Межквартильный размах

В описательной статистике межквартильный размах ( IQR ) является мерой статистической дисперсии , которая представляет собой разброс данных. ^[1] IQR также можно назвать средним спредом , средним 50% , четвертым спредом или H-спредом. Он определяется как разница между 75-м и 25-м процентилями данных. ^[2]^[3]^[4] Для расчета IQR набор данных делится на квартили или четыре упорядоченные по рангу четные части посредством линейной интерполяции. ^[1] Эти квартили обозначаются Q ₁ (также называемым нижним квартилем), Q ₂ ( медиана ) и Q ₃ (также называемым верхним квартилем). Нижний квартиль соответствует 25-му процентилю, а верхний квартиль соответствует 75-му процентилю, поэтому IQR = Q ₃ − Q _1.^[1]_.

IQR является примером усеченного оценщика , определяемого как усеченный диапазон 25 % , который повышает точность статистики набора данных за счет исключения более низкого вклада, отдаленных точек. ^[5] Он также используется в качестве надежной меры масштаба. ^[5] Это можно наглядно представить с помощью прямоугольника на коробчатой диаграмме . ^[1]

Использовать

В отличие от общего размаха , межквартильный размах имеет точку пробоя 25%. ^[6] и поэтому часто предпочтительнее общего диапазона.

IQR используется для построения коробчатых диаграмм , простых графических представлений распределения вероятностей .

IQR используется в бизнесе как маркер уровня доходов .

Для симметричного распределения (где медиана равна середине , среднему значению первого и третьего квартилей), половина IQR равна медианному абсолютному отклонению (MAD).

Медиана является соответствующей мерой центральной тенденции .

IQR можно использовать для выявления выбросов (см. ниже ). IQR также может указывать на асимметрию набора данных. ^[1]

Квартильное отклонение или полуинтерквартильный размах определяется как половина IQR. ^[7]

Алгоритм

IQR набора значений рассчитывается как разница между верхним и нижним квартилем Q ₃ и Q ₁ . Каждый квартиль представляет собой медиану ^[8] рассчитывается следующим образом.

Учитывая четное 2n или нечетное 2n+1 количество значений

первый квартиль Q ₁ = медиана n наименьших значений

третий квартиль Q ₃ = медиана n наибольших значений ^[8]

Второй квартиль Q ₂ аналогичен обычной медиане. ^[8]

Примеры

Набор данных в таблице

Следующая таблица состоит из 13 строк и соответствует правилам для нечетного числа записей.

я	х[я]	медиана	Квартиль
1	7	Вопрос ₂ =87 (медиана всей таблицы)	Вопрос ₁ =31 (медиана нижней половины, с 1 по 6 ряд)
2	7
3	31
4	31
5	47
6	75
7	87
8	115		Q ₃=119 (медиана верхней половины, с 8 по 13 ряд)
9	116
10	119
11	119
12	155
13	177

Для данных этой таблицы межквартильный размах составляет IQR = Q ₃ − Q ₁ = 119 – 31 = 88.

Набор данных в текстовом поле

                    
                             +−−−−−+−+     
               * |−−−−−−−−−−−|     | |−−−−−−−−−−−|
                             +−−−−−+−+    
                    
 +−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+−−−+   number line
 0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10  11  12

Для набора данных в этом коробчатом графике :

Нижний (первый) квартиль Q ₁ = 7
Медиана (второй квартиль) Q ₂ = 8,5
Верхний (третий) квартиль Q ₃ = 9
Межквартильный размах, IQR = Q ₃ - Q ₁ = 2
Нижний 1,5*ус IQR = Q _1–1,5 * IQR = 7–3 = 4. (Если нет точки данных в 4, то самая нижняя точка больше 4.)
Верхний 1,5*ус IQR = Q ₃ + 1,5 * IQR = 9 + 3 = 12. (Если нет точки данных на уровне 12, то самая высокая точка меньше 12.)
Схема последних двух пунктов списка: если в истинных квартилях нет точек данных, используйте точки данных немного «внутри» (ближе к медиане) от фактических квартилей.

Это означает, что усы 1,5*IQR могут быть разной длины. Медиана, минимум, максимум, а также первый и третий квартиль составляют пятизначную сводку . ^[9]

Распределения

Межквартильный диапазон непрерывного распределения можно рассчитать путем интегрирования функции плотности вероятности (которая дает кумулятивную функцию распределения — любые другие способы расчета CDF также подойдут). Нижний квартиль, Q ₁ , представляет собой число такое, что интеграл PDF от -∞ до Q ₁ равен 0,25, а верхний квартиль, Q ₃ , представляет собой такое число, что интеграл от -∞ до Q ₃ равен 0,75; с точки зрения CDF квартили можно определить следующим образом:

Q_{1}={\text{CDF}}^{-1}(0.25),

Q_{3}={\text{CDF}}^{-1}(0.75),

где CDF ⁻¹ — функция квантиля .

Межквартильный размах и медиана некоторых распространенных распределений показаны ниже.

