Евклидова геометрия

«Плоская геометрия» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Плоскую геометрию (значения) .

Фрагмент из Рафаэля «Афинской школы» , изображающий греческого математика, возможно, олицетворяющего Евклида или Архимеда , использующего компас для рисования геометрической конструкции.

Евклидова геометрия — математическая система, приписываемая древнегреческому математику Евклиду , которую он описал в своем учебнике по геометрии « » Начала . Подход Евклида состоит в предположении небольшого набора интуитивно привлекательных аксиом (постулатов) и выводе из них множества других предложений ( теорем ). Хотя многие результаты Евклида были сформулированы ранее, Евклид был первым, кто организовал эти предложения в логическую систему , в которой каждый результат доказывается на основе аксиом и ранее доказанных теорем.

« Начала » начинаются с плоской геометрии , которую до сих пор преподают в средней школе (старшей школе) как первую аксиоматическую систему и первые примеры математических доказательств . Это переходит к твердой геометрии трех измерений . Большая часть « Элементов» содержит результаты того, что сейчас называется алгеброй и теорией чисел , объясненные на геометрическом языке.

Более двух тысяч лет прилагательное «евклидово» было ненужным, посколькуАксиомы Евклида казались настолько интуитивно очевидными (за возможным исключением постулата о параллельности ), что теоремы, доказанные на их основе, считались абсолютно истинными, и, таким образом, никакие другие виды геометрии были невозможны. Сегодня, однако, известно множество других самосогласованных неевклидовых геометрий , первые из которых были открыты в начале 19 века. Следствием Альберта Эйнштейна общей теории относительности является то, что физическое пространство само по себе не является евклидовым, а евклидово пространство является для него хорошим приближением только на коротких расстояниях (относительно силы гравитационного поля ).

Евклидова геометрия является примером синтетической геометрии , поскольку она логически переходит от аксиом, описывающих основные свойства геометрических объектов, таких как точки и линии, к утверждениям об этих объектах. Это контрастирует с аналитической геометрией , введенной почти 2000 лет спустя Рене Декартом , которая использует координаты для выражения геометрических свойств посредством алгебраических формул .

Элементы ​

Основная статья: Элементы Евклида

«Элементы » представляют собой в основном систематизацию более ранних знаний по геометрии. Его улучшение по сравнению с более ранними методами лечения было быстро признано, в результате чего интерес к сохранению более ранних методов был незначительным, и теперь они почти все утеряны.

13 книг В «Элементах» :

В книгах I–IV и VI обсуждается плоская геометрия. Доказаны многие результаты о плоских фигурах, например: «Во всяком треугольнике два угла, взятые вместе любым способом, меньше двух прямых углов». (Книга I, предложение 17) и теорема Пифагора «В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол, равен квадратам на сторонах, содержащих прямой угол». (Книга I, предложение 47)

Книги V и VII – X посвящены теории чисел , где числа трактуются геометрически как длины отрезков линий или площади областей поверхности. такие понятия, как простые числа , рациональные и иррациональные числа Вводятся . Доказано, что существует бесконечно много простых чисел.

Книги XI–XIII посвящены твердотельной геометрии . Типичным результатом является соотношение 1:3 между объемом конуса и цилиндра с одинаковой высотой и основанием. Платоновые тела построены.

Аксиомы

Постулат параллельности (Постулат 5): Если две линии пересекают третью таким образом, что сумма внутренних углов с одной стороны меньше двух прямых углов, то две линии неизбежно должны пересечься друг с другом на этой стороне, если они простираются далеко достаточно.

Евклидова геометрия — это аксиоматическая система , в которой все теоремы («истинные утверждения») выводятся из небольшого числа простых аксиом. До появления неевклидовой геометрии эти аксиомы считались очевидно истинными в физическом мире, так что все теоремы были бы одинаково верны. Однако рассуждения Евклида от предположений к выводам остаются действительными независимо от физической реальности.

Ближе к началу первой книги «Элементов » Евклид дает пять постулатов (аксиом) плоской геометрии, изложенных в терминах конструкций (в переводе Томаса Хита):

Пусть постулируется следующее:

1. Провести прямую линию из любой точки в любую точку.
2. Производить (продлевать) конечную прямую непрерывно по прямой.
3. Описать круг с любым центром и расстоянием (радиусом).
4. Что все прямые углы равны между собой.
5. [ Постулат о параллельности ]: если прямая линия, падающая на две прямые, делает внутренние углы на одной и той же стороне меньшими, чем два прямых угла, то две прямые линии, если их производить бесконечно, встретятся на той стороне, на которой углы меньше чем два прямых угла.

