Простой k -кортеж

В теории чисел простой представляет собой конечный набор значений , $k$ -кортеж представляющий повторяющийся образец различий между простыми числами . Для $k$ кортежа кортеж $(a, b, \dots)$ позиции, в которых $k$ соответствует шаблону простых чисел, задаются набором целых чисел $n$ таких, что все значения $(n + a, n + b, \dots)$ являются простыми. Обычно первое значение в $кортеже k$ равно 0, а остальные представляют собой различные положительные четные числа . ^{[ 1 ]}

Именованные шаблоны

Некоторые из самых коротких k -кортежей известны под другими общими именами:

(0, 2)	простые числа-близнецы
(0, 4)	двоюродный брат простых чисел
(0, 6)	сексуальные простые числа
(0, 2, 6), (0, 4, 6)	простые тройки
(0, 6, 12)	сексуальные тройняшки
(0, 2, 6, 8)	простые четверки , простое десятилетие
(0, 6, 12, 18)	сексуальные прайм-четвёрки
(0, 2, 6, 8, 12), (0, 4, 6, 10, 12)	первые пятерни
(0, 4, 6, 10, 12, 16)	простые шестерни

OEIS Последовательность OEIS : A257124 охватывает 7-кортежи ( простые семерки ) и содержит обзор связанных последовательностей, например, три последовательности, соответствующие трем допустимым 8-кортежам ( простые восьмерки ), и объединение всех 8-кортежей. Первый член в этих последовательностях соответствует первому простому числу в наименьшем простом созвездии, показанном ниже.

Приемлемость

Для того, чтобы $k$ -кортеж имел бесконечное количество позиций, в которых все его значения являются простыми, не может существовать простое число $p$ такое, что кортеж включает в себя все возможные значения по модулю $p$ . Ибо, если бы такое простое число $p$ существовало, то независимо от того, какое значение $n$ было выбрано, одно из значений, образованных добавлением $n$ к кортежу, делилось бы на $p$ , поэтому могло быть только конечное число простых размещений (только те, которые включают $p$ сам). Например, числа в $k$ -кортеже не могут принимать все три значения 0, 1 и 2 по модулю 3; в противном случае результирующие числа всегда будут кратны 3 и, следовательно, не смогут все быть простыми, если только одно из чисел само не будет 3. k $-$ кортеж, который удовлетворяет этому условию (т.е. не имеет $p,$ для которого он охватывает все различные значения по модулю $p$ ), называется допустимым .

Предполагается , что каждому допустимому $набору k$ соответствует бесконечное число позиций в последовательности простых чисел. Однако не существует допустимого набора, для которого это доказано, кроме одномерного набора (0). Тем не менее, Итан Чжан в 2013 году доказал, что существует хотя бы один кортеж из двух чисел, соответствующий бесконечному количеству позиций; последующая работа показала, что существует такой кортеж из двух чисел со значениями, отличающимися на 246 или меньше, который соответствует бесконечному количеству позиций. ^{[ 2 ]}

Позиции, соответствующие недопустимым шаблонам

Хотя (0, 2, 4) недопустимо, оно создает единственный набор простых чисел (3, 5, 7) .

Некоторые недопустимые $наборы k$ имеют более одного простого решения. Этого не может произойти для $k$ -кортежа, который включает все значения по модулю 3, поэтому, чтобы иметь это свойство, $k$ -кортеж должен охватывать все значения по модулю большего простого числа, подразумевая, что в кортеже есть как минимум пять чисел. Самый короткий недопустимый кортеж с более чем одним решением — это кортеж из 5 (0, 2, 8, 14, 26) , который имеет два решения: (3, 5, 11, 17, 29) и (5, 7, 13, 19, 31) , где в обоих случаях включены все значения по модулю 5.

Основные созвездия

Диаметр кортежа — k $-$ это разность его наибольшего и наименьшего элементов. Допустимый простой $k$ -кортеж с наименьшим возможным диаметром $d$ (среди всех допустимых $k$ -кортежей) является простым созвездием . Для всех $n \geq k$ это всегда будет давать последовательные простые числа. ^{[ 3 ]} (Напомним, что все $n$ — целые числа, для которых значения $(n + a, n + b, \dots)$ являются простыми.)

Это означает, что для больших $n$ :

p_{n+k-1}-p_{n}\geq d

где $p n —$ - е $n$ простое число.

Первые несколько основных созвездий:

$к$	$д$	Созвездие	самый маленький ^{[ 4 ]}
2	2	(0, 2)	(3, 5)
3	6	(0, 2, 6) (0, 4, 6)	(5, 7, 11) (7, 11, 13)
4	8	(0, 2, 6, 8)	(5, 7, 11, 13)
5	12	(0, 2, 6, 8, 12) (0, 4, 6, 10, 12)	(5, 7, 11, 13, 17) (7, 11, 13, 17, 19)
6	16	(0, 4, 6, 10, 12, 16)	(7, 11, 13, 17, 19, 23)
7	20	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20) (0, 2, 8, 12, 14, 18, 20)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31) (5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659)
8	26	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26) (0, 6, 8, 14, 18, 20, 24, 26)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)
9	30	(0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30) (0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30) (0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30) (0, 4, 10, 12, 18, 22, 24, 28, 30)	(11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41) (13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43) (17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47) (88789, 88793, 88799, 88801, 88807, 88811, 88813, 88817, 88819)

Диаметр $d$ как функция $k$ — это последовательность A008407 в OEIS .

Простое созвездие иногда называют простым $k$ -набором , но некоторые авторы оставляют этот термин для случаев, которые не являются частью более длинных $k$ -наборов.

Первая гипотеза Харди-Литтлвуда предсказывает, что асимптотическую частоту любого простого созвездия можно вычислить. Хотя эта гипотеза не доказана, она считается вполне вероятной. Если это так, это означает, что вторая гипотеза Харди-Литтлвуда , напротив, ложна.

Простые арифметические прогрессии

Простой $k$ -кортеж вида $(0, n, 2 n, 3 n, \dots, (k - 1) n)$ называется простой арифметической прогрессией . Чтобы такой $k$ -кортеж соответствовал критерию допустимости, $n$ должно быть кратным простому k $числу$ . ^{[ 5 ]}

Перекос чисел

Числа Скьюса для простых k -кортежей представляют собой расширение определения числа Скьюса на простые k -кортежи, основанное на первой гипотезе Харди – Литтлвуда ( Тот (2019) ). Позволять $P=(p,\ p+i_{1},\ p+i_{2},\ \dots \ ,\ p+i_{k})$ обозначим простой $k$ -кортеж, $\pi _{P}(x)$ количество простых чисел $p$ ниже $x$ таких, что $p,\ p+i_{1},\ p+i_{2},\ \dots \ ,\ p+i_{k}$ все простые, пусть ${\textstyle \operatorname {li} _{P}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}}$ и пусть $C_{P}$ обозначим его константу Харди–Литтлвуда (см. первую гипотезу Харди–Литтлвуда ). Тогда первое простое число $p$ , которое нарушает неравенство Харди–Литтлвуда для $k$ -набора $P$ , т. е. такое, что

\pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),

(если такое простое число существует) является числом Скьюса для $P$ .

В таблице ниже показаны известные на данный момент числа Скьюса для простых k -кортежей:

Простой $k$ -кортеж	Число перекосов	Найден пользователем
⁠ $(p,\ p+2)$ ⁠	1369391	Волк (2011)
⁠ $(p,\ p+4)$ ⁠	5206837	Тот (2019)
⁠ $(p,\ p+2,\ p+6)$ ⁠	87613571	Тот (2019)
⁠ $(p,\ p+4,\ p+6)$ ⁠	337867	Тот (2019)
⁠ $(p,\ p+2,\ p+6,\ p+8)$ ⁠	1172531	Тот (2019)
⁠ $(p,\ p+4,\ p+6,\ p+10)$ ⁠	827929093	Тот (2019)
⁠ $(p,\ p+2,\ p+6,\ p+8,\ p+12)$ ⁠	21432401	Тот (2019)
⁠ $(p,\ p+4,\ p+6,\ p+10,\ p+12)$ ⁠	216646267	Тот (2019)
⁠ $(p,\ p+4,\ p+6,\ p+10,\ p+12,\ p+16)$ ⁠	251331775687	Тот (2019)
⁠ $(p,\ p+2,\ p+6,\ p+8,\ p+12,\ p+18,\ p+20)$ ⁠	7572964186421	Пфертнер (2020)
⁠ $(p,\ p+2,\ p+8,\ p+12,\ p+14,\ p+18,\ p+20)$ ⁠	214159878489239	Пфертнер (2020)
⁠ $(p,\ p+2,\ p+6,\ p+8,\ p+12,\ p+18,\ p+20,\ p+26)$ ⁠	1203255673037261	Пфертнер / Лун (2021)
⁠ $(p,\ p+2,\ p+6,\ p+12,\ p+14,\ p+20,\ p+24,\ p+26)$ ⁠	523250002674163757	Лун / Пфертнер (2021)
⁠ $(p,\ p+6,\ p+8,\ p+14,\ p+18,\ p+20,\ p+24,\ p+26)$ ⁠	750247439134737983	Пфертнер / Лун (2021)

Число Скьюса (если оно существует) для сексуальных простых чисел ⁠ $(p,\;p+6)$ ⁠ пока неизвестно.

Ссылки

^ Крис Колдуэлл, «The Prime Glossary: k -tuple» на The Prime Pages .
^ «Ограниченные промежутки между простыми числами» . ПолиМатематика . Проверено 22 апреля 2019 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Первое созвездие» . Математический мир .
^ Норман Лун, «Большая база данных «наименьших простых k -туплетов»» .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Основная арифметическая прогрессия» . Математический мир .

Тот, Ласло (2019), «Об асимптотической плотности простых k-кортежей и гипотезе Харди и Литтлвуда» (PDF) , Computational Methods in Science and Technology , 25 (3), arXiv : 1910.02636 , doi : 10.12921/cmst .2019.0000033 , S2CID 203836016 .
Вольф, Марек (2011), «Число Скьюса для простых чисел-близнецов: подсчет изменений знака π2(x) − C2Li2(x)» (PDF) , Computational Methods in Science and Technology , 17 : 87–92, doi : 10.12921/ cmst.2011.17.01.87-92 , S2CID 59578795 .

[1] Крис Колдуэлл, «The Prime Glossary: k -tuple» на The Prime Pages .

[2] «Ограниченные промежутки между простыми числами» . ПолиМатематика . Проверено 22 апреля 2019 г.

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Первое созвездие» . Математический мир .

[4] Норман Лун, «Большая база данных «наименьших простых k -туплетов»» .

[5] Вайсштейн, Эрик В. «Основная арифметическая прогрессия» . Математический мир .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

v т и Классы простых чисел
По формуле	Ферма ( $2 2 н + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Вагстафф $(2 п + 1)/3$ Прот ( $k \cdot2 н + 1$ ) Факториал ( $n! \pm 1$ ) Первобытный ( $p n # \pm 1$ ) Евклид ( $p n # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 n + 1$ ) Пьерпон ( $2 м \cdot3 н + 1$ ) Квартан ( $х 4 + и 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 н \pm 1$ ) Каллен ( $n \cdot2 н + 1$ ) Вудалл ( $n \cdot2 н - 1$ ) Кубинский ( $х 3 - и 3)/(Икс - у$ ) Лейланд ( $x и + и х$ ) Сабит ( $3\cdot2 н - 1$ ) Уильямс ( $(b -1)\cdot b н - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 н ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман–Шэнкс–Уильямс Перрин
По свойству	Виферих ( пара ) Стена–Солнце–Солнце Вулстенхолм Уилсон Удачливый удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Стерн Суперсингулярная (эллиптическая кривая) Суперсингулярная (теория самогона) Хороший Супер Хиггс Высокий коэффициент Уникальный
Базово -зависимый	палиндромный Эмирп Репунит $(10 н - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Нежный Первобытный Полный отчет Уникальный Счастливый Себя Смарандаш-Веллин Стробограмматический двугранный тетрадный
Узоры	Твин ( $р, р + 2$ ) Двойная цепь ( $n \pm1, 2n \pm 1, 4n \pm 1, \dots$ ) Тройка ( $p, p +2 или p +4, p +6$ ) Четверка ( $р, р +2, р +6, р +8$ ) k -кортеж Двоюродный брат ( $п, р + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен/Сейф ( $п, 2п +1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательные p - n, p, p + n$ )
По размеру	Мега (1 000 000+ цифр) Самый крупный известный список
Комплексные числа	простое число Эйзенштейна Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопростой каталонский Эллиптический Эйлер Эйлер-Якоби Ферма Фробениус Лукас Перрин Сомер-Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупростые числа Сфеническое число Интерпрайм Пагубный
Связанные темы	Вероятное простое число Промышленный класс Prime Незаконный премьер Формула простых чисел Премьер-разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел