Диаграмма аксиом
 | Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют достаточные соответствующие встроенные цитаты . ( Май 2016 г. ) |
В математической логике схема аксиом (множественное число: схемы аксиом или схемы аксиом ) обобщает понятие аксиомы .
Формальное определение
[ редактировать ]Схема аксиом — это формула на метаязыке аксиоматической системы , в которой фигурируют одна или несколько схематических переменных . Эти переменные, являющиеся металингвистическими конструкциями, обозначают любой термин или подформулу системы, которая может требоваться или не требоваться для удовлетворения определенных условий. Часто такие условия требуют, чтобы определенные переменные были свободными или чтобы определенные переменные не появлялись в подформуле или термине. [ нужна ссылка ] .
Конечная аксиоматизация
[ редактировать ]Учитывая, что число возможных подформул или терминов, которые можно вставить вместо схематической переменной, бесконечно, схема аксиом означает бесконечный класс или набор аксиом. Этот набор часто можно определить рекурсивно . Теория, которая может быть аксиоматизирована без схем, называется конечно аксиоматизируемой .
Примеры
[ редактировать ]Два хорошо известных примера схем аксиом:
- схема индукции , являющаяся частью аксиом Пеано арифметики натуральных чисел ;
- Схема аксиом замены , являющаяся частью стандартной ZFC- аксиоматизации теории множеств .
Чеслав Рилль-Нардзевский доказал, что арифметика Пеано не может быть конечно аксиоматизирована, а Ричард Монтегю доказал, что ZFC не может быть конечно аксиоматизирована. [ 1 ] Следовательно, схемы аксиом не могут быть исключены из этих теорий. То же самое справедливо и для многих других аксиоматических теорий в математике, философии, лингвистике и т. д.
Конечно аксиоматизированные теории
[ редактировать ]Все теоремы ZFC также являются теоремами теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя , но последняя может быть конечно аксиоматизирована. Теория множеств « Новые основания» может быть окончательно аксиоматизирована с помощью понятия стратификации .
В логике высшего порядка
[ редактировать ]Схематические переменные в логике первого порядка обычно тривиально устраняются в логике второго порядка , поскольку схематическая переменная часто является заполнителем для любого свойства или отношения к отдельным элементам теории. Так обстоит дело со схемами индукции и замены, упомянутыми выше. Логика высшего порядка позволяет количественным переменным варьироваться по всем возможным свойствам или отношениям.
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Чеслав Рылль-Нардзевский 1952; Ричард Монтегю, 1961 год.
Ссылки
[ редактировать ]- Коркоран, Джон (2006), «Схемы: концепция схемы в истории логики», Бюллетень символической логики , 12 (2): 219–240, doi : 10.2178/bsl/1146620060 , S2CID 6909703 .
- Коркоран, Джон (2016). «Схема» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
- Мендельсон, Эллиотт (1997), Введение в математическую логику (4-е изд.), Chapman & Hall, ISBN 0-412-80830-7 .
- Монтегю, Ричард (1961), «Семантическое замыкание и неконечная аксиоматизируемость I», в книге Сэмюэля Р. Басса (редактор), «Инфинитистские методы: материалы симпозиума по основам математики» , Pergamon Press, стр. 45–69 .
- Поттер, Майкл (2004), Теория множеств и ее философия , Oxford University Press, ISBN 9780199269730 .
- Рилл-Нардзевский, Чеслав (1952), «Роль аксиомы индукции в элементарной арифметике» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 39 : 239–263, doi : 10.4064/fm-39-1-239-263 .
