Алгебраическая топология

Тор . , один из наиболее часто изучаемых объектов в алгебраической топологии

Алгебраическая топология — это раздел математики , который использует инструменты абстрактной алгебры для изучения топологических пространств . Основная цель состоит в том, чтобы найти алгебраические инварианты , которые классифицируют топологические пространства с точностью до гомеоморфизма , хотя обычно большинство из них классифицируют с точностью до гомотопической эквивалентности .

Хотя алгебраическая топология в основном использует алгебру для изучения топологических проблем, иногда возможно использование топологии и для решения алгебраических задач. Например, алгебраическая топология позволяет удобно доказать, что любая подгруппа снова свободной группы является свободной группой.

Основные отрасли [ править ]

Ниже приведены некоторые основные области, изучаемые в алгебраической топологии:

Гомотопические группы [ править ]

В математике гомотопические группы используются в алгебраической топологии для классификации топологических пространств . Первой и простейшей гомотопической группой является фундаментальная группа , записывающая информацию о петлях в пространстве. Интуитивно понятно, что гомотопические группы записывают информацию об основной форме или дырах топологического пространства.

Гомология [ править ]

В алгебраической топологии и абстрактной алгебре гомология ( частично от греческого ὁμός homos «идентичный») — это определенная общая процедура, позволяющая связать последовательность абелевых групп или модулей с данным математическим объектом, таким как топологическое пространство или группа . ^[1]

Когомологии [ править ]

В теории гомологии и алгебраической топологии когомологии — это общий термин для обозначения последовательности абелевых групп, определенных из коцепного комплекса . То есть когомологии определяются как абстрактное исследование коцепей , коциклов и кограниц . Когомологии можно рассматривать как метод назначения алгебраических инвариантов топологическому пространству, которое имеет более тонкую алгебраическую структуру , чем гомологии . Когомологии возникают в результате алгебраической дуализации конструкции гомологии. Говоря менее абстрактным языком, коцепи в фундаментальном смысле должны приписывать «количества» цепям теории гомологии.

Коллекторы [ править ]

Многообразие топологическое — это пространство , которое вблизи каждой точки напоминает евклидово пространство . Примеры включают плоскость , сферу и тор , которые могут быть реализованы в трех измерениях, а также бутылку Клейна и настоящую проективную плоскость , которые не могут быть вложены в три измерения, но могут быть вложены в четыре измерения. Обычно результаты в алгебраической топологии фокусируются на глобальных, недифференцируемых аспектах многообразий; например, двойственность Пуанкаре .

Теория узлов [ править ]

Теория узлов — это изучение математических узлов . Хотя математический узел вдохновлен узлами, которые встречаются в повседневной жизни на шнурках и веревках, он отличается тем, что концы соединены так, что его невозможно развязать. узел — это вложение окружности Говоря точным математическим языком , в трехмерное евклидово пространство , $\mathbb {R} ^{3}$ . Два математических узла эквивалентны, если один можно преобразовать в другой путем деформации $\mathbb {R} ^{3}$ на себя (так называемая окружающая изотопия ); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной веревкой, которые не предполагают перерезания веревки или пропускания веревки через себя.

Комплексы [ править ]

Симплициальный комплекс — это топологическое пространство определенного вида, построенное путем «склейки» точек , отрезков прямых , треугольников и их n -мерных аналогов (см. иллюстрацию). Симплициальные комплексы не следует путать с более абстрактным понятием симплициального множества, появляющимся в современной теории симплициальных гомотопий. Чисто комбинаторным аналогом симплициального комплекса является абстрактный симплициальный комплекс .

Комплекс CW — это тип топологического пространства, введенный Дж. Х. Уайтхедом для удовлетворения потребностей теории гомотопий . Этот класс пространств шире и имеет некоторые лучшие категориальные свойства, чем симплициальные комплексы , но все же сохраняет комбинаторную природу, позволяющую производить вычисления (часто с гораздо меньшим комплексом).

Метод алгебраических инвариантов [ править ]

Старое название предмета — комбинаторная топология , подразумевающее акцент на том, как пространство X было построено из более простых. ^[2] (современным стандартным инструментом для такого строительства является комплекс ХО ). В 1920-е и 1930-е годы возрастал акцент на исследовании топологических пространств путем нахождения в них соответствий алгебраическим группам , что привело к изменению названия на алгебраическую топологию. ^[3] Название комбинаторной топологии до сих пор иногда используется, чтобы подчеркнуть алгоритмический подход, основанный на декомпозиции пространств. ^[4]

В алгебраическом подходе находится соответствие между пространствами и группами , которое соблюдает отношение гомеоморфизма (или более общей гомотопии ) пространств. Это позволяет преобразовать утверждения о топологических пространствах в утверждения о группах, которые имеют большую управляемую структуру, что часто упрощает доказательство этих утверждений. Два основных способа сделать это — через фундаментальные группы или, в более общем смысле, теорию гомотопий , а также через гомологий и когомологий группы . Фундаментальные группы дают нам основную информацию о структуре топологического пространства, но они часто неабелевы , и с ними может быть сложно работать. Фундаментальная группа (конечного) симплициального комплекса действительно имеет конечное представление .

С другой стороны, группы гомологий и когомологий абелевы и во многих важных случаях конечно порождены. Конечно порожденные абелевы группы полностью классифицированы, и с ними особенно легко работать.

Сеттинг в теории категорий [ править ]

Вообще все конструкции алгебраической топологии функториальны ; здесь зародились понятия категории , функтора и естественного преобразования . Фундаментальные группы, а также группы гомологий и когомологий являются не только инвариантами основного топологического пространства в том смысле, что два гомеоморфных топологических пространства имеют одни и те же ассоциированные группы, но также соответствуют им ассоциированные морфизмы - непрерывное отображение пространств индуцирует групповой гомоморфизм на ассоциированные группы, и эти гомоморфизмы можно использовать, чтобы показать несуществование (или, что гораздо глубже, существование) отображений.

Одним из первых математиков, работавших с различными типами когомологий, был Жорж де Рам . Можно использовать дифференциальную структуру гладких многообразий через когомологии де Рама , когомологии Чеха или пучка, чтобы исследовать разрешимость дифференциальных уравнений, определенных на рассматриваемом многообразии. Де Рам показал, что все эти подходы взаимосвязаны и что для замкнутого ориентированного многообразия числа Бетти, полученные с помощью симплициальных гомологий, были теми же числами Бетти, что и числа, полученные с помощью когомологий де Рама. Это было расширено в 1950-х годах, когда Сэмюэл Эйленберг и Норман Стинрод обобщили этот подход. Они определили гомологии и когомологии как функторы, снабженные естественными преобразованиями, подчиняющимися определенным аксиомам (например, слабая эквивалентность пространств переходит к изоморфизму групп гомологий), проверили, что все существующие теории (ко) гомологий удовлетворяют этим аксиомам, а затем доказали, что такие аксиоматизация однозначно характеризовала теорию.

Приложения [ править ]

Классические приложения алгебраической топологии включают:

Теорема Брауэра о неподвижной точке : каждое непрерывное отображение единицы n -диска в себя имеет неподвижную точку.
Свободный ранг n- й группы гомологий симплициального комплекса — это n- е число Бетти , позволяющее вычислить характеристику Эйлера–Пуанкаре .
Можно использовать дифференциальную структуру гладких многообразий через когомологии де Рама , когомологии Чеха или пучка, чтобы исследовать разрешимость дифференциальных уравнений, определенных на рассматриваемом многообразии.
Многообразие является ориентируемым, если целочисленная группа гомологии верхнего измерения является целыми числами, и неориентируемым, если она равна 0.
n n -сфера допускает никуда не исчезающее непрерывное поле единичного вектора тогда и только тогда, когда нечетно . (Для n = 2 это иногда называют « теоремой о волосатом шаре ».)
Теорема Борсука -Улама : любое непрерывное отображение n -сферы в евклидово n -пространство идентифицирует хотя бы одну пару антиподальных точек.
Любая подгруппа свободной группы свободна. Этот результат весьма интересен, поскольку утверждение является чисто алгебраическим, однако самое простое известное доказательство является топологическим. А именно, любая свободная группа G может быть реализована как фундаментальная группа графа X . Основная теорема о накрывающих пространствах говорит нам, что каждая подгруппа H группы G является фундаментальной группой некоторого накрывающего пространства Y группы X ; но каждый такой Y снова является графом. Следовательно, его фундаментальная группа H свободна. С другой стороны, этот тип приложений также проще решается за счет использования накрывающих морфизмов группоидов , и этот метод позволил получить теоремы о подгруппах, еще не доказанные методами алгебраической топологии; см. Хиггинс (1971) .
Топологическая комбинаторика .

Известные люди [ править ]

Важные теоремы

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Фрэли (1976 , стр. 163)
^ Фреше, Морис ; Фан, Кай (2012), Приглашение к комбинаторной топологии , Courier Dover Publications, стр. 101, ISBN 9780486147888 .
^ Хенле, Майкл (1994), Комбинаторное введение в топологию , Courier Dover Publications, стр. 221, ISBN 9780486679662 .
^ Шпреер, Джонатан (2011), Раздутия, срезы и группы перестановок в комбинаторной топологии , Logos Verlag Berlin GmbH, стр. 23, ISBN 9783832529833 .

Ссылки [ править ]

Аллегретти, Дилан Г.Л. (2008), Симплициальные множества и теорема ван Кампена (обсуждаются обобщенные версии теоремы ван Кампена, применимые к топологическим пространствам и симплициальным множествам).
Бредон, Глен Э. (1993), Топология и геометрия , Тексты для аспирантов по математике, том. 139, Спрингер, ISBN 0-387-97926-3 .
Браун, Р. (2007), Теория групп более высокой размерности , заархивировано из оригинала 14 мая 2016 г. , получено 17 августа 2022 г. (дает широкий взгляд на многомерные теоремы Ван Кампена, включающие множественные группоиды) .
Браун, Р.; Разак, А. (1984), «Теорема Ван Кампена для объединений несвязных пространств», Arch. Математика. , 42 : 85–88, doi : 10.1007/BF01198133 , S2CID 122228464 . «Дает общую теорему о фундаментальном группоиде с набором базовых точек пространства, которое представляет собой объединение открытых множеств».
Браун, Р.; Харди, К.; Кампс, Х.; Портер, Т. (2002), «Гомотопический двойной группоид хаусдорфова пространства» , Theory Appl. Категории , 10 (2): 71–93 .
Браун, Р.; Хиггинс, П.Дж. (1978), «О связи между вторыми относительными гомотопическими группами некоторых родственных пространств», Proc. Лондонская математика. Соц. , S3-36 (2): 193–212, doi : 10.1112/plms/s3-36.2.193 . «Первая двумерная версия теоремы Ван Кампена».
Браун, Рональд; Хиггинс, Филип Дж.; Сивера, Рафаэль (2011), Нонабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды , Трактаты Европейского математического общества по математике, том. 15, Европейское математическое общество, arXiv : math/0407275 , ISBN. 978-3-03719-083-8 , заархивировано из оригинала 04 июня 2009 г. Это обеспечивает теоретико-гомотопический подход к базовой алгебраической топологии без необходимости использования базиса в сингулярных гомологиях или метода симплициальной аппроксимации. Содержит много материала по скрещенным модулям .
Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
Гринберг, Марвин Дж .; Харпер, Джон Р. (1981), Алгебраическая топология: первый курс, исправленное издание , серия лекций по математике, Westview/Perseus, ISBN 9780805335576 . Функториальный, алгебраический подход, первоначально предложенный Гринбергом, с геометрической приправой, добавленной Харпером.
Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0 . Современное введение в алгебраическую топологию с геометрическим уклоном.
Хиггинс, Филип Дж. (1971), Заметки о категориях и группоидах , Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN 9780442034061
Маундер, CRF (1970), Алгебраическая топология , Лондон: Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN 0-486-69131-4 .
Том Дик, Таммо (2008), Алгебраическая топология , Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество, ISBN 978-3-03719-048-7
ван Кампен, Эгберт (1933), «О связи между фундаментальными группами некоторых связанных пространств», American Journal of Mathematics , 55 (1): 261–7, JSTOR 51000091.

Дальнейшее чтение [ править ]

Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79160-Х . и ISBN 0-521-79540-0 .
«Алгебраическая топология» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Мэй Дж. П. (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Издательство Чикагского университета . Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г. Проверено 27 сентября 2008 г. В разделе 2.7 дается теоретико-категорное представление теоремы как копредела в категории группоидов.

[1] Фрэли (1976 , стр. 163)

[2] Фреше, Морис ; Фан, Кай (2012), Приглашение к комбинаторной топологии , Courier Dover Publications, стр. 101, ISBN 9780486147888 .

[3] Хенле, Майкл (1994), Комбинаторное введение в топологию , Courier Dover Publications, стр. 221, ISBN 9780486679662 .

[4] Шпреер, Джонатан (2011), Раздутия, срезы и группы перестановок в комбинаторной топологии , Logos Verlag Berlin GmbH, стр. 23, ISBN 9783832529833 .

[1]

[2]

[3]

[4]

v т и Топология
Поля	Общий (набор точек) алгебраический комбинаторный Континуум Дифференциал Геометрический низкоразмерный Гомология когомологии теоретико-множественный Цифровой
Ключевые понятия	Открытый набор / Закрытый набор Интерьер Непрерывность Космос компактный подключен Хаусдорф метрика униформа Гомотопия гомотопическая группа фундаментальная группа Симплициальный комплекс комплекс ХО Полиэдрический комплекс Коллектор Связка (математика) Второе счетное пространство Кобордизм
Метрики и свойства	Эйлерова характеристика Номер Бетти Номер обмотки Число Черна Ориентируемость
Ключевые результаты	Банахова теорема о неподвижной точке Когомологии Де Рама Инвариантность домена Гипотеза Пуанкаре Теорема Тихонова Лемма Урысона
Категория Математический портал Викибук Викиверситет Темы общий алгебраический геометрический Публикации