Сфера

Эта статья о концепции трехмерной геометрии. Чтобы узнать о других значениях, см. Сфера (значения) .

«Globose» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о нейроанатомическом строении, см. Шаровидное ядро .

Сфера
Перспективная проекция сферы
Тип	Гладкая поверхность Алгебраическая поверхность
Эйлер чар.	2
Группа симметрии	О(3)
Площадь поверхности	4πr 2
Объем	⁠ 4 / 3 ⁠ πr 3

Сфера . (от греч σφαῖρα , sphaîra ) — геометрический объект, являющийся трёхмерным аналогом двумерного круга . Формально сфера — это набор точек , находящихся на одинаковом расстоянии r от заданной точки трехмерного пространства . Эта данная точка является центром сферы, а r сферы — радиус . Самые ранние известные упоминания о сферах появляются в работах древнегреческих математиков .

Сфера является фундаментальным объектом во многих областях математики . Сферы и почти сферические формы встречаются также в природе и промышленности. Пузыри, такие как мыльные пузыри, в равновесии принимают сферическую форму. Землю часто называют сферой В географии , а небесная сфера является важным понятием в астрономии . Промышленные изделия, включая сосуды под давлением , а также большинство изогнутых зеркал и линз, основаны на сферах. Сферы плавно катятся в любом направлении, поэтому большинство мячей, используемых в спорте и игрушках, имеют сферическую форму, как и шарикоподшипники .

Основная терминология

Два ортогональных радиуса сферы

Как упоминалось ранее, r — радиус сферы; любая линия, идущая от центра к точке сферы, также называется радиусом.

Если радиус продлить через центр на противоположную сторону сферы, получится диаметр . Как и радиус, длину диаметра также называют диаметром и обозначают d . Диаметры — это самые длинные отрезки линий, которые можно провести между двумя точками сферы: их длина в два раза больше радиуса, d = 2 r . Две точки на сфере, соединенные диаметром, являются точками, противоположными друг другу.

Единичная сфера — это сфера с единичным радиусом ( r = 1 ). Для удобства часто считается, что сферы имеют центр в начале системы координат , а сферы в этой статье имеют центр в начале координат, если центр не упоминается.

Большой круг на сфере имеет тот же центр и радиус, что и сфера, и делит ее на два равных полушария .

Хотя форма Земли не является идеально сферической, к сфере удобно применять термины, заимствованные из географии.Конкретная линия, проходящая через его центр, определяет ось Земли (как в случае с осью вращения ).Пересечение оси сферы определяет два противоположных полюса ( северный полюс и южный полюс ). Большой круг, равноудаленный от полюсов, называется экватором . Большие круги, проходящие через полюса, называются линиями долготы или меридианами . Маленькие кружки на сфере, параллельные экватору, — это круги широты (или параллели ). В геометрии, не связанной с астрономическими телами, геоцентрическую терминологию следует использовать только для иллюстрации и отмечать как таковую, если только нет риска неправильного понимания.

Математики рассматривают сферу как двумерную замкнутую поверхность, погруженную в трехмерное евклидово пространство . Они проводят различие между сферой и шаром , который представляет собой трехмерное многообразие с границей , включающей объем, содержащийся в сфере. Открытый шар исключает саму сферу, а закрытый шар включает сферу: закрытый шар — это объединение открытого шара и сферы, а сфера — граница шара (замкнутого или открытого). Различие между шаром и сферой не всегда сохранялось, и особенно в старых математических источниках говорится о сфере как о твердом теле. Различие между « кругом » и « диском » на плоскости аналогично.

Маленькие сферы или шарики иногда называют сферулами, например, марсианскими сферулами .

Уравнения

В аналитической геометрии сфера с центром ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) и радиусом r является геометрическим местом всех точек ( x , y , z ) таких, что

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.$

Поскольку сфера может быть выражена в виде квадратичного многочлена, сфера является квадричной поверхностью , разновидностью алгебраической поверхности .

