Цены Ванна-Волга

Метод Ванны-Волги — математический инструмент, используемый в финансах . Это метод оценки экзотических опционов первого поколения на деривативах на валютном рынке (FX) .

Описание

Он состоит в корректировке теоретического значения Блэка-Шоулза (BSTV).по стоимости портфеля, который хеджирует три основных рискасвязан с волатильностью опциона: Вега ${\mathcal {V}}$, Ваннаи Волга. Ванна — это чувствительность Веги к изменению спотового валютного курса:

${\textrm {Vanna}}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial S}}$.

Точно так же Волга - это чувствительностьВеги относительно изменения подразумеваемой волатильности $\sigma$:

${\textrm {Volga}}={\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial \sigma }}$.

Если мы рассмотрим временную структуру волатильности улыбки $\sigma (K)$ с забастовкой банкоматов $K_{0}$, волатильность банкоматов $\sigma _{0}$, 25-дельта волатильности колл/пут $\sigma (K_{c/p})$, и где $K_{c/p}$ 25-Дельтастрайки колл/пут (полученные путем решения уравнений $\Delta _{call}(K_{c},\sigma (K_{c}))=1/4$ и $\Delta _{put}(K_{p},\sigma (K_{p}))=-1/4$ где $\Delta _{call/put}(K,\sigma )$ обозначает чувствительность Дельты Блэка-Шоулза ), то портфель хеджированиябудет состоять из стратегий «при деньгах» (ATM), «разворота риска» (RR) и «бабочка» (BF).стратегии:

${\begin{aligned}{\textrm {ATM}}(K_{0})&={\frac {1}{2}}\left({\textrm {Call}}(K_{0},\sigma _{0})+{\textrm {Put}}(K_{0},\sigma _{0})\right)\\{\textrm {RR}}(K_{c},K_{p})&={\textrm {Call}}(K_{c},\sigma (K_{c}))-{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma (K_{p}))\\{\textrm {BF}}(K_{c},K_{p})&={\frac {1}{2}}\left({\textrm {Call}}(K_{c},\sigma (K_{c}))+{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma (K_{p}))\right)-{\textrm {ATM}}(K_{0})\end{aligned}}$

с ${\textrm {Call}}(K,\sigma )$ цена Блэка -Шоулза опциона колл (аналогично опциону пут).

Простейшая формулировка метода Ванны–Волги предполагает, чтоЦена Ванна–Волга $X^{VV}$ экзотического инструмента $X$ являетсяданный

$X^{\rm {VV}}=X^{BS}+\underbrace {\frac {{\textrm {X}}_{vanna}}{{\textrm {RR}}_{vanna}}} _{w_{RR}}{RR}_{cost}+\underbrace {\frac {{\textrm {X}}_{volga}}{{\textrm {BF}}_{volga}}} _{w_{BF}}{BF}_{cost}$

где $X^{BS}$ обозначает цену Блэка–Шоулзаэкзотика и греки рассчитываются с учетом волатильности банкоматов и

${\begin{aligned}RR_{cost}&=\left[{\textrm {Call}}(K_{c},\sigma (K_{c}))-{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma (K_{p}))\right]-\left[{\textrm {Call}}(K_{c},\sigma _{0})-{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma _{0})\right]\\BF_{cost}&={\frac {1}{2}}\left[{\textrm {Call}}(K_{c},\sigma (K_{c}))+{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma (K_{p}))\right]-{\frac {1}{2}}\left[{\textrm {Call}}(K_{c},\sigma _{0})+{\textrm {Put}}(K_{p},\sigma _{0})\right]\end{aligned}}$

Эти величины представляют собой стоимость улыбки , а именноразница между ценой, рассчитанной с учетом или без учетаэффект улыбки.

Смысл приведенной выше формулировки цены Ванна-Волга заключается в том, что можно извлечьСтоимость улыбки экзотического варианта путем измерения стоимость портфеля, предназначенного для хеджирования своих Vanna иВолга рискует. Причина, по которой выбирают стратегии BF и RRсделать это потому, что они являются ликвидными валютными инструментами ивозят в основном Волжские, и соответственно Ванна риски. Весфакторы $w_{RR}$ и $w_{BF}$ представлятьсоответственно, сумма RR, необходимая для репликации опционаВанна и количество BF, необходимое для воспроизведения вариантаВолга. Приведенный выше подход игнорирует небольшие (но ненулевые)доля Волги, перевозимая РЖД, и небольшая доляВанну несет БФ. Кроме того, он игнорирует стоимость хеджирования.риск Веги. Это привело к более общей формулировкеМетод Ванны-Волги, согласно которому в рамках модели Блэка-Шоулзапредположениями могут быть экзотические варианты Вега, Ванна и Волга.тиражируется взвешенной суммой трех инструментов:

$X_{i}=w_{ATM}\,{ATM_{i}}+w_{RR}\,{RR_{i}}+w_{BF}\,{BF_{i}}\,\,\,\,\,i{\text{=vega, vanna, volga}}$

где веса получены решением системы: ${\vec {x}}=\mathbb {A} {\vec {w}}$

с

$\mathbb {A} ={\begin{pmatrix}ATM_{vega}&RR_{vega}&BF_{vega}\\ATM_{vanna}&RR_{vanna}&BF_{vanna}\\ATM_{volga}&RR_{volga}&BF_{volga}\end{pmatrix}}$, ${\vec {w}}={\begin{pmatrix}w_{ATM}\\w_{RR}\\w_{BF}\end{pmatrix}}$, ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}X_{vega}\\X_{vanna}\\X_{volga}\end{pmatrix}}$

Учитывая эту репликацию, метод Ванна-Волги корректирует БС.цена экзотического варианта по улыбке стоимость вышеперечисленноговзвешенная сумма (обратите внимание, что стоимость улыбки банкомата равна нулю настроительство):

${\begin{aligned}X^{\rm {VV}}&=X^{BS}+w_{RR}({RR}^{mkt}-{RR}^{BS})+w_{BF}({BF}^{mkt}-{BF}^{BS})\\&=X^{BS}+{\vec {x}}^{T}(\mathbb {A} ^{T})^{-1}{\vec {I}}\\&=X^{BS}+X_{vega}\,\Omega _{vega}+X_{vanna}\,\Omega _{vanna}+X_{volga}\,\Omega _{volga}\\\end{aligned}}$

где

${\vec {I}}={\begin{pmatrix}0\\{RR}^{mkt}-{RR}^{BS}\\{BF}^{mkt}-{BF}^{BS}\end{pmatrix}}$

и

${\begin{pmatrix}\Omega _{vega}\\\Omega _{vanna}\\\Omega _{volga}\end{pmatrix}}=(\mathbb {A} ^{T})^{-1}{\vec {I}}$

Количества $\Omega _{i}$ можно интерпретировать какрыночные цены, прикрепленные к единице количества Веги, Ваны и Волги,соответственно. Однако результирующая коррекция обычно оказываетсяокажется слишком большим. Таким образом, специалисты по рынку изменяют $X^{VV}$ к

${\begin{aligned}X^{\rm {VV}}&=X^{BS}+p_{vanna}X_{vanna}\Omega _{vanna}+p_{volga}X_{volga}\Omega _{volga}\end{aligned}}$

Вклад Веги оказываетсяна несколько порядков меньше, чем ваннанские и волжские термыпоэтому во всех практических ситуациях им пренебрегают.

Условия $p_{vanna}$ и $p_{volga}$ задаются вручную и представляют собой факторы, обеспечивающие правильное поведение цены экзотического опциона вблизи барьера:как уровень барьера нокаута $B$ вариантапостепенно перемещается к спотовому уровню $S_{0}$, цена BSTVвариант выбивания должен быть монотонно убывающей функцией, сходящейсядо нуля точно в $B=S_{0}$. Поскольку метод Ванна-Волга являетсяпростое эмпирическое правило, а не строгая модель, не существуетгарантировать, что так и будет априори. Коэффициенты затухания другие, чем у Ванны или Волги.инструмента. Это связано с тем, что для значений барьеров, близких к точке, они ведут себя по-разному: Ванна становится большой, анаоборот, Волга становится маленькой. Следовательнокоэффициенты затухания принимают вид:

