2010).

[:0-3] Коупленд, Артур Герберт (1951), «Разумная» функция социального благосостояния , Семинар по математике в социальных науках, Мичиганский университет (неопубликовано).

[saari-4] Саари, Дональд Г.; Мерлин, Винсент Р. (1996). «Метод Коупленда: I.: Отношения и словарь». Экономическая теория . 8 (1): 51–76. JSTOR 25054952 .

[judge-5] Перейти обратно: ^а ^б Балинский, Мишель и Рида Лараки, «Судья: не голосуйте!» (2014), особенно. сноска 4.

[6] Системы подсчета очков в шахматных турнирах . ^{[ ненадежный источник? ]}

[7] Эрик Пакуит, «Методы голосования», Стэнфордская энциклопедия философии (выпуск осенью 2019 г.), Эдвард Н. Залта (ред.)

[8] П. Дасгупта и Э. Маскин, «Самое справедливое голосование из всех» (2004).

[9] РБ Дарлингтон, «Минимакс - лучшая избирательная система в конце концов» (2016).

[10] Т. Н. Тайдман и Ф. Плассман, «Моделирование результатов подсчета голосов на реальных выборах» (2012).

[11] П. Дасгупта и Э. Маскин, «Самое справедливое голосование из всех» (2004). Описание их метода находится на стр. 97, где они пишут: «Если ни один [кандидат] не получит большинства против всех оппонентов, то среди тех кандидатов, которые победят наибольшее количество оппонентов в очных сравнениях, выберите победителем того, кто наберет наивысший рейтинг».

[12] Альтернативный метод применения тай-брейка напрашивается при подсчете Борда, который заключается в подсчете баллов для каждого кандидата - в данном случае (8,11,6,5) - и выборе победителя Коупленда с наивысшим баллом Борда. , которым в данном случае будет Бейкер. Это имеет тот недостаток, что победитель Борды не может входить в число победителей Коупленда, и это может рассматриваться как лишение легитимности результата, если подсчет Борды был окончательным арбитром без избрания соответствующего победителя Борды.

[:moulin-13] Мулен, Х. (1986). «Выбор турнира». Социальный выбор и благосостояние . 3 (4): 271–191. дои : 10.1007/BF00292732 .

[14] Ж.-Ф. Ласлье, «И проигравшим становится... множественное голосование» (2012).

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ Тн 1 ]

[ Тн 2 ]

[ Тн 3 ]

[ Тн 4 ]

[ Тн 5 ]

[ Тн 6 ]

[ Тн 7 ]

[ Тн 8 ]