Полиномиальное и рациональное функциональное моделирование

В статистическом моделировании (особенно моделировании процессов ) полиномиальные функции и рациональные функции иногда используются в качестве эмпирического метода подбора кривой .

Полиномиальные функциональные модели

Основные статьи: полиномиальная интерполяция и полиномиальная регрессия

Полиномиальная функция – это функция, которая имеет вид

$y=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$

где n — неотрицательное целое число , определяющее степень многочлена. Полином со степенью 0 — это просто постоянная функция ; со степенью 1 – линия ; со степенью 2 является квадратичным ; со степенью 3 — кубическая и так далее.

Исторически полиномиальные модели являются одними из наиболее часто используемых эмпирических моделей для аппроксимации кривой .

Преимущества

Эти модели популярны по следующим причинам.

1. Полиномиальные модели имеют простой вид.
2. Полиномиальные модели имеют хорошо известные и понятные свойства.
3. Полиномиальные модели обладают умеренной гибкостью форм.
4. Полиномиальные модели представляют собой закрытое семейство. Изменения местоположения и масштаба необработанных данных приводят к тому, что полиномиальная модель отображается на полиномиальную модель. То есть полиномиальные модели не зависят от базовой метрики .
5. Полиномиальные модели просты в использовании.

Недостатки

Однако полиномиальные модели также имеют следующие ограничения.

1. Полиномиальные модели имеют плохие интерполяционные свойства. Полиномы высокой степени печально известны колебаниями между точными значениями .
2. Полиномиальные модели обладают плохими экстраполяционными свойствами. Полиномы могут хорошо соответствовать диапазону данных, но они часто быстро ухудшаются за пределами диапазона данных.
3. Полиномиальные модели имеют плохие асимптотические свойства. По своей природе полиномы имеют конечный отклик для конечных значений x и имеют бесконечный отклик тогда и только тогда, когда значение x бесконечно. Таким образом, полиномы могут не очень хорошо моделировать асимптотические явления.
4. Хотя ни одна процедура не застрахована от компромисса между предвзятостью и дисперсией , полиномиальные модели демонстрируют особенно плохой компромисс между формой и степенью. Для моделирования данных со сложной структурой степень модели должна быть высокой, что указывает на то, что соответствующее количество также параметров оцениваемых будет высоким. Это может привести к очень нестабильным моделям.

Когда моделирование с помощью полиномиальных функций неадекватно из-за любого из вышеперечисленных ограничений, использование рациональных функций для моделирования может оказаться более подходящим.

Рациональные функциональные модели

— Рациональная функция это просто отношение двух полиномиальных функций.

$y={\frac {a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}{b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots +b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}}}$

где n обозначает неотрицательное целое число, определяющее степень числителя, а m обозначает неотрицательное целое число, определяющее степень знаменателя. Для подбора моделей рациональных функций постоянный член в знаменателе обычно устанавливается равным 1. Рациональные функции обычно идентифицируются по степеням числителя и знаменателя. Например, квадратичное число в числителе и кубическое в знаменателе идентифицируются как квадратичная/кубическая рациональная функция. Модель рациональной функции является обобщением полиномиальной модели: модели рациональных функций содержат в качестве подмножества полиномиальные модели (т. е. случай, когда знаменатель является константой).

Преимущества

Модели рациональных функций имеют следующие преимущества:

1. Модели рациональных функций имеют относительно простую форму.
2. Модели рациональных функций представляют собой закрытое семейство. Как и в случае с полиномиальными моделями, это означает, что модели с рациональными функциями не зависят от базовой метрики.
3. Модели рациональных функций могут принимать чрезвычайно широкий диапазон форм, вмещая гораздо более широкий диапазон форм, чем семейство полиномов.
4. Модели рациональных функций обладают лучшими интерполяционными свойствами, чем полиномиальные модели. Рациональные функции обычно более плавные и менее колебательные, чем полиномиальные модели.
5. Рациональные функции обладают превосходной экстраполяционной способностью. Рациональные функции обычно можно адаптировать для моделирования функции не только в пределах области данных, но и для обеспечения соответствия теоретическому/асимптотическому поведению за пределами интересующей области.
6. Модели рациональных функций обладают превосходными асимптотическими свойствами. Рациональные функции могут быть конечными или бесконечными для конечных значений или конечными или бесконечными для бесконечных x значений . Таким образом, рациональные функции можно легко включить в модель рациональных функций.
7. Модели рациональных функций часто можно использовать для моделирования сложной структуры с довольно низкой степенью как в числителе, так и в знаменателе. Это, в свою очередь, означает, что потребуется меньше коэффициентов по сравнению с полиномиальной моделью.
8. Модели рациональных функций достаточно просты в вычислительном отношении. Хотя модели с рациональными функциями являются нелинейными моделями , их особенно легко адаптировать.
9. Одной из распространенных трудностей при подборе нелинейных моделей является поиск адекватных начальных значений. Основным преимуществом моделей рациональных функций является способность вычислять начальные значения с использованием линейного метода наименьших квадратов . Для этого p из набора данных выбираются точек, где p обозначает количество параметров в рациональной модели. Например, учитывая линейную/квадратическую модель

$y={\frac {A_{0}+A_{1}x}{1+B_{1}x+B_{2}x^{2}}},$

нужно будет выбрать четыре репрезентативные точки и выполнить линейную аппроксимацию модели.

