Статистическая дисперсия

В статистике распределение дисперсия (также называемая изменчивостью , разбросом или распространением ) — это степень, до которой растягивается или сжимается. ^[1] Распространенными примерами показателей статистической дисперсии являются дисперсия , стандартное отклонение и межквартильный размах . Например, когда дисперсия данных в наборе велика, данные сильно разбросаны. С другой стороны, когда дисперсия мала, данные в наборе кластеризуются.

Дисперсия противопоставляется местоположению или центральной тенденции , и вместе они являются наиболее используемыми свойствами распределений.

Меры статистической дисперсии

Мерой статистической дисперсии является неотрицательное действительное число , которое равно нулю, если все данные одинаковы, и увеличивается по мере того, как данные становятся более разнообразными.

Большинство мер дисперсии имеют те же единицы , что и величина измеряемая . Другими словами, если измерения производятся в метрах или секундах, то и дисперсия является такой же. Примеры мер дисперсии включают в себя:

Стандартное отклонение
Межквартильный размах (IQR)
Диапазон
Средняя абсолютная разница (также известная как средняя абсолютная разница Джини)
Медианное абсолютное отклонение (MAD)
Среднее абсолютное отклонение (или просто среднее отклонение)
Стандартное отклонение расстояния

Они часто используются (вместе с масштабными коэффициентами ) в качестве оценок параметров масштаба , и в этом качестве они называются оценками масштаба. Надежные меры масштаба – это те, на которые не влияет небольшое количество выбросов , и включают IQR и MAD.

Все вышеперечисленные меры статистической дисперсии обладают тем полезным свойством, что они не зависят от местоположения и линейны по масштабу . Это означает, что если случайная величина $X$ имеет дисперсию $S_{X}$ то линейное преобразование $Y=aX+b$ серьезно $a$ и $b$ должен иметь дисперсию $S_{Y}=|a|S_{X}$ , где $|a|$ это абсолютное значение $a$ , то есть игнорирует предшествующий отрицательный знак $-$ .

Остальные меры дисперсии безразмерны . Другими словами, у них нет единиц измерения, даже если у самой переменной есть единицы. К ним относятся:

Коэффициент вариации
Квартильный коэффициент дисперсии
Относительная средняя разница , равная удвоенному коэффициенту Джини.
Энтропия : Хотя энтропия дискретной переменной не зависит от местоположения и масштаба и, следовательно, не является мерой дисперсии в вышеуказанном смысле, энтропия непрерывной переменной инвариантна к местоположению и аддитивна по масштабу: если $H(z)$ - энтропия непрерывной переменной $z$ и $z=ax+b$ , затем $H(z)=H(x)+\log(a)$ .

Существуют и другие меры дисперсии:

Дисперсия (квадрат стандартного отклонения) – не зависит от местоположения, но не является линейной по масштабу.
Отношение дисперсии к среднему — в основном используется для данных подсчета термин «коэффициент дисперсии» , когда используется и когда это отношение безразмерное , поскольку данные подсчета сами по себе безразмерны, а не иначе.

Некоторые меры дисперсии имеют специализированные цели. Дисперсия Аллана может использоваться в приложениях, где шум нарушает сходимость. ^[2] Дисперсия Адамара может использоваться для противодействия чувствительности к линейному дрейфу частоты. ^[3]

Для категориальных переменных дисперсию реже измеряют одним числом; см. качественное изменение . Одной из мер, которая делает это, является дискретная энтропия .

Источники

В физических науках такая изменчивость может быть результатом случайных ошибок измерения: измерения с помощью приборов часто не являются совершенно точными, то есть воспроизводимыми , и существует дополнительная межэкспертная вариабельность в интерпретации и сообщении результатов измерений. Можно предположить, что измеряемая величина стабильна и что различия между измерениями обусловлены ошибкой наблюдения . Система большого числа частиц характеризуется средними значениями относительно небольшого числа макроскопических величин, таких как температура, энергия и плотность. Стандартное отклонение — важная мера в теории флуктуаций, которая объясняет многие физические явления, в том числе почему небо голубое. ^[4]

В биологических науках измеряемая величина редко бывает неизменной и стабильной, а наблюдаемые вариации могут быть, кроме того, присущи этому явлению: они могут быть следствием межиндивидуальной изменчивости , то есть отдельных членов популяции, отличающихся друг от друга. Также это может быть связано с внутрииндивидуальной изменчивостью , то есть у одного и того же испытуемого различаются тесты, взятые в разное время или в других различающихся условиях. Подобные типы изменчивости наблюдаются и в сфере производимой продукции; даже там дотошный ученый находит вариации.

Частичное упорядочение дисперсии

( Разброс с сохранением среднего значения MPS) — это переход от одного распределения вероятностей A к другому распределению вероятностей B, где B формируется путем расширения одной или нескольких частей функции плотности вероятности A, при этом среднее значение (ожидаемое значение) остается неизменным. ^[5] Концепция разброса, сохраняющего среднее значение, обеспечивает частичное упорядочение распределений вероятностей в соответствии с их дисперсиями: из двух распределений вероятностей одно может быть оценено как имеющее большую дисперсию, чем другое, или, альтернативно, ни одно из них не может быть оценено как имеющее большую дисперсию.

См. также

Ссылки

^ Электронный справочник NIST/SEMATECH по статистическим методам. «1.3.6.4. Местоположение и масштабные параметры» . www.itl.nist.gov . Министерство торговли США.
^ «Отклонение Аллана - Обзор Дэвида В. Аллана» . www.allanstime.com . Проверено 16 сентября 2021 г.
^ «Вариация Адамара» . www.wriley.com . Проверено 16 сентября 2021 г.
^ МакКуорри, Дональд А. (1976). Статистическая механика . Нью-Йорк: Харпер и Роу. ISBN 0-06-044366-9 .
^ Ротшильд, Майкл; Стиглиц, Джозеф (1970). «Повышающийся риск I: определение». Журнал экономической теории . 2 (3): 225–243. дои : 10.1016/0022-0531(70)90038-4 .

[1] Электронный справочник NIST/SEMATECH по статистическим методам. «1.3.6.4. Местоположение и масштабные параметры» . www.itl.nist.gov . Министерство торговли США.

[2] «Отклонение Аллана - Обзор Дэвида В. Аллана» . www.allanstime.com . Проверено 16 сентября 2021 г.

[3] «Вариация Адамара» . www.wriley.com . Проверено 16 сентября 2021 г.

[4] МакКуорри, Дональд А. (1976). Статистическая механика . Нью-Йорк: Харпер и Роу. ISBN 0-06-044366-9 .

[5] Ротшильд, Майкл; Стиглиц, Джозеф (1970). «Повышающийся риск I: определение». Журнал экономической теории . 2 (3): 225–243. дои : 10.1016/0022-0531(70)90038-4 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]