Распределение	медиана	IQR
Нормальный	м	2 Ф ⁻¹(0,75)σ ≈ 1,349σ ≈ (27/20)σ
Лаплас	м	2 б ln(2) ≈ 1,386 б
Коши	м	2с

Тест межквартильного размаха на нормальность распределения

IQR, среднее значение и стандартное отклонение популяции P ли P можно использовать в простой проверке того, является нормально распределенным или гауссовым. Если P нормально распределено, то стандартная оценка первого квартиля z ₁ равна -0,67, а стандартная оценка третьего квартиля z ₃ равна +0,67. Учитывая среднее значение = ${\bar {P}}$ и стандартное отклонение = σ для P , если P нормально распределено, первый квартиль

Q_{1}=(\sigma \,z_{1})+{\bar {P}}

и третий квартиль

Q_{3}=(\sigma \,z_{3})+{\bar {P}}

Если фактические значения первого или третьего квартилей существенно различаются ^{[ нужны разъяснения ]} Судя по рассчитанным значениям, P не имеет нормального распределения. Однако нормальное распределение можно тривиально нарушить, чтобы сохранить стандартные значения Q1 и Q2. оценки равны 0,67 и -0,67 и не имеют нормального распределения (поэтому приведенный выше тест даст ложноположительный результат). Здесь можно было бы указать лучший критерий нормальности, такой как график Q–Q .

Выбросы

Межквартильный размах часто используется для обнаружения выбросов в данных. Выбросы здесь определяются как наблюдения, которые находятся ниже Q1 - 1,5 IQR или выше Q3 + 1,5 IQR. На коробчатой диаграмме наибольшее и наименьшее значения, встречающиеся в этом пределе, обозначаются усами прямоугольника (часто с дополнительной полосой на конце уса) и любыми выбросами в виде отдельных точек.

См. также

Междецильный диапазон - Статистическая мера
Midhinge – среднее значение первого и третьего квартилей.
Возможная ошибка
Надежные меры масштаба . Статистические показатели отклонения выборки.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Репортаж, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хен Пауль; Мастер, Людольф Эрвин (2005). Современное введение в теорию вероятности и статистики . Тексты Спрингера в статистике. Лондон: Спрингер Лондон. дои : 10.1007/1-84628-168-7 . ISBN 978-1-85233-896-1 .
^ Аптон, Грэм; Кук, Ян (1996). Понимание статистики . Издательство Оксфордского университета. п. 55. ИСБН 0-19-914391-9 .
^ Цвиллингер, Д., Кокоска, С. (2000) Таблицы и формулы стандартной вероятности и статистики CRC , CRC Press. ISBN 1-58488-059-7, стр. 18.
^ Росс, Шелдон (2010). Вводная статистика . Берлингтон, Массачусетс: Elsevier. стр. 103–104. ISBN 978-0-12-374388-6 .
^ Jump up to: ^а ^б Кальтенбах, Ганс Михаэль (2012). Краткое руководство по статистике . Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-3-642-23502-3 . OCLC 763157853 .
^ Руссиу, Питер Дж.; Кру, Кристоф (1992). Ю. Додж (ред.). «Явные оценщики масштаба с высокой точкой пробоя» (PDF) . L1-статистический анализ и родственные методы . Амстердам: Северная Голландия. стр. 77–92.
^ Юле, Г. Удный (1911). Введение в теорию статистики . Чарльз Гриффин и компания. стр. 147–148 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Бертил., Вестергрен (1988). Бета[бета]Справочник по математике: понятия, теоремы, методы, алгоритмы, формулы, графики, таблицы . Студенческая литература . п. 348. ИСБН 9144250517 . OCLC 18454776 .
^ Деккинг, Краайкамп, Лопухаа и Мистер, стр. 235–237

Внешние ссылки

СМИ, связанные с межквартильным диапазоном, на Викискладе?

[:1-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Репортаж, Фредерик Мишель; Краайкамп, Корнелис; Лопухаа, Хен Пауль; Мастер, Людольф Эрвин (2005). Современное введение в теорию вероятности и статистики . Тексты Спрингера в статистике. Лондон: Спрингер Лондон. дои : 10.1007/1-84628-168-7 . ISBN 978-1-85233-896-1 .

[Upton-2] Аптон, Грэм; Кук, Ян (1996). Понимание статистики . Издательство Оксфордского университета. п. 55. ИСБН 0-19-914391-9 .

[ZK-3] Цвиллингер, Д., Кокоска, С. (2000) Таблицы и формулы стандартной вероятности и статистики CRC , CRC Press. ISBN 1-58488-059-7, стр. 18.

[4] Росс, Шелдон (2010). Вводная статистика . Берлингтон, Массачусетс: Elsevier. стр. 103–104. ISBN 978-0-12-374388-6 .

[:2-5] Jump up to: ^а ^б Кальтенбах, Ганс Михаэль (2012). Краткое руководство по статистике . Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-3-642-23502-3 . OCLC 763157853 .

[6] Руссиу, Питер Дж.; Кру, Кристоф (1992). Ю. Додж (ред.). «Явные оценщики масштаба с высокой точкой пробоя» (PDF) . L1-статистический анализ и родственные методы . Амстердам: Северная Голландия. стр. 77–92.

[Yule-7] Юле, Г. Удный (1911). Введение в теорию статистики . Чарльз Гриффин и компания. стр. 147–148 .

[:0-8] Jump up to: ^а ^б ^с Бертил., Вестергрен (1988). Бета[бета]Справочник по математике: понятия, теоремы, методы, алгоритмы, формулы, графики, таблицы . Студенческая литература . п. 348. ИСБН 9144250517 . OCLC 18454776 .

[9] Деккинг, Краайкамп, Лопухаа и Мистер, стр. 235–237

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]