Хотя Евклид явно лишь утверждает существование сконструированных объектов, в своих рассуждениях он также неявно предполагает их уникальность.

Элементы : также включают следующие пять «общих понятий»

1. Вещи, равные одному и тому же, равны и друг другу ( транзитивное свойство евклидова отношения ).
2. Если к равным добавляются равные, то равны целые (свойство равенства «Сложение»).
3. Если из равных вычитают равные, то и разности равны (свойство равенства вычитания).
4. Вещи, совпадающие друг с другом, равны друг другу (рефлексивное свойство).
5. Целое больше части.

Современные учёные сходятся во мнении, что постулаты Евклида не дают полного логического обоснования, которое Евклид требовал для своего изложения. Современные методы лечения используют более обширные и полные наборы аксиом.

Постулат параллельности

Основная статья: Постулат параллельности

Древним постулат параллельности казался менее очевидным, чем другие. Они стремились создать систему абсолютно определенных положений, и им казалось, что постулат параллельной линии требует доказательства из более простых утверждений. Теперь известно, что такое доказательство невозможно, поскольку можно построить непротиворечивые системы геометрии (подчиняющиеся другим аксиомам), в которых постулат о параллельности истинен, и другие, в которых он ложен. Сам Евклид, по-видимому, считал его качественно отличным от других, о чем свидетельствует организация Элементов : его первые 28 положений — это те, которые можно доказать без него.

Можно сформулировать множество альтернативных аксиом, которые логически эквивалентны постулату параллельности (в контексте других аксиом). Например, аксиома Playfair гласит:

На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной линии, никогда не пересекающейся с данной прямой.

Предложение «не более» — это все, что нужно, поскольку из остальных аксиом можно доказать, что существует хотя бы одна параллельная прямая.

Доказательство из «Начал » Евклида того, что по отрезку прямой можно построить равносторонний треугольник, включающий этот отрезок в качестве одной из своих сторон: равносторонний треугольник АВГ получается путем рисования окружностей А и Е с центрами в точках А и В и взятия одно пересечение кругов как третья вершина треугольника.

Методы доказательства

Евклидова геометрия конструктивна . Постулаты 1, 2, 3 и 5 утверждают существование и единственность определенных геометрических фигур, причем эти утверждения носят конструктивный характер: то есть нам не только говорят, что определенные вещи существуют, но и даются методы их создания с помощью не более чем циркуль и линейка без опознавательных знаков . В этом смысле евклидова геометрия более конкретна, чем многие современные аксиоматические системы, такие как теория множеств , которые часто утверждают существование объектов, не говоря о том, как их построить, или даже утверждают существование объектов, которые не могут быть построены в рамках теории. Строго говоря, линии на бумаге — это модели объектов, определенных в формальной системе, а не экземпляры этих объектов. Например, евклидова прямая не имеет ширины, но любая реальная нарисованная линия будет иметь ширину. Хотя почти все современные математики считают неконструктивные методы такими же надежными, как и конструктивные, конструктивные доказательства Евклида часто вытесняли ошибочные неконструктивные доказательства — например, некоторые доказательства Пифагора, в которых использовались иррациональные числа, которые обычно требовали такого утверждения, как «Найдите наибольшую общую меру». из ..."

Евклид часто использовал доказательство от противного . Евклидова геометрия допускает также метод суперпозиции, при котором фигура переносится в другую точку пространства. Например, предложение I.4 о равенстве треугольников сторона-угол-сторона доказывается путем перемещения одного из двух треугольников так, чтобы одна из его сторон совпадала с равной стороной другого треугольника, а затем доказывается, что и другие стороны совпадают. . Некоторые современные методы лечения добавляют шестой постулат — жесткость треугольника, который можно использовать как альтернативу суперпозиции.

Обозначения и терминология

Именование точек и фигур.

Точки принято называть заглавными буквами алфавита. Другие фигуры, такие как линии, треугольники или круги, называются путем перечисления достаточного количества точек, чтобы их можно было однозначно выделить из соответствующей фигуры, например, треугольник ABC обычно представляет собой треугольник с вершинами в точках A, B и C. .

Дополнительные и дополнительные углы

Углы, сумма которых является прямым, называются дополнительными . Дополнительные углы образуются, когда луч имеет одну и ту же вершину и направлен в направлении, находящемся между двумя исходными лучами, образующими прямой угол. Число лучей между двумя исходными лучами бесконечно.

Углы, сумма которых есть прямой угол, являются дополнительными . Дополнительные углы образуются, когда луч имеет одну и ту же вершину и направлен в направлении, находящемся между двумя исходными лучами, образующими прямой угол (угол 180 градусов). Число лучей между двумя исходными лучами бесконечно.

Современные версии обозначений Евклида

В современной терминологии углы обычно измеряются в градусах или радианах .

В современных школьных учебниках часто определяются отдельные фигуры, называемые линиями (бесконечными), лучами (полубесконечными) и отрезками линий (конечной длины). Евклид, вместо того, чтобы обсуждать луч как объект, простирающийся до бесконечности в одном направлении, обычно использовал такие выражения, как «если линия продлена до достаточной длины», хотя иногда он ссылался на «бесконечные линии». «Линия» у Евклида могла быть прямой или изогнутой, и при необходимости он использовал более конкретный термин «прямая линия».

Некоторые важные или хорошо известные результаты

• 
  Теорема pons asinorum или «мост ослов» утверждает, что в равнобедренном треугольнике α = β и γ = δ.
• 
  Теорема о сумме углов треугольника утверждает, что сумма трех углов любого треугольника, в данном случае углов α, β и γ, всегда будет равна 180 градусам.
• 
  Теорема Пифагора утверждает, что сумма площадей двух квадратов на катетах ( a и b ) прямоугольного треугольника равна площади квадрата на гипотенузе ( c ).
• 
  Теорема Фалеса гласит, что если AC — диаметр, то угол при B — прямой.

Мост ослов

В pons asinorum ( «мост ослов ») говорится, что в равнобедренных треугольниках углы при основании равны друг другу, а если и дальше провести равные прямые, то углы под основанием равны друг другу . Его название можно объяснить тем, что он часто выполняет роль первого настоящего испытания « Элементов интеллекта» читателя и моста к последующим более сложным утверждениям. Его также можно было назвать так из-за сходства геометрической фигуры с крутым мостом, который мог пересечь только твердоногий осел.

Равенство треугольников

Конгруэнтность треугольников определяется путем указания двух сторон и угла между ними (SAS), двух углов и стороны между ними (ASA) или двух углов и соответствующей прилежащей стороны (AAS). Однако указание двух сторон и прилежащего угла (SSA) может привести к появлению двух различных возможных треугольников, если только указанный угол не является прямым.

Треугольники конгруэнтны, если у них равны все три стороны (ССС), две стороны и угол между ними равны (САС) или два угла и сторона равны (АСА) (Книга I, положения 4, 8 и 26). Треугольники с тремя равными углами (ААА) подобны, но не обязательно равны. Кроме того, треугольники с двумя равными сторонами и прилежащим углом не обязательно равны или конгруэнтны.

Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника равна прямому углу (180 градусов). Это приводит к тому, что равносторонний треугольник имеет три внутренних угла по 60 градусов. Кроме того, это приводит к тому, что каждый треугольник имеет как минимум два острых угла и до одного тупого или прямого угла .

Теорема Пифагора

Знаменитая теорема Пифагора (книга I, предложение 47) гласит, что в любом прямоугольном треугольнике площадь квадрата, стороной которого является гипотенуза (сторона, противоположная прямому углу), равна сумме площадей квадратов, стороны которых равны две ноги (две стороны, которые встречаются под прямым углом).

Теорема Фалеса

Теорема Фалеса , названная в честь Фалеса Милетского, утверждает, что если A, B и C — точки на окружности, где линия AC — диаметр окружности, то угол ABC — прямой угол. Кантор полагал, что Фалес доказал свою теорему с помощью Евклида, книга I, положение 32, по образцу Евклида, книга III, предложение 31.

Масштабирование площади и объема

В современной терминологии площадь плоской фигуры пропорциональна квадрату любого из ее линейных размеров. $A\propto L^{2}$, а объём твердого тела в кубе, $V\propto L^{3}$. Евклид доказал эти результаты в различных частных случаях, таких как площадь круга. и объём параллелепипеда. Евклид определил некоторые, но не все соответствующие константы пропорциональности. Например, именно его преемник Архимед доказал, что сфера имеет 2/3 объема описывающего ее цилиндра.

Система измерения и арифметики

Евклидова геометрия имеет два основных типа измерений: угол и расстояние . Угловая шкала является абсолютной, и Евклид использует прямой угол в качестве основной единицы, так что, например, угол в 45 градусов можно назвать половиной прямого угла. Масштаб расстояний является относительным; за единицу произвольно выбирают отрезок прямой определенной ненулевой длины, а остальные расстояния выражаются относительно него. Сложение расстояний представляет собой конструкцию, в которой один отрезок копируется на конец другого отрезка для увеличения его длины, а также для вычитания.

Измерения площади и объема производятся на основе расстояний. Например, прямоугольник шириной 3 и длиной 4 имеет площадь, обозначающую произведение 12. Поскольку эта геометрическая интерпретация умножения была ограничена тремя измерениями, не было прямого способа интерпретации произведения четырех или более чисел. числа, а Евклид избегал таких произведений, хотя они и подразумеваются, например, в доказательстве книги IX, предложения 20.

Пример соответствия. Две фигуры слева конгруэнтны, а третья подобна им . Последняя цифра ни то, ни другое. Сравнения изменяют некоторые свойства, такие как местоположение и ориентация, но оставляют неизменными другие, такие как расстояние и углы . Свойства последнего типа называются инвариантами , и их изучение составляет суть геометрии.

Евклид называет пару линий или пару плоских или сплошных фигур «равными» (ἴσος), если их длины, площади или объемы равны соответственно, и аналогично для углов. Более сильный термин « конгруэнтный » относится к идее, что вся фигура имеет тот же размер и форму, что и другая фигура. Альтернативно, две фигуры являются конгруэнтными, если одну можно переместить поверх другой так, чтобы она точно совпала с ней. (Переворачивание разрешено.) Так, например, прямоугольники 2х6 и прямоугольники 3х4 равны, но не конгруэнтны, а буква R конгруэнтна своему зеркальному изображению. Фигуры, которые были бы одинаковыми, если бы не разные размеры, называются подобными . Соответствующие углы в паре подобных фигур равны, а соответствующие стороны пропорциональны друг другу.

В инженерном деле

Проектирование и анализ

• Анализ напряжений : Анализ напряжений . Евклидова геометрия имеет решающее значение для определения распределения напряжений в механических компонентах, что важно для обеспечения структурной целостности и долговечности .

Механический стресс

• Конструкция шестерни : Шестерня . Конструкция шестерен, важнейшего элемента во многих механических системах , в значительной степени опирается на евклидову геометрию, обеспечивающую правильную форму зубьев и зацепление для эффективной передачи мощности .

Механизм

• Проектирование теплообменника : Теплообменник . В теплотехнике евклидова геометрия используется для проектирования теплообменников , где геометрическая конфигурация сильно влияет на тепловой КПД . см. в разделе «Кожухотрубные теплообменники» и «Пластинчатые теплообменники» . Более подробную информацию

U-Tube Shell and Tube Heat Exchanger

• Конструкция линзы : Линза . В оптической технике евклидова геометрия имеет решающее значение при проектировании линз, где точные геометрические формы определяют свойства фокусировки . Геометрическая оптика фокусировку света линзами изучает и зеркалами .

Типы линз

Динамика

• Анализ вибрации : Вибрация . Евклидова геометрия важна для анализа и понимания вибраций в механических системах , помогая в разработке систем, которые могут противостоять или эффективно использовать эти вибрации .

Вибрация – колебания

• Конструкция крыла : Конструкция крыла самолета . Применение евклидовой геометрии в аэродинамике очевидно в самолетов конструкции крыльев , аэродинамических профилях и подводных крыльях , где геометрическая форма напрямую влияет на характеристики подъемной силы и сопротивления .

Номенклатура профиля крыла

• Орбиты спутников , что важно для успешных : Орбиты спутников. Евклидова геометрия помогает в расчете и прогнозировании орбит спутников космических миссий и со спутниками операций . См. также астродинамику , небесную механику и эллиптическую орбиту .

Анимация орбиты по эксцентриситету

САПР-системы

• 3D-моделирование . В системах САПР (системы автоматизированного проектирования) евклидова геометрия имеет основополагающее значение для создания точных 3D-моделей механических деталей. Эти модели имеют решающее значение для визуализации и тестирования конструкций перед производством .

• Проектирование и производство : Большая часть CAM (компьютерного производства) опирается на евклидову геометрию. Геометрия конструкции в CAD/CAM обычно состоит из фигур, ограниченных плоскостями , цилиндрами , конусами , торами и другими подобными евклидовыми формами. Сегодня CAD/CAM имеет важное значение при проектировании широкого спектра продуктов: от автомобилей и самолетов до кораблей и смартфонов .

• Эволюция практик черчения : Исторически продвинутая евклидова геометрия, включая такие теоремы, как теорема Паскаля и теорема Брианшона , была неотъемлемой частью практики черчения. Однако с появлением современных САПР такое глубокое знание этих теорем становится менее необходимым в современных процессах проектирования и производства.

См. Также: История программного обеспечения САПР.

3D CAD Model

Схемотехника

• Компоновка печатных плат : При проектировании печатных плат (PCB) используется евклидова геометрия для эффективного размещения и маршрутизации компонентов, обеспечивая функциональность и оптимизируя пространство . Эффективное расположение электронных компонентов на печатных платах имеет решающее значение для минимизации помех сигналов и оптимизации производительности схемы .

Печатная плата DVD-плеера

Электромагнитные поля и поля потока жидкости

• Проектирование антенны : Проектирование антенны . Евклидова геометрия антенн помогает в проектировании антенн, где пространственное расположение и размеры напрямую влияют на характеристики антенны и решетки при передаче и приеме электромагнитных волн .

НАСА Кассегрен , Чрезвычайно высокий коэффициент усиления ~70 дБи.

• Теория поля : сложный потенциальный поток . При изучении полей невязкого потока и электромагнитных полей евклидова геометрия помогает визуализировать и решать потенциального потока проблемы . Это важно для понимания взаимодействия поля скорости жидкости и электромагнитного поля в трехмерном пространстве. Связь которых характеризуется безвихревым соленоидальным полем или консервативным векторным полем .

Потенциальный поток вокруг источника без циркуляции

Элементы управления

• Анализ систем управления : Системы управления . Применение евклидовой геометрии в теории управления помогает в анализе и проектировании систем управления , особенно в понимании и оптимизации системы стабильности и реакции .

Базовый цикл обратной связи.

• Инструменты расчета : Якобиан -евклидова геометрия является неотъемлемой частью использования матриц Якобиана для преобразований и систем управления как в области механики , так и в области электротехники , обеспечивая понимание поведения и свойств системы. Якобиан служит линеаризованной матрицей плана в статистической регрессии и подборе кривой ; см. нелинейный метод наименьших квадратов . Якобиан также используется в случайных матрицах , моментах , статистике и диагностике .

Другие общие приложения

Из-за фундаментального статуса евклидовой геометрии в математике непрактично приводить здесь более чем репрезентативную выборку приложений.

• 
  Геодезист использует уровень
• 
  Упаковка сферы применяется к стопке апельсинов .
• 
  Параболическое зеркало фокусирует параллельные лучи света.

Как следует из этимологии этого слова, одной из самых ранних причин интереса, а также одним из наиболее распространенных в настоящее время применений геометрии является геодезия . Кроме того, он использовался в когнитивных и вычислительных подходах к зрительному восприятию объектов . Некоторые практические результаты евклидовой геометрии (такие как свойство прямоугольного треугольника 3-4-5) использовались задолго до того, как они были доказаны формально. Основными типами измерений в евклидовой геометрии являются расстояния и углы, оба из которых могут быть измерены непосредственно геодезистом. Исторически расстояния часто измерялись цепями, такими как цепь Гюнтера , а углы — с помощью градуированных кругов, а позже — теодолита .

Применением евклидовой твердотельной геометрии является определение способов упаковки , например, проблема поиска наиболее эффективной упаковки сфер в n измерениях. Эта проблема имеет применение в обнаружении и исправлении ошибок .

• 
  Геометрия используется в искусстве и архитектуре.
• 
  Водонапорная башня состоит из конуса, цилиндра и полусферы. Его объем можно рассчитать, используя твердотельную геометрию.
• 
  Геометрию можно использовать для создания оригами.

Геометрия широко используется в архитектуре .

Геометрию можно использовать для создания оригами . Некоторые классические задачи построения геометрии невозможно решить с помощью циркуля и линейки , но можно решить с помощью оригами .

Более поздняя история

Смотрите также: История геометрии и неевклидова геометрия § История

Архимед и Аполлоний

Сфера имеет 2/3 объема и площади поверхности окружающего ее цилиндра. На могилу Архимеда по его просьбе были помещены сфера и цилиндр.

Архимед ( ок. 287 г. до н. э. – ок. 212 г. до н. э. ), яркая фигура, о которой записано множество исторических анекдотов, помнят наряду с Евклидом как одного из величайших древних математиков. Хотя основы его работы были заложены Евклидом, его работа, в отличие от работы Евклида, считается полностью оригинальной. Он доказал уравнения объемов и площадей различных фигур в двух и трех измерениях и сформулировал архимедово свойство конечных чисел.

Аполлоний Пергский ( ок. 240 г. до н. э. – ок. 190 г. до н. э. ) в основном известен своими исследованиями конических сечений.

Рене Декарт. Портрет по мотивам Франса Хальса , 1648 год.

17 век: Декарт

Рене Декарт (1596–1650) разработал аналитическую геометрию — альтернативный метод формализации геометрии, направленный на превращение геометрии в алгебру.

В этом подходе точка на плоскости представлена ​​ее декартовыми координатами ( x , y ), линия представлена ​​ее уравнением и так далее.

В оригинальном подходе Евклида теорема Пифагора следует из аксиом Евклида. В картезианском подходе аксиомы являются аксиомами алгебры, а уравнение, выражающее теорему Пифагора, является тогда определением одного из терминов аксиом Евклида, которые теперь считаются теоремами.

Уравнение

$|PQ|={\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}\,$

определение расстояния между двумя точками P = ( p _x , p _y ) и Q = ( q _x , q _y ) тогда известно как евклидова метрика , а другие метрики определяют неевклидову геометрию .

С точки зрения аналитической геометрии ограничение классической геометрии конструкциями циркуля и линейки означает ограничение на уравнения первого и второго порядка, например, y = 2 x + 1 (линия) или x ² + и ² = 7 (круг).

Также в 17 веке Жирар Дезарг , руководствуясь теорией перспективы , ввел концепцию идеализированных точек, линий и плоскостей на бесконечности. Результат можно рассматривать как разновидность обобщенной геометрии, проективной геометрии , но его также можно использовать для получения доказательств в обычной евклидовой геометрии, в которой количество частных случаев уменьшено.

Квадратирование круга: площади этого квадрата и этого круга равны. В 1882 году было доказано, что эту фигуру невозможно построить за конечное число шагов с помощью идеализированного циркуля и линейки .

18 век

Геометры XVIII века изо всех сил пытались определить границы евклидовой системы. Многие тщетно пытались доказать пятый постулат из первых четырёх. К 1763 году было опубликовано как минимум 28 различных доказательств, но все они были признаны неверными.

В преддверии этого периода геометры также пытались определить, какие конструкции можно реализовать в евклидовой геометрии. Например, проблема разделения угла на три части с помощью циркуля и линейки естественным образом возникает в теории, поскольку аксиомы относятся к конструктивным операциям, которые можно выполнить с помощью этих инструментов. Однако столетия усилий не смогли найти решение этой проблемы, пока в 1837 году Пьер Ванцель не опубликовал доказательство невозможности такой конструкции. Другие конструкции, которые оказались невозможными, включают удвоение куба и квадратуру круга . В случае удвоения куба невозможность построения связана с тем, что в методе циркуля и линейки используются уравнения, порядок которых есть целая степень двойки: а удвоение куба требует решения уравнения третьего порядка.

Эйлер обсуждал обобщение евклидовой геометрии, называемое аффинной геометрией , которая сохраняет пятый постулат неизмененным, одновременно ослабляя постулаты третий и четвертый таким образом, что устраняются понятия угла (откуда прямоугольные треугольники становятся бессмысленными) и равенства длин отрезков прямой в целом ( откуда круги становятся бессмысленными), сохраняя при этом понятия параллельности как отношения эквивалентности между линиями и равенства длин параллельных отрезков линий (поэтому отрезки линий продолжают иметь среднюю точку).

19 век

Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрии в двух измерениях.

В начале 19 века Карно и Мёбиус систематически разработали использование знаковых углов и отрезков линий как способ упрощения и унификации результатов.

Высшие измерения

В 1840-х годах Уильям Роуэн Гамильтон разработал кватернионы , а Джон Т. Грейвс и Артур Кэли октонионы — . Это нормированные алгебры , расширяющие комплексные числа . Позже стало понятно, что кватернионы также представляют собой евклидову геометрическую систему с четырьмя действительными декартовыми координатами. Кэли использовал кватернионы для изучения вращений в 4-мерном евклидовом пространстве .

В середине века Людвиг Шлефли разработал общую концепцию евклидова пространства , расширив евклидову геометрию до более высоких измерений . определил многосхемы , позже названные многогранниками , которые являются многомерными аналогами многоугольников Он и многогранников . Он развил их теорию и открыл все правильные многогранники, т.е. $n$-мерные аналоги правильных многоугольников и Платоновых тел . Он обнаружил, что существует шесть правильных выпуклых многогранников в четