Союз (теория множеств)
В теории множеств объединение (обозначаемое ∪ ) набора множеств — это набор всех элементов в коллекции. [1] Это одна из фундаментальных операций, с помощью которой множества можно комбинировать и связывать друг с другом. А нулевой союз относится к объединению нулей ( ) множества и оно по определению равно пустому множеству .
Объяснение символов, используемых в этой статье, можно найти в таблице математических символов .
Союз двух комплектов
[ редактировать ]Объединение двух множеств A и B — это набор элементов, которые находятся в A , в B одновременно в A и B. или [2] В обозначениях построителя множеств ,
- . [3]
Например, если A = {1, 3, 5, 7} и B = {1, 2, 4, 6, 7}, то A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Более сложный пример (включающий два бесконечных множества):
- A = { x — четное целое число больше 1}
- B = { x — нечетное целое число больше 1}
Другой пример: число 9 не содержится в объединении множества простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, ...} и множества четных чисел {2, 4, 6, 8, 10. , ...}, поскольку 9 не является ни простым, ни четным.
В наборах не может быть повторяющихся элементов. [3] [4] поэтому объединение множеств {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {1, 2, 3, 4}. Многократное появление одинаковых элементов не влияет на мощность набора или его содержимое.
Алгебраические свойства
[ редактировать ]Бинарное объединение — это ассоциативная операция; то есть для любых множеств , Таким образом, круглые скобки можно опустить без двусмысленности: любое из приведенных выше значений можно записать как . Кроме того, объединение коммутативно , поэтому множества можно записывать в любом порядке. [5] является Пустой набор идентификационным элементом для операции объединения. То есть , для любого множества . Кроме того, операция объединения идемпотентна: . Все эти свойства следуют из аналогичных фактов о логической дизъюнкции .
Пересечение распределяется по объединению и объединение распределяет по пересечению [2] Мощность набора вместе с операциями объединения, пересечения и дополнения является булевой алгеброй . В этой булевой алгебре объединение можно выразить через пересечение и дополнение по формуле где верхний индекс обозначает дополнение в универсальном множестве .
Конечные союзы
[ редактировать ]Можно одновременно взять объединение нескольких множеств. Например, объединение трех множеств A , B и C содержит все элементы A , все элементы B и все элементы C и ничего больше. Таким образом, x является элементом A ∪ B ∪ C тогда и только тогда, когда находится хотя бы в одном из A , B и C. x
Конечный союз — это объединение конечного числа множеств; эта фраза не подразумевает, что объединенное множество является конечным множеством . [6] [7]
Произвольные союзы
[ редактировать ]Наиболее общим понятием является объединение произвольного набора множеств, иногда называемое бесконечным объединением . Если M — множество или класс , элементы которого являются множествами, то x — элемент объединения M тогда и только тогда, когда существует хотя бы один элемент A из M такой, что является элементом A. x [8] В символах:
Эта идея включает в себя предыдущие разделы — например, A ∪ B ∪ C является объединением набора { A , B , C }. Кроме того, если M — пустая коллекция, то объединение M — это пустое множество.
Обозначения
[ редактировать ]Обозначения общего понятия могут существенно различаться. Для конечного объединения множеств часто пишут или . Различные общие обозначения для произвольных объединений включают , , и . Последнее из этих обозначений относится к объединению коллекции , где I — набор индексов и это набор для каждого . В случае, когда набор индексов I представляет собой набор натуральных чисел , используется обозначение , что аналогично сумме бесконечных последовательностей. [8]
Когда символ «∪» помещается перед другими символами (а не между ними), он обычно отображается увеличенным размером.
Кодировка обозначений
[ редактировать ]В Юникоде объединение представлено символом U+222A ∪ СОЮЗ . [9] В ТеХе визуализируется из \cup
и визуализируется из \bigcup
.
См. также
[ редактировать ]- Алгебра множеств - Тождества и отношения с участием множеств.
- Чередование (теория формального языка) – в теории формального языка и сопоставлении с образцом объединение двух наборов строк или шаблонов. – объединение наборов строк.
- Аксиома союза - концепция аксиоматической теории множеств.
- Непересекающееся объединение - в математике операции над множествами.
- Принцип включения-исключения - Техника счета в комбинаторике
- Пересечение (теория множеств) - набор элементов, общих для всех некоторых множеств.
- Итерированная бинарная операция – многократное применение операции к последовательности.
- Список тождеств и отношений множеств - Равенства для комбинаций множеств
- Наивная теория множеств - Неформальные теории множеств
- Симметричная разница - элементы ровно в одном из двух наборов.
Примечания
[ редактировать ]- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Союз» . Вольфрам Математический мир. Архивировано из оригинала 7 февраля 2009 г. Проверено 14 июля 2009 г.
- ^ Jump up to: а б «Операции над множествами | Объединение | Пересечение | Дополнение | Различие | Взаимоисключающие | Разделения | Закон де Моргана | Распределительный закон | Декартово произведение» . Вероятностный курс . Проверено 05 сентября 2020 г.
- ^ Jump up to: а б Верещагин Николай Константинович; Шен, Александр (1 января 2002 г.). Базовая теория множеств . Американское математическое соц. ISBN 9780821827314 .
- ^ деХаан, Лекс; Клатчи, Мультяшка (25 октября 2007 г.). Прикладная математика для специалистов по базам данных . Апресс. ISBN 9781430203483 .
- ^ Халмош, PR (27 ноября 2013 г.). Наивная теория множеств . Springer Science & Business Media. ISBN 9781475716450 .
- ^ Дасгупта, Абхиджит (11 декабря 2013 г.). Теория множеств: введение в наборы реальных точек . Springer Science & Business Media. ISBN 9781461488545 .
- ^ «Конечный союз конечных множеств конечен» . ДоказательствоВики . Архивировано из оригинала 11 сентября 2014 года . Проверено 29 апреля 2018 г.
- ^ Jump up to: а б Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Андре, Ричард Ст (01 августа 2014 г.). Переход к высшей математике . Cengage Обучение. ISBN 9781285463261 .
- ^ «Стандарт Unicode, версия 15.0 – Математические операторы – Диапазон: 2200–22FF» (PDF) . Юникод . п. 3.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- «Союз множеств» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Бесконечное объединение и пересечение в ProvenMath Законы Де Моргана, формально доказанные на основе аксиом теории множеств.