Пусть a, b, c, d, e — действительные числа с a ≠ 0 , и положим

$x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.$

Тогда уравнение

$f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0$

не имеет вещественных точек в качестве решений, если $\rho <0$ и называется уравнением мнимой сферы . Если $\rho =0$, единственное решение $f(x,y,z)=0$ в этом суть $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ и уравнение называется уравнением точечной сферы . Наконец, в случае $\rho >0$, $f(x,y,z)=0$ — уравнение сферы, центр которой находится $P_{0}$ и чей радиус ${\sqrt {\rho }}$.

Если a в приведенном выше уравнении равно нулю, то f ( x , y , z ) = 0 — уравнение плоскости. Таким образом, плоскость можно рассматривать как сферу бесконечного радиуса, центром которой является точка, находящаяся на бесконечности .

Параметрический

Параметрическое уравнение сферы радиуса $r>0$ и центр $(x_{0},y_{0},z_{0})$ может быть параметризован с помощью тригонометрических функций .

${\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \\z&=z_{0}+r\cos \theta \,\end{aligned}}$

Используемые здесь символы такие же, как и в сферических координатах . r является постоянным, а θ изменяется от 0 до π и $\varphi$ изменяется от 0 до 2π .

Характеристики

Закрытый объем

Сфера и описанный цилиндр

В трех измерениях объем внутри сферы (то есть объем шара , но классически называемый объемом сферы) равен

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}\ d^{3}\approx 0.5236\cdot d^{3}$

где r — радиус, а d — диаметр сферы. Архимед впервые вывел эту формулу, показав, что объем внутри сферы в два раза превышает объем между сферой и описанным цилиндром этой сферы (имеющим высоту и диаметр, равные диаметру сферы). Это можно доказать, вписав перевернутый конус в полусферу, заметив, что площадь поперечного сечения конуса плюс площадь поперечного сечения сферы равна площади поперечного сечения описывающего его цилиндра. и применяя принцип Кавальери . вывести с помощью интегрального исчисления , т.е. дискового интегрирования для суммирования объемов бесконечного числа круглых Эту формулу также можно дисков бесконечно малой толщины, сложенных рядом и центрированных вдоль оси x от x = − r до x = r , предполагая сфера радиуса r центрирована в начале координат.

показывать Доказательство объема сферы с помощью исчисления

At any given x, the incremental volume (δV) equals the product of the cross-sectional area of the disk at x and its thickness (δx): $\delta V\approx \pi y^{2}\cdot \delta x.$ The total volume is the summation of all incremental volumes: $V\approx \sum \pi y^{2}\cdot \delta x.$ In the limit as δx approaches zero, this equation becomes: $V=\int _{-r}^{r}\pi y^{2}dx.$ At any given x, a right-angled triangle connects x, y and r to the origin; hence, applying the Pythagorean theorem yields: $y^{2}=r^{2}-x^{2}.$ Using this substitution gives $V=\int _{-r}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx,$ which can be evaluated to give the result $V=\pi \left[r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-r}^{r}=\pi \left(r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}\right)-\pi \left(-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}\right)={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$ An alternative formula is found using spherical coordinates, with volume element $dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi$ so $V=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta \,d\varphi =2\pi \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta =4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\,dr'\ ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.$

Для большинства практических целей объем внутри сферы, вписанной в куб, можно приблизительно определить как 52,4% объема куба, поскольку V = ⁠ π / 6 ⁠ d ³ , где d — диаметр сферы, а также длина стороны куба и ⁠ π / 6 ⁠ ≈ 0,5236. Например, сфера диаметром 1 м занимает 52,4% объема куба с длиной ребра 1   м, или около 0,524 м. ³ .

Площадь поверхности

Площадь поверхности сферы радиуса r равна:

$A=4\pi r^{2}.$

Архимед впервые вывел эту формулу из того, что проекция на боковую поверхность описанного цилиндра сохраняет площадь. Другой подход к получению формулы основан на том факте, что она равна производной формулы для объема по r, поскольку общий объем внутри сферы радиуса r можно рассматривать как сумму площади поверхности бесконечного числа. сферических оболочек бесконечно малой толщины, концентрически уложенных друг в друга от радиуса 0 до радиуса r . При бесконечно малой толщине несоответствие между площадью внутренней и внешней поверхности любой данной оболочки бесконечно мало, а объем элемента на радиусе r представляет собой просто произведение площади поверхности на радиусе r и бесконечно малой толщины.

показывать Подтверждение площади поверхности с помощью исчисления

At any given radius r, the incremental volume (δV) equals the product of the surface area at radius r (A(r)) and the thickness of a shell (δr): $\delta V\approx A(r)\cdot \delta r.$ The total volume is the summation of all shell volumes: $V\approx \sum A(r)\cdot \delta r.$ In the limit as δr approaches zero this equation becomes: $V=\int _{0}^{r}A(r)\,dr.$ Substitute V: ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}=\int _{0}^{r}A(r)\,dr.$ Differentiating both sides of this equation with respect to r yields A as a function of r: $4\pi r^{2}=A(r).$ This is generally abbreviated as: $A=4\pi r^{2},$ where r is now considered to be the fixed radius of the sphere. Alternatively, the area element on the sphere is given in spherical coordinates by dA = r2 sin θ dθ dφ. The total area can thus be obtained by integration: $A=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =4\pi r^{2}.$

Сфера имеет наименьшую площадь поверхности среди всех поверхностей, заключающих данный объем, и заключает в себе самый большой объем среди всех замкнутых поверхностей с заданной площадью поверхности. Таким образом, в природе возникает сфера: например, пузырьки и маленькие капли воды имеют примерно сферическую форму, поскольку поверхностное натяжение локально минимизирует площадь поверхности.

Площадь поверхности относительно массы шара называется удельной площадью поверхности и может быть выражена из приведенных выше уравнений как

$\mathrm {SSA} ={\frac {A}{V\rho }}={\frac {3}{r\rho }}$

где ρ – плотность (отношение массы к объему).

Другие геометрические свойства

Сферу можно построить как поверхность, образованную вращением круга на половину оборота вокруг любого из его диаметров ; это очень похоже на традиционное определение сферы, данное в «Началах» Евклида . Поскольку круг представляет собой особый тип эллипса , сфера представляет собой особый тип эллипсоида вращения . Заменив круг эллипсом, повернутым вокруг своей большой оси , форма становится вытянутым сфероидом ; вращается вокруг малой оси и представляет собой сплюснутый сфероид.

Сфера однозначно определяется четырьмя некомпланарными точками . В более общем смысле сфера однозначно определяется четырьмя условиями, такими как прохождение через точку, касание к плоскости и т. д. Это свойство аналогично тому свойству, что три неколлинеарные точки определяют единственный круг на плоскости.

Следовательно, сфера однозначно определяется (то есть проходит через) окружностью и точкой, не лежащей в плоскости этой окружности.

Рассмотрев общие решения уравнений двух сфер , можно увидеть, что две сферы пересекаются по окружности, а плоскость, содержащая эту окружность, называется радикальной плоскостью пересекающихся сфер. Хотя радикальная плоскость является реальной плоскостью, круг может быть воображаемым (сферы не имеют общей реальной точки) или состоять из одной точки (сферы касаются в этой точке).

Угол между двумя сферами в реальной точке пересечения — это двугранный угол, определяемый касательными плоскостями к сферам в этой точке. Две сферы пересекаются под одинаковым углом во всех точках окружности их пересечения. Они пересекаются под прямым углом ( ортогональны ) тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между их центрами равен сумме квадратов их радиусов.

