Диаграмма Фейнмана

На этой диаграмме Фейнмана электрон ( e − ) и позитрон ( e + ) аннигилируют , производя фотон ( γ , представленный синей синусоидальной волной), который становится парой кварк - антикварк (кварк q , антикварк q̄ ), после чего антикварк излучает глюон ( g , представленный зеленой спиралью).

Ричард Фейнман в 1984 году

В теоретической физике диаграмма Фейнмана представляет собой графическое представление математических выражений, описывающих поведение и взаимодействие субатомных частиц . Схема названа в честь американского физика Ричарда Фейнмана , представившего диаграммы в 1948 году. Взаимодействие субатомных частиц может быть сложным и трудным для понимания; Диаграммы Фейнмана дают простую визуализацию того, что в противном случае было бы загадочной и абстрактной формулой. По словам Дэвида Кайзера , «с середины 20-го века физики-теоретики все чаще обращались к этому инструменту, который помог им провести критические расчеты. Диаграммы Фейнмана произвели революцию почти во всех аспектах теоретической физики». Хотя диаграммы применяются в первую очередь к квантовой теории поля , их также можно использовать и в других областях физики, таких как теория твердого тела . Фрэнк Вильчек писал, что расчеты, которые принесли ему Нобелевскую премию по физике в 2004 году , «были бы буквально немыслимы без диаграмм Фейнмана, как и расчеты [Вильчека], проложившие путь к образованию и наблюдению частицы Хиггса ».

Фейнман использовал Штюкельбергом, интерпретацию позитрона, предложенную Эрнстом как если бы это был электрон, движущийся назад во времени. Таким образом, на диаграммах Фейнмана античастицы изображаются движущимися назад вдоль оси времени.

Расчет амплитуд вероятностей в теоретической физике элементарных частиц требует использования довольно больших и сложных интегралов по большому числу переменных . Диаграммы Фейнмана могут представлять эти интегралы графически.

Диаграмма Фейнмана — это графическое представление пертурбативного вклада в амплитуду перехода или корреляционную функцию квантово-механической или статистической теории поля. В рамках канонической формулировки квантовой теории поля диаграмма Фейнмана представляет собой член расширения Вика пертурбативной S -матрицы . Альтернативно, формулировка квантовой теории поля с помощью интеграла по путям представляет амплитуду перехода как взвешенную сумму всех возможных историй системы от начального до конечного состояния с точки зрения частиц или полей. Амплитуда перехода тогда задается как матричный элемент S -матрицы между начальным и конечным состояниями квантовой системы.

Мотивация и история

На этой диаграмме каон , состоящий из верхнего и странного антикварка , распадается как слабо , так и сильно на три пиона , с промежуточными стадиями, включающими W-бозон и глюон , представленные синей синусоидальной волной и зеленой спиралью соответственно.

При расчете сечений рассеяния в физике элементарных частиц взаимодействие между частицами можно описать, начиная с свободного поля , которое описывает входящие и исходящие частицы, и включая гамильтониан взаимодействия , описывающий, как частицы отклоняют друг друга. Амплитуда рассеяния представляет собой сумму каждой возможной истории взаимодействия по всем возможным промежуточным состояниям частицы. Количество раз, когда действует гамильтониан взаимодействия, соответствует порядку разложения возмущений , а зависящая от времени теория возмущений для полей известна как ряд Дайсона . Когда промежуточные состояния в промежуточные моменты времени являются собственными состояниями энергии (набором частиц с определенным импульсом), этот ряд называется старомодной теорией возмущений (или зависящей от времени/упорядоченной во времени теорией возмущений).

Ряд Дайсона можно альтернативно переписать как сумму по диаграммам Фейнмана, где в каждой вершине сохраняются как , и импульс энергия так , но где длина четырехвектора энергии-импульса не обязательно равна массе, т.е. промежуточным частицам являются так называемыми внекорпусными . Диаграммы Фейнмана гораздо легче отслеживать, чем «старомодные» термины, потому что старомодный подход рассматривает вклады частиц и античастиц как отдельные. Каждая диаграмма Фейнмана представляет собой сумму экспоненциально многих старомодных членов, поскольку каждая внутренняя линия может отдельно представлять либо частицу, либо античастицу. В нерелятивистской теории нет античастиц и нет удвоения, поэтому каждая диаграмма Фейнмана включает только один член.

Фейнман дал рецепт для расчета амплитуды ( правила Фейнмана, ниже ) для любой заданной диаграммы из лагранжиана теории поля . Каждая внутренняя линия соответствует фактору виртуальной частицы пропагатора ; каждая вершина, где встречаются линии, дает коэффициент, полученный из члена взаимодействия в лагранжиане, а входящие и исходящие линии несут энергию, импульс и спин .

Помимо своей ценности как математического инструмента, диаграммы Фейнмана обеспечивают глубокое физическое понимание природы взаимодействий частиц. Частицы взаимодействуют всеми доступными способами; на самом деле, промежуточным виртуальным частицам разрешено распространяться быстрее света. Вероятность каждого конечного состояния затем получается путем суммирования всех таких возможностей. Это тесно связано с функционального интеграла формулировкой квантовой механики , также изобретенной Фейнманом — см. формулировку интеграла по траекториям .

Наивное применение таких вычислений часто приводит к диаграммам, амплитуды которых бесконечны , поскольку взаимодействия частиц на малых расстояниях требуют тщательной процедуры ограничения, чтобы включить самодействия частиц . Техника перенормировки , предложенная Эрнстом Штюкельбергом и Гансом Бете и реализованная Дайсоном , Фейнманом, Швингером и Томонагой , компенсирует этот эффект и устраняет неприятные бесконечности. После перенормировки расчеты с использованием диаграмм Фейнмана соответствуют экспериментальным результатам с очень высокой точностью.

Диаграмма Фейнмана и методы интеграла по траекториям также используются в статистической механике и могут даже применяться к классической механике .

Альтернативные названия

Мюррей Гелл-Манн всегда называл диаграммы Фейнмана диаграммами Штюкельберга в честь швейцарского физика Эрнста Штюкельберга , который разработал аналогичные обозначения много лет назад. Штюкельберг был мотивирован необходимостью явно ковариантного формализма для квантовой теории поля, но не предоставил автоматизированного способа обработки факторов симметрии и петель, хотя он был первым, кто нашел правильную физическую интерпретацию в терминах движения частиц вперед и назад во времени. пути, все без интеграла пути.

Исторически, в качестве устройства учета ковариантной теории возмущений, графики назывались диаграммами Фейнмана-Дайсона или графами Дайсона . потому что интеграл по путям был незнаком, когда они были введены, а вывод Фримена Дайсона из старомодной теории возмущений, заимствованный из пертурбативных разложений в статистической механике, было легче следовать физикам, обученным более ранним методам. Фейнману пришлось активно лоббировать диаграммы, что сбило с толку физиков истеблишмента, обученных уравнениям и графикам.

Представление физической реальности

В своих представлениях о фундаментальных взаимодействиях написанная с точки зрения физики элементарных частиц, Джерард 'т Хофт и Мартинус Вельтман привели веские аргументы в пользу того, чтобы принять исходные, нерегуляризованные диаграммы Фейнмана как наиболее краткое представление наших нынешних знаний о физике квантового рассеяния фундаментальных частиц . Их мотивы согласуются с убеждениями Джеймса Дэниела Бьоркена и Сидни Дрелла :

Графики Фейнмана и правила вычислений обобщают квантовую теорию поля в форме, близкой к экспериментальным числам, которые хочется понять. Хотя изложение теории в терминах графов может подразумевать теорию возмущений , использование графических методов в задаче многих тел показывает, что этот формализм достаточно гибок, чтобы иметь дело с явлениями непертурбативного характера... Некоторая модификация Фейнмана правил расчета вполне может пережить сложную математическую структуру локальной канонической квантовой теории поля...

В квантовых теориях поля диаграммы Фейнмана получаются из лагранжиана по правилам Фейнмана.

Размерная регуляризация — это метод регуляризации интегралов при оценке диаграмм Фейнмана; он присваивает им значения, которые являются мероморфными функциями вспомогательного комплексного параметра d , называемого размерностью. Размерная регуляризация записывает интеграл Фейнмана как интеграл, зависящий от размерности пространства-времени d и точек пространства-времени.

Интерпретация траектории частиц

Диаграмма Фейнмана представляет собой представление процессов квантовой теории поля с точки зрения взаимодействия частиц . Частицы представлены линиями диаграммы, которые могут быть волнистыми или прямыми, со стрелкой или без нее, в зависимости от типа частицы. Точка, где линии соединяются с другими линиями, является вершиной , и именно здесь частицы встречаются и взаимодействуют: испуская или поглощая новые частицы, отклоняя друг друга или меняя тип.

Существует три различных типа линий: внутренние линии соединяют две вершины, входящие линии проходят от «прошлого» к вершине и представляют начальное состояние, а исходящие линии проходят от вершины к «будущему» и представляют конечное состояние ( последние две также известны как внешние линии ). Традиционно нижняя часть диаграммы — это прошлое, а верхняя — будущее; в других случаях прошлое находится слева, а будущее справа. При вычислении корреляционных функций вместо амплитуд рассеяния нет прошлого и будущего и все линии являются внутренними. Затем частицы начинаются и заканчиваются маленькими x, которые представляют позиции операторов, корреляция которых рассчитывается.

Диаграммы Фейнмана представляют собой графическое представление вклада в общую амплитуду процесса, который может происходить несколькими различными способами. Когда группа входящих частиц должна рассеяться друг от друга, этот процесс можно рассматривать как процесс, в котором частицы перемещаются по всем возможным путям, включая пути, идущие назад во времени.

Диаграммы Фейнмана часто путают с диаграммами пространства-времени и изображениями пузырьковой камеры , поскольку все они описывают рассеяние частиц. Диаграммы Фейнмана — это графики , которые представляют взаимодействие частиц, а не физическое положение частицы во время процесса рассеяния. В отличие от изображения пузырьковой камеры, только сумма всех диаграмм Фейнмана представляет любое данное взаимодействие частиц; частицы не выбирают определенную диаграмму каждый раз, когда взаимодействуют. Закон суммирования соответствует принципу суперпозиции — каждая диаграмма вносит свой вклад в общую амплитуду процесса.

Описание

Общие особенности процесса рассеяния A+B → C+D:
• внутренние линии (красные) для промежуточных частиц и процессов, которые имеют коэффициент распространения («prop»), внешние линии (оранжевые) для входящих/исходящих частиц в/из вершин (черные) ,
• в каждой вершине сохраняется 4-импульс с использованием дельта-функций, 4-импульсы, входящие в вершину, положительны, а выходящие отрицательны, множители в каждой вершине и внутренней линии умножаются на интеграл амплитуды,
• оси пространства x и времени t показаны не всегда, направления внешних линий соответствуют течению времени.

