Jump to content

Союз (теория множеств)

(Перенаправлено из Union (sets) )
Объединение двух комплектов:
Союз трех комплектов:
Объединение A, B, C, D и E — это все, кроме белой области.

В теории множеств объединение (обозначаемое ∪ ) набора множеств это набор всех элементов в коллекции. [1] Это одна из фундаментальных операций, с помощью которой множества можно комбинировать и связывать друг с другом. А нулевой союз относится к объединению нулей ( ) множества и оно по определению равно пустому множеству .

Объяснение символов, используемых в этой статье, можно найти в таблице математических символов .

Союз двух комплектов

[ редактировать ]

Объединение двух множеств A и B — это набор элементов, которые находятся в A , в B одновременно в A и B. или [2] В обозначениях построителя множеств ,

. [3]

Например, если A = {1, 3, 5, 7} и B = {1, 2, 4, 6, 7}, то A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Более сложный пример (включающий два бесконечных множества):

A = { x — четное целое число больше 1}
B = { x — нечетное целое число больше 1}

Другой пример: число 9 не содержится в объединении множества простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, ...} и множества четных чисел {2, 4, 6, 8, 10. , ...}, поскольку 9 не является ни простым, ни четным.

В наборах не может быть повторяющихся элементов. [3] [4] поэтому объединение множеств {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {1, 2, 3, 4}. Многократное появление одинаковых элементов не влияет на мощность набора или его содержимое.

Алгебраические свойства

[ редактировать ]

Бинарное объединение — это ассоциативная операция; то есть для любых множеств , Таким образом, круглые скобки можно опустить без двусмысленности: любое из приведенных выше значений можно записать как . Кроме того, объединение коммутативно , поэтому множества можно записывать в любом порядке. [5] является Пустой набор идентификационным элементом для операции объединения. То есть , для любого множества . Кроме того, операция объединения идемпотентна: . Все эти свойства следуют из аналогичных фактов о логической дизъюнкции .

Пересечение распределяется по объединению и объединение распределяет по пересечению [2] Мощность набора вместе с операциями объединения, пересечения и дополнения является булевой алгеброй . В этой булевой алгебре объединение можно выразить через пересечение и дополнение по формуле где верхний индекс обозначает дополнение в универсальном множестве .

Конечные союзы

[ редактировать ]

Можно одновременно взять объединение нескольких множеств. Например, объединение трех множеств A , B и C содержит все элементы A , все элементы B и все элементы C и ничего больше. Таким образом, x является элементом A B C тогда и только тогда, когда находится хотя бы в одном из A , B и C. x

Конечный союз — это объединение конечного числа множеств; эта фраза не подразумевает, что объединенное множество является конечным множеством . [6] [7]

Произвольные союзы

[ редактировать ]

Наиболее общим понятием является объединение произвольного набора множеств, иногда называемое бесконечным объединением . Если M — множество или класс , элементы которого являются множествами, то x — элемент объединения M тогда и только тогда, когда существует хотя бы один элемент A из M такой, что является элементом A. x [8] В символах:

Эта идея включает в себя предыдущие разделы — например, A B C является объединением набора { A , B , C }. Кроме того, если M — пустая коллекция, то объединение M — это пустое множество.

Обозначения

[ редактировать ]

Обозначения общего понятия могут существенно различаться. Для конечного объединения множеств часто пишут или . Различные общие обозначения для произвольных объединений включают , , и . Последнее из этих обозначений относится к объединению коллекции , где I набор индексов и это набор для каждого . В случае, когда набор индексов I представляет собой набор натуральных чисел , используется обозначение , что аналогично сумме бесконечных последовательностей. [8]

Когда символ «∪» помещается перед другими символами (а не между ними), он обычно отображается увеличенным размером.

Кодировка обозначений

[ редактировать ]

В Юникоде объединение представлено символом U+222A СОЮЗ . [9] В ТеХе визуализируется из \cup и визуализируется из \bigcup.

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Союз» . Вольфрам Математический мир. Архивировано из оригинала 7 февраля 2009 г. Проверено 14 июля 2009 г.
  2. ^ Jump up to: а б «Операции над множествами | Объединение | Пересечение | Дополнение | Различие | Взаимоисключающие | Разделения | Закон де Моргана | Распределительный закон | Декартово произведение» . Вероятностный курс . Проверено 05 сентября 2020 г.
  3. ^ Jump up to: а б Верещагин Николай Константинович; Шен, Александр (1 января 2002 г.). Базовая теория множеств . Американское математическое соц. ISBN  9780821827314 .
  4. ^ деХаан, Лекс; Клатчи, Мультяшка (25 октября 2007 г.). Прикладная математика для специалистов по базам данных . Апресс. ISBN  9781430203483 .
  5. ^ Халмош, PR (27 ноября 2013 г.). Наивная теория множеств . Springer Science & Business Media. ISBN  9781475716450 .
  6. ^ Дасгупта, Абхиджит (11 декабря 2013 г.). Теория множеств: введение в наборы реальных точек . Springer Science & Business Media. ISBN  9781461488545 .
  7. ^ «Конечный союз конечных множеств конечен» . ДоказательствоВики . Архивировано из оригинала 11 сентября 2014 года . Проверено 29 апреля 2018 г.
  8. ^ Jump up to: а б Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Андре, Ричард Ст (01 августа 2014 г.). Переход к высшей математике . Cengage Обучение. ISBN  9781285463261 .
  9. ^ «Стандарт Unicode, версия 15.0 – Математические операторы – Диапазон: 2200–22FF» (PDF) . Юникод . п. 3.
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 2ae0ba5fc8bfe50d51855e576af38f9b__1708646340
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/2a/9b/2ae0ba5fc8bfe50d51855e576af38f9b.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Union (set theory) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)