${\begin{aligned}p_{\rm {vanna}}&=a\,\gamma \\p_{\rm {volga}}&=b+c\gamma \end{aligned}}$

где $\gamma \in [0,1]$ представляет собой некоторую меру барьера(ов)близость к месту с особенностями

${\begin{aligned}\gamma =0\ \ &{for}\ \ S_{0}\to B\\\gamma =1\ \ &{for}\ \ |S_{0}-B|\gg 0\end{aligned}}$

Коэффициенты $a,b,c$ находятся путем калибровки модели, чтобы гарантировать, что она воспроизводит ванильную улыбку. Хорошие кандидаты на $\gamma$ гарантирующими соответствующее поведение вблизи барьеров, являются вероятность выживания и ожидаемое время первого выхода . Обе эти величины обладают тем желательным свойством, что они исчезают вблизи барьера.

Вероятность выживания

Вероятность выживания $p_{surv}\in [0,1]$ относится квероятность того, что пятно не коснется одного или нескольких барьеровуровни $\{B_{i}\}$. Например, для одного барьерного варианта мы имеем

$p_{surv}=\mathbb {E} [1_{S_{t}<B,t_{\textrm {tod}}<t<t_{\textrm {mat}}}]=\mathrm {NT} (B)/\mathrm {DF} (t_{\textrm {tod}},t_{\textrm {mat}})$

где $\mathrm {NT} (B)$ — это стоимость бесконтактного опциона и $\mathrm {DF} (t_{\textrm {tod}},t_{\textrm {mat}})$ коэффициент дисконтирования между сегодняшним днем ​​и сроком погашения. Аналогично для вариантов с двумя барьерамивероятность выживания определяется через недисконтированную стоимостьопции двойного касания.

Время первого выхода

Первое время выхода (FET) представляет собой минимум между: (i) временем вбудущее, когда ожидается, что пятно выйдет из барьерной зоны раньшесрок погашения и (ii) срок погашения, если спот не достиг ни одного избарьерные уровни вплоть до зрелости. То есть, если мы обозначим полевой транзистор через $u(S_{t},t)$ затем $u(S_{t},t)=$мин $\{\phi ,T\}$ где $\phi ={\textrm {inf}}\{\ell \in [0,T)\}$ такой, что $S_{t+\ell }>H$ или $S_{t+\ell }<L$ где $L,H$ являются «низкими» и «высокими» уровнями барьеров и $S_{t}$ место сегодняшнего дня.

Время первого выхода является решением следующего УЧП

${\frac {\partial u(S,t)}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}u(S,t)}{\partial S^{2}}}+\mu S{\frac {\partial u(S,t)}{\partial S}}=0$

Это уравнение решается в обратном порядкево времени, начиная с терминального состояния $u(S,T)=T$ где $T$ это время зрелости играничные условия $u(L,t')=u(H,t')=t'$. В случае одиночногобарьерный вариант, мы используем один и тот же PDE либо с $H\gg S_{0}$ или $L\ll S_{0}$. Параметр $\mu$ представляет собой нейтральный к риску дрейф основного стохастического процесса.

Ссылки

• Фредерик Боссенс; Грегори Райе; Никос С. Скантсос; Гризельда Дилстра (2009). «Методы Ванна-Волги в применении к валютным деривативам: от теории к рыночной практике». arXiv : 0904.1074 [ q-fin.PR ].
• Кастанья, Антонио; Меркурио, Фабио (1 марта 2007 г.). «Методы Ванна-Волги в применении к валютным деривативам: от теории к рыночной практике» . Журнал «Риск» . PDF .

• Школьников, Юрий (2009). «Обобщенный метод Ванна-Волги и его приложения». Электронный журнал ССРН . дои : 10.2139/ssrn.1186383 . ССНН   1186383 .

• Виступ, Уве (2006), Валютные опционы и структурированные продукты , Wiley