Диаграмма Фейнмана представляет собой пертурбативный вклад в амплитуду квантового перехода из некоторого начального квантового состояния в некоторое конечное квантовое состояние.

Например, в процессе электрон-позитронной аннигиляции начальное состояние — один электрон и один позитрон, конечное состояние — два фотона.

Часто предполагается, что начальное состояние находится слева от диаграммы, а конечное состояние — справа (хотя довольно часто используются и другие соглашения).

Диаграмма Фейнмана состоит из точек, называемых вершинами, и линий, прикрепленных к вершинам.

Частицы в начальном состоянии изображаются линиями, торчащими в направлении исходного состояния (например, влево), частицы в конечном состоянии изображаются линиями, торчащими в направлении конечного состояния (например, влево). право).

В КЭД есть два типа частиц: частицы материи, такие как электроны или позитроны (называемые фермионами ) и обменные частицы (называемые калибровочными бозонами ). На диаграммах Фейнмана они представлены следующим образом:

1. Электрон в исходном состоянии представлен сплошной линией со стрелкой, указывающей спин частицы, например, направленной к вершине (→•).
2. Электрон в конечном состоянии представлен линией со стрелкой, указывающей спин частицы, например, направленной от вершины: (•→).
3. Позитрон в исходном состоянии изображается сплошной линией со стрелкой, указывающей спин частицы, например, направленной от вершины: ( ←•).
4. Позитрон в конечном состоянии представлен линией со стрелкой, указывающей спин частицы, например, указывающей на вершину: (• ←).
5. Виртуальный Фотон в начальном и конечном состоянии представлен волнистой линией ( ~• и •~ ).

В КЭД к вершине всегда прикреплены три линии: одна бозонная линия, одна фермионная линия со стрелкой, направленной к вершине, и одна фермионная линия со стрелкой, направленной от вершины.

Вершины могут быть соединены бозонным или фермионным пропагатором . Бозонный пропагатор изображается волнистой линией, соединяющей две вершины (•~•). Фермионный пропагатор изображается сплошной линией (со стрелкой в ​​том или ином направлении), соединяющей две вершины (• ←•).

Число вершин дает порядок члена в разложении амплитуды перехода в ряд возмущений.

Пример электрон-позитронной аннигиляции

Диаграмма Фейнмана аннигиляции электрона и позитрона

электрона Аннигиляционное взаимодействие и позитрона:

и ⁺ + и ⁻ → 2в

имеет вклад диаграммы Фейнмана второго порядка, показанной рядом:

В исходном состоянии (внизу; раннее время) находится один электрон (e ⁻ ) и один позитрон (e ⁺ ) и в конечном состоянии (вверху; позднее время) находятся два фотона (γ).

Формулировка канонического квантования

Амплитуда вероятности перехода квантовой системы (между асимптотически свободными состояниями) из начального состояния |i⟩ в конечное состояние | f ⟩ задается матричным элементом

$S_{\rm {fi}}=\langle \mathrm {f} |S|\mathrm {i} \rangle \;,$

где S — S -матрица . С точки зрения оператора временной эволюции U это просто

$S=\lim _{t_{2}\rightarrow +\infty }\lim _{t_{1}\rightarrow -\infty }U(t_{2},t_{1})\;.$

На картинке взаимодействия это расширяется до

$S={\mathcal {T}}e^{-i\int _{-\infty }^{+\infty }d\tau H_{V}(\tau )}.$

где H _V — гамильтониан взаимодействия, а T означает упорядоченное по времени произведение операторов. Формула Дайсона разлагает упорядоченную по времени матричную экспоненту в ряд возмущений по степеням плотности гамильтониана взаимодействия:

$S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i)^{n}}{n!}}\left(\prod _{j=1}^{n}\int d^{4}x_{j}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {H}}_{V}\left(x_{j}\right)\right\}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }S^{(n)}\;.$

Эквивалентно, с лагранжианом взаимодействия L _V это

$S=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}\left(\prod _{j=1}^{n}\int d^{4}x_{j}\right){\mathcal {T}}\left\{\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)\right\}\equiv \sum _{n=0}^{\infty }S^{(n)}\;.$

Диаграмма Фейнмана - это графическое представление одного слагаемого в разложении Вика упорядоченного по времени произведения в члене n -го порядка S. ^{( н )} ряда Дайсона S -матрицы ,

${\mathcal {T}}\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)=\sum _{\text{A}}(\pm ){\mathcal {N}}\prod _{j=1}^{n}{\mathcal {L}}_{V}\left(x_{j}\right)\;,$

где N означает нормально упорядоченное произведение операторов, а (±) учитывает возможное изменение знака при коммутации фермионных операторов, чтобы объединить их для сжатия ( пропагатор ), а A представляет все возможные сокращения.

Правила Фейнмана

Диаграммы построены по правилам Фейнмана, которые зависят от лагранжиана взаимодействия. Для КЭД- лагранжиана взаимодействия

$L_{v}=-g{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu }$

описывающих взаимодействие фермионного поля ψ с бозонным калибровочным полем A _µ , правила Фейнмана можно сформулировать в координатном пространстве следующим образом:

1. Каждая координата интегрирования x _j представлена ​​точкой (иногда называемой вершиной);
2. Бозонный распространитель изображается волнистой линией, соединяющей две точки;
3. Фермионный пропагатор изображается сплошной линией, соединяющей две точки;
4. Бозонное поле $A_{\mu }(x_{i})$ изображается волнистой линией, прикрепленной к точке x _i ;
5. Фермионное поле ψ ( x _i ) изображается сплошной линией, прикрепленной к точке x _i со стрелкой, направленной к этой точке;
6. Антифермионное поле ψ ( x _i ) изображается сплошной линией, прикрепленной к точке x _i со стрелкой, направленной от этой точки;

Пример: процессы второго порядка в QED

Член возмущения второго порядка в S -матрице равен

$S^{(2)}={\frac {(ie)^{2}}{2!}}\int d^{4}x\,d^{4}x'\,T{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,\psi (x)\,A_{\mu }(x)\,{\bar {\psi }}(x')\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\nu }(x').\;$

Рассеяние фермионов

Диаграмма Фейнмана члена $N{\bar {\psi }}(x)ie\gamma ^{\mu }\psi (x){\bar {\psi }}(x')ie\gamma ^{\nu }\psi (x')A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')$

дает Расширение подынтегральной функции Виком (среди прочего) следующий член

$N{\bar {\psi }}(x)\gamma ^{\mu }\psi (x){\bar {\psi }}(x')\gamma ^{\nu }\psi (x'){\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}\;,$

где

${\underline {A_{\mu }(x)A_{\nu }(x')}}=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-ig_{\mu \nu }}{k^{2}+i0}}e^{-ik(x-x')}$

— электромагнитное сжатие (пропагатор) в калибровке Фейнмана. Этот термин представлен диаграммой Фейнмана справа. На этой диаграмме показан вклад в следующие процессы:

1. и ⁻ и ⁻ рассеяние (начальное состояние справа, конечное состояние слева на диаграмме);
2. и ⁺ и ⁺ рассеяние (начальное состояние слева, конечное состояние справа на диаграмме);
3. и ⁻ и ⁺ рассеяние (начальное состояние внизу/вверху, конечное состояние вверху/внизу диаграммы).

Комптоновское рассеяние и аннигиляция/генерация e ⁻ и ⁺ пары

Еще один интересный термин в расширении:

$N{\bar {\psi }}(x)\,\gamma ^{\mu }\,{\underline {\psi (x)\,{\bar {\psi }}(x')}}\,\gamma ^{\nu }\,\psi (x')\,A_{\mu }(x)\,A_{\nu }(x')\;,$

где

${\underline {\psi (x){\bar {\psi }}(x')}}=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{\gamma p-m+i0}}e^{-ip(x-x')}$

– фермионное сжатие (пропагатор).

Формулировка интеграла по траектории

В интеграле по путям лагранжиан поля, интегрированный по всем возможным историям поля, определяет амплитуду вероятности перехода от одной конфигурации поля к другой. Чтобы иметь смысл, теория поля должна иметь четко определенное основное состояние , а интеграл должен выполняться с небольшим поворотом в мнимое время, то есть вращением Вика . Формализм интеграла по путям полностью эквивалентен приведенному выше формализму канонических операторов.

Лагранжиан скалярного поля

Простым примером является свободное релятивистское скалярное поле в d измерениях, интеграл действия которого равен:

$S=\int {\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi \,d^{d}x\,.$

Амплитуда вероятности процесса равна:

$\int _{A}^{B}e^{iS}\,D\phi \,,$

где A и B — пространственноподобные гиперповерхности, определяющие граничные условия. Совокупность всех φ ( A ) на начальной гиперповерхности дает начальное значение поля, аналогичное начальному положению для точечной частицы, а значения поля φ ( B ) в каждой точке конечной гиперповерхности определяют конечное поле. значение, которое может меняться, что дает разную амплитуду, которая в конечном итоге будет иметь разные значения. Это амплитуда перехода из поля в поле.

Интеграл по пути дает математическое ожидание операторов между начальным и конечным состоянием:

$\int _{A}^{B}e^{iS}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi =\left\langle A\left|\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right|B\right\rangle \,,$

и в пределе, когда A и B уходят в бесконечное прошлое и бесконечное будущее, единственный вклад, который имеет значение, - это основное состояние (это строго верно только в том случае, если интеграл по траектории определяется слегка повернутым в мнимое время). Интеграл по путям можно рассматривать как аналог распределения вероятностей, и его удобно определить так, чтобы умножение на константу ничего не меняло:

${\frac {\displaystyle \int e^{iS}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{iS}\,D\phi }}=\left\langle 0\left|\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right|0\right\rangle \,.$

Коэффициент нормализации внизу называется статистической суммой поля и совпадает со статистической статистической статистической суммой при нулевой температуре при вращении в мнимое время.

амплитуды от начальной до конечной определены плохо Если с самого начала думать о пределе континуума, , поскольку флуктуации поля могут стать неограниченными. Таким образом, интеграл по путям можно рассматривать как дискретную квадратную решетку с шагом решетки a и пределом a → 0, который следует соблюдать осторожно. . Если окончательные результаты не зависят от формы решетки или значения a , то континуальный предел существует.

