Равенство (математика)

В математике , утверждающее , равенство — это отношение между двумя величинами или, в более общем плане, двумя математическими выражениями что величины имеют одинаковое значение или что выражения представляют один и тот же математический объект . Равенство между $A$ и $B$ записывается $A = B$ и произносится как « $A$ равно $B$ ». В этом равенстве $A$ и $B$ являются членами равенства и различаются тем, что их называют левой частью и левого члена правой стороной или правым членом . Два объекта, которые не равны, называются различными .

Такая формула, как $x=y,$ где $x$ и $y$ — любые выражения, означает, что $x$ и $y$ обозначают или представляют один и тот же объект. ^[1] Например,

1.5={\frac {15}{10}}=3/2,

это три обозначения одного и того же числа. Аналогично, используя обозначение построителя множеств ,

\{x\mid x\in \mathbb {Z} {\text{ and }}0<x\leq 3\}=\{1,2,3\},

поскольку два множества содержат одни и те же элементы. (Это равенство вытекает из аксиомы экстенсиональности , которая часто выражается как «два множества, состоящие из одинаковых элементов, равны». ^[2])

Истинность равенства зависит от интерпретации его членов. В приведенных выше примерах равенства верны, если члены интерпретируются как числа или множества, но являются ложными, если члены интерпретируются как выражения или последовательности символов.

Личность например , $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1,$ означает, что если $x$ заменить любым числом, то оба выражения примут одно и то же значение. Это также можно интерпретировать как утверждение, что две стороны знака равенства представляют одну и ту же функцию (равенство функций) или что два выражения обозначают один и тот же многочлен (равенство многочленов). ^[3]^[4]

Этимология

Этимология («равный», « уровень слова происходит от латинского aequālis («равный», «подобный», «сопоставимый», «похожий») от aequus », «справедливый», «справедливый»). ^[5]

Основные свойства

Рефлексивность : для каждого $a$ имеется $a = a$ .
Симметрия : для любых $a$ и $b$ , если $a = b$ , то $b = a$ .
Транзитивность : для любых $a$ , $b$ и $c$ , если $a = b$ и $b = c$ , то $a = c$ . ^{[ нужна ссылка ]}

Если ограничиться элементами данного множества , эти три свойства делают равенство отношением эквивалентности , уникальным, все классы эквивалентности которого являются одиночными .

Равенство как предикат

Когда A и B не определены полностью или зависят от некоторых переменных , равенство является утверждением , которое может быть истинным для некоторых значений и ложным для других значений. Равенство — это бинарное отношение с двумя аргументами (т. е. предикат ), которое может выдавать значение истинности ( ложь или истина ) из своих аргументов. В компьютерном программировании его вычисление на основе двух выражений называется сравнением .

Личности

Когда A и B можно рассматривать как функции некоторых переменных, тогда A = B означает, что A и B определяют одну и ту же функцию. Такое равенство функций иногда называют тождеством . Примером является $\left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1.$ Иногда, но не всегда, личность пишется с тройной чертой : $\left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.$ ^[6]

Уравнения

Уравнение — это задача поиска значений некоторой переменной, называемой неизвестной , для которой заданное равенство верно. Каждое значение неизвестного, для которого справедливо уравнение, называется решением уравнения; также говорят, что он удовлетворяет данному уравнению. Например, уравнение $x^{2}-6x+5$ имеет ценности $x=1$ и $x=5$ как единственное решение. Аналогично используется терминология для уравнений с несколькими неизвестными. ^[7]

Для определения множества можно использовать уравнение. Например, множество всех пар решений $(x,y)$ уравнения $x^{2}+y^{2}=1$ образует единичную окружность в аналитической геометрии ; поэтому это уравнение называется уравнением единичной окружности .

Тождество — это равенство , истинное для всех значений его переменных в данной области. ^[8] «Уравнение» иногда может означать тождество, но чаще всего оно определяет подмножество пространства переменных как подмножество, в котором уравнение истинно. Не существует стандартных обозначений, которые отличали бы уравнение от тождества или другого использования отношения равенства: нужно угадать подходящую интерпретацию на основе семантики выражений и контекста. ^[9]

В логике

В математической логике и математической философии равенство часто определяется с помощью следующих аксиом:

Закон идентичности : обычно он гласит, что каждая вещь идентична сама себе без ограничений. То есть для $a$ каждого $a = a$ . Это первый из трёх исторических законов мышления .
Свойство замещения . Иногда его называют неразличимостью идентичностей . Обычно оно гласит, что если две вещи равны, то они должны иметь общие все свои свойства. Формально это можно сформулировать так: для каждых $a$ и $b$ и каждой формулы $\phi (x),$ (со свободной переменной $x$ ), мы имеем это, если $a=b$ , затем $\phi (a)$ подразумевает $\phi (b)$ . ^[10]

Например: для всех действительных чисел $a$ и $b$ , если $a = b$ , то из $a \geq 0$ следует $b \geq 0$ (здесь $\phi (x)$ х $) 0$ ≥

Вместе они иногда рассматриваются как определение равенства, например, в логике первого порядка. ^[11] Но в других областях, таких как логика Шрёдингера , этих аксиом недостаточно для определения равенства. Но для стандартной математики этих двух обычно достаточно.

Замена функций : для любых $a$ и $b$ и любой функции. $f(x)$ , если $а = b,$ то $f(a)=f(b)$ (это следует из свойства замещения, примененного к $\phi (x):f(x)=f(a)$ ).

Это также иногда включается в аксиомы равенства, но в этом нет необходимости, поскольку это можно вывести из двух других аксиом, как показано выше.

Закон тождества отличается от рефлексивности двумя основными способами: во-первых, Закон тождества применим только к случаям равенства, а во-вторых, он не ограничивается элементами множества. Однако многие математики называют и то, и другое «рефлексивностью», что в целом безвредно. ^[12]

Примерное равенство

Существуют некоторые логические системы , в которых нет понятия равенства. Это отражает неразрешимость равенства двух действительных чисел , определяемого формулами, включающими целые числа , основные арифметические операции , логарифм и показательную функцию . Другими словами, не может существовать никакого алгоритма решения такого равенства (см. теорему Ричардсона ).

Бинарное отношение « приблизительно равно » (обозначается символом $\approx$ ) между действительными числами или другими вещами, даже если они определены более точно, не является транзитивным (поскольку множество небольших различий могут составить нечто большое). Однако равенство почти везде транзитивно .

Сомнительное проверяемое равенство можно обозначить с помощью ${\stackrel {?}{=}}$ символ . ^[13]

Связь с эквивалентностью, конгруэнтностью и изоморфизмом

Рассматриваемое как отношение , равенство является архетипом более общей концепции отношения эквивалентности на множестве: тех бинарных отношений, которые являются рефлексивными , симметричными и транзитивными . Отношение тождества является отношением эквивалентности. Обратно, пусть R — отношение эквивалентности и обозначим через x ^Р класс эквивалентности x x , состоящий из всех элементов z таких, что R z . Тогда отношение x R y эквивалентно равенству x ^Р = и ^Р. Отсюда следует, что равенство — это наилучшее отношение эквивалентности на любом множестве S в том смысле, что это отношение имеет наименьшие классы эквивалентности (каждый класс сводится к одному элементу).

В некоторых контекстах равенство резко отличается от эквивалентности или изоморфизма . ^[14] Например, можно отличить дроби от рациональных чисел , причем последние являются классами эквивалентности дробей: дроби $1/2$ и $2/4$ различны как дроби (как разные строки символов), но они «представляют» одно и то же рациональное число (одну и ту же точку на числовой прямой). Это различие порождает понятие фактормножества .

Аналогично, множества

\{{\text{A}},{\text{B}},{\text{C}}\}

и

\{1,2,3\}

не являются равными множествами (первое состоит из букв, а второе состоит из чисел), но оба они представляют собой множества из трех элементов и, следовательно, изоморфны, что означает, что существует взаимно однозначное соответствие между ними . Например

{\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.

Однако существуют и другие варианты изоморфизма, такие как

{\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,

и эти множества нельзя идентифицировать, не сделав такого выбора - любое утверждение, которое их идентифицирует, «зависит от выбора идентификации». Это различие между равенством и изоморфизмом имеет фундаментальное значение в теории категорий и является одной из причин развития теории категорий.

В некоторых случаях можно считать равными два математических объекта, эквивалентных лишь по рассматриваемым свойствам и структуре. Слово «конгруэнтность » (и связанный с ним символ $\cong$ ) часто используется для такого рода равенства и определяется как фактор-множество классов изоморфизма между объектами. в геометрии Например, две геометрические фигуры называются равными или конгруэнтными, когда одну можно переместить так, чтобы она совпала с другой, а отношение равенства/конгруэнтности представляет собой классы изоморфизма изометрий между формами. Подобно изоморфизмам множеств, разница между изоморфизмами и равенством/конгруэнтностью между такими математическими объектами со свойствами и структурой была одной из мотиваций для развития теории категорий , а также теории гомотопических типов и однолистных оснований . ^{[Необходима ссылка]}

Равенство в теории множеств

Равенство множеств аксиоматизируется в теории множеств двумя разными способами, в зависимости от того, основаны ли аксиомы на языке первого порядка с равенством или без него.

Установите равенство на основе логики первого порядка с равенством

В логике первого порядка с равенством аксиома экстенсиональности гласит, что два множества, содержащие одни и те же элементы, представляют собой одно и то же множество. ^[15]

Логическая аксиома: $x=y\implies \forall z,(z\in x\iff z\in y)$
Логическая аксиома: $x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)$
Аксиома теории множеств: $(\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y$

Как заметил Леви, включение половины работы в логику первого порядка можно рассматривать как просто вопрос удобства.

