Общий фильтр

В математической области теории множеств — общий фильтр это своего рода объект, используемый в теории принуждения , метод, используемый для многих целей, но особенно для установления независимости определенных предложений от определенных формальных теорий, таких как ZFC . Например, Пол Коэн использовал принуждение, чтобы установить, что ZFC, если он непротиворечив, не может доказать гипотезу континуума , которая утверждает, что существуют ровно действительные алеф-один числа . В современной интерпретации доказательства Коэна строится общий фильтр, который кодирует более $\aleph _{1}$ реалов, без изменения стоимости $\aleph _{1}$.

Формально, пусть P — частично упорядоченное множество , и пусть F — фильтр на P ; то есть F является подмножеством P таким, что:

1. F непусто
2. Если p , q ∈ P и p ≤ q и p — элемент F , то q — элемент F ( F замкнут вверх )
3. Если p и q — элементы F , то существует элемент r из F такой, что r ⩽ p и r ⩽ q ( F направлен вниз )

Теперь, если D — совокупность плотных открытых подмножеств P , в топологии которой базовыми открытыми множествами являются все множества вида { q | q ≤ p } для конкретного p в P , то F называется D -генерическим , если F соответствует всем множествам в D ; то есть,

$F\cap E\neq \varnothing ,\,$ для всех E ∈ D.

Аналогично, если M — транзитивная модель ZFC (или некоторый ее достаточный фрагмент), где P — элемент M , то F называется M -генерическим или иногда генерическим над M , если F соответствует всем плотным открытым подмножествам P которые являются элементами M .

См. также

• 1-generic – владение свойством для типичных примеров. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления в вычислимости.
• Лемма Расёвы – Сикорского - Математическая лемма

Ссылки

• К. Чесельский (1997). Теория множеств для работающего математика . Лондонское математическое общество, студенческие тексты 39. Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521594653 .