На решетке

На решетке (i) поле можно разложить по модам Фурье :

$\phi (x)=\int {\frac {dk}{(2\pi )^{d}}}\phi (k)e^{ik\cdot x}=\int _{k}\phi (k)e^{ikx}\,.$

Здесь область интегрирования по k ограничена кубом с длиной стороны ⁠ 2π / a ⁠ , так что большие значения k не допускаются. Важно отметить, что k -мера содержит факторы 2 π из преобразований Фурье , это лучшее стандартное соглашение для k -интегралов в КТП. Решетка означает, что флуктуации при больших k не могут давать вклад сразу, они начинают давать вклад только в пределе a → 0 . Иногда вместо решетки просто отсекаются моды поля при больших значениях k .

Также удобно время от времени считать объем пространства-времени конечным, так что k мод также представляют собой решетку. Это не так необходимо, как предел пространственной решетки, поскольку взаимодействия в k не локализованы, но это удобно для отслеживания факторов перед k -интегралами и сохраняющих импульс дельта-функций, которые возникнут.

На решетке (ii) действие необходимо дискретизировать:

$S=\sum _{\langle x,y\rangle }{\tfrac {1}{2}}{\big (}\phi (x)-\phi (y){\big )}^{2}\,,$

где ⟨ x , y ⟩ — пара ближайших соседей по решетке x и y . Дискретизацию следует рассматривать как определение того, что означает производная ∂ _μ φ .

В терминах решеточных мод Фурье действие можно записать:

$S=\int _{k}{\Big (}{\big (}1-\cos(k_{1}){\big )}+{\big (}1-\cos(k_{2}){\big )}+\cdots +{\big (}1-\cos(k_{d}){\big )}{\Big )}\phi _{k}^{*}\phi ^{k}\,.$

Для k, близкого к нулю, это:

$S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}\,.$

Теперь у нас есть континуальное преобразование Фурье исходного действия. В конечном объеме величина d ^д k не является бесконечно малым, а становится объемом ящика, образованного соседними модами Фурье, или ( ⁠ 2π / V ⁠ ) ^д
 .

Поле φ имеет действительное значение, поэтому преобразование Фурье подчиняется:

$\phi (k)^{*}=\phi (-k)\,.$

С точки зрения действительной и мнимой частей действительная часть φ ( k ) является четной функцией k , а мнимая часть - нечетной. Преобразование Фурье позволяет избежать двойного счета, поэтому его можно записать:

$S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\phi (k)\phi (-k)$

по области интегрирования, которая интегрируется по каждой паре ( k ,− k ) ровно один раз.

Для комплексного скалярного поля с действием

$S=\int {\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi \,d^{d}x$

преобразование Фурье не ограничено:

$S=\int _{k}{\tfrac {1}{2}}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}$

и интеграл ведется по всем k .

Интегрирование по всем различным значениям φ ( x ) эквивалентно интегрированию по всем модам Фурье, поскольку преобразование Фурье является унитарным линейным преобразованием координат поля. Когда вы меняете координаты в многомерном интеграле с помощью линейного преобразования, значение нового интеграла определяется определителем матрицы преобразования. Если

$y_{i}=A_{ij}x_{j}\,,$

затем

$\det(A)\int dx_{1}\,dx_{2}\cdots \,dx_{n}=\int dy_{1}\,dy_{2}\cdots \,dy_{n}\,.$

Если А — вращение, то

$A^{\mathrm {T} }A=I$

так что det A = ±1 , а знак зависит от того, включает ли вращение отражение или нет.

Матрицу, которая меняет координаты с φ ( x ) на φ ( k ), можно прочитать из определения преобразования Фурье.

$A_{kx}=e^{ikx}\,$

и теорема обращения Фурье говорит вам обратное:

$A_{kx}^{-1}=e^{-ikx}\,$

что представляет собой комплексное сопряжение-транспонирование с точностью до коэффициентов 2 π . На решетке конечного объема определитель отличен от нуля и не зависит от значений поля.

$\det A=1\,$

а интеграл по путям представляет собой отдельный коэффициент при каждом значении k .

$\int \exp \left({\frac {i}{2}}\sum _{k}k^{2}\phi ^{*}(k)\phi (k)\right)\,D\phi =\prod _{k}\int _{\phi _{k}}e^{{\frac {i}{2}}k^{2}\left|\phi _{k}\right|^{2}\,d^{d}k}\,$

Фактор d ^д k - бесконечно малый объем дискретной ячейки в k -пространстве в квадратном решетчатом ящике.

$d^{d}k=\left({\frac {1}{L}}\right)^{d}\,,$

где L — длина стороны коробки. Каждый отдельный фактор представляет собой осциллирующую гауссиану, и ширина гауссианы расходится по мере стремления объема к бесконечности.

В мнимом времени евклидово действие становится положительно определенным и может быть интерпретировано как распределение вероятностей. Вероятность того, что поле имеет значения φ _k, равна

$e^{\int _{k}-{\tfrac {1}{2}}k^{2}\phi _{k}^{*}\phi _{k}}=\prod _{k}e^{-k^{2}\left|\phi _{k}\right|^{2}\,d^{d}k}\,.$

Ожидаемое значение поля — это статистическое математическое ожидание поля, выбранное в соответствии с распределением вероятностей:

$\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}$

Поскольку вероятность φ _k является произведением, значение φ _k при каждом отдельном значении k независимо распределяется по Гауссу. Дисперсия гауссианы равна ⁠ 1 / к ² д ^д k ⁠ , что формально бесконечно, но это всего лишь означает, что колебания неограничены в бесконечном объеме. В любом конечном объеме интеграл заменяется дискретной суммой, а дисперсия интеграла равна ⁠ В / к ² ⁠ .

Монте-Карло

Интеграл по путям определяет вероятностный алгоритм для создания конфигурации евклидового скалярного поля. Случайным образом выберите действительную и мнимую части каждой моды Фурье с волновым числом k, чтобы она была гауссовой случайной величиной с дисперсией. ⁠ 1 / к ² ⁠ . конфигурацию φ _C ( k ) Это генерирует случайную , а преобразование Фурье дает φ _C ( x ) . Для реальных скалярных полей алгоритм должен генерировать только одно из каждой пары φ ( k ), φ (− k ) и делать второе комплексно-сопряженным первым.

Чтобы найти любую корреляционную функцию, снова и снова сгенерируйте поле с помощью этой процедуры и найдите среднее статистическое значение:

$\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle =\lim _{|C|\rightarrow \infty }{\frac {\displaystyle \sum _{C}\phi _{C}(x_{1})\cdots \phi _{C}(x_{n})}{|C|}}$

где | С | — это количество конфигураций, а сумма представляет собой произведение значений полей в каждой конфигурации. Евклидова корреляционная функция аналогична корреляционной функции в статистике или статистической механике. Квантово-механические корреляционные функции являются аналитическим продолжением евклидовых корреляционных функций.

Для свободных полей с квадратичным действием распределение вероятностей является многомерным гауссовым, а среднее статистическое задается явной формулой. Но метод Монте-Карло также хорошо работает для бозонных теорий взаимодействующего поля, где нет замкнутой формы корреляционных функций.

Скалярный пропагатор

Каждая мода независимо распределена по Гауссу. Математическое ожидание мод поля легко вычислить:

$\left\langle \phi _{k}\phi _{k'}\right\rangle =0\,$

для k ≠ k ′ , поскольку тогда две гауссовские случайные величины независимы и обе имеют нулевое среднее.

$\left\langle \phi _{k}\phi _{k}\right\rangle ={\frac {V}{k^{2}}}$

в конечном объеме V , когда два k -значения совпадают, поскольку это дисперсия гауссианы. В пределе бесконечного объема

$\left\langle \phi (k)\phi (k')\right\rangle =\delta (k-k'){\frac {1}{k^{2}}}$

Строго говоря, это приближение: решеточный пропагатор:

$\left\langle \phi (k)\phi (k')\right\rangle =\delta (k-k'){\frac {1}{2{\big (}d-\cos(k_{1})+\cos(k_{2})\cdots +\cos(k_{d}){\big )}}}$

Но вблизи k = 0 , для флуктуаций поля, больших по сравнению с шагом решетки, обе формы совпадают.

Дельта-функции содержат множители 2 π , так что они сокращают множители 2 π в мере для k интегралов.

$\delta (k)=(2\pi )^{d}\delta _{D}(k_{1})\delta _{D}(k_{2})\cdots \delta _{D}(k_{d})\,$

где δ _D ( k ) — обычная одномерная дельта-функция Дирака. Это соглашение для дельта-функций не является универсальным - некоторые авторы сохраняют явными коэффициенты 2 π в дельта-функциях (и в k -интегрировании).

Уравнение движения

Форму пропагатора легче найти, используя уравнение движения поля. Из лагранжиана уравнение движения имеет вид:

$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\phi =0\,$

и в ожидаемом значении это говорит:

$\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\left\langle \phi (x)\phi (y)\right\rangle =0$

Где производные действуют на x , и тождество верно везде, кроме случаев, когда x и y совпадают, и порядок операторов имеет значение. Форма особенности из канонических коммутационных соотношений может быть понята как дельта-функция. Определение (евклидова) фейнмановского пропагатора Δ как преобразования Фурье упорядоченной по времени двухточечной функции (той, которая получается из интеграла по путям):

$\partial ^{2}\Delta (x)=i\delta (x)\,$

Так что:

$\Delta (k)={\frac {i}{k^{2}}}$

Если уравнения движения линейны, пропагатор всегда будет обратной матрицей квадратичной формы, которая определяет свободный лагранжиан, поскольку это дает уравнения движения. Это также легко увидеть непосредственно из интеграла по путям. Множитель i исчезает в теории Евклида.

Теорема Вика

Основная статья: теорема Вика

Поскольку каждая мода поля является независимой гауссовой функцией, средние значения произведения многих мод поля подчиняются теореме Вика :

$\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\cdots \phi (k_{n})\right\rangle$

равно нулю, если только моды поля не совпадают попарно. Это означает, что для нечетного числа φ оно равно нулю , а для четного числа φ равно вкладу от каждой пары в отдельности, с дельта-функцией.

$\left\langle \phi (k_{1})\cdots \phi (k_{2n})\right\rangle =\sum \prod _{i,j}{\frac {\delta \left(k_{i}-k_{j}\right)}{k_{i}^{2}}}$

где сумма рассчитывается по каждому разбиению мод поля на пары, а произведение – по парам. Например,

$\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\delta (k_{1}-k_{2})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{3}-k_{4})}{k_{3}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{3})}{k_{3}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{4})}{k_{2}^{2}}}+{\frac {\delta (k_{1}-k_{4})}{k_{1}^{2}}}{\frac {\delta (k_{2}-k_{3})}{k_{2}^{2}}}$

Интерпретация теоремы Вика состоит в том, что каждую вставку поля можно рассматривать как висячую линию, а математическое ожидание вычисляется путем соединения линий в пары с добавлением коэффициента дельта-функции, который гарантирует, что импульс каждого партнера в паре равен равны и делятся на пропагатор.

