Число Алеф
В математике , особенно в теории множеств , числа алефа представляют собой последовательность чисел, используемую для представления мощности (или размера) бесконечных множеств , которые могут быть хорошо упорядочены . Их ввел математик Георг Кантор. [1] и названы в честь символа, который он использовал для их обозначения, — еврейской буквы алеф (ℵ). [2] [а]
Мощность натуральных чисел равна ℵ 0 (читай алеф-ноль или алеф-ноль или алеф-нуль ), следующая большая мощность упорядоченного набора — алеф-один ℵ 1 , затем ℵ 2 и так далее. Продолжая таким же образом, можно определить кардинальное число ℵ α для каждого порядкового числа α , как описано ниже.
Концепция и обозначения принадлежат Георгу Кантору , [5] который определил понятие мощности и понял, что бесконечные множества могут иметь разную мощность .
Числа алефов отличаются от бесконечности (∞), обычно встречающейся в алгебре и исчислении, тем, что алефы измеряют размеры множеств, тогда как бесконечность обычно определяется либо как крайний предел прямой числовой линии (применяется к функции или последовательности , которая « расходится до бесконечности» или «безгранично увеличивается») или как крайняя точка расширенной прямой вещественных чисел .
Алеф-ноль
[ редактировать ]ℵ 0 (алеф-ноль, также алеф-ноль или алеф-ноль) — это мощность множества всех натуральных чисел и является бесконечным кардиналом . Набор всех конечных ординалов , называемый ω или ω 0 (где ω — строчная греческая буква омега ), имеет мощность ℵ 0 . Множество имеет мощность ℵ 0 тогда и только тогда, когда оно счетно бесконечно , то есть существует взаимно однозначное соответствие между ним и натуральными числами. Примерами таких наборов являются
- множество натуральных чисел , независимо от того, включая или исключая ноль,
- множество всех целых чисел ,
- любое бесконечное подмножество целых чисел, например набор всех квадратных чисел или набор всех простых чисел ,
- совокупность всех рациональных чисел ,
- множество всех конструктивных чисел (в геометрическом смысле),
- совокупность всех алгебраических чисел ,
- совокупность всех вычислимых чисел ,
- совокупность всех вычислимых функций ,
- набор всех двоичных строк конечной длины и
- множество всех конечных подмножеств любого данного счетно-бесконечного множества.
Эти бесконечные ординалы: ω, ω + 1, ω⋅2, ω 2 , ой ой , и ε 0 относятся к счетным множествам. [6] Например, последовательность ( порядкового порядка ω⋅2) всех положительных нечетных целых чисел, за которыми следуют все положительные четные целые числа.
- {1, 3, 5, 7, 9, ...; 2, 4, 6, 8, 10, ...}
— это упорядочение множества (мощности ℵ 0 ) натуральных чисел.
Если аксиома счетного выбора (более слабая версия аксиомы выбора ) верна, то ℵ 0 меньше любого другого бесконечного кардинала и, следовательно, является (уникальным) наименьшим бесконечным порядковым номером.
Алеф-один
[ редактировать ] |
ℵ 1 — это, по определению, мощность множества всех счетных порядковых чисел . Это множество обозначается ω 1 (или иногда Ω). Множество ω 1 само по себе является порядковым числом, большим, чем все счетные числа, поэтому оно является несчетным множеством . Следовательно, ℵ 1 отличается от ℵ 0 . Определение ℵ 1 подразумевает (в ZF, теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора), что никакое кардинальное число не находится между ℵ 0 и ℵ 1 . Если используется аксиома выбора , можно дополнительно доказать, что класс кардинальных чисел полностью упорядочен , и, таким образом, ℵ 1 является вторым по величине бесконечным кардинальным числом. Можно показать одно из наиболее полезных свойств множества ω 1 : любое счетное подмножество ω 1 имеет верхнюю границу в ω 1 (это следует из того, что объединение счетного числа счетных множеств само по себе счетно). Этот факт аналогичен ситуации в ℵ 0 : каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимум, который также является натуральным числом, а конечные объединения конечных множеств конечны.
Порядковый номер ω 1 на самом деле является полезным понятием, хотя и звучит несколько экзотично. Пример приложения является «замыкающим» по отношению к счетным операциям; например, пытаясь явно описать σ-алгебру, порожденную произвольным набором подмножеств (см., например, иерархию Бореля ). Это сложнее, чем большинство явных описаний «поколения» в алгебре ( векторных пространствах , группах и т. д.), потому что в этих случаях нам нужно замыкаться только по отношению к конечным операциям – суммам, произведениям и т. д. Этот процесс включает в себя определение для каждого счетный порядковый номер, посредством трансфинитной индукции , набор, полученный путем «добавления» всех возможных счетных объединений и дополнений и объединения всего этого по всему ω 1 .
