Банахова мера

Для в банаховом пространстве мер со значениями см. векторную меру .

В математической дисциплине теории меры банахова мера — это определенный способ присвоить размер (или площадь) всем подмножествам евклидовой плоскости , согласующийся с широко используемой мерой Лебега, но расширяющий ее . Хотя существуют определенные подмножества плоскости, которые не измеримы по Лебегу , все подмножества плоскости имеют банахову меру. С другой стороны, мера Лебега счетно-аддитивна , тогда как банахова мера лишь конечно-аддитивна (и поэтому известна как « содержание »).

Стефан Банах доказал существование банаховых мер в 1923 году. Это установило, в частности, что парадоксальные разложения, обеспечиваемые парадоксом Банаха-Тарского, в евклидовом пространстве R ³ не может существовать в евклидовой плоскости R ² .

Определение

Банахова мера на R ^н это функция $\mu :{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,\infty ]$ (присвоение неотрицательного расширенного действительного числа каждому подмножеству R ^н ) такой, что

• µ конечно аддитивна, т.е. $\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$ для любых двух непересекающихся множеств $A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$;
• µ расширяет меру Лебега λ , т.е. $\mu (A)=\lambda (A)$ для любого измеримого по Лебегу множества $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$;
• µ инвариантен изометрий R относительно ^н , то есть $\mu (A)=\mu (f(A))$ для каждого $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ и каждая изометрия $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$.

Характеристики

Из конечной аддитивности µ следует, что $\mu (\varnothing )=0$ и $\mu (A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})=\sum _{i=1}^{k}\mu (A_{i})$ для любых попарно непересекающихся множеств $A_{1},\ldots ,A_{k}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. У нас также есть $\mu (A)\leq \mu (B)$ в любое время $A\subseteq B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Поскольку µ расширяет меру Лебега, мы знаем, что $\mu (A)=0$ всякий раз, когда A — конечное или счетное множество и что $\mu ([a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}])=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})$ для любого произведения интервалов $[a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{1},b_{1}]\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Поскольку µ инвариантен относительно изометрий, он, в частности, инвариантен относительно вращений и сдвигов.

Результаты

Стефан Банах показал, что банаховы меры существуют на R ¹ и на Р ² . Эти результаты можно вывести из того факта, что группы изометрий R ¹ и Р ² разрешимы ​ .

Существование этих мер доказывает невозможность парадокса Банаха–Тарского в одном или двух измерениях: невозможно разложить одно- или двумерное множество конечной меры Лебега на конечное число множеств, которые можно снова собрать в множество с другую меру Лебега, поскольку это нарушило бы свойства банаховой меры, расширяющей меру Лебега.

И наоборот, существование парадокса Банаха-Тарского во всех измерениях n ≥ 3 показывает, что в этих измерениях не может существовать банахова мера.

Как показывает парадокс Витали , банаховы меры не могут быть усилены до счетно-аддитивных: существуют подмножества R ^н которые не измеримы по Лебегу, для всех n ≥ 1 .

Большинство этих результатов зависят от той или иной формы выбранной аксиомы . Используя только аксиомы теории множеств Цермело-Френкеля без аксиомы выбора, невозможно вывести парадокс Банаха-Тарского, а также невозможно доказать существование множеств, которые не измеримы по Лебегу (последнее утверждение зависит от довольно слабое и широко распространенное предположение, а именно, что существование недоступных кардиналов является последовательным). Существование банаховых мер на R ¹ и на Р ² также не может быть доказано в отсутствие аксиомы выбора. В частности, невозможно дать конкретную формулу для этих банаховых мер.