Высшие гауссовы моменты — завершение теоремы Вика

До доказательства теоремы Вика остался один тонкий момент: что, если более двух из $\phi$имеют одинаковый импульс? Если это нечетное число, интеграл равен нулю; отрицательные значения отменяются положительными значениями. Но если число четное, интеграл положителен. Предыдущая демонстрация предполагала, что $\phi$s будут совпадать только парами.

Но теорема верна, даже если сколь угодно много $\phi$ равны, и это примечательное свойство гауссовского интегрирования:

$I=\int e^{-ax^{2}/2}dx={\sqrt {\frac {2\pi }{a}}}$

${\frac {\partial ^{n}}{\partial a^{n}}}I=\int {\frac {x^{2n}}{2^{n}}}e^{-ax^{2}/2}dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 2\cdot 2\ldots \;\;\;\;\;\cdot 2\;\;\;\;\;\;}}{\sqrt {2\pi }}\,a^{-{\frac {2n+1}{2}}}$

Разделив на I ,

$\left\langle x^{2n}\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int x^{2n}e^{-ax^{2}/2}}{\displaystyle \int e^{-ax^{2}/2}}}=1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1){\frac {1}{a^{n}}}$

$\left\langle x^{2}\right\rangle ={\frac {1}{a}}$

Если бы теорема Вика была верна, высшие моменты давались бы всеми возможными парами из списка из 2 n различных x :

$\left\langle x_{1}x_{2}x_{3}\cdots x_{2n}\right\rangle$

где x — одна и та же переменная, индекс предназначен просто для отслеживания количества способов их объединения в пары. Первый x можно соединить с 2 n − 1 другими, оставив 2 n − 2 . Следующий неспаренный x можно соединить с 2 n − 3 разными x, оставив 2 n − 4 и так далее. Это означает, что неисправленная теорема Вика гласит, что математическое ожидание x ^22н должно быть:

$\left\langle x^{2n}\right\rangle =(2n-1)\cdot (2n-3)\ldots \cdot 5\cdot 3\cdot 1\left\langle x^{2}\right\rangle ^{n}$

и это на самом деле правильный ответ. Таким образом, теорема Вика справедлива независимо от того, сколько импульсов внутренних переменных совпадают.

Взаимодействие

Взаимодействия представлены вкладами более высокого порядка, поскольку квадратичные вклады всегда гауссовы. Простейшим взаимодействием является квартичное самодействие с действием:

$S=\int \partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi +{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}.$

Причина комбинаторного фактора 4! скоро станет ясно. Записывая действие в терминах решёточных (или континуальных) мод Фурье:

$S=\int _{k}k^{2}\left|\phi (k)\right|^{2}+{\frac {\lambda }{4!}}\int _{k_{1}k_{2}k_{3}k_{4}}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\delta (k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})=S_{F}+X.$

Где S _F — свободное действие, корреляционные функции которого определяются теоремой Вика. Экспоненту S в интеграле по путям можно разложить по степеням λ , внося ряд поправок в свободное действие.

$e^{-S}=e^{-S_{F}}\left(1+X+{\frac {1}{2!}}XX+{\frac {1}{3!}}XXX+\cdots \right)$

Тогда интеграл по траектории взаимодействующего действия представляет собой степенной ряд поправок к свободному действию. Термин, представленный X, следует рассматривать как четыре полулинии, по одной для каждого фактора φ ( k ) . Полулинии встречаются в вершине, что создает дельта-функцию, гарантирующую, что все суммы импульсов равны.

для вычисления корреляционной функции во взаимодействующей теории вносят вклад члены X. Теперь Например, интеграл по траектории для четырехполевого коррелятора:

$\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})D\phi }{Z}}$

который в свободном поле был отличен от нуля только тогда, когда импульсы k были равны попарно, теперь отличен от нуля для всех значений k . Импульсы вставок φ ( ki _{разложении} ) теперь могут совпадать с импульсами Xs в . Вставки также следует рассматривать как полупрямые, в данном случае четыре, которые несут импульс k , но неинтегрированный.

Вклад низшего порядка дает первый нетривиальный член e ^{− С _Ф} X в разложении действия Тейлора. Теорема Вика требует, чтобы импульсы в X полупрямых , факторы φ ( k ) в X , совпадали с импульсами внешних полупрямых в парах. Новый вклад равен:

$\lambda {\frac {1}{k_{1}^{2}}}{\frac {1}{k_{2}^{2}}}{\frac {1}{k_{3}^{2}}}{\frac {1}{k_{4}^{2}}}\,.$

4! внутри X отменяется, потому что их ровно 4! способы сопоставить полулинии в X с внешними полулиниями. каждый из этих различных способов совмещения полупрямых в пары вносит вклад ровно один раз, независимо от значений k _1,2,3,4 По теореме Вика .

Диаграммы Фейнмана

Разложение действия по степеням X дает ряд слагаемых со все большим числом X с. Вклад члена ровно с n X s называется n-м порядком.

Члены n -го порядка имеют:

1. 4 n внутренних полупрямых, которые являются факторами φ ( k ) от X s. Все они заканчиваются вершиной и интегрируются по всем возможным k .
2. внешние полупрямые, являющиеся результатом вставок φ ( k ) в интеграл.

По теореме Вика каждая пара полупрямых должна быть соединена вместе, чтобы составить линию , и эта линия дает коэффициент

${\frac {\delta (k_{1}+k_{2})}{k_{1}^{2}}}$

что умножает вклад. Это означает, что две полулинии, составляющие линию, вынуждены иметь равный и противоположный импульс. Сама линия должна быть помечена стрелкой, проведенной параллельно этой линии, и помечена импульсом на линии k . Полулиния на хвостовом конце стрелки несет импульс k , а полулиния на головном конце несет импульс − k . Если одна из двух полупрямых является внешней, это убивает интеграл по внутреннему k , поскольку заставляет внутреннее k равняться внешнему k . Если оба являются внутренними, интеграл по k остается.

Диаграммы, которые образуются путем соединения полупрямых в X с внешними полупрямыми, представляющими вставки, являются диаграммами Фейнмана этой теории. Каждая строка содержит коэффициент ⁠ 1 / к ² ⁠ , распространитель, и либо идет от вершины к вершине, либо заканчивается вставкой. Если он внутренний, то он интегрируется. В каждой вершине общее количество входящих k равно общему исходящему k .

Количество способов построения диаграммы путем соединения полупрямых в прямые почти полностью нивелирует факториалы, исходящие из ряда Тейлора экспоненты и 4! в каждой вершине.

Порядок цикла

Диаграмма леса — это диаграмма, в которой все внутренние линии имеют импульс, полностью определяемый внешними линиями и условием равенства входящего и исходящего импульсов в каждой вершине. Вклад этих диаграмм является продуктом пропагаторов без какого-либо интегрирования. Древовидная диаграмма представляет собой диаграмму связанного леса.

Примером древовидной диаграммы является диаграмма, в которой каждая из четырех внешних линий заканчивается X. буквой Другой — когда три внешние линии заканчиваются на X , а оставшаяся половина линии соединяется с другим X , а оставшиеся полулинии этого X отходят к внешним линиям. Это все тоже диаграммы леса (поскольку каждое дерево — это лес); Пример леса, который не является деревом, — это когда восемь внешних линий заканчиваются X. двумя

Легко проверить, что во всех этих случаях импульсы на всех внутренних линиях определяются внешними импульсами и условием сохранения импульса в каждой вершине.

Диаграмма, не являющаяся диаграммой леса, называется циклической диаграммой, и примером может служить диаграмма, в которой две линии X соединяются с внешними линиями, а оставшиеся две линии соединяются друг с другом. Две соединенные друг с другом линии могут иметь любой импульс, поскольку обе они входят в одну и ту же вершину и выходят из нее. Более сложный пример — это случай, когда два X соединяются друг с другом путем сопоставления ножек друг с другом. Эта диаграмма вообще не имеет внешних линий.

Причина, по которой петлевые диаграммы называются петлевыми диаграммами, заключается в том, что количество k -интегралов, которые остаются неопределенными из-за сохранения импульса, равно количеству независимых замкнутых петель в диаграмме, где независимые петли подсчитываются, как в теории гомологии . Гомологии вещественные (фактически R ^д значение), значение, связанное с каждой линией, является импульсом. Граничный оператор сводит каждую строку к сумме конечных вершин с положительным знаком в начале и отрицательным знаком в конце. Условие сохранения импульса — это в точности условие, что граница k -значного взвешенного графа равна нулю.

Набор допустимых k -значений может быть произвольно переопределен всякий раз, когда существует замкнутый цикл. Замкнутый цикл — это циклический путь соседних вершин, который никогда не посещает одну и ту же вершину повторно. Такой цикл можно рассматривать как границу гипотетической двухклеточной ячейки. -разметки K графа, сохраняющие импульс (т. е. имеющие нулевую границу) вплоть до переопределения k (т. е. до границ 2-клеток), определяют первые гомологии графа. Тогда число независимых импульсов, которые не определены, равно числу независимых петель гомологии. Для многих графов это количество петель, подсчитанное наиболее интуитивно понятным способом.

Факторы симметрии

Количество способов сформировать данную диаграмму Фейнмана путем соединения полупрямых велико, и по теореме Вика каждый способ объединения полупрямых в пары дает одинаковый вклад. Часто это полностью отменяет факториалы в знаменателе каждого члена, но иногда это сокращение бывает неполным.

Несократимый знаменатель называется коэффициентом симметрии диаграммы. Вклад каждой диаграммы в корреляционную функцию необходимо разделить на ее коэффициент симметрии.

Например, рассмотрим диаграмму Фейнмана, состоящую из двух внешних линий, соединенных с одной X , и двух оставшихся полупрямых X, соединенных друг с другом. Существует 4 × 3 способа присоединения внешних полупрямых к X , а затем есть только один способ присоединения двух оставшихся линий друг к другу. X ! делится на 4 = 4 × 3 × 2 , но количество способов соединить полупрямые X , чтобы получилась диаграмма, составляет всего 4 × 3, поэтому вклад этой диаграммы делится на два.