Непрерывная гипотеза
[ редактировать ]Мощность . множества действительных чисел ( мощность континуума ) равна 2 ℵ 0 . Его нельзя определить с помощью ZFC ( теории множеств Цермело–Френкеля , дополненной аксиомой выбора ), где это число точно вписывается в иерархию чисел алефа, но из ZFC следует, что гипотеза континуума (CH) эквивалентна тождеству
- 2 ℵ 0 = ℵ 1 . [7]
CH утверждает, что не существует множества, мощность которого находилась бы строго между мощностью целых и действительных чисел. [8] CH не зависит от ZFC : его нельзя ни доказать, ни опровергнуть в контексте этой системы аксиом (при условии, что непротиворечив ) ZFC . То, что CH совместимо с ZFC, было продемонстрировано Куртом Гёделем в 1940 году, когда он показал, что его отрицание не является теоремой ZFC . То, что он не зависит от ZFC, было продемонстрировано Полом Коэном в 1963 году, когда он показал обратное, что CH сам по себе не является теоремой ZFC – с помощью (тогда нового) метода принуждения . [7] [9]
Алеф-омега
[ редактировать ]Алеф-омега – это
- ℵ ω знак равно суп { ℵ п | п ∈ ω } знак равно суп { ℵ п | n ∈ {0, 1, 2, ...} }
где наименьший бесконечный ординал обозначается как ω. То есть кардинальное число ℵ ω является наименьшей верхней границей
- { ℵ п | n ∈ {0, 1, 2, ...} }.
Примечательно, что ℵ ω - первое несчетное кардинальное число, которое, как можно продемонстрировать в рамках теории множеств Цермело – Френкеля, не равно мощности множества всех действительных чисел 2. ℵ 0 : Для любого натурального числа n ≥ 1 мы можем последовательно предположить, что 2 ℵ 0 = ℵ n , причем можно предположить, что 2 ℵ 0 по крайней мере не меньше любого кардинального числа, которое нам нравится. Основное ограничение ZFC накладывает на значение 2. ℵ 0 заключается в том, что он не может равняться некоторым специальным кардиналам с конфинальностью ℵ 0 . Несчетный бесконечный кардинал κ, имеющий конфинальность ℵ 0, означает, что существует последовательность (счетной длины) κ 0 ≤ κ 1 ≤ κ 2 ≤ ... кардиналов κ i < κ, предел которой (т.е. ее наименьшая верхняя граница) равен κ ( см. теорему Истона ). Согласно приведенному выше определению, ℵ ω является пределом последовательности меньших кардиналов счетной длины.
Алеф- α для общего α
[ редактировать ]Чтобы определить ℵ α для произвольного порядкового числа α, мы должны определить последующую кардинальную операцию , которая присваивает любому кардинальному числу ρ следующий больший хорошо упорядоченный кардинал ρ + (если аксиома выбора верна, это (уникальный) следующий больший кардинал).
Затем мы можем определить числа алефов следующим образом:
- ℵ 0 = ω
- ℵ α +1 = (ℵ α ) +
- ℵ λ знак равно ⋃ { ℵ α | α < λ } для λ бесконечный предельный ординал ,
α - й бесконечный начальный ординал обозначается ω α . Его мощность обозначается ℵ α .
Неформально, функция алефа ℵ: On → Cd представляет собой биекцию ординалов в бесконечные кардиналы.Формально в ZFC ℵ — это не функция , а функционально-подобный класс, так как он не является множеством (из-за парадокса Бурали-Форти ).
Фиксированные точки омеги
[ редактировать ]Для любого порядкового номера α имеем
- α ≤ ω α .
Во многих случаях ωα строго больше α . Например, это верно для любого порядкового номера- преемника : выполняется α + 1 < ω α +1 . Однако существуют некоторые предельные ординалы, которые являются фиксированными точками омега-функции из-за леммы о фиксированной точке для нормальных функций . Первым из них является предел последовательности
- ох, ох ох , ох ох ох , ...,
который иногда обозначается ω ω ... .
Любой слабо недостижимый кардинал также является фиксированной точкой функции алеф. [10] Это можно отобразить в ZFC следующим образом. Предположим, что κ = ℵ λ — слабо недостижимый кардинал. Если бы λ был порядковым номером-преемником , то ℵ λ был бы кардинальным-преемником и, следовательно, не был бы слабо недоступным. Если бы λ был предельным ординалом меньшим, чем κ, то его конфинальность (и, следовательно, конфинальность ℵ λ ) была бы меньше, чем κ , и поэтому κ не было бы регулярным и, следовательно, не было бы слабо недостижимым. Таким образом, λ ≥ κ и, следовательно, λ = κ , что делает его неподвижной точкой.
Роль аксиомы выбора
[ редактировать ]Мощность любого бесконечного порядкового числа является числом алефа. Каждый алеф представляет собой мощность некоторого порядкового номера. Наименьшим из них является его начальный порядковый номер . Любое множество, мощность которого равна алефу, равнозначно порядковому номеру и, следовательно, является хорошо упорядочиваемым .
Каждое конечное множество вполне упорядочимо, но не имеет алефа в качестве мощности.
В ZF предположение о том, что мощность каждого бесконечного множества является числом алефа, эквивалентно существованию хорошего порядка каждого набора, что, в свою очередь, эквивалентно аксиоме выбора . Теория множеств ZFC, которая включает в себя аксиому выбора, подразумевает, что каждое бесконечное множество имеет число алефа в качестве своей мощности (т.е. равнозначно своему начальному порядковому номеру), и, таким образом, начальные порядковые номера чисел алефа служат классом представителей для всех возможные бесконечные кардинальные числа.
Когда мощность изучается в ZF без аксиомы выбора, больше невозможно доказать, что каждое бесконечное множество имеет какое-то число алефа в качестве своей мощности; множества, мощность которых равна числу алефа, представляют собой в точности бесконечные множества, которые можно хорошо упорядочить. Метод трюка Скотта иногда используется как альтернативный способ построения представителей кардинальных чисел в условиях ZF. Например, можно определить card( S ) как набор множеств с той же мощностью, что и S , минимально возможного ранга. Это свойство card( S ) = card( T ) тогда и только тогда, когда S и T имеют одинаковую мощность. (Набор card( S ) не имеет такой же мощности, как S в целом, но все его элементы имеют.)
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ В старых книгах по математике буква алеф часто случайно печаталась перевернутой – например, у Серпинского (1958). [3] : 402 буква алеф появляется как правильно, так и перевернуто – отчасти потому, что матрица монотипии для алефа была ошибочно построена неправильно. [4]
Цитаты
[ редактировать ]- ^ «Алеф» . Энциклопедия математики .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Алеф» . mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 г.
- ^ Серпинский, Вацлав (1958). Кардинальные и порядковые числительные . Математические монографии Польской академии наук. Том 34. Варшава, Польша: Национальное научное издательство. МР 0095787 .
- ^ Суонсон, Эллен; О'Шон, Арлин Энн; Шлейер, Антуанетта Тингли (2000) [1979]. Математика в шрифт: Редактирование и корректура математики для помощников редакции и авторов (обновленная ред.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 16. ISBN 0-8218-0053-1 . МР 0553111 .
- ^ Миллер, Джефф. «Самые ранние использования символов теории множеств и логики» . jeff560.tripod.com . Проверено 5 мая 2016 г .; кто цитирует Добен, Джозеф Уоррен (1990). Георг Кантор: Его математика и философия бесконечного . Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691024479 .
Его новые номера заслуживали чего-то уникального. ... Не желая самому изобретать новый символ, он выбрал алеф, первую букву еврейского алфавита... алеф можно было считать символом новых начинаний...
- ^ Джех, Томас (2003). Теория множеств . Монографии Спрингера по математике. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Судзик, Мэттью (31 июля 2018 г.). «Гипотеза континуума» . Вольфрам Математический мир . Веб-ресурсы Wolfram . Проверено 15 августа 2018 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза континуума» . mathworld.wolfram.com . Проверено 12 августа 2020 г.
- ^ Чоу, Тимоти Ю. (2007). «Руководство по форсированию для начинающих». arXiv : 0712.1320 [ math.LO ].
- ^ Харрис, Кеннет А. (6 апреля 2009 г.). «Лекция 31» (PDF) . Кафедра математики. kaharris.org . Введение в теорию множеств. Мичиганский университет . Math 582. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 года . Проверено 1 сентября 2012 г.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- «Алеф-ноль» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Вайсштейн, Эрик В. «Алеф-0» . Математический мир .