$y=A_{0}+A_{1}x-B_{1}xy-B_{2}x^{2}y,$

которое получается из предыдущего уравнения путем очистки знаменателя. Здесь x и y содержат подмножество точек, а не полный набор данных. Оценочные коэффициенты этой линейной подгонки используются в качестве начальных значений для подгонки нелинейной модели к полному набору данных.

Этот тип аппроксимации, при котором переменная ответа появляется в обеих частях функции, следует использовать только для получения начальных значений для нелинейной аппроксимации. Статистические свойства подобных подходов недостаточно изучены.

Подмножество точек должно быть выбрано в диапазоне данных. Не имеет решающего значения, какие точки выбраны, хотя следует избегать явных выбросов.

Недостатки

Модели рациональных функций имеют следующие недостатки:

1. Свойства семейства рациональных функций не так хорошо известны инженерам и ученым, как свойства семейства полиномов. Литература по семейству рациональных функций также более ограничена. Поскольку свойства семейства часто не совсем понятны, может быть сложно ответить на следующий вопрос моделирования: учитывая, что данные имеют определенную форму, какие значения следует выбрать для степени числителя и степени знаменателя?
2. Подбор рациональной функции без ограничений иногда может привести к нежелательным вертикальным асимптотам из-за корней в полиноме знаменателя. Диапазон значений x , на которые влияет функция «раздутия», может быть весьма узким, но такие асимптоты, когда они возникают, мешают локальной интерполяции в окрестности точки асимптоты. Эти асимптоты легко обнаружить с помощью простого графика подобранной функции по диапазону данных. Эти неприятные асимптоты возникают время от времени и непредсказуемо, но практики утверждают, что выигрыш в гибкости форм вполне оправдывает вероятность их возникновения, и что такие асимптоты не должны препятствовать выбору моделей рациональных функций для эмпирического моделирования.

См. также

• Методология поверхности реагирования
• Аппроксимант Паде

Библиография

• Аткинсон, AC; Донев А.Н.; Тобиас, Р.Д. (2007). Оптимальные экспериментальные планы с использованием SAS . Издательство Оксфордского университета. стр. 511+xvi. ISBN  978-0-19-929660-6 .
• Бокс, GEP и Дрейпер, Норман. 2007. Поверхности отклика, смеси и анализ гребней , второе издание [ эмпирического построения моделей и поверхностей отклика , 1987], Wiley.
• Кифер, Джек Карл (1985). Л. Д. Браун ; и др. (ред.). Сборник статей III. План экспериментов . Спрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-96004-3 .
• Р. Х. Хардин и NJA Слоан , «Новый подход к построению оптимальных планов», Журнал статистического планирования и вывода , том. 37, 1993, стр. 339-369.
• Р.Х. Хардин и Н.Дж.А. Слоан , «Компьютерные конструкции поверхностей с минимальным (и более крупным) откликом: (I) Сфера»
• Р.Х. Хардин и Н.Дж.А. Слоан , «Компьютерные конструкции поверхностей с минимальным (и более крупным) откликом: (II) Куб»
• Гош, С.; Рао, ЧР , ред. (1996). Планирование и анализ экспериментов . Справочник по статистике. Том. 13. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-82061-7 .
  • Дрейпер, Норман и Лин, Деннис К.Дж. «Проектирование поверхности реагирования». стр. 343–375. {{cite book}}: Отсутствует или пусто |title= ( помощь )
  • Гаффке Н. и Хейлигерс Б. «Приближенные планы полиномиальной регрессии : инвариантность , допустимость и оптимальность ». стр. 1149–1199. {{cite book}}: Отсутствует или пусто |title= ( помощь )
• Мелас, Вячеслав Б. (2006). Функциональный подход к оптимальному планированию эксперимента . Конспект лекций по статистике. Том. 184. Шпрингер-Верлаг. ISBN  978-0-387-98741-5 . (Моделирование рациональными функциями)

Исторический

• Жергон, JD (1815). «Применение метода наименьших квадратов для интерполяции последовательностей». Анналы чистой и прикладной математики . 6 : 242–252.
• Жергонн, JD (1974) [1815]. «Применение метода наименьших квадратов к интерполяции последовательностей» . История Математики . 1 (4) (Перевод Ральфа Сент-Джона и С.М. Стиглера из французского издания 1815 г.): 439–447. дои : 10.1016/0315-0860(74)90034-2 .
• Стиглер, Стивен М. (1974). «Документ Жергонна 1815 года о планировании и анализе экспериментов по полиномиальной регрессии» . История Математики . 1 (4): 431–439. дои : 10.1016/0315-0860(74)90033-0 .
• Смит, Кирстин (1918). «О стандартных отклонениях скорректированных и интерполированных значений наблюдаемой полиномиальной функции и ее констант, а также о рекомендациях, которые они дают для правильного выбора распределения наблюдений». Биометрика . 12 (1/2): 1–85. дои : 10.1093/biomet/12.1-2.1 . JSTOR   2331929 .

Внешние ссылки

• Рациональные функциональные модели

Эта статья включает общедоступные материалы Национального института стандартов и технологий.