образованную соединением всех полупрямых одного X со всеми полупрямыми другого X. В качестве другого примера рассмотрим диаграмму , Эта диаграмма называется вакуумным пузырем , поскольку она не связана ни с какими внешними линиями. Их 4! способы формирования этой диаграммы, но в знаменателе стоит 2! (из разложения экспоненты получается два X s) и два множителя 4!. Вклад умножается на ⁠ 4! / 2 × 4! × 4! ⁠ =  ⁠ 1 / 48 ⁠ .

Другим примером является диаграмма Фейнмана, образованная из двух X , где каждый X соединяется до двух внешних линий, а оставшиеся две полулинии каждого X соединены друг с другом. Число способов связать X с двумя внешними линиями равно 4 × 3, и любой X может быть связан с любой парой, что дает дополнительный коэффициент 2. Остальные две полулинии в двух X могут быть связаны с каждой другим двумя способами, так что общее количество способов формирования диаграммы равно 4 × 3 × 4 × 3 × 2 × 2 , а знаменатель равен 4! × 4! × 2! . Общий коэффициент симметрии равен 2, а вклад этой диаграммы делится на 2.

Теорема о факторе симметрии дает коэффициент симметрии для общей диаграммы: вклад каждой диаграммы Фейнмана должен быть разделен на порядок ее группы автоморфизмов, то есть на количество симметрий, которые она имеет.

Автоморфизм M графа Фейнмана — это перестановка прямых и перестановка N вершин со следующими свойствами:

1. Если линия l идет от вершины v к вершине v′ , то M ( l ) идет от N ( v ) к N ( v′ ) . Если линия ненаправленная, как в вещественном скалярном поле, то M ( l ) тоже может перейти от N ( v′ ) к N ( v ) .
2. Если линия l заканчивается на внешней линии, M ( l ) заканчивается на той же внешней линии.
3. Если существуют разные типы строк, M ( l ) должен сохранить тип.

Эта теорема имеет интерпретацию в терминах путей частиц: когда присутствуют идентичные частицы, интеграл по всем промежуточным частицам не должен дважды учитывать состояния, которые различаются только перестановкой идентичных частиц.

Доказательство. Чтобы доказать эту теорему, пометьте все внутренние и внешние линии диаграммы уникальными именами. Затем сформируйте диаграмму, соединив половину линии с именем, а затем с другой половиной линии.

Теперь посчитайте количество способов образования названной диаграммы. Каждая перестановка X дает различную схему соединения имен с полустрочками, и это коэффициент n ! . Каждая перестановка полупрямых в одном Х дает коэффициент 4!. Таким образом, именованную диаграмму можно составить ровно таким же количеством способов, как и знаменатель разложения Фейнмана.

Но количество безымянных диаграмм меньше количества именованных диаграмм на порядок группы автоморфизмов графа.

Связные диаграммы: теорема о связанном кластере

Грубо говоря, диаграмма Фейнмана называется связной , если все вершины и пропагаторы связаны последовательностью вершин и пропагаторов самой диаграммы. Если рассматривать его как неориентированный граф, он связен. Замечательная актуальность таких диаграмм в КТП обусловлена ​​тем, что их достаточно для определения квантовой статистической суммы Z [ J ] . Точнее, связанные диаграммы Фейнмана определяют

$iW[J]\equiv \ln Z[J].$

Чтобы убедиться в этом, следует вспомнить, что

$Z[J]\propto \sum _{k}{D_{k}}$

с D _k, построенным из некоторой (произвольной) диаграммы Фейнмана, которую можно рассматривать как состоящую из нескольких компонент связности C _i . встречается n _i (идентичных) копий компонента C _{i ,} Если в диаграмме Фейнмана D _k необходимо включить коэффициент симметрии n _i ! . Однако в конечном итоге каждый вклад диаграммы Фейнмана D _k в статистическую сумму имеет общий вид

$\prod _{i}{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}$

где я обозначаю (бесконечно) множество возможных связанных диаграмм Фейнмана.

Схема последовательного создания таких вкладов от в _Dk Z [ J ] получается с помощью

$\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {C_{1}}{1!}}+{\frac {C_{1}^{2}}{2!}}+\cdots \right)\left(1+C_{2}+{\frac {1}{2}}C_{2}^{2}+\cdots \right)\cdots$

и поэтому дает

$Z[J]\propto \prod _{i}{\sum _{n_{i}=0}^{\infty }{\frac {C_{i}^{n_{i}}}{n_{i}!}}}=\exp {\sum _{i}{C_{i}}}\propto \exp {W[J]}\,.$

Чтобы установить нормировку Z 0 ₌ exp W [0] = 1, просто вычисляют все связанные вакуумные диаграммы , т. е. диаграммы без каких-либо источников J (иногда называемые внешними ветвями диаграммы Фейнмана).

Теорема о связанных кластерах была впервые доказана для четвертого порядка Кейтом Брюкнером в 1955 году, а для бесконечных порядков — Джеффри Голдстоуном в 1957 году.

Вакуумные пузыри

Непосредственным следствием теоремы о связанном кластере является то, что все вакуумные пузыри, диаграммы без внешних линий, сокращаются при вычислении корреляционных функций. Корреляционная функция определяется соотношением интегралов по путям:

$\left\langle \phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\right\rangle ={\frac {\displaystyle \int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi }{\displaystyle \int e^{-S}\,D\phi }}\,.$

Верхняя часть представляет собой сумму всех диаграмм Фейнмана, включая несвязные диаграммы, которые вообще не связаны с внешними линиями. В терминах связных диаграмм числитель включает в себя те же вклады вакуумных пузырьков, что и знаменатель:

$\int e^{-S}\phi _{1}(x_{1})\cdots \phi _{n}(x_{n})\,D\phi =\left(\sum E_{i}\right)\left(\exp \left(\sum _{i}C_{i}\right)\right)\,.$

При этом сумма по диаграммам E включает только те диаграммы, каждая из связных компонент которых заканчивается хотя бы на одной внешней линии. Пузырьки вакуума одинаковы, независимо от внешних линий, и дают общий мультипликативный коэффициент. Знаменатель — это сумма по всем пузырькам вакуума, а деление позволяет избавиться от второго множителя.

В этом случае вакуумные пузырьки полезны только для определения самого Z , которое из определения интеграла по траектории равно:

$Z=\int e^{-S}D\phi =e^{-HT}=e^{-\rho V}$

где ρ — плотность энергии в вакууме. Каждый вакуумный пузырек содержит коэффициент δ ( k ), обнуляющий общее число k в каждой вершине, а когда нет внешних линий, это содержит коэффициент δ (0) , поскольку сохранение импульса чрезмерно усилено. В конечном объеме этот фактор можно определить как общий объем пространства-времени. Оставшийся интеграл для вакуумного пузыря после деления на объем имеет интерпретацию: это вклад в плотность энергии вакуума.

Источники

Корреляционные функции представляют собой сумму связанных диаграмм Фейнмана, но формализм по-разному трактует связанные и несвязные диаграммы. Внутренние линии заканчиваются вершинами, а внешние линии заканчиваются вставками. Введение источников унифицирует формализм за счет создания новых вершин там, где может заканчиваться одна линия.

Источники — это внешние поля, поля, которые способствуют действию, но не являются динамическими переменными. Источник скалярного поля — это другое скалярное поле h , которое вносит вклад в лагранжиан (Лоренца):

$\int h(x)\phi (x)\,d^{d}x=\int h(k)\phi (k)\,d^{d}k\,$

В разложении Фейнмана это вносит вклад в члены H с одной полупрямой, заканчивающейся вершиной. Линии диаграммы Фейнмана теперь могут заканчиваться либо в вершине X , либо в вершине H , и только одна линия входит в H. вершину Правило Фейнмана для вершины H заключается в том, что линия из H с импульсом k получает коэффициент h ( k ) .

В сумму связанных диаграмм при наличии источников входит слагаемое для каждой связной диаграммы при отсутствии источников, за исключением того, что теперь диаграммы могут заканчиваться на источнике. Традиционно источник обозначается маленькой буквой «×» с одной выходящей наружу линией, точно так же, как вставка.

$\log {\big (}Z[h]{\big )}=\sum _{n,C}h(k_{1})h(k_{2})\cdots h(k_{n})C(k_{1},\cdots ,k_{n})\,$

где C ( k ₁ ,..., k _n ) — связная диаграмма с n внешними линиями, несущими указанный импульс. Сумма ведется по всем связным диаграммам, как и раньше.

Поле h не существует интеграла по путям не является динамическим, а это означает, что по h : h — это просто параметр лагранжиана, который меняется от точки к точке. Интеграл по путям для поля равен:

$Z[h]=\int e^{iS+i\int h\phi }\,D\phi \,$

и это функция значений h в каждой точке. Один из способов интерпретировать это выражение состоит в том, что оно принимает преобразование Фурье в пространстве полей. Если существует плотность вероятности на R ^н , преобразование Фурье плотности вероятности имеет вид:

$\int \rho (y)e^{iky}\,d^{n}y=\left\langle e^{iky}\right\rangle =\left\langle \prod _{i=1}^{n}e^{ih_{i}y_{i}}\right\rangle \,$

Преобразование Фурье — это ожидание колебательной экспоненты. Интеграл по путям при наличии источника h ( x ) равен:

$Z[h]=\int e^{iS}e^{i\int _{x}h(x)\phi (x)}\,D\phi =\left\langle e^{ih\phi }\right\rangle$

который на решетке является произведением осциллирующей экспоненты для каждого значения поля:

$\left\langle \prod _{x}e^{ih_{x}\phi _{x}}\right\rangle$

Преобразование Фурье дельта-функции представляет собой константу, которая дает формальное выражение дельта-функции:

$\delta (x-y)=\int e^{ik(x-y)}\,dk$

Это говорит вам, как выглядит дельта-функция поля в интеграле по пути. Для двух скалярных φ и η полей

$\delta (\phi -\eta )=\int e^{ih(x){\big (}\phi (x)-\eta (x){\big )}\,d^{d}x}\,Dh\,,$

который интегрируется по координате преобразования Фурье по h . Это выражение полезно для формального изменения координат поля в интеграле по путям, так же, как дельта-функция используется для изменения координат в обычном многомерном интеграле.

Статистическая сумма теперь является функцией поля h , а физическая статистическая сумма — это значение, когда h является нулевой функцией:

Корреляционные функции являются производными интеграла по путям относительно источника:

$\left\langle \phi (x)\right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h(x)}}Z[h]={\frac {\partial }{\partial h(x)}}\log {\big (}Z[h]{\big )}\,.$

В евклидовом пространстве вклад источника в действие все еще может проявляться с коэффициентом i , так что они все равно выполняют преобразование Фурье.

Вращаться ⁠ 1/2 ​ ⁠ ; ​«фотоны» и «призраки»

Вращаться ⁠ 1/2 : ⁠ интегралы Грассмана

Интеграл по траекториям поля можно распространить на случай Ферми, но только если расширить понятие интегрирования. Интеграл Грассмана свободного поля Ферми — это многомерный определитель или пфаффиан , который определяет новый тип гауссовского интегрирования, подходящий для полей Ферми.

Две фундаментальные формулы интегрирования Грассмана:

$\int e^{M_{ij}{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{j}}\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)\,,$

где M — произвольная матрица, а ψ , ψ — независимые переменные Грассмана для каждого индекса i , и

$\int e^{{\frac {1}{2}}A_{ij}\psi ^{i}\psi ^{j}}\,D\psi =\mathrm {Pfaff} (A)\,,$

где A — антисимметричная матрица, ψ — набор переменных Грассмана, а ⁠ 1 / 2 ⁠ предназначен для предотвращения двойного счета (поскольку ψ ^я п ^дж = − п ^дж п ^я ).

В матричной записи, где ψ и η — векторы-строки со значениями Грассмана, η и ψ — векторы-столбцы со значениями Грассмана, а M — матрица с действительным знаком:

$Z=\int e^{{\bar {\psi }}M\psi +{\bar {\eta }}\psi +{\bar {\psi }}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\int e^{\left({\bar {\psi }}+{\bar {\eta }}M^{-1}\right)M\left(\psi +M^{-1}\eta \right)-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,D{\bar {\psi }}\,D\psi =\mathrm {Det} (M)e^{-{\bar {\eta }}M^{-1}\eta }\,,$

где последнее равенство является следствием трансляционной инвариантности интеграла Грассмана. Переменные Грассмана η являются внешними источниками ψ , и дифференцирование по η снижает коэффициенты ψ .

$\left\langle {\bar {\psi }}\psi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial \eta }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {\eta }}}}Z|_{\eta ={\bar {\eta }}=0}=M^{-1}$

опять же, в схематической матричной записи. Смысл приведенной выше формулы заключается в том, что производная по соответствующему компоненту η и η дает матричный элемент M ⁻¹ . Это в точности аналогично формуле интегрирования по бозонным путям для гауссовского интеграла комплексного бозонного поля:

$\int e^{\phi ^{*}M\phi +h^{*}\phi +\phi ^{*}h}\,D\phi ^{*}\,D\phi ={\frac {e^{h^{*}M^{-1}h}}{\mathrm {Det} (M)}}$

$\left\langle \phi ^{*}\phi \right\rangle ={\frac {1}{Z}}{\frac {\partial }{\partial h}}{\frac {\partial }{\partial h^{*}}}Z|_{h=h^{*}=0}=M^{-1}\,.$

Таким образом, пропагатор является обратной матрицей в квадратичной части действия как в бозевском, так и в фермиевском случае.

Для реальных полей Грассмана, для майорановских фермионов , интеграл по траектории представляет собой пфаффиан, умноженный на квадратичную форму источника, и формулы дают квадратный корень из определителя, как и для реальных бозонных полей. Пропагатор по-прежнему является обратной квадратичной частью.

Свободный лагранжиан Дирака:

$\int {\bar {\psi }}\left(\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi$

формально дает уравнения движения и антикоммутационные соотношения поля Дирака, точно так же, как лагранжиан Клейна-Гордона в обычном интеграле по траекториям дает уравнения движения и коммутационные соотношения скалярного поля. Используя пространственное преобразование Фурье поля Дирака в качестве новой основы алгебры Грассмана, квадратичную часть действия Дирака становится просто инвертировать:

$S=\int _{k}{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }k_{\mu }-m\right)\psi \,.$

Пропагатор является обратной матрицей M, связывающей ψ ( k ) и ψ ( k ) , поскольку разные значения k не смешиваются друг с другом.

$\left\langle {\bar {\psi }}(k')\psi (k)\right\rangle =\delta (k+k'){\frac {1}{\gamma \cdot k-m}}=\delta (k+k'){\frac {\gamma \cdot k+m}{k^{2}-m^{2}}}$

Аналог теоремы Вика сопоставляет ψ и ψ попарно:

$\left\langle {\bar {\psi }}(k_{1}){\bar {\psi }}(k_{2})\cdots {\bar {\psi }}(k_{n})\psi (k'_{1})\cdots \psi (k_{n})\right\rangle =\sum _{\mathrm {pairings} }(-1)^{S}\prod _{\mathrm {pairs} \;i,j}\delta \left(k_{i}-k_{j}\right){\frac {1}{\gamma \cdot k_{i}-m}}$

где S — знак перестановки, которая переупорядочивает последовательность ψ и ψ, помещая те, которые объединены в пары, чтобы сделать дельта-функции рядом друг с другом, при этом ψ идет прямо перед ψ . Поскольку пара ψ , ψ является коммутирующим элементом алгебры Грассмана, не имеет значения, в каком порядке находятся пары. Если более одной пары ψ , ψ имеют одинаковые k , интеграл равен нулю, и это легко проверить что сумма по спариваниям в этом случае дает ноль (их всегда четное количество). Это грассмановский аналог высших гауссовских моментов, которые ранее завершили теорему бозонного Вика.

Правила спин- ⁠ 1/2 . ⁠ Ферми Частицы Дирака следующие: пропагатор является обратным оператору Дирака, линии имеют стрелки, как и для комплексного скалярного поля, а диаграмма приобретает общий коэффициент −1 для каждой замкнутой петли Если петель Ферми нечетное количество, диаграмма меняет знак. Исторически сложилось так, что Фейнману было очень трудно обнаружить правило −1. Он обнаружил это после долгого процесса проб и ошибок, поскольку у него не было правильной теории интегрирования Грассмана.

Правило следует из наблюдения, что число линий Ферми в вершине всегда четно. Каждый член лагранжиана всегда должен быть бозонным. Петля Ферми рассчитывается путем следования по фермионным линиям до тех пор, пока они не вернутся в исходную точку, а затем удаления этих линий с диаграммы. Повторение этого процесса в конечном итоге стирает все фермионные линии: это алгоритм Эйлера для раскрашивания графа в два цвета, который работает всякий раз, когда каждая вершина имеет четную степень. Количество шагов в алгоритме Эйлера равно количеству независимых циклов фермионной гомологии только в общем частном случае, когда все члены лагранжиана точно квадратичны в ферми-полях, так что каждая вершина имеет ровно две фермионные линии. При наличии четырехфермиевских взаимодействий (как в ферми-эффективной теории слабых ядерных взаимодействий -интегралов больше, ) k чем петель Ферми. В этом случае правило счета должно применять алгоритм Эйлера, объединяя линии Ферми в каждой вершине в пары, которые вместе образуют бозонный фактор слагаемого в лагранжиане, а при входе в вершину по одной строке алгоритм всегда должен оставлять по партнерской линии.

Чтобы прояснить и доказать это правило, рассмотрим диаграмму Фейнмана, состоящую из вершин, членов лагранжиана, с фермионными полями. Полный член бозонный, это коммутирующий элемент алгебры Грассмана, поэтому порядок появления вершин не важен. Линии Ферми связаны в петли, и при перемещении по петле можно менять порядок вершинных членов один за другим по мере их обхода без какой-либо стоимости знака. Исключением является случай, когда вы возвращаетесь в исходную точку, и последняя полулиния должна быть соединена с несвязанной первой полулинией. Для этого требуется одна перестановка, чтобы переместить последний ψ перед первым ψ , и это дает знак.

Это правило является единственным видимым эффектом принципа исключения на внутренних линиях. При наличии внешних линий амплитуды антисимметричны, когда две ферми-вставки для одинаковых частиц меняются местами. В формализме источников это происходит автоматически, поскольку источники для полей Ферми сами по себе являются грассмановскими.

Спин 1: фотоны

Наивный пропагатор фотонов бесконечен, поскольку лагранжиан А-поля равен:

$S=\int {\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }=\int -{\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A_{\nu }\partial _{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\mu }A_{\mu }\partial _{\nu }A^{\nu }\right)\,.$

Квадратичная форма, определяющая пропагатор, необратима. Причина – калибровочная инвариантность поля; добавление градиента к A не меняет физику.

Чтобы решить эту проблему, необходимо починить манометр. Самый удобный способ — потребовать, чтобы дивергенция A была некоторой функцией f , значение которой случайно от точки к точке. Интегрирование по значениям f не повредит , поскольку оно определяет только выбор калибровки. Эта процедура вставляет следующий коэффициент в интеграл по путям для A :

$\int \delta \left(\partial _{\mu }A^{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\,Df\,.$

Первый фактор, дельта-функция, фиксирует датчик. Второй множитель суммируется по различным значениям f , которые являются неэквивалентными калибровочными креплениями. Это просто

$e^{-{\frac {\left(\partial _{\mu }A_{\mu }\right)^{2}}{2}}}\,.$

Дополнительный вклад от фиксации калибровки отменяет вторую половину свободного лагранжиана, давая лагранжиан Фейнмана:

$S=\int \partial ^{\mu }A^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }$

что похоже на четыре независимых свободных скалярных поля, по одному на каждый компонент A . Распространитель Фейнмана – это:

$\left\langle A_{\mu }(k)A_{\nu }(k')\right\rangle =\delta \left(k+k'\right){\frac {g_{\mu \nu }}{k^{2}}}.$

Единственное отличие состоит в том, что в случае Лоренца знак одного пропагатора неправильный: времениподобная компонента имеет пропагатор противоположного знака. Это означает, что эти состояния частиц имеют отрицательную норму — они не являются физическими состояниями. В случае фотонов с помощью диаграммных методов легко показать, что эти состояния не являются физическими — их вклад компенсируется продольными фотонами, оставляя только два физических поляризационных вклада фотонов для любого значения k .

Если усреднение по f производится с коэффициентом, отличным от ⁠ 1 / 2 ⁠ , эти два члена не отменяются полностью. Это дает ковариантный лагранжиан с коэффициентом $\lambda$, что ни на что не влияет:

$S=\int {\tfrac {1}{2}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }\partial _{\mu }A_{\nu }-\lambda \left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}\right)$

а ковариантный распространитель для КЭД:

$\left\langle A_{\mu }(k)A_{\nu }(k')\right\rangle =\delta \left(k+k'\right){\frac {g_{\mu \nu }-\lambda {\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}}{k^{2}}}.$

Спин 1: неабелевы призраки

Чтобы найти правила Фейнмана для неабелевых калибровочных полей, процедура фиксации калибровки должна быть тщательно скорректирована с учетом замены переменных в интеграле по путям.