«Причина, по которой мы приступаем к исчислению предикатов первого порядка с равенством, — это вопрос удобства; этим мы экономим труд по определению равенства и доказательству всех его свойств; это бремя теперь берет на себя логика». ^[16]

Установите равенство на основе логики первого порядка без равенства

В логике первого порядка без равенства два множества считаются равными, если они содержат одни и те же элементы. Тогда аксиома экстенсиональности утверждает, что два равных множества содержатся в одних и тех же множествах. ^[17]

Определение теории множеств: $(x=y)\ :=\ \forall z,(z\in x\iff z\in y)$
Аксиома теории множеств: $x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)$

См. также

Примечания

^ Россер 2008 , с. 163.
^ Леви 2002 , стр. 13, 358. Mac Lane & Birkhoff 1999 , стр. 2. Мендельсон 1964 , с. 5.
^ Уравнение. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613.
^ Пратт, Воган, «Алгебра», Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2022 г.), Эдвард Н. Залта и Ури Нодельман (ред.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/algebra/#Laws
^ «Определение РАВНОГО» . Мерриам-Вебстер . Архивировано из оригинала 15 сентября 2020 года . Проверено 9 августа 2020 г.
^ «Идентичность – определение математического слова – Открытый справочник по математике» . www.mathopenref.com . Проверено 1 декабря 2019 г.
^ Уравнение. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613.
^ Уравнение. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613.
^ Маркус , Соломон; Ватт, Стивен М. «Что такое уравнение?» . Проверено 27 февраля 2019 г.
^ Форрест, Питер, «Личность неразличимых», Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2020 г.), Эдвард Н. Залта (ред.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/identity-indiscernible/ #Форма
^ Фиттинг, М. , Логика первого порядка и автоматическое доказательство теорем (Берлин/Гейдельберг: Springer, 1990), стр. 198–200 .
^ Аксиомы равенства. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equality_axioms&oldid=46837
^ https://www.compart.com/en/unicode/U+225F
^ ( Мазур 2007 )
^ Клини 2002 , с. 189. Леви 2002 , с. 13. Шонфилд 2001 , с. 239.
^ Леви 2002 , с. 4.
^ Мендельсон 1964 , стр. 159–161. Россер 2008 , стр. 211–213.

Ссылки

Клини, Стивен Коул (2002) [1967]. Математическая логика . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42533-7 .
Леви, Азриэль (2002) [1979]. Базовая теория множеств . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42079-0 .
Мак Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гаррет (1999) [1967]. Алгебра (Третье изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество.
Мазур, Барри (12 июня 2007 г.), Когда одна вещь равна другой? (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 24 октября 2019 г. , получено 13 декабря 2009 г.
Мендельсон, Эллиотт (1964). Введение в математическую логику . Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд.
Россер, Джон Баркли (2008) [1953]. Логика для математиков . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publication. ISBN 978-0-486-46898-3 .
Шонфилд, Джозеф Роберт (2001) [1967]. Математическая логика (2-е изд.). АК Петерс . ISBN 978-1-56881-135-2 .

Внешние ссылки

«Аксиомы равенства» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Россер 2008 , с. 163.

[2] Леви 2002 , стр. 13, 358. Mac Lane & Birkhoff 1999 , стр. 2. Мендельсон 1964 , с. 5.

[3] Уравнение. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613.

[4] Пратт, Воган, «Алгебра», Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2022 г.), Эдвард Н. Залта и Ури Нодельман (ред.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/algebra/#Laws

[5] «Определение РАВНОГО» . Мерриам-Вебстер . Архивировано из оригинала 15 сентября 2020 года . Проверено 9 августа 2020 г.

[6] «Идентичность – определение математического слова – Открытый справочник по математике» . www.mathopenref.com . Проверено 1 декабря 2019 г.

[7] Уравнение. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613.

[8] Уравнение. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613.

[9] Маркус , Соломон; Ватт, Стивен М. «Что такое уравнение?» . Проверено 27 февраля 2019 г.

[10] Форрест, Питер, «Личность неразличимых», Стэнфордская энциклопедия философии (зимнее издание 2020 г.), Эдвард Н. Залта (ред.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/identity-indiscernible/ #Форма

[11] Фиттинг, М. , Логика первого порядка и автоматическое доказательство теорем (Берлин/Гейдельберг: Springer, 1990), стр. 198–200 .

[12] Аксиомы равенства. Энциклопедия математики. URL: http://encyclepediaofmath.org/index.php?title=Equality_axioms&oldid=46837

[13] ttps://www.compart.com/en/unicode/U+225F

[14] ( Мазур 2007 )

[15] Клини 2002 , с. 189. Леви 2002 , с. 13. Шонфилд 2001 , с. 239.

[16] Леви 2002 , с. 4.

[17] Мендельсон 1964 , стр. 159–161. Россер 2008 , стр. 211–213.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]