Карандаш сфер

Основная статья: Карандаш (математика) § Карандаш сфер

Если f ( x , y , z ) = 0 и g ( x , y , z ) = 0 являются уравнениями двух различных сфер, то

$sf(x,y,z)+tg(x,y,z)=0$

также является уравнением сферы для произвольных значений параметров s и t . Набор всех сфер, удовлетворяющих этому уравнению, называется пучком сфер, определяемым двумя исходными сферами. В этом определении сфера может быть плоскостью (бесконечный радиус, центр в бесконечности), и если обе исходные сферы являются плоскостями, то все сферы карандаша являются плоскостями, в противном случае существует только одна плоскость (радикальная плоскость) в карандаш.

Свойства сферы

Нормальный вектор к сфере, нормальная плоскость и ее нормальное сечение. Кривизна кривой пересечения является кривизной сечения. Для сферы каждое нормальное сечение данной точки будет кругом того же радиуса: радиуса сферы. Это означает, что каждая точка сферы будет точкой пуповины.

В своей книге «Геометрия и воображение » Дэвид Гильберт и Стефан Кон-Воссен описывают одиннадцать свойств сферы и обсуждают, однозначно ли эти свойства определяют сферу. Для плоскости , которую можно рассматривать как сферу бесконечного радиуса, справедливы несколько свойств. Эти свойства:

1. Все точки сферы находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки. При этом отношение расстояний его точек от двух неподвижных точек постоянно.

   Первая часть является обычным определением сферы и определяет ее однозначно. Вторая часть легко выводится и следует аналогичному результату Аполлония Пергского для круга . Эта вторая часть справедлива и для самолета .

2. Контуры и плоские сечения сферы представляют собой круги.

   Это свойство однозначно определяет сферу.

3. Сфера имеет постоянную ширину и постоянный обхват.

   Ширина поверхности — это расстояние между парами параллельных касательных плоскостей. Многие другие замкнутые выпуклые поверхности имеют постоянную ширину, например тело Мейсснера . Обхват поверхности — это длина окружности границы ее ортогональной проекции на плоскость. Каждое из этих свойств подразумевает другое.

4. Все точки сферы являются пупками .

   В любой точке поверхности направление нормали перпендикулярно поверхности, потому что на сфере это линии, исходящие из центра сферы. Пересечение плоскости, содержащей нормаль, с поверхностью образует кривую, называемую нормальным сечением, а кривизна этой кривой — нормальная кривизна . Для большинства точек на большинстве поверхностей разные участки будут иметь разную кривизну; их максимальное и минимальное значения называются главными кривизнами . Любая замкнутая поверхность будет иметь как минимум четыре точки, называемые точками пуповины . У шлангокабеля все кривизны сечения равны; в частности, главные кривизны равны. Точки пуповины можно рассматривать как точки, в которых поверхность близко приближается к сфере.

   Для сферы кривизны всех нормальных сечений равны, поэтому каждая точка является пуповиной. Сфера и плоскость — единственные поверхности, обладающие этим свойством.

5. Сфера не имеет поверхности центров.

   Для данного нормального сечения существует круг кривизны, равный кривизне сечения, касающийся поверхности, центральные линии которого лежат на нормальной линии. Например, два центра, соответствующие максимальной и минимальной кривизне сечения, называются фокальными точками , а совокупность всех таких центров образует фокальную поверхность .

   Для большинства поверхностей фокальная поверхность образует два листа, каждый из которых представляет собой поверхность и встречается в точках шлангокабеля. Некоторые случаи являются особенными:

   * Для поверхностей каналов один лист образует кривую, а другой лист представляет собой поверхность.

   * Для конусов , цилиндров, торов и циклид оба листа образуют кривые.

   * Для сферы центр каждого соприкасающегося круга находится в центре сферы, а фокальная поверхность образует одну точку. Это свойство уникально для сферы.

6. Все геодезические сферы являются замкнутыми кривыми.

   Геодезические – это кривые на поверхности, которые дают кратчайшее расстояние между двумя точками. Они являются обобщением понятия о прямой на плоскости. Для сферы геодезические — это большие круги. Многие другие поверхности обладают этим свойством.

7. Из всех твердых тел, имеющих данный объем, сфера имеет наименьшую площадь поверхности; Из всех твердых тел, имеющих данную площадь поверхности, сфера имеет наибольший объем.

   Это следует из изопериметрического неравенства . Эти свойства однозначно определяют сферу и их можно увидеть в мыльных пузырях : мыльный пузырь будет заключать в себе фиксированный объем, а поверхностное натяжение минимизирует площадь его поверхности для этого объема. Таким образом, свободно плавающий мыльный пузырь приближается к сфере (хотя такие внешние силы, как гравитация, слегка искажают форму пузыря). Его также можно увидеть на планетах и ​​звездах, где гравитация сводит к минимуму площадь поверхности крупных небесных тел.

8. Сфера имеет наименьшую общую среднюю кривизну среди всех выпуклых тел с заданной площадью поверхности.

   Средняя кривизна — это среднее значение двух главных кривизн, которое является постоянным, поскольку две главные кривизны постоянны во всех точках сферы.

9. Сфера имеет постоянную среднюю кривизну.

   Сфера - единственная вложенная поверхность, у которой нет границ или особенностей с постоянной положительной средней кривизной. Другие такие погруженные поверхности, как минимальные поверхности, имеют постоянную среднюю кривизну.

10. Сфера имеет постоянную положительную гауссову кривизну.

    Гауссова кривизна является произведением двух главных кривизн. Это внутреннее свойство, которое можно определить путем измерения длины и углов, и оно не зависит от того, как поверхность встроена в пространство. Следовательно, изгиб поверхности не изменит гауссову кривизну, а другие поверхности с постоянной положительной гауссовой кривизной можно получить, вырезав небольшую щель в сфере и согнув ее. Все остальные поверхности будут иметь границы, а сфера — единственная поверхность, у которой нет границы с постоянной положительной гауссовой кривизной. Псевдосфера . является примером поверхности с постоянной отрицательной гауссовой кривизной

11. Сфера преобразуется в себя трехпараметрическим семейством жестких движений.

    Вращение вокруг любой оси единичной сферы в начале координат отобразит сферу на себя. Любое вращение вокруг линии, проходящей через начало координат, можно выразить как комбинацию вращений вокруг трехкоординатной оси (см. Углы Эйлера ). Следовательно, существует трехпараметрическое семейство вращений, в котором каждое вращение преобразует сферу в саму себя; это семейство представляет собой группу вращения SO(3) . Плоскость — единственная другая поверхность с трехпараметрическим семейством преобразований (переносы по осям x и y и повороты вокруг начала координат). Круглые цилиндры — единственные поверхности с двухпараметрическими семействами жестких движений, а поверхности вращения и геликоиды — единственные поверхности с однопараметрическим семейством.

Лечение по областям математики

Сферическая геометрия

Большой круг на сфере

Основная статья: Сферическая геометрия

Основными элементами евклидовой геометрии плоскости являются точки и линии . На сфере точки определяются в обычном смысле. Аналогом «линии» является геодезическая , представляющая собой большой круг ; Определяющей характеристикой большого круга является то, что плоскость, содержащая все его точки, также проходит через центр сферы. Измерение длины дуги показывает, что кратчайший путь между двумя точками, лежащими на сфере, — это более короткий сегмент большого круга , включающий эти точки.

Многие теоремы классической геометрии справедливы и для сферической геометрии, но не все, потому что сфера не удовлетворяет некоторым постулатам классической геометрии , включая постулат параллельности . В сферической тригонометрии углы определяются между большими кругами. отличается от обычной тригонометрии Сферическая тригонометрия во многом . Например, сумма внутренних углов сферического треугольника всегда превышает 180 градусов. Кроме того, любые два подобных сферических треугольника конгруэнтны.

Любая пара точек на сфере, лежащая на прямой, проходящей через центр сферы (т. е. диаметр), называется антиподальными точками — на сфере расстояние между ними составляет ровно половину длины окружности. Любая другая (т.е. не антиподальная) пара различных точек на сфере.

• лежат на уникальном большом круге,
• разделите его на одну малую (т.е. более короткую) и одну большую (т.е. более длинную) дуги , и
• длина малой дуги должна быть кратчайшим расстоянием между ними на сфере.

Сферическая геометрия — это форма эллиптической геометрии , которая вместе с гиперболической геометрией составляет неевклидову геометрию .

Дифференциальная геометрия

Сфера представляет собой гладкую поверхность с постоянной гауссовой кривизной в каждой точке, равной 1/ r. ² . Согласно теореме Гаусса Egregium , эта кривизна не зависит от встраивания сферы в трехмерное пространство. Также, следуя Гауссу, сферу нельзя отобразить на плоскости, сохранив при этом как площади, так и углы. Поэтому любая картографическая проекция вносит некоторую форму искажения.

Сфера радиуса r имеет элемент площади $dA=r^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi$. Это можно найти из элемента объема в сферических координатах с r . постоянным значением

Сфера любого радиуса с центром в нуле представляет собой целую поверхность следующей дифференциальной формы :

$x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.$

Это уравнение показывает, что вектор положения и касательная плоскость в точке всегда ортогональны друг другу. Более того, обращенный наружу вектор нормали равен вектору положения, масштабированному на 1/r .

В римановой геометрии гипотеза о площади заполнения утверждает, что полусфера представляет собой оптимальное (наименьшей площади) изометрическое заполнение риманова окружности .

Топология

можно вывернуть обычную сферу наизнанку Примечательно, что в трехмерном пространстве с возможными самопересечениями, но без создания каких-либо складок, в процессе, называемом выворотом сферы .

Антиподальный фактор сферы — это поверхность, называемая реальной проективной плоскостью , которую также можно рассматривать как Северное полушарие с идентифицированными антиподальными точками экватора.

Кривые на сфере

Плоское сечение сферы: 1 окружность

Коаксиальное пересечение сферы и цилиндра: 2 круга

Круги

Основная статья: Круг сферы

Круги на сфере, как и круги на плоскости, состоят из всех точек, находящихся на определенном расстоянии от фиксированной точки сферы. Пересечение сферы и плоскости представляет собой круг, точку или пустоту. Большие круги представляют собой пересечение сферы плоскостью, проходящей через центр сферы: другие называются малыми кругами.

Более сложные поверхности также могут пересекать сферу по окружностям: пересечение сферы с поверхностью вращения , ось которой содержит центр сферы ( соосны ), состоит из кругов и/или точек, если не пусто. Например, на диаграмме справа показано пересечение сферы и цилиндра, состоящего из двух окружностей. Если бы радиус цилиндра был радиусом сферы, пересечение было бы одним кругом. Если бы радиус цилиндра был больше радиуса сферы, пересечение было бы пустым.

Локсодром

Локсодром

Основная статья: Румпельная линия

В навигации локсодромия . или румбическая линия — это путь , направление которого , угол между касательной и прямым севером, является постоянным Локсодромы проецируются на прямые линии по проекции Меркатора . Двумя особыми случаями являются меридианы , выровненные прямо с севера на юг, и параллели , выровненные прямо с востока на запад. При любом другом направлении локсодром бесконечно закручивается вокруг каждого полюса. Для Земли, смоделированной как сфера, или для общей сферы, имеющей сферическую систему координат , такой локсодром представляет собой разновидность сферической спирали .

Клелия кривые

Основная статья: Клели

Спираль Клелии с c = 8

Другой вид сферической спирали — это кривая Клелия, для которой долгота (или азимут) $\varphi$ и широта (или полярный угол) $\theta$ находятся в линейной зависимости, ⁠ $\varphi =c\theta$⁠ . Кривые Клелии проецируются в прямые линии под равноугольной проекцией . Кривая Вивиани ( ⁠ $c=1$⁠ ) ​​— особый случай. Кривые Клелии аппроксимируют траекторию движения спутников на полярной орбите .

Сферические коники

Основная статья: Сферический конус

Аналогом конического сечения на сфере является сферический конус , кривая четвертой степени , которую можно определить несколькими эквивалентными способами, в том числе:

• как пересечение сферы с квадратичным конусом, вершина которого является центром сферы;
• как пересечение сферы эллиптическим или гиперболическим цилиндром , ось которого проходит через центр сферы;
• как геометрическое место точек, сумма или разность расстояний по большому кругу которых от пары фокусов является постоянной.

Многие теоремы, относящиеся к плоским коническим сечениям, распространяются и на сферические коники.

Пересечение сферы с более общей поверхностью

Общее пересечение сфера-цилиндр

Если сфера пересекается другой поверхностью, могут возникнуть более сложные сферические кривые.

Пример

сфера – цилиндр

Основная статья: Пересечение сферы и цилиндра

Пересечение сферы с уравнением $\;x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\;$ и цилиндр с уравнением $\;(y-y_{0})^{2}+z^{2}=a^{2},\;y_{0}\neq 0\;$ это не просто один или два круга. Это решение нелинейной системы уравнений

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}=0$

$(y-y_{0})^{2}+z^{2}-a^{2}=0\ .$

(см. неявную кривую и диаграмму)

Обобщения

Эллипсоиды

Эллипсоид — это сфера, растянутая или сжатая в одном или нескольких направлениях. Точнее, это изображение сферы при аффинном преобразовании . Эллипсоид имеет такое же отношение к сфере, как эллипс к кругу.

Размерность

Основная статья: н-сфера

Сферы можно обобщить до пространств любого числа измерений . Для любого натурального числа n существует n -сфера, часто обозначаемая S ^н , — это набор точек в ( n + 1 )-мерном евклидовом пространстве, которые находятся на фиксированном расстоянии r от центральной точки этого пространства, где r , как и прежде, является положительным действительным числом. В частности:

• SС ⁰ : 0-сфера состоит из двух дискретных точек, − r и r
• SС ¹ : 1-сфера — это круг радиуса r
• SС ² : 2-сфера — это обычная сфера
• SС ³ : 3-сфера — это сфера в 4-мерном евклидовом пространстве.

Сферы для n > 2 иногда называют гиперсферами .

-сфера n единичного радиуса с центром в начале координат обозначается S ^н и ее часто называют « n -сферой». Обычная сфера является двумерной сферой, потому что это двумерная поверхность, погруженная в трехмерное пространство.

В топологии - сфера n является примером компактного топологического многообразия без края . Топологическая сфера не обязательно должна быть гладкой ; если он гладкий, он не обязательно должен быть диффеоморфен евклидовой сфере ( экзотической сфере ).

Сфера является обратным образом одноточечного множества относительно непрерывной функции ‖ x ‖ , поэтому она замкнута; С ^н также ограничен, поэтому он компактен по теореме Гейне-Бореля .

Метрические пространства

Основная статья: Метрическое пространство

В более общем смысле, в метрическом пространстве ( E , d ) сфера с центром x и радиусом r > 0 представляет собой набор точек y таких, что d ( x , y ) = r .

Если центром является выделенная точка, которая считается началом координат E , как в нормированном пространстве, она не упоминается в определении и обозначениях. То же самое относится и к радиусу, если его принять равным единице, как в случае единичной сферы .

В отличие от шара , даже большая сфера может оказаться пустым множеством. Например, в З. ^н с евклидовой метрикой сфера радиуса r непуста, только если r ² можно записать как сумму n квадратов целых чисел .

Октаэдр — это сфера в геометрии такси , а куб — ​​это сфера в геометрии с использованием расстояния Чебышева .

История

Геометрию сферы изучали греки. «Элементы» Евклида дают определение сферы в книге XI, обсуждают различные свойства сферы в книге XII и показывают, как вписать пять правильных многогранников в сферу в книге XIII. Евклид не включает площадь и объем сферы, а только теорему о том, что объем сферы изменяется в третьей степени ее диаметра, вероятно, благодаря Евдоксу Книдскому . Формулы объема и площади впервые были определены в Архимеда работе «О сфере и цилиндре» методом истощения . Зенодор был первым, кто заявил, что для данной площади поверхности сфера является телом максимального объема.

Архимед писал о задаче разделения сферы на сегменты, объемы которых находятся в заданном соотношении, но не решил ее. Решение с помощью параболы и гиперболы было дано Дионисодором . Аналогичную задачу — построить отрезок, равный по объёму данному отрезку, а по поверхности другому отрезку — решил позже аль-Кухи .

Галерея

• 
  Изображение одной из самых точных сфер, созданных руками человека, поскольку она преломляет изображение Эйнштейна на заднем плане. Эта сфера представляла собой из плавленого кварца гироскоп для эксперимента Gravity Probe B и отличается по форме от идеальной сферы не более чем на 40 атомов (менее 10   нм) толщины. 1 июля 2008 года было объявлено, что австралийские ученые создали еще больше почти идеальных сфер с точностью до 0,3   нм в рамках международной попытки найти новый глобальный стандарт килограмма .
• 
  Колода игральных карт с изображением инженерных инструментов, Англия, 1702 год. Пиковый король : сферы.

Регионы

См. Также: Шар (математика) § Регионы

• полушарие
• Сферический колпачок
• Сферический лунник
• Сферический многоугольник
• Сферический сектор
• Сферический сегмент
• Сферический клин
• Сферическая зона

См. также

• 3-сфера
• Аффинная сфера
• Александр рогатая сфера
• Небесные сферы
• Кривизна
• Направленная статистика
• Сфера Дайсона
• Карта Гаусса
• Рука с отражающей сферой , М. К. Эшера, иллюстрирующий отражение и оптические свойства зеркальной сферы. рисунок автопортрета
• сфера Хобермана
• Гомологическая сфера
• Гомотопические группы сфер
• Гомотопическая сфера
• Ленарт Сфера
• Проблема с кольцами для салфеток
• Орб (оптика)
• Псевдосфера
• сфера Римана
• Телесный угол
• Сферическая упаковка
• Сферические координаты
• Сферическая корова
• Сферическая спираль, касательная индикатриса кривой постоянной прецессии
• Сферический многогранник
• Сферичность
• Теорема о теннисном мяче
• дюймовая сфера

Примечания и ссылки

Дальнейшее чтение

• Альберт, Авраам Адриан (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Дувр, ISBN  978-0-486-81026-3 .
• Данэм, Уильям (1997). Математическая Вселенная: путешествие по алфавиту через великие доказательства, проблемы и личности . Нью-Йорк: Уайли. стр. 28 , 226. Бибкод : 1994muaa.book.....D . ISBN  978-0-471-17661-9 .
• Крейциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN  978-0-471-50728-4 .
• Стейнхаус, Х. (1969), Математические снимки (Третье американское издание), Oxford University Press .
• Вудс, Фредерик С. (1961) [1922], Высшая геометрия / Введение в передовые методы аналитической геометрии , Дувр .
• Джон К. Полкинг (15 апреля 1999 г.). «Геометрия сферы» . www.math.csi.cuny.edu . Проверено 21 января 2022 г.

Внешние ссылки

• Mathematica/Равномерное сферическое распределение
• Площадь поверхности доказательства сферы