Коэффициент фиксации манометра имеет дополнительный определяющий фактор, связанный с появлением дельта-функции:

$\delta \left(\partial _{\mu }A_{\mu }-f\right)e^{-{\frac {f^{2}}{2}}}\det M$

Чтобы найти форму определителя, сначала рассмотрим простой двумерный интеграл функции f , которая зависит только от r , а не от угла θ . Подставляя интеграл по θ :

$\int f(r)\,dx\,dy=\int f(r)\int d\theta \,\delta (y)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,dy$

Коэффициент производной гарантирует, что изменение дельта-функции по θ приведет к удалению интеграла. Меняя порядок интегрирования,

$\int f(r)\,dx\,dy=\int d\theta \,\int f(r)\delta (y)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,dy$

но теперь дельта-функция может быть добавлена ​​в y ,

$\int f(r)\,dx\,dy=\int d\theta _{0}\,\int f(x)\left|{\frac {dy}{d\theta }}\right|\,dx\,.$

Интеграл по θ дает общий коэффициент 2 π , тогда как скорость изменения y при изменении θ равна всего лишь x , поэтому это упражнение воспроизводит стандартную формулу полярного интегрирования радиальной функции:

$\int f(r)\,dx\,dy=2\pi \int f(x)x\,dx$

В интеграле по путям для неабелева калибровочного поля аналогичная манипуляция выглядит следующим образом:

$\int DA\int \delta {\big (}F(A){\big )}\det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)\,DGe^{iS}=\int DG\int \delta {\big (}F(A){\big )}\det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)e^{iS}\,$

Множитель впереди — это объем группы датчиков, и он вносит константу, которую можно отбросить. Оставшийся интеграл находится по калибровочному фиксированному действию.

$\int \det \left({\frac {\partial F}{\partial G}}\right)e^{iS_{GF}}\,DA\,$

Чтобы получить ковариантную калибровку, условие фиксации калибровки такое же, как и в абелевом случае:

$\partial _{\mu }A^{\mu }=f\,,$

Изменение которого при бесконечно малом калибровочном преобразовании определяется выражением:

$\partial _{\mu }\,D_{\mu }\alpha \,,$

где α — присоединенный элемент алгебры Ли в каждой точке, выполняющей бесконечно малое калибровочное преобразование. При этом к действию добавляется определитель Фаддеева-Попова:

$\det \left(\partial _{\mu }\,D_{\mu }\right)\,$

который можно переписать как интеграл Грассмана, введя призрачные поля:

$\int e^{{\bar {\eta }}\partial _{\mu }\,D^{\mu }\eta }\,D{\bar {\eta }}\,D\eta \,$

Определитель не зависит от f , поэтому интеграл по траектории по f может дать пропагатор Фейнмана (или ковариантный пропагатор), выбрав меру для f, как в абелевом случае. В таком случае фиксированное действие полной шкалы представляет собой действие Янга Миллса в калибровке Фейнмана с дополнительным призрачным действием:

$S=\int \operatorname {Tr} \partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }+f_{jk}^{i}\partial ^{\nu }A_{i}^{\mu }A_{\mu }^{j}A_{\nu }^{k}+f_{jr}^{i}f_{kl}^{r}A_{i}A_{j}A^{k}A^{l}+\operatorname {Tr} \partial _{\mu }{\bar {\eta }}\partial ^{\mu }\eta +{\bar {\eta }}A_{j}\eta \,$

Диаграммы получены из этого действия. Пропагатор для полей со спином 1 имеет обычную фейнмановскую форму. Существуют вершины степени 3 с факторами импульса, связи которых являются структурными константами, и вершины степени 4, связи которых являются произведениями структурных констант. Существуют дополнительные призрачные петли, которые компенсируют времяподобные и продольные состояния в A- петлях.

В абелевом случае определитель ковариантных калибровок не зависит от A , поэтому призраки не вносят вклада в связные диаграммы.

Представление пути частицы

Диаграммы Фейнмана были первоначально открыты Фейнманом методом проб и ошибок как способ представления вклада в S-матрицу от различных классов траекторий частиц.

Представительство Швингера

Евклидов скалярный пропагатор имеет наводящее на размышления представление:

${\frac {1}{p^{2}+m^{2}}}=\int _{0}^{\infty }e^{-\tau \left(p^{2}+m^{2}\right)}\,d\tau$

Смысл этого тождества (которое представляет собой элементарное интегрирование) проясняется преобразованием Фурье в реальное пространство.

$\Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau e^{-m^{2}\tau }{\frac {1}{({4\pi \tau })^{d/2}}}e^{\frac {-x^{2}}{4\tau }}$

Вклад при любом значении τ в пропагатор представляет собой гауссиан ширины √ τ . Полная функция распространения от 0 до x представляет собой взвешенную сумму по всем собственным временам τ нормализованной гауссианы, вероятность оказаться в точке x после случайного блуждания по времени τ .

Тогда интегральное по траектории представление пропагатора будет следующим:

$\Delta (x)=\int _{0}^{\infty }d\tau \int DX\,e^{-\int \limits _{0}^{\tau }\left({\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}+m^{2}\right)d\tau '}$

что представляет собой переписывание представления Швингера с интегралом по путям .

Представление Швингера полезно как для проявления корпускулярного аспекта пропагатора, так и для симметризации знаменателей петлевых диаграмм.

Объединение знаменателей

Представление Швингера имеет непосредственное практическое применение для циклических диаграмм. Например, для диаграммы в φ ⁴ В теории, образованной путем объединения двух x в две полупрямые и превращения остальных линий в внешние, интеграл по внутренним распространителям в цикле равен:

$\int _{k}{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p)^{2}+m^{2}}}\,.$

Здесь одна линия несет импульс k , а другая k + p . Асимметрию можно исправить, поместив все в представление Швингера.

$\int _{t,t'}e^{-t(k^{2}+m^{2})-t'\left((k+p)^{2}+m^{2}\right)}\,dt\,dt'\,.$

Теперь показатель степени в основном зависит от t + t ′ ,

$\int _{t,t'}e^{-(t+t')(k^{2}+m^{2})-t'2p\cdot k-t'p^{2}}\,,$

за исключением немного асимметричной. Определив переменную u = t + t ′ и v = ⁠ t ′ / u ⁠ , переменная u меняется от 0 до ∞ , а v — от 0 до 1. Переменная u — это полное собственное время цикла, а v параметризует долю собственного времени на вершине петля против низа.

Якобиан : для такого преобразования переменных легко найти из тождеств

$d(uv)=dt'\quad du=dt+dt'\,,$

и " заклинивание " дает

$u\,du\wedge dv=dt\wedge dt'\,$.

Это позволяет u явно вычислить интеграл :

$\int _{u,v}ue^{-u\left(k^{2}+m^{2}+v2p\cdot k+vp^{2}\right)}=\int {\frac {1}{\left(k^{2}+m^{2}+v2p\cdot k-vp^{2}\right)^{2}}}\,dv$

оставив только v -интеграл. Этот метод, изобретенный Швингером, но обычно приписываемый Фейнману, называется объединением знаменателя . Абстрактно, это элементарное тождество:

${\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{{\big (}vA+(1-v)B{\big )}^{2}}}\,dv$

Но эта форма не дает физической мотивации для введения v ; v — доля собственного времени на одной из ветвей цикла.

После объединения знаменателей сдвиг k на k ′ = k + vp симметризирует все:

$\int _{0}^{1}\int {\frac {1}{\left(k^{2}+m^{2}+2vp\cdot k+vp^{2}\right)^{2}}}\,dk\,dv=\int _{0}^{1}\int {\frac {1}{\left(k'^{2}+m^{2}+v(1-v)p^{2}\right)^{2}}}\,dk'\,dv$

Эта форма показывает, что в тот момент, когда p ² более отрицательна, чем в четыре раза больше массы частицы в петле, что происходит в физической области пространства Лоренца , интеграл имеет разрез. Именно тогда внешний импульс может создать физические частицы.

Когда в цикле больше вершин, необходимо объединить больше знаменателей:

$\int dk\,{\frac {1}{k^{2}+m^{2}}}{\frac {1}{(k+p_{1})^{2}+m^{2}}}\cdots {\frac {1}{(k+p_{n})^{2}+m^{2}}}$

Общее правило следует из рецепта Швингера для n + 1 знаменателей:

${\frac {1}{D_{0}D_{1}\cdots D_{n}}}=\int _{0}^{\infty }\cdots \int _{0}^{\infty }e^{-u_{0}D_{0}\cdots -u_{n}D_{n}}\,du_{0}\cdots du_{n}\,.$

Интеграл по параметрам Швингера u _i можно, как и раньше, разбить на интеграл по полному собственному времени u = u ₀ + u ₁ ... + un _. и интеграл по доле собственного времени во всех случаях, кроме первого сегмент петли v _i = ⁠ ты _я / ты ⁠ для я ∈ {1,2,..., n } . положительны и _{Значения v i} в сумме дают меньше 1, так что интеграл v относится к n -мерному симплексу.

Якобиан преобразования координат можно определить, как и раньше:

$du=du_{0}+du_{1}\cdots +du_{n}\,$

$d(uv_{i})=du_{i}\,.$

Объединив все эти уравнения вместе, получим

$u^{n}\,du\wedge dv_{1}\wedge dv_{2}\cdots \wedge dv_{n}=du_{0}\wedge du_{1}\cdots \wedge du_{n}\,.$

Это дает интеграл:

$\int _{0}^{\infty }\int _{\mathrm {simplex} }u^{n}e^{-u\left(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}+v_{2}D_{2}\cdots +v_{n}D_{n}\right)}\,dv_{1}\cdots dv_{n}\,du\,,$

где симплекс — область, определяемая условиями

$v_{i}>0\quad {\mbox{and}}\quad \sum _{i=1}^{n}v_{i}<1$

а также

$v_{0}=1-\sum _{i=1}^{n}v_{i}\,.$

Выполнение интеграла u дает общий рецепт объединения знаменателей:

${\frac {1}{D_{0}\cdots D_{n}}}=n!\int _{\mathrm {simplex} }{\frac {1}{\left(v_{0}D_{0}+v_{1}D_{1}\cdots +v_{n}D_{n}\right)^{n+1}}}\,dv_{1}\,dv_{2}\cdots dv_{n}$

Поскольку числитель подынтегрального выражения не задействован, то одно и то же предписание работает для любого цикла, какие бы вращения ни выполнялись ногами. Интерпретация параметров vi _{заключается в} том, что они представляют собой долю общего собственного времени, затрачиваемого на каждом этапе.

Рассеяние

Корреляционные функции квантовой теории поля описывают рассеяние частиц. Определение «частицы» в релятивистской теории поля не является самоочевидным, потому что, если вы попытаетесь определить положение так, чтобы неопределенность была меньше комптоновской длины волны , неопределенность в энергии будет достаточно велика, чтобы произвести больше частиц и античастиц того же типа из вакуума. Это означает, что представление об одночастичном состоянии в некоторой степени несовместимо с представлением о локализованном в пространстве объекте.

В 1930-х годах Вигнер дал математическое определение одночастичных состояний: они представляют собой совокупность состояний, образующих неприводимое представление группы Пуанкаре. Состояния одной частицы описывают объект с конечной массой, четко определенным импульсом и вращением. Это определение подходит для протонов и нейтронов, электронов и фотонов, но оно исключает кварки, которые постоянно удерживаются, поэтому современная точка зрения более приемлема: частица — это все, взаимодействие чего можно описать в терминах диаграмм Фейнмана, которые интерпретация как сумма по траекториям частиц.

Оператор поля может создавать одночастичное состояние из вакуума, а это означает, что оператор поля φ ( x ) создает суперпозицию состояний вигнеровских частиц. В теории свободного поля поле порождает только одночастичные состояния. Но когда есть взаимодействия, оператор поля также может создавать 3-частичные, 5-частичные (если нет симметрии +/− также 2, 4, 6-частичные) состояния. Чтобы вычислить амплитуду рассеяния для одночастичных состояний, требуется только тщательное ограничение, отправка полей в бесконечность и интегрирование по пространству, чтобы избавиться от поправок более высокого порядка.

Связь между функциями рассеяния и корреляционными функциями представляет собой теорему LSZ: Амплитуда рассеяния, при которой n частиц переходят к m частицам в процессе рассеяния, определяется суммой диаграмм Фейнмана, которые входят в корреляционную функцию для n + m вставок поля. , не учитывая пропагаторы для внешних ветвей.

Например, для λφ ⁴ В результате взаимодействия предыдущего раздела вклад порядка λ в корреляционную функцию (Лоренца) равен:

$\left\langle \phi (k_{1})\phi (k_{2})\phi (k_{3})\phi (k_{4})\right\rangle ={\frac {i}{k_{1}^{2}}}{\frac {i}{k_{2}^{2}}}{\frac {i}{k_{3}^{2}}}{\frac {i}{k_{4}^{2}}}i\lambda \,$

Очистка внешних пропагаторов, то есть удаление факторов ⁠ я / к ² ⁠ дает инвариантную амплитуду рассеяния M :

$M=i\lambda \,$

которая является постоянной, независимой от входящего и исходящего импульса. Интерпретация амплитуды рассеяния состоит в том, что сумма | М | ² по всем возможным конечным состояниям — это вероятность события рассеяния. Однако нормализацию одночастичных состояний необходимо выбирать осторожно, чтобы гарантировать, что M является релятивистским инвариантом.

Нерелятивистские одночастичные состояния обозначаются импульсом k , и они выбираются так, чтобы иметь одну и ту же норму при каждом значении k . Это связано с тем, что нерелятивистский единичный оператор для одночастичных состояний:

$\int dk\,|k\rangle \langle k|\,.$

В теории относительности интеграл по k -состояниям для частицы массы m интегрируется по гиперболе в пространстве E , k, определяемом соотношением энергии и импульса:

$E^{2}-k^{2}=m^{2}\,.$

Если интеграл одинаково весит все k точек, мера не является лоренц-инвариантной. Инвариантная мера интегрируется по всем значениям k и E , ограничиваясь гиперболой с лоренц-инвариантной дельта-функцией:

$\int \delta (E^{2}-k^{2}-m^{2})|E,k\rangle \langle E,k|\,dE\,dk=\int {dk \over 2E}|k\rangle \langle k|\,.$

Таким образом, нормализованные k -состояния отличаются от релятивистски нормированных k -состояний в раз.

${\sqrt {E}}=\left(k^{2}-m^{2}\right)^{\frac {1}{4}}\,.$

Инвариантная амплитуда M тогда является амплитудой вероятности того, что релятивистски нормированные входящие состояния станут релятивистски нормализованными исходящими состояниями.

Для нерелятивистских значений k релятивистская нормировка такая же, как и нерелятивистская нормировка (с точностью до постоянного множителя √ m ). В этом пределе φ ⁴ инвариантная амплитуда рассеяния остается постоянной. Частицы, созданные полем φ, разлетаются во все стороны с одинаковой амплитудой.

Нерелятивистский потенциал, который рассеивается во всех направлениях с одинаковой амплитудой (в борновском приближении ), — это потенциал, преобразование Фурье которого постоянно, — потенциал дельта-функции. Рассеяние низшего порядка теории раскрывает нерелятивистскую интерпретацию этой теории - она ​​описывает совокупность частиц с отталкиванием дельта-функции. Две такие частицы не любят занимать одну и ту же точку одновременно.

Непертурбативные эффекты

Если рассматривать диаграммы Фейнмана как ряды возмущений , непертурбативные эффекты, такие как туннелирование, не проявляются, поскольку любой эффект, который стремится к нулю быстрее, чем любой полином, не влияет на ряд Тейлора. Даже связанные состояния отсутствуют, поскольку при любом конечном порядке частицы обмениваются только конечное число раз, а для создания связанного состояния сила связи должна действовать вечно.

Но эта точка зрения ошибочна, поскольку диаграммы не только описывают рассеяние, но и являются представлением корреляций теории поля на малых расстояниях. Они кодируют не только асимптотические процессы вроде рассеяния частиц, но и описывают правила умножения полей, операторное разложение произведения . Непертурбативные туннельные процессы включают в себя конфигурации полей, которые в среднем становятся больше, когда константа связи становится малой, но каждая конфигурация представляет собой когерентную суперпозицию частиц, локальные взаимодействия которых описываются диаграммами Фейнмана. Когда связь мала, они становятся коллективными процессами, в которых участвует большое количество частиц, но взаимодействия между каждой из частиц просты. (Ряд возмущений любой взаимодействующей квантовой теории поля имеет нулевой радиус сходимости , что усложняет предел бесконечной серии диаграмм, необходимых (в пределе исчезающей связи) для описания таких конфигураций поля.)

Это означает, что непертурбативные эффекты асимптотически проявляются при суммировании бесконечных классов диаграмм, и эти диаграммы могут быть локально простыми. Графики определяют локальные уравнения движения, а разрешенные крупномасштабные конфигурации описывают непертурбативную физику. Но поскольку пропагаторы Фейнмана нелокальны во времени, перевод полевого процесса на когерентный язык частиц не является полностью интуитивным и явно разрабатывался только в некоторых особых случаях. В случае нерелятивистских связанных состояний уравнение Бете-Солпитера описывает класс диаграмм, которые необходимо включить для описания релятивистского атома. Для квантовой хромодинамики правила сумм Шифмана-Вайнштейна-Захарова описывают непертурбативно возбуждаемые длинноволновые полевые моды на языке частиц, но только феноменологическим способом.

Число диаграмм Фейнмана в высоких порядках теории возмущений очень велико, поскольку диаграмм столько, сколько графов с заданным числом узлов. Непертурбативные эффекты оставляют след в том, как количество диаграмм и суммирований расходится в высоком порядке. Только потому, что непертурбативные эффекты проявляются в диаграммах в скрытой форме, стало возможным анализировать непертурбативные эффекты в теории струн, где во многих случаях фейнмановское описание является единственным доступным.

В популярной культуре

• Использование приведенной выше диаграммы виртуальной частицы, производящей пару кварк - антикварк, было показано в телевизионном ситкоме « Теория большого взрыва » в эпизоде ​​«Гипотеза о банке летучей мыши».
• PhD Comics от 11 января 2012 г. показывает диаграммы Фейнмана, которые визуализируют и описывают квантовые академические взаимодействия , то есть пути, по которым идет доктор философии. студентов при взаимодействии со своими наставниками.
• Вакуумные диаграммы , научно-фантастический рассказ Стивена Бакстера , представляет собой титульную вакуумную диаграмму, особый тип диаграммы Фейнмана.
• Фейнман и его жена Гвенет Ховарт купили Dodge Tradesman Maxivan в 1975 году и раскрасили его диаграммами Фейнмана. В настоящее время фургон принадлежит дизайнеру видеоигр и физику Симусу Блэкли . Qantum был номерным знаком.

См. также

• Однопетлевая диаграмма Фейнмана
• Джулиан Швингер#Швингер и Фейнман
• Интерпретация Штюкельберга – Фейнмана
• Диаграмма пингвина
• Формулировка интеграла по траектории
• Распространитель
• Список диаграмм Фейнмана
• Диаграммы углового момента (квантовая механика)

Источники

• 'т Хоофт, Герард; Вельтман, Мартинус (1973). «Диаграмматика» . Желтый отчет ЦЕРН. doi : 10.5170/CERN-1973-009 . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
• Кайзер, Дэвид (2005). Разделение теорий: дисперсия диаграмм Фейнмана в послевоенной физике . Чикаго, Иллинойс: Издательство Чикагского университета. ISBN  0-226-42266-6 .
• Вельтман, Мартинус (16 июня 1994 г.). Diagrammatica: Путь к диаграммам Фейнмана . Кембриджские конспекты лекций по физике. ISBN  0-521-45692-4 . (расширенная, обновленная версия 't Hooft & Veltman, 1973, цит. выше)
• Средницкий, Марк (2006). Квантовая теория поля . Скрипт. Архивировано из оригинала 25 июля 2011 г. Проверено 28 января 2011 г.
• Швебер, СС (1994). QED и люди, которые это сделали: Дайсон, Фейнман, Швингер и Томонага . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0691033273 .

Внешние ссылки

• Статья AMS: «Что нового в математике: конечномерные диаграммы Фейнмана»
• Нарисуйте диаграммы Фейнмана , объясненные Флипом Танедо на Quantumdiaries.com
• Рисование диаграмм Фейнмана с помощью библиотеки FeynDiagram C++, которая создает выходные данные PostScript.
• Online Diagram Tool Графическое приложение для создания готовых к публикации диаграмм.
• JaxoDraw Java-программа для рисования диаграмм Фейнмана.
• Боули, Роджер; Коупленд, Эд (2010). «Диаграммы Фейнмана» . Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .