Достоверный интервал

В байесовской статистике достоверный интервал — это интервал, используемый для характеристики распределения вероятностей . Он определяется так, что ненаблюдаемое значение параметра имеет определенную вероятность. $\alpha$ попасть в него. Например, в эксперименте, определяющем распределение возможных значений параметра $\mu$ , если вероятность того, что $\mu$ лежит между 35 и 45 $\alpha =0.95$ , затем $35\leq \mu \leq 45$ представляет собой 95%-ный доверительный интервал.

Достоверные интервалы обычно используются для характеристики апостериорных распределений вероятностей или прогнозируемых распределений вероятностей. ^[1] Их обобщение на несвязные или многомерные множества называется достоверной областью .

Достоверные интервалы являются байесовским аналогом доверительных интервалов в частотной статистике . ^[2] Эти две концепции возникают из разных философий: ^[3] Байесовские интервалы рассматривают свои границы как фиксированные, а оцениваемый параметр - как случайную величину, тогда как частотные доверительные интервалы рассматривают свои границы как случайные величины, а параметр - как фиксированное значение. для конкретной ситуации Кроме того, байесовские доверительные интервалы используют (и действительно требуют) знания априорного распределения , в то время как частотные доверительные интервалы этого не делают.

Выбор достоверного интервала/региона

Заслуживающие доверия регионы не уникальны; любое данное распределение вероятностей имеет бесконечное количество вероятных областей вероятности. $\alpha$ . Например, в одномерном случае существует несколько методов определения подходящего региона:

Выбор наименьшего интервала. Иногда его называют интервалом наибольшей плотности (ИЧР). Этот интервал обязательно будет включать медиану всякий раз, когда $\alpha \geq 0.5$ . распределении Кроме того, при унимодальном в этот интервал будет входить мода .
Выбор самого маленького региона. Для мультимодального распределения это не обязательно интервал, поскольку он может быть отключен. Иногда это называют областью наибольшей плотности (HDR). Этот регион всегда будет включать режим .
Выбор квантильного интервала (QBI), который рассчитывается путем взятия межквантильного интервала . $[q_{\beta },q_{\beta +\alpha }]$ для некоторых $\beta \in [0,1-\alpha ]$ . Например, медианный интервал вероятности $\alpha$ это интервал, в котором вероятность оказаться ниже интервала так же велика, как и вероятность оказаться выше него, то есть интервал $[q_{(1-\alpha )/2},q_{(1+\alpha )/2}]$ . Иногда его также называют интервалом с равными хвостами , и он всегда включает медиану . Могут быть определены многие другие QBI, например наименьший интервал. $[q_{0},q_{\alpha }]$ , или самый высокий интервал $[q_{1-\alpha },q_{1}]$ . Эти интервалы могут больше подходить для ограниченных переменных.
Предполагая, что среднее значение существует, выбираем интервал, для которого среднее значение является центральной точкой.

Области с наибольшей плотностью можно легко обобщить на многомерный случай, и они ограничены контурными линиями плотности вероятности . ^[4] Они всегда будут содержать моду , но не обязательно среднее значение , медиану по координатам или геометрическую медиану .

Достоверные интервалы также можно оценить с помощью методов моделирования, таких как цепь Маркова Монте-Карло . ^[5]

Контрасты с доверительным интервалом

Частотный 95% доверительный интервал означает, что при большом количестве повторных выборок 95% таких рассчитанных доверительных интервалов будут включать истинное значение параметра. С точки зрения частотности, параметр фиксирован (нельзя считать, что он имеет распределение возможных значений), а доверительный интервал является случайным (поскольку он зависит от случайной выборки).

Байесовские доверительные интервалы отличаются от частотных доверительных интервалов двумя основными аспектами:

Достоверные интервалы — это интервалы, значения которых имеют (апостериорную) плотность вероятности, представляющую вероятность того, что параметр имеет эти значения, тогда как доверительные интервалы рассматривают параметр совокупности как фиксированный и, следовательно, не являющийся объектом вероятности. Внутри доверительных интервалов доверие относится к случайности самого доверительного интервала при повторных испытаниях, тогда как доверительные интервалы анализируют неопределенность целевого параметра с учетом имеющихся данных.

доверительные интервалы и доверительные интервалы рассматривают мешающие параметры совершенно по-разному.

Для случая одного параметра и данных, которые можно суммировать в одной достаточной статистике , можно показать, что доверительный интервал и доверительный интервал совпадают, если неизвестный параметр является параметром местоположения (т. е. прямая функция вероятности имеет вид $\mathrm {Pr} (x|\mu )=f(x-\mu )$ ), где априорное распределение является равномерным и плоским; ^[6] а также, если неизвестный параметр является параметром масштаба (т.е. прямая функция вероятности имеет вид $\mathrm {Pr} (x|s)=f(x/s)$ ), с приором Джеффриса $\mathrm {Pr} (s|I)\;\propto \;1/s$ ^[6] — последнее следует потому, что логарифмирование такого масштабного параметра превращает его в параметр местоположения с равномерным распределением.Но это совершенно особые (хотя и важные) случаи; в общем, такая эквивалентность невозможна.

Ссылки

^ Эдвардс, Уорд; Линдман, Гарольд; Сэвидж, Леонард Дж. (1963). «Байесовский статистический вывод в психологических исследованиях». Психологический обзор . 70 (3): 193–242. дои : 10.1037/h0044139 .
^ Ли, премьер-министр (1997) Байесовская статистика: введение , Арнольд. ISBN 0-340-67785-6
^ ВандерПлас, Джейк. «Частотность и байесианство III: уверенность, достоверность и почему частотизм и наука не сочетаются | Pythonic Perambulations» . jakevdp.github.io .
^ О'Хаган, А. (1994) Продвинутая теория статистики Кендалла, Том 2B, Байесовский вывод , Раздел 2.51. Арнольд, ISBN 0-340-52922-9
^ Чен, Мин-Хуэй; Шао, Ци-Мань (1 марта 1999 г.). «Оценка методом Монте-Карло байесовских достоверных интервалов и интервалов HPD». Журнал вычислительной и графической статистики . 8 (1): 69–92. дои : 10.1080/10618600.1999.10474802 .
^ Jump up to: ^а ^б Джейнс, ET (1976). « Доверительные интервалы против байесовских интервалов », в книге «Основы теории вероятностей, статистических выводов и статистических теорий науки » (У.Л. Харпер и К.А. Хукер, ред.), Дордрехт: Д. Рейдель, стр. 175 и последующие.

Дальнейшее чтение

Мори, РД; Хоекстра, Р.; Рудер, Дж. Н.; Ли, доктор медицины; Вагенмакерс, Э.-Ж. (2016). «Ошибочность доверять доверительным интервалам» . Психономический бюллетень и обзор . 23 (1): 103–123. дои : 10.3758/s13423-015-0947-8 . ПМЦ 4742505 . ПМИД 26450628 .

[1] Эдвардс, Уорд; Линдман, Гарольд; Сэвидж, Леонард Дж. (1963). «Байесовский статистический вывод в психологических исследованиях». Психологический обзор . 70 (3): 193–242. дои : 10.1037/h0044139 .

[2] Ли, премьер-министр (1997) Байесовская статистика: введение , Арнольд. ISBN 0-340-67785-6

[VanderPlas2014-3] ВандерПлас, Джейк. «Частотность и байесианство III: уверенность, достоверность и почему частотизм и наука не сочетаются | Pythonic Perambulations» . jakevdp.github.io .

[4] О'Хаган, А. (1994) Продвинутая теория статистики Кендалла, Том 2B, Байесовский вывод , Раздел 2.51. Арнольд, ISBN 0-340-52922-9

[Chen1999-5] Чен, Мин-Хуэй; Шао, Ци-Мань (1 марта 1999 г.). «Оценка методом Монте-Карло байесовских достоверных интервалов и интервалов HPD». Журнал вычислительной и графической статистики . 8 (1): 69–92. дои : 10.1080/10618600.1999.10474802 .

[Jaynes_1976-6] Jump up to: ^а ^б Джейнс, ET (1976). « Доверительные интервалы против байесовских интервалов », в книге «Основы теории вероятностей, статистических выводов и статистических теорий науки » (У.Л. Харпер и К.А. Хукер, ред.), Дордрехт: Д. Рейдель, стр. 175 и последующие.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]