LAGRANGE POINT

В небесной механике точки Lagrange ( / l ə ɡ ɡ ː n dʒ / для ; также лагрангианские точки или точки либрации ) являются точками равновесия объектов с малой массой под гравитационным влиянием двух массивных орбитичных тел. Математически это включает решение ограниченной проблемы с тремя телами . ^{[ 1 ]}

Обычно два массивных тела оказывают несбалансированную гравитационную силу в точке, изменяя орбиту того, что есть в этой точке. В точках Лагранжа гравитационные силы двух крупных тел и центробежные силы уравновешивают друг друга. ^{[ 2 ]} Это может сделать точки Lagrange отличным местом для спутников, поскольку исправления орбиты и, следовательно, требования к топливу, необходимые для поддержания желаемой орбиты, хранятся как минимум.

Для любой комбинации двух орбитальных тел существует пять точек Lagrange, L _{до L} до L ₅ , все в орбитальной плоскости двух больших тел. Существует пять точек Лагранжа для системы Солнца и Земля, и пять различных точек Лагранжа для системы Земли -Мон. L ₁ , L ₂ и L ₃ находятся на линии через центры двух больших тел, в то время как L ₄ и L ₅ действуют как третья вершина образованного равностороннего треугольника, с центрами двух больших тел.

Когда массовое соотношение двух тел достаточно велик, L ₄ и L ₅ точек являются стабильными точками, а это означает, что объекты могут вращать их и что они имеют тенденцию втягивать в них объекты. Несколько планет имеют троянские астероиды около L ₄ и L ₅ очков по отношению к солнцу; У Юпитера более миллиона этих троянов.

Некоторые точки Лагранжа используются для изучения космоса. Две важные точки Лагранжа в системе Солнца-это L ₁ , между Солнцем и Землей, и L ₂ , на той же линии на противоположной стороне Земли; Оба находятся за пределами орбиты Луны. В настоящее время искусственный спутник , называемый обсерваторией Deep Space Climate (DSCOVR), расположен в L ₁ для изучения солнечного ветра, выходящего к Земле от солнца и контролировать климат Земли, снимая изображения и отправив их обратно. ^{[ 3 ]} Космический телескоп Джеймса Уэбба , мощная инфракрасная космическая обсерватория, расположен в L ₂ . ^{[ 4 ]} Это позволяет большему солнечному звене спутника защищать телескоп от света и тепла солнца, земли и луны. Точки L ₁ и L ₂ Lagrange расположены около 1 500 000 км (930 000 миль) от Земли.

Раннее телескоп Европейского космического агентства Gaia и его недавно запущенный Euclid также занимают орбиты вокруг L ₂ . Gaia сохраняет более жесткую орбиту Lissajous вокруг L ₂ , в то время как Евклид следует за ореологической орбитой, похожей на JWST. Каждый из космических обсерваторий выигрывает от того, чтобы быть достаточно далеко от тени Земли, чтобы использовать солнечные панели для власти, от не нуждающейся в большой мощности или топливе для хранения станции, от не подверженного воздействию магнитосферных эффектов Земли и от прямой линии линии зрелище на Землю для передачи данных.

История

Три коллинеарные точки Лагранжа (L ₁ , L ₂ , L ₃ ) были обнаружены швейцарским математиком Леонхардом Эйлером около 1750 года, за десять лет до того, как Иосиф-Луи Лагранж, родившийся в Итальянском языке, обнаружил оставшиеся два. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

В 1772 году Лагранж опубликовал «эссе о проблеме с тремя телами ». В первой главе он рассмотрел общую проблему из трех тел. Из этого, во второй главе он продемонстрировал два специальных решения для постоянного паттерна , коллинеарные и равносторонние, для любых трех масс с круглыми орбитами . ^{[ 7 ]}

Лагранж очки

Пять баллов Лагранжа помечены и определяются следующим образом:

L ₁ пункт

L ₁ -точка лежит на линии, определенной между двумя большими массами M ₁ и M ₂ . Это точка, в которой гравитационная привлекательность М ₂ и М _-1 объединяется для получения равновесия. Объект, который вращает солнце Земля более близко, чем , обычно будет иметь более короткий орбитальный период, чем Земля, но игнорирует эффект гравитационного притяжения Земли. Если объект находится прямо между Землей и Солнцем, то гравитация Земли противодействует некоторым натяжению солнца на объект, увеличивая орбитальный период объекта. Чем ближе к Земле объект, тем больше этот эффект. В точке L ₁ , орбитальный период объекта становится совершенно равным орбитальному периоду Земли. L ₁ составляет около 1,5 миллионов километров, или 0,01 AU , от земли в направлении Солнца. ^{[ 1 ]}

L ₂ очка

L ₂ точка лежит на линии через две большие массы за меньшим из двух. Здесь комбинированные гравитационные силы двух больших масс уравновешивают центробежную силу на теле в L ₂ . На противоположной стороне Земли от солнца орбитальный период объекта обычно будет больше, чем Земля. Дополнительное притяжение гравитации Земли уменьшает орбитальный период объекта, и в точке L ₂ этот орбитальный период становится равным земле. Как L ₁ , L ₂ составляет около 1,5 миллионов километров или 0,01 а.е. от Земли (вдали от солнца). Примером космического корабля, предназначенного для работы вблизи Земли -Сан L _2, является космический телескоп Джеймса Уэбба . ^{[ 8 ]} Более ранние примеры включают микроволновый зонд с микроволновой печью и его преемник, Планк .

L ₃ точка

L ₃ точка лежит на линии, определенной двумя большими массами, за пределами двух. В рамках солнечной системы на противоположной стороне солнца существует 3 точка L ₃ , немного внешняя орбита Земли и немного дальше от центра солнца, чем Земля. Это размещение происходит потому, что солнце также подвержено гравитации Земли, и поэтому вокруг барицентра двух тел , который находится в теле солнца. Объект на расстоянии Земли от солнца будет иметь орбитальный период в один год, если будет рассмотрено только гравитация солнца. Но объект на противоположной стороне солнца с Земли и непосредственно в соответствии с обоими «чувствами» гравитацией Земли, добавляющим слегка к солнцу и, следовательно, должен вращаться немного дальше от барицентра Земли и Солнца, чтобы иметь одинаковый 1- год. Именно в точке L ₃ , что комбинированное притяжение Земли и Солнца заставляет объект орбиту с тем же периодом, что и Земля, по сути, вращающуюся на земле+солнце с барицентом земли-сунна в одной фокусе ее орбиты.

L ₄ и L ₅ очков

L ₄ и L ₅ баллов лежат на третьем вершине двух равносторонних треугольников в плоскости орбиты, общей основой которой является линия между центрами двух масс, так что точка находится на 60 ° впереди (L ₄ ) или позади (L ₅ ) меньшая масса в отношении ее орбиты вокруг большей массы.

Стабильность

Треугольные точки (L ₄ и L ₅ ) являются стабильными равновесия, при условии, что отношение ⁠ м ₁ / м ₂ ⁠ больше 24,96. ^{[ Примечание 1 ]} Это относится к системе Солнца -Земля, Система Солнца и Жупитера и, с меньшим краем, системы Земли -Мон. Когда тело в этих точках нарушается, оно отоходит от точки, но фактор, противоположный тому, который увеличивается или уменьшается за счет возмущения (гравитационная или угловая скорость, вызванная импульсом), также будет увеличиваться или уменьшаться, изгибая путь объекта в стабильную орбиту в форме бобов почек вокруг точки (как видно в коретирующей системе отсчета). ^{[ 9 ]}

Точки L ₁ , L ₂ и L ₃ являются положениями нестабильного равновесия . Любой объект, вращающийся в L ₁ , L ₂ или L _3, будет иметь тенденцию выпадать с орбиты; редко можно найти естественные объекты там, и космические аппараты, населяющие эти Поэтому районы

Естественные объекты в точках Лагранжа

Из -за естественной стабильности L ₄ и L ₅ обычно можно найти естественные объекты в этих точках планетарных систем в Лагранже. Объекты, которые населяют эти точки, в целом называют « троянцами » или «троянскими астероидами». Название происходит от имен, которые были даны астероидам, обнаруженным вращающимся на солнце -юпитере L ₄ и L ₅ очков, которые были взяты из мифологических персонажей, появляющихся в эпическом Илиаде Гомера , стихотворении , установленном во время Троянской войны . Астероиды в L ₄ Point, впереди Юпитера, названы в честь греческих персонажей в Илиаде и называют « греческим лагерем ». Те, кто находится на ₅ точках, названы в честь троянских персонажей и называются « Троянским лагерем ». Оба лагеря считаются типами троянских тел.

Поскольку Солнце и Юпитер являются двумя наиболее массивными объектами в Солнечной системе, существует более известные трояны солнца и джупитера, чем для любой другой пары тел. Тем не менее, меньшее количество объектов известно в точках Лагранжа других орбитальных систем:

Солнце -сиграние L ₄ и L ₅ баллов содержат межпланетную пыль и, по крайней мере, два астероида, 2010 TK 7 и 2020 XL 5 . ^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}
Земля -moon L ₄ и L ₅ точек содержат концентрации межпланетной пыли , известные как облака Kordylewski . ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} Стабильность в этих специфических точках значительно осложняется солнечным гравитационным влиянием. ^{[ 15 ]}
Солнце - Нептун L ₄ и L ₅ баллов содержат несколько десятков известных объектов, троянцев Нептуна . ^{[ 16 ]}
Марс имеет четыре принятых троян Марса : 5261 Eureka , 1999 UJ 7 , 1998 VF 31 и 2007 NS 2 .
Saturn's Moon Tethys имеет две меньшие луны Сатурна в своем L ₄ и L ₅ очках, Telesto и Calypso . Другая Сатурн Луна, Дионе также имеет две коорбибибитали Лагранжа, Элен в его 4 _точках и полидации в L ₅ . Луны азимутально бродят по точкам Лагранжа, с полидесами, описывающими самые большие отклонения, движущиеся на 32 ° от Сатурна -Диона L ₅ очков.
Одна версия гигантской гипотезы воздействия постулирует, что объект, названный Theia, образовался на солнце -рамке L ₄ или L ₅ Point, и врезался в землю после дестабилизированной орбиты, образуя луну. ^{[ 17 ]}
В бинарных звездах Roche Lobe имеет свою вершину, расположенную в L ₁ ; Если одна из звезд расширяется мимо своей доли Roche, то он потеряет материю своей спутниковой звезде , известной как переполнение Roche Lobe . ^{[ 18 ]}

Объекты, которые находятся на орбитах подковы, иногда ошибочно описываются как троянцы, но не занимают точки Лагранжа. Известные объекты на подковообразных орбитах включают 3753 Cruithne с Землей, а также луны Сатурна Эпиметея и Януса .

Физические и математические детали

Точки Лагранжа являются постоянными решениями ограниченной проблемы с тремя телами . Например, учитывая два массивных тела на орбитах вокруг их общего барицентра , в космосе есть пять позиций, где может быть помещено третье тело сравнительно незначительной массы , чтобы сохранить его положение относительно двух массивных тел. Это происходит потому, что комбинированные гравитационные силы двух массивных тел обеспечивают точную центростременную силу, необходимую для поддержания кругового движения , которое соответствует их орбитальному движению.

В качестве альтернативы, когда можно увидеть в вращающейся эталонной рамке , которая соответствует угловой скорости двух коорбинирующих тел, в точках Лагранжа комбинированные гравитационные поля двух массивных тел уравновешивают центробежную псевдоподъемность , позволяя меньшему третьему телу оставаться стационарным (стационарным (центробежный в этом кадре) относительно первых двух.

L ₁

Расположение L ₁ является решением для следующего уравнения, гравитация, обеспечивающая центростременную силу: ${\frac {M_{1}}{(R-r)^{2}}}-{\frac {M_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}R-r\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}$ где r - это расстояние от 1 _точки от меньшего объекта, r - это расстояние между двумя основными объектами, а M ₁ и M ₂ - массы большого и маленького объекта, соответственно. Количество в скобках справа - это расстояние L ₁ от центра масс. Решение для R является единственным реальным корнем из следующей квинтевой функции

$x^{5}+(\mu -3)x^{4}+(3-2\mu )x^{3}-(\mu )x^{2}+(2\mu )x-\mu =0$ где $\mu ={\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}$ массовая доля М ₂ и $x={\frac {r}{R}}$ это нормализованное расстояние. Если масса меньшего объекта ( M ₂ ) намного меньше массы более крупного объекта ( M ₁ ), то L ₁ и L ₂ находятся на примерно равных расстояниях R от меньшего объекта, равный радиусу холма , дано по: $r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{3}}}$

Мы также можем написать это как: ${\frac {M_{2}}{r^{3}}}\approx 3{\frac {M_{1}}{R^{3}}}$ Поскольку приливный эффект тела пропорционален его массе, разделенной на расстояние на кубике, это означает, что приливный эффект меньшего тела в L ₁ или в L ₂ точке составляет около трех раз от этого тела. Мы также можем написать: $\rho _{2}\left({\frac {d_{2}}{r}}\right)^{3}\approx 3\rho _{1}\left({\frac {d_{1}}{R}}\right)^{3}$ где ρ ₁ и ρ ₂ являются средней плотностью двух тел, а D ₁ и D ₂ - их диаметры. Соотношение диаметра к расстоянию дает угол, поднятый телом, показывая, что рассматривается из этих двух точек лагранжа, кажущиеся размеры двух тел будут одинаковыми, особенно если плотность меньшего составляет около трижды, более трижды, более крупные, более крупные как в случае с землей и солнцем.

Это расстояние можно описать как так, что орбитальный период , соответствующий круговой орбите с этим расстоянием как радиус вокруг М ₂ в отсутствие М ₁ , имеет М ₂ около м ₁ , разделенное на √ 3 ≈ 1,73: $T_{s,M_{2}}(r)={\frac {T_{M_{2},M_{1}}(R)}{\sqrt {3}}}.$

L ₂

Расположение L ₂ является решением для следующего уравнения, гравитация, обеспечивающая центростременную силу: ${\frac {M_{1}}{(R+r)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{r^{2}}}=\left({\frac {M_{1}}{M_{1}+M_{2}}}R+r\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}$ с параметрами, определенными как случай L ₁ . Соответствующее квинтевое уравнение $x^{5}+x^{4}(3-\mu )+x^{3}(3-2\mu )-x^{2}(\mu )-x(2\mu )-\mu =0$

Опять же, если масса меньшего объекта ( M ₂ ) намного меньше массы более крупного объекта ( M ₁ ), то L ₂ находится примерно в радиусе сферы холма , данный как: $r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {\mu }{3}}}$

Те же самые замечания о приливном влиянии и кажущемся размере применяются в отношении 1 точки L ₁ . Например, угловой радиус солнца, как рассматривается из L _2, является арксином ( ⁠ 695.5 × 10 ³/ 151.1 × 10 ⁶⁠ ) ≈ 0,264 °, тогда как земля - арксин ( ⁠ 6371 / 1.5 × 10 ⁶⁠ ) ≈ 0,242 °. Глядя на солнце от L _2, видит кольцевое затмение . Необходимо, чтобы космический корабль, как и Gaia , следовать за орбитой Lissajous или ореологической орбитой вокруг L ₂ , чтобы его солнечные панели могли получить полное солнце.

L ₃

Расположение L ₃ является решением для следующего уравнения, гравитация, обеспечивающая центростременную силу: ${\frac {M_{1}}{\left(R-r\right)^{2}}}+{\frac {M_{2}}{\left(2R-r\right)^{2}}}=\left({\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}R+R-r\right){\frac {M_{1}+M_{2}}{R^{3}}}$ с параметрами m ₁ , m ₂ и r, определенные как случаи L ₁ и L ₂ , и R определяется таким образом, что расстояние L ₃ от центра более крупного объекта составляет r - r . Если масса меньшего объекта ( M ₂ ) намного меньше массы большего объекта ( M ₁ ), то: ^{[ 20 ]}

$r\approx R{\tfrac {7}{12}}\mu .$

Таким образом, расстояние от L ₃ до более крупного объекта меньше, чем разделение двух объектов (хотя расстояние между L ₃ и барицентром больше, чем расстояние между меньшим объектом и барицентром).

L ₄ и L ₅

Причина, по которой эти точки находятся в равновесии, заключается в том, что при L ₄ и L ₅ расстояния до двух масс равны. Соответственно, гравитационные силы из двух массивных тел находятся в том же соотношении, что и массы двух тел, и поэтому результирующая сила действует через барицент системы. Кроме того, геометрия треугольника гарантирует, что результирующее ускорение находится на расстоянии от барицентра в том же соотношении, что и для двух массивных тел. Барицентр является как центром массы , так и центром вращения системы с тремя телами, эта результирующая сила в точности требуется для поддержания меньшего тела в точке Лагранжа в орбитальном равновесии с двумя другими более крупными телами системы (на самом деле, в Третье тело должно иметь незначительную массу). Общая треугольная конфигурация была обнаружена Лагранжем, работающим над проблемой трех тел .

Радиальное ускорение

Радиальное ускорение объекта на орбите на точке вдоль линии, проходящей через оба тела, дается: $a=-{\frac {GM_{1}}{r^{2}}}\operatorname {sgn}(r)+{\frac {GM_{2}}{(R-r)^{2}}}\operatorname {sgn}(R-r)+{\frac {G{\bigl (}(M_{1}+M_{2})r-M_{2}R{\bigr )}}{R^{3}}}$ где r - расстояние от большого тела m ₁ , r между двумя основными объектами, а SGN ( x ) - это знак x - это расстояние . Условия в этой функции представляются соответственно: сила из М ₁ ; сила из М ₂ ; и центростремительная сила. Точки L ₃ , L ₁ , L ₂ встречаются там, где ускорение равна нулю - см. Диаграмму справа. Позитивное ускорение - это ускорение вправо от таблицы, а отрицательное ускорение находится в направлении слева; Вот почему ускорение имеет противоположные признаки на противоположных сторонах гравитационных скважин.

Стабильность

Хотя точки L ₁ , L ₂ и L ₃ являются номинально нестабильными, есть квазистабильные периодические орбиты, называемые ореол-орбитами вокруг этих точек в системе трех тел. Полная N -тела динамическая система , такая как солнечная система , не содержит эти периодические орбиты, но содержит квазипериодические (т.е. ограниченные, но не точно повторяющиеся) орбиты после кривой лиссаджоуса траекторий . Эти квазипериодические лиссаджурные орбиты -это то, что большинство космических миссий в Лагранжиане использовали до сих пор. Несмотря на то, что они не являются совершенно стабильными, скромные усилия по сохранению станции в течение длительного времени сохраняют космический корабль на желаемой орбите лиссаджоуса.

Для миссий Sun-Earth-L ₁ , предпочтительнее, чтобы космический корабль находился на лиссаджусной орбите с большой амплитудой (100 000–200 000 км или 62 000–124 000 миль), ₁ на L _чем , потому что линия между солнцем и Земля увеличивает солнечные вмешательства на общение Земли и исходного округа. Точно так же, крупная амплитуда лиссаджовая орбита вокруг L ₂ сохраняет зонд из тени Земли и, следовательно, обеспечивает непрерывное освещение его солнечных панелей.

L 25 ₄ и L ₅ баллов стабильны при условии, что масса первичного тела (например, Земля) не менее ^{[ Примечание 1 ]} время массы вторичного тела (например, луна), ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]} Земля в 81 раза больше массы луны (луна составляет 1,23% массы земли ^{[ 23 ]}) Несмотря на то, что L ₄ и L ₅ баллов находятся на вершине «холма», как и в эффективном потенциальном контурном графике выше, они, тем не менее, стабильны. Причиной стабильности является эффект второго порядка: по мере того, как тело уходит от точной позиции Лагранжа, ускорение кориолиса (которое зависит от скорости орбитального объекта и не может быть смоделирована как контурная карта) ^{[ 22 ]} изгибают траекторию в путь вокруг (а не вдали от) точки. ^{[ 22 ]}^{[ 24 ]} Поскольку источником стабильности является сила Кориолиса, полученные орбиты могут быть стабильными, но, как правило, не плоские, но «трехмерные»: они лежат на деформированной поверхности, пересекающей эклиптическую плоскость. Орбиты в форме почек обычно показаны вложенными около L ₄ и L _5, представляют собой проекции орбит на плоскости (например, эклиптика), а не полные 3-D Orbits.

Значения солнечной системы

В этой таблице перечислены значения выборки L ₁ , L ₂ и L ₃ в солнечной системе. Расчеты предполагают, что два тела орбиты в совершенном круге с разделением, равным оси полуджора, и поблизости нет других тел. Расстояния измеряются из центра масс более крупного тела (но см. Barycenter, особенно в случае Луны и Юпитера) с L _3, показывающим негативное направление. Процентные столбцы показывают расстояние от орбиты по сравнению с осью полузащиты. Например, для Луны, L ₁ находится в 326 400 км от центра Земли, который составляет 84,9% от расстояния земли -moon или 15,1% "перед" (земля из) луны; L ₂ расположено в 448 900 км от центра Земли, который составляет 116,8% от расстояния земли -moon или 16,8% за луной; и L ₃ расположено в –381 700 км от центра Земли, который составляет 99,3% от расстояния за землю и мун или 0,7084% внутри (Земля) из «негативного» положения луны.

Лагранжианские очки в солнечной системе
Пара тела	Полумажная ось, SMA (× 10 ⁹ м)	L ₁ (× 10 ⁹ м)	1 - L ₁ /SMA (%)	L ₂ (x 10 ⁹ м)	L ₂ /SMA - 1 (%)	L ₃ (x 10 ⁹ м)	1 + l ₃ /sma (%)
Земля - Мун	0.3844	0.326 39	15.09	0.4489	16.78	−0.381 68	0.7084
Солнце -Меркури	57.909	57.689	0.3806	58.13	0.3815	−57.909	0.000 009 683
Солнце -venus	108.21	107.2	0.9315	109.22	0.9373	−108.21	0.000 1428
Солнце -рамник	149.598	148.11	0.997	151.1	1.004	−149.6	0.000 1752
Солнце -мамы	227.94	226.86	0.4748	229.03	0.4763	−227.94	0.000 018 82
Солнце -джупитер	778.34	726.45	6.667	832.65	6.978	−777.91	0.055 63
Солнце - Сакер	1 426 .7	1 362 .5	4.496	1 492 .8	4.635	−1 426 .4	0.016 67
Солнце -Аранус	2 870 .7	2 801 .1	2.421	2 941 .3	2.461	−2 870 .6	0.002 546
Солнечный	4 498 .4	4 383 .4	2.557	4 615 .4	2.602	−4 498 .3	0.003 004

Приложения космического полета

Солнце -рамник

Солнечный -Земля L ₁ подходит для наблюдения за солнцем -силой. Объекты здесь никогда не следуют за землей или луной, и, если наблюдать за землей, всегда смотрят на солнечное полушарие. Первой миссией этого типа была Международная миссия Sun Earth Explorer 3 (ISEE-3) 1978 года, используемая в качестве межпланетного монитора раннего предупреждения шторма для солнечных нарушений. ^{[ 25 ]} С июня 2015 года DSCOVR орбит на ₁ пункт. И наоборот, это также полезно для космических солнечных телескопов , потому что он обеспечивает непрерывный вид на солнце, а любая космическая погода (включая солнечный ветер и волшебные волнения ) достигает L ₁ до часа до Земли. Солнечные и гелиосферные миссии, в настоящее время расположенные вокруг L _1, включают солнечную и гелиосферную обсерваторию , ветер , миссию Aditya-L1 и Advanced Composition Explorer . Запланированные миссии включают межзвездную картирование и зонд ускорения (IMAP) и NEO Surveyor .

Sun-Barth L ₂ -хорошее место для космических обсерваторий. Поскольку объект вокруг L ₂ будет поддерживать то же относительное положение относительно солнца и земли, экранирование и калибровка намного проще. Это, однако, немного за пределами досягаемости Умбры Земли , ^{[ 26 ]} Таким образом, солнечное излучение не полностью заблокировано при L ₂ . Космический корабль, как правило, орбит вокруг L ₂ , избегая частичных затмений солнца, чтобы поддерживать постоянную температуру. Из мест возле L ₂ солнце, земля и луна относительно близко друг к другу в небе; Это означает, что большой солнечный шахт с телескопом на темной стороне может позволить телескопу пассивно охлаждаться до 50 К-это особенно полезно для инфракрасной астрономии и наблюдений космического микроволнового фона . Космический телескоп Джеймса Уэбба был расположен на орбите Halo около L ₂ 24 января 2022 года.

Солнце - Земли L ₁ и L ₂ - седельные точки и экспоненциально нестабильны с постоянными временем примерно в 23 дня. Спутники в этих точках пройдут через несколько месяцев, если не будут внесены исправления курса. ^{[ 9 ]}

Sun-Barth L ₃ был популярным местом, где можно было бы поставить « контратаку » в научную фантастику и комиксы , несмотря на то, что существование планетарного тела в этом месте было понято как невозможность, когда-то орбитальная механика и возмущения планет на орбитах друг друга стали понятны, задолго до космической эры; Влияние тела размером с Землю на другие планеты не останется незамеченным, и не тот факт, что фокусы орбитального эллипса Земли не были бы в их ожидаемых местах, из-за массы контракта. Солнце -рамка L ₃ , однако, является слабой седлой и экспоненциально нестабильной с постоянной временем примерно 150 лет. ^{[ 9 ]} Более того, он не мог содержать естественный объект, большой или маленький, очень долго, потому что гравитационные силы других планет сильнее, чем у Земли (например, Венера находится в пределах 0,3 АС этого L ₃ каждые 20 месяцев). ^{[ Цитация необходима ]}

Космический корабль, орбит, вращающийся вблизи Солнца-Зерда L _3, сможет внимательно следить за развитием активных областей Sunspot, прежде чем они повернут в геоэффективное положение, так что NOAA Центр прогнозирования космической погоды может быть выдан семидневным ранним предупреждением . Более того, спутник возле Солнца-Земля L ₃ обеспечит очень важные наблюдения не только для прогнозов Земли, но и для поддержки глубокого космоса (прогнозы MARS и для миссий экипажа к астероидам почти земля ). В 2010 году были изучены траектории передачи космических кораблей в Солнечное -Земление L ₃ , и было рассмотрено несколько дизайнов. ^{[ 27 ]}

Земля - Мун

Земля - Мон L ₁ обеспечивает сравнительно легкий доступ к лунным и земным орбитам с минимальным изменением скорости, и это имеет преимущество в размещении жилой космической станции, предназначенной для того, чтобы помочь перевозить груз и персонал на луну и обратно. SMART -1 Миссия ^{[ 28 ]} Прошел через L ₁ влияние Луны Lagrangian Point 11 ноября 2004 года и перешел в область, где доминирует гравитационное .

Земля - Мун L ₂ использовался для спутника связи, покрывающего дальнюю сторону луны, например, Queqiao , запущенный в 2018 году, ^{[ 29 ]} и будет «идеальным местоположением» для пропеллентного депо в рамках предлагаемой архитектуры космического транспорта на основе депо. ^{[ 30 ]}

Земля - Мун L ₄ и L ₅ - это места для пылевых облаков Kordylewski . ^{[ 31 ]} происходит Название общества L5 от L ₄ и L ₅ Lagrangian Points в системе Земли -Мун, предложенных в качестве места для их огромных вращающихся пространственных средств обитания. Обе позиции также предложены для спутников связи, охватывающих а также спутники связи на луне на геосинхронной орбите, покрывают землю. ^{[ 32 ]}^{[ 33 ]}

Солнце -venus

Ученые из фонда B612 были ^{[ 34 ]} Планируйте использовать долярный L ₃ 3, чтобы позиционировать свой запланированный телескоп , который был направлен на оглядываться на орбиту Земли и составить каталог астероидов почти приземления . ^{[ 35 ]}

Солнце -мамы

идея позиционирования магнитного дипольного щита в Sun -Mars L _{1 Point для использования в качестве искусственной магнитосферы для Марса.}В 2017 году на конференции NASA обсуждалась ^{[ 36 ]} Идея состоит в том, что это защитит атмосферу планеты от радиации солнца и солнечных ветров.

Смотрите также

Пояснительные заметки

^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} На самом деле ⁠ 25 + √ 69/2 3 ⁠ ≈ ( 24,959 935 7944 последовательность A230242 в OEI )

Ссылки

^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Корниш, Нил Дж. (1998). "Лагранж очки" (PDF) . WMAP Образование и аутрич. Архивировано из оригинала (PDF) 7 сентября 2015 года . Получено 15 декабря 2015 года .
^ Вейсштейн, Эрик У. "Лагранж очки" . Мир физики Эрика Вайсштейна .
^ «DSCOVR: глубокий» . Исследование солнечной системы НАСА . НАСА . Получено 2021-10-27 .
^ "Об орбите" . НАСА . Получено 2022-01-01 .
^ Кун, Ван Санг; Ло, Мартин В .; Марсден, Джерролд Э .; Росс, Шейн Д. (2006). Динамические системы, проблема с тремя телами и дизайн космической миссии . п. 9. Архивировано из оригинала 2008-05-27 . Получено 2008-06-09 . (16 МБ)
^ Эйлер, Леонхард (1765). Прямолинейное движение трех тел каждого из них (PDF) .
^ Лагранж, Джозеф-Луи (1867–92). «Том 6, Глава II: Эссе о проблеме трех тел» . Работы Лагранжа (по -французски). Gauthier-Villars. стр. 229–334.
^ "L2 Orbit" . Научный институт космического телескопа. Архивировано из оригинала 3 февраля 2014 года . Получено 28 августа 2016 года .
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в "Лагранж очки" (PDF) . НАСА. 1998. , Нил Дж. Корниш, с участием Джереми Гудмана
^ Чой, Чарльз Q. (27 июля 2011 г.). «Первый астероидный компаньон Земли, наконец, обнаружил» . Space.com .
^ «НАСА - Мудрая миссия НАСА находит первую троянскую астероидную орбиту Земли» . www.nasa.gov .
^ Хуи, Человек-То; Вигерт, Пол А .; Толен, Дэвид Дж .; Форинг, Дора (ноябрь 2021 г.). «Вторая Земля Троян 2020 XL5» . Астрофизические журнальные буквы . 922 (2): L25. Arxiv : 2111.05058 . Bibcode : 2021Apj ... 922L..25H . doi : 10.3847/2041-8213/ac37bf . S2CID 243860678 .
^ Slíz-Balogh, Judit; Барта, Андрас; Horváth, Gábor (2018). «Небесная механика и поляризационная оптика из пылевого облака Kordylewski в точке L5-часть I. Часть I. Трехмерное небесное механическое моделирование формирования пыли» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 480 (4): 5550–5559. Arxiv : 1910.07466 . Bibcode : 2018mnras.480.5550S . doi : 10.1093/mnras/sty2049 .
^ Slíz-Balogh, Judit; Барта, Андрас; Horváth, Gábor (2019). «Небесная механика и поляризационная оптика из пылевого облака Kordylewski в точке земли-луна Лагранжа L5. Часть II. Поляриметрическое наблюдение визуализации: новые доказательства существования Кордилевского пылевого облака» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 482 (1): 762–770. Arxiv : 1910.07471 . Bibcode : 2019mnras.482..762S . doi : 10.1093/mnras/sty2630 .
^ Фрейтас, Роберт; Вальдес, Франциско (1980). «Поиск естественных или искусственных объектов, расположенных в точках либрации Земли -Мун» . ИКАРС . 42 (3): 442–447. Bibcode : 1980icar ... 42..442f . doi : 10.1016/0019-1035 (80) 90106-2 .
^ «Список троянцев Нептуна» . Мнозннюю планету Центр. Архивировано из оригинала 2011-07-25 . Получено 2010-10-27 .
^ Белбруно, Эдвард ; Готт III, Дж. Ричард (2005). "Откуда взялась луна?". Астрономический журнал . 129 (3): 1724–1745. Arxiv : Astro-ph/0405372 . Bibcode : 2005aj .... 129.1724b . doi : 10.1086/427539 . S2CID 12983980 .
^ Сепинский, Джереми Ф.; Виллемс, Барт; Калогера, Вики (май 2007 г.). «Экпротенциальные поверхности и лагранжевые точки в несинхронных, эксцентричных бинарных и планетарных системах». Астрофизический журнал . 660 (2): 1624–1635. Arxiv : Astro-ph/0612508 . Bibcode : 2007Apj ... 660.1624S . doi : 10.1086/513736 . S2CID 15519581 .
^ Сейдов, Закир Ф. (1 марта 2004 г.). «Проблема Роша: некоторая аналитика». Астрофизический журнал . 603 (1): 283–284. Arxiv : Astro-ph/0311272 . Bibcode : 2004Apj ... 603..283S . doi : 10.1086/381315 . S2CID 16724058 .
^ «Видналл, лекция L18 - Изучение соседства: ограниченная проблема с тремя телами» (PDF) .
^ Фицпатрик, Ричард. «Стабильность очков Лагранжа» . Ньютоновская динамика . Техасский университет.
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в Гринспен, Томас (7 января 2014 г.). «Стабильность точек Лагранжа, L4 и L5» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 18 апреля 2018 года . Получено 28 февраля 2018 года .
^ Питева, Елена В . ; Standish, E. Myles (2009-04-01). «Предложения по массам трех крупнейших астероидов, массового соотношения луны и здания и астрономической единицы» . Небесная механика и динамическая астрономия . 103 (4): 365–372. Bibcode : 2009cemda.103..365p . doi : 10.1007/s10569-009-9203-8 . S2CID 121374703 .
^ Cacolici, Джанна Николь и др., « Стабильность очков Лагранжа: космический телескоп Джеймса Уэбба» , Университет Аризоны. Получено 17 сентября 2018 года.
^ "Isee-3/Ice" . Исследование солнечной системы . НАСА. Архивировано из оригинала 20 июля 2015 года . Получено 8 августа 2015 года .
^ Угловой размер солнца при 1 а.е. + 1,5 миллиона километров: 31,6 ′, угловой размер Земли при 1,5 миллионах километров: 29,3 '
^ Тантардини, Марко; Фантино, Елена; Рен, Юань; Pergola, Pierpaolo; Гомес, Джерард; Masdemont, Josep J. (2010). «Траектории космических аппаратов до L ₃ точки солнечной проблемы с тремя телами» (PDF) . Небесная механика и динамическая астрономия . 108 (3): 215–232. Bibcode : 2010cemda.108..215t . doi : 10.1007/s10569-010-9299-x . S2CID 121179935 .
^ Smart-1: на курсе для лунного захвата | Луна сегодня - ваш ежедневный источник Moon News Archived 2 ноября 2005 года на машине Wayback
^ Джонс, Эндрю (2018-06-14). «Спутник реле Chang'e-4 попадает в ореовую орбиту вокруг Земли-Муна L2, микросателлит на лунной орбите» . Spacenews .
^ Зеглер, Фрэнк; Kutter, Bernard (2010-09-02). «Развитие в архитектуру космической транспортировки на основе депо» (PDF) . AIAA Space 2010 Конференция и экспозиция . AIAA. п. 4. Архивировано из оригинала (PDF) 2014-06-24 . Получено 2011-01-25 . L ₂ находится в глубоком пространстве далеко от любой планетарной поверхности, и, следовательно, термическая, микрометеороидная и атомная кислородная среда значительно превосходят среды в LEO. Термодинамический стаз и расширенный срок службы аппаратного обеспечения гораздо проще получить без этих условий наказания, наблюдаемых в LEO. L ₂ - не просто отличный шлюз - это отличное место для хранения пропеллентов. ... L ₂ - идеальное место для хранения пропеллентов и автомобилей: он близок, высокая энергия и холодно. Что еще более важно, это позволяет непрерывному движению пропеллентов от депо Льва, тем самым подавляя их размер и эффективно минимизируя штрафы о кипении, почти земляном.
^ Kordylewski, Kazimierz (1961). «Фотографические экзамены в системе Libration Point L ₅ в системе Земли Луны» . Acta Astronomica, Vol . Том. 165. Код BIB : 1961ACA .... 11..165K .
^ Хорниг, Андреас (2022-05-01). «Tycho: поддержка постоянной экипаж разведки лунного разрыва с высокоскоростной оптической коммуникацией везде» . Эса
^ Хорниг, Андреас (2013-10-06). «Миссия Tycho в Libration Point Eml-4 @ IAC 2013» . IAC2013 .
^ «B612 Изучение миссий Smallsat для поиска объектов ближнего Земли» . Spacenews.com . 20 июня 2017 года.
^ «Миссия Стража» . B612 Фонд. Архивировано из оригинала 30 июня 2012 года . Получено 1 февраля 2014 года .
^ «НАСА предлагает магнитный щит для защиты атмосферы Марса» . Phys.org .

Внешние ссылки

Джозеф -Луи, граф Лагранж, из произведений , том 6, «эссе о проблеме трех тел» -ESSAY (PDF) ; Источник Том 6 (просмотр)
- «Эссе о проблеме с тремя телами» J.-L. Лагранж, переведенный из вышесказанного, в Merlyn.demon.co.uk Archived 2019-06-23 на The Wayback Machine .
Рассмотрение движения Небесных Тел -Леонхард Эйлер -Транскрипция и перевод на Merlyn.demon.co.uk Archived 2020-08-03 на машине Wayback .
Zip -файл

Lagrange JR Stockton - включает в себя переводы Essai и двух связанных документов Euler

Что такое Лагранж? - Европейского космического агентства с хорошей анимацией Страница
Объяснение очков Лагранжа - Нейл Дж. Корниш
Объяснение НАСА - также приписывается Нилу Дж. Корниш
Объяснение точек Лагранжа - Джон Баэс
Места очков Лагранжа, с приближениями - Дэвид Питер Стерн
Онлайн-калькулятор для вычисления точных позиций 5 точек лагранжа для любой системы с двумя телами -Dunn Dunn
Астрономия актер . 76: «Очки Лагранжа» Фрейзера Каина и Памелы Л. Гей
Пять точек Лагранжа Нила ДеГрасса Тайсон
Земля, одинокий троян обнаружил
См. Подразделение LAGRANGE POINTS и ORBITS HALO ORBITS в разделе «Геосинхронная трансферная орбита» в НАСА: Основы космического полета , Глава 5

[exact_stability_threshold-9] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} На самом деле ⁠ 25 + √ 69/2 3 ⁠ ≈ ( 24,959 935 7944 последовательность A230242 в OEI )

[Lagrange_Cornish-1] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Корниш, Нил Дж. (1998). "Лагранж очки" (PDF) . WMAP Образование и аутрич. Архивировано из оригинала (PDF) 7 сентября 2015 года . Получено 15 декабря 2015 года .

[2] Вейсштейн, Эрик У. "Лагранж очки" . Мир физики Эрика Вайсштейна .

[3] «DSCOVR: глубокий» . Исследование солнечной системы НАСА . НАСА . Получено 2021-10-27 .

[4] "Об орбите" . НАСА . Получено 2022-01-01 .

[5] Кун, Ван Санг; Ло, Мартин В .; Марсден, Джерролд Э .; Росс, Шейн Д. (2006). Динамические системы, проблема с тремя телами и дизайн космической миссии . п. 9. Архивировано из оригинала 2008-05-27 . Получено 2008-06-09 . (16 МБ)

[E327-6] Эйлер, Леонхард (1765). Прямолинейное движение трех тел каждого из них (PDF) .

[gallica.bnf.fr-7] Лагранж, Джозеф-Луи (1867–92). «Том 6, Глава II: Эссе о проблеме трех тел» . Работы Лагранжа (по -французски). Gauthier-Villars. стр. 229–334.

[stsci.edu-8] "L2 Orbit" . Научный институт космического телескопа. Архивировано из оригинала 3 февраля 2014 года . Получено 28 августа 2016 года .

[cornish-10] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в "Лагранж очки" (PDF) . НАСА. 1998. , Нил Дж. Корниш, с участием Джереми Гудмана

[11] Чой, Чарльз Q. (27 июля 2011 г.). «Первый астероидный компаньон Земли, наконец, обнаружил» . Space.com .

[12] «НАСА - Мудрая миссия НАСА находит первую троянскую астероидную орбиту Земли» . www.nasa.gov .

[Hui2021-13] Хуи, Человек-То; Вигерт, Пол А .; Толен, Дэвид Дж .; Форинг, Дора (ноябрь 2021 г.). «Вторая Земля Троян 2020 XL5» . Астрофизические журнальные буквы . 922 (2): L25. Arxiv : 2111.05058 . Bibcode : 2021Apj ... 922L..25H . doi : 10.3847/2041-8213/ac37bf . S2CID 243860678 .

[14] Slíz-Balogh, Judit; Барта, Андрас; Horváth, Gábor (2018). «Небесная механика и поляризационная оптика из пылевого облака Kordylewski в точке L5-часть I. Часть I. Трехмерное небесное механическое моделирование формирования пыли» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 480 (4): 5550–5559. Arxiv : 1910.07466 . Bibcode : 2018mnras.480.5550S . doi : 10.1093/mnras/sty2049 .

[15] Slíz-Balogh, Judit; Барта, Андрас; Horváth, Gábor (2019). «Небесная механика и поляризационная оптика из пылевого облака Kordylewski в точке земли-луна Лагранжа L5. Часть II. Поляриметрическое наблюдение визуализации: новые доказательства существования Кордилевского пылевого облака» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 482 (1): 762–770. Arxiv : 1910.07471 . Bibcode : 2019mnras.482..762S . doi : 10.1093/mnras/sty2630 .

[16] Фрейтас, Роберт; Вальдес, Франциско (1980). «Поиск естественных или искусственных объектов, расположенных в точках либрации Земли -Мун» . ИКАРС . 42 (3): 442–447. Bibcode : 1980icar ... 42..442f . doi : 10.1016/0019-1035 (80) 90106-2 .

[ntrojans-17] «Список троянцев Нептуна» . Мнозннюю планету Центр. Архивировано из оригинала 2011-07-25 . Получено 2010-10-27 .

[belbruno-2005-18] Белбруно, Эдвард ; Готт III, Дж. Ричард (2005). "Откуда взялась луна?". Астрономический журнал . 129 (3): 1724–1745. Arxiv : Astro-ph/0405372 . Bibcode : 2005aj .... 129.1724b . doi : 10.1086/427539 . S2CID 12983980 .

[19] Сепинский, Джереми Ф.; Виллемс, Барт; Калогера, Вики (май 2007 г.). «Экпротенциальные поверхности и лагранжевые точки в несинхронных, эксцентричных бинарных и планетарных системах». Астрофизический журнал . 660 (2): 1624–1635. Arxiv : Astro-ph/0612508 . Bibcode : 2007Apj ... 660.1624S . doi : 10.1086/513736 . S2CID 15519581 .

[20] Сейдов, Закир Ф. (1 марта 2004 г.). «Проблема Роша: некоторая аналитика». Астрофизический журнал . 603 (1): 283–284. Arxiv : Astro-ph/0311272 . Bibcode : 2004Apj ... 603..283S . doi : 10.1086/381315 . S2CID 16724058 .

[21] «Видналл, лекция L18 - Изучение соседства: ограниченная проблема с тремя телами» (PDF) .

[Fitzpatrick-22] Фицпатрик, Ричард. «Стабильность очков Лагранжа» . Ньютоновская динамика . Техасский университет.

[Greenspan-23] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в Гринспен, Томас (7 января 2014 г.). «Стабильность точек Лагранжа, L4 и L5» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 18 апреля 2018 года . Получено 28 февраля 2018 года .

[Pitjeva-24] Питева, Елена В . ; Standish, E. Myles (2009-04-01). «Предложения по массам трех крупнейших астероидов, массового соотношения луны и здания и астрономической единицы» . Небесная механика и динамическая астрономия . 103 (4): 365–372. Bibcode : 2009cemda.103..365p . doi : 10.1007/s10569-009-9203-8 . S2CID 121374703 .

[25] Cacolici, Джанна Николь и др., « Стабильность очков Лагранжа: космический телескоп Джеймса Уэбба» , Университет Аризоны. Получено 17 сентября 2018 года.

[nasa_sse-26] "Isee-3/Ice" . Исследование солнечной системы . НАСА. Архивировано из оригинала 20 июля 2015 года . Получено 8 августа 2015 года .

[27] Угловой размер солнца при 1 а.е. + 1,5 миллиона километров: 31,6 ′, угловой размер Земли при 1,5 миллионах километров: 29,3 '

[transferslibthree-28] Тантардини, Марко; Фантино, Елена; Рен, Юань; Pergola, Pierpaolo; Гомес, Джерард; Masdemont, Josep J. (2010). «Траектории космических аппаратов до L ₃ точки солнечной проблемы с тремя телами» (PDF) . Небесная механика и динамическая астрономия . 108 (3): 215–232. Bibcode : 2010cemda.108..215t . doi : 10.1007/s10569-010-9299-x . S2CID 121179935 .

[29] Smart-1: на курсе для лунного захвата | Луна сегодня - ваш ежедневный источник Moon News Archived 2 ноября 2005 года на машине Wayback

[magpie-earth-moon-l2-30] Джонс, Эндрю (2018-06-14). «Спутник реле Chang'e-4 попадает в ореовую орбиту вокруг Земли-Муна L2, микросателлит на лунной орбите» . Spacenews .

[aiaa20100902_p4-31] Зеглер, Фрэнк; Kutter, Bernard (2010-09-02). «Развитие в архитектуру космической транспортировки на основе депо» (PDF) . AIAA Space 2010 Конференция и экспозиция . AIAA. п. 4. Архивировано из оригинала (PDF) 2014-06-24 . Получено 2011-01-25 . L ₂ находится в глубоком пространстве далеко от любой планетарной поверхности, и, следовательно, термическая, микрометеороидная и атомная кислородная среда значительно превосходят среды в LEO. Термодинамический стаз и расширенный срок службы аппаратного обеспечения гораздо проще получить без этих условий наказания, наблюдаемых в LEO. L ₂ - не просто отличный шлюз - это отличное место для хранения пропеллентов. ... L ₂ - идеальное место для хранения пропеллентов и автомобилей: он близок, высокая энергия и холодно. Что еще более важно, это позволяет непрерывному движению пропеллентов от депо Льва, тем самым подавляя их размер и эффективно минимизируя штрафы о кипении, почти земляном.

[kordylewski-32] Kordylewski, Kazimierz (1961). «Фотографические экзамены в системе Libration Point L ₅ в системе Земли Луны» . Acta Astronomica, Vol . Том. 165. Код BIB : 1961ACA .... 11..165K .

[TychoESAmoonlight-33] Хорниг, Андреас (2022-05-01). «Tycho: поддержка постоянной экипаж разведки лунного разрыва с высокоскоростной оптической коммуникацией везде» . Эса

[TychoVideo-34] Хорниг, Андреас (2013-10-06). «Миссия Tycho в Libration Point Eml-4 @ IAC 2013» . IAC2013 .

[cancel1-35] «B612 Изучение миссий Smallsat для поиска объектов ближнего Земли» . Spacenews.com . 20 июня 2017 года.

[36] «Миссия Стража» . B612 Фонд. Архивировано из оригинала 30 июня 2012 года . Получено 1 февраля 2014 года .

[37] «НАСА предлагает магнитный щит для защиты атмосферы Марса» . Phys.org .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ Примечание 1 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

История

Лагранж очки

L 1 пункт

L 2 очка

L 3 точка

L 4 и L 5 очков

Стабильность

Естественные объекты в точках Лагранжа

Физические и математические детали

L 1

L 2

L 3

L 4 и L 5

Радиальное ускорение

Стабильность

Значения солнечной системы

Приложения космического полета

Солнце -рамник

Земля - ​​Мун

Солнце -venus

Солнце -мамы

Смотрите также

Пояснительные заметки

Ссылки

Внешние ссылки

L ₁ пункт

L ₂ очка

L ₃ точка

L ₄ и L ₅ очков

L ₁

L ₂

L ₃

L ₄ и L ₅

Земля - Мун