Потенциальная теория

В математике и математической физике теория потенциала — это изучение гармонических функций .

Термин «теория потенциала» был придуман в физике XIX века , когда стало понятно, что две фундаментальные силы природы, известные в то время, а именно гравитация и электростатическая сила, можно смоделировать с помощью функций, называемых гравитационным потенциалом и электростатическим потенциалом . которые удовлетворяют уравнению Пуассона — или в вакууме уравнению Лапласа .

Между теорией потенциала и теорией уравнения Пуассона существует значительное совпадение до такой степени, что невозможно провести различие между этими двумя областями. Разница заключается скорее в акцентах, чем в предмете, и основана на следующем различии: теория потенциала фокусируется на свойствах функций, а не на свойствах уравнения. Например, можно сказать, что результат об особенностях гармонических функций принадлежит теории потенциала, а результат о том, как решение зависит от граничных данных, можно сказать, что он принадлежит теории уравнения Лапласа. Это не жесткое различие, и на практике между двумя областями существует значительное совпадение, при этом методы и результаты одной используются в другой.

Современная теория потенциала также тесно связана с вероятностями и теорией цепей Маркова . В непрерывном случае это тесно связано с аналитической теорией. В случае конечного пространства состояний эта связь может быть введена путем введения электрической сети в пространстве состояний с сопротивлением между точками, обратно пропорциональным вероятностям перехода и плотностям, пропорциональным потенциалам. Даже в конечном случае аналог IK лапласиана в теории потенциала имеет свой принцип максимума, принцип единственности, принцип баланса и другие.

Симметрия

Полезной отправной точкой и организующим принципом при изучении гармонических функций является рассмотрение симметрии уравнения Лапласа. Хотя это не симметрия в обычном смысле этого слова, мы можем начать с наблюдения, что уравнение Лапласа линейно . Это означает, что основным объектом изучения теории потенциала является линейное пространство функций. Это наблюдение окажется особенно важным, когда мы будем рассматривать подходы к этому предмету в функциональном пространстве в следующем разделе.

Что касается симметрии в обычном смысле этого слова, то мы можем начать с теоремы о том, что симметрии $n$-мерное уравнение Лапласа представляют собой в точности конформные симметрии $n$-мерное евклидово пространство . Этот факт имеет несколько последствий. Прежде всего, можно рассмотреть гармонические функции, преобразующиеся при неприводимых представлениях конформной группы или ее подгрупп (например, группы вращений или сдвигов). Действуя таким образом, можно систематически получать решения уравнения Лапласа, которые возникают в результате разделения переменных, таких как сферические гармонические решения и ряды Фурье . Взяв линейные суперпозиции этих решений, можно создать большие классы гармонических функций, плотность которых можно показать в пространстве всех гармонических функций при подходящих топологиях.

Во-вторых, можно использовать конформную симметрию, чтобы понять такие классические приемы и методы генерации гармонических функций, как преобразование Кельвина и метод изображений .

В-третьих, можно использовать конформные преобразования для отображения гармонических функций в одной области в гармонические функции в другой области. Наиболее распространенным примером такой конструкции является связь гармонических функций на диске с гармоническими функциями на полуплоскости.

В-четвертых, можно использовать конформную симметрию для расширения гармонических функций до гармонических функций на конформно плоских римановых многообразиях . Возможно, самое простое такое расширение — рассмотреть гармоническую функцию, определенную на всем пространстве R. ^н (за исключением, возможно, дискретного набора особых точек) как гармоническую функцию на $n$-мерная сфера . Могут возникнуть и более сложные ситуации. Например, можно получить многомерный аналог теории римановой поверхности , выразив многозначную гармоническую функцию как однозначную функцию на разветвленном накрытии R ^н или можно рассматривать гармонические функции, инвариантные относительно дискретной подгруппы конформной группы, как функции на многосвязном многообразии или орбифолде .

Два измерения

Исходя из того, что группа конформных преобразований бесконечномерна в двух измерениях и конечномерна более чем в двух измерениях, можно предположить, что теория потенциала в двух измерениях отличается от теории потенциала в других измерениях. Это правильно, и фактически, когда кто-то осознает, что любая двумерная гармоническая функция является действительной частью комплексной аналитической функции , мы видим, что предмет двумерной теории потенциала по существу тот же, что и предмет комплексного анализа. По этой причине, говоря о теории потенциала, основное внимание уделяется теоремам, справедливым для трех и более измерений. В связи с этим удивительным фактом является то, что многие результаты и понятия, первоначально открытые в комплексном анализе (такие как теорема Шварца , теорема Мореры , теорема Вейерштрасса-Касорати , ряды Лорана , классификация особенностей как устранимых , полюсов и существенных особенностей ) обобщают к результатам о гармонических функциях в любом измерении. Рассматривая, какие теоремы комплексного анализа являются частными случаями теорем теории потенциала в любом измерении, можно получить представление о том, что именно особенного в комплексном анализе в двух измерениях, а что является просто двумерным примером более общих результатов.

Местное поведение

Важная тема теории потенциала — исследование локального поведения гармонических функций. Возможно, самой фундаментальной теоремой о локальном поведении является теорема о регулярности уравнения Лапласа, которая утверждает, что гармонические функции аналитичны. Имеются результаты, описывающие локальную структуру множеств уровня гармонических функций. Существует теорема Бошера , характеризующая поведение изолированных особенностей положительных гармонических функций. Как упоминалось в последнем разделе, изолированные особенности гармонических функций можно классифицировать как устранимые особенности, полюса и существенные особенности.

Неравенства

Плодотворным подходом к изучению гармонических функций является рассмотрение неравенств, которым они удовлетворяют. Возможно, самое основное такое неравенство, из которого может быть выведено большинство других неравенств, — это принцип максимума . Другим важным результатом является теорема Лиувилля , которая утверждает единственные ограниченные гармонические функции, определенные на всем R ^н по сути, являются постоянными функциями. В дополнение к этим основным неравенствам существует неравенство Гарнака , которое утверждает, что положительные гармонические функции в ограниченных областях примерно постоянны.

Одним из важных применений этих неравенств является доказательство сходимости семейств гармонических или субгармонических функций, см. теорему Гарнака . Эти теоремы сходимости используются для доказательства существования гармонических функций с определенными свойствами.

Пространства гармонических функций

Поскольку уравнение Лапласа линейно, набор гармонических функций, определенных в данной области, фактически является векторным пространством . Определяя подходящие нормы и/или внутренние произведения , можно выявить наборы гармонических функций, которые образуют гильбертово или банахово пространство . Таким образом, получаются такие пространства, как пространство Харди , пространство Блоха , пространство Бергмана и пространство Соболева .

См. также

• Субгармоническая функция
• Теорема Келлога

Ссылки

• А.И. Приленко, Е.Д. Соломенцев (2001) [1994], «Теория потенциала» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Е.Д. Соломенцев (2001) [1994], «Теория абстрактного потенциала» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• С. Экслер , П. Бурдон, В. Рэми (2001). Теория гармонических функций (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN   0-387-95218-7 .
• О. Д. Келлог (1969). Основы теории потенциала . Дуврские публикации. ISBN   0-486-60144-7 .
• Л. Л. Хелмс (1975). Введение в теорию потенциала . РЭ Кригер ISBN   0-88275-224-3 .
• Дж. Л. Дуб . Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог , Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк, ISBN   3-540-41206-9 .
• Джеймс Лори Снелл ; Питер Дж. Дойл (2000). «Случайные блуждания и электрические сети». arXiv : math/0001057 .
• Эта статья включает в себя материал из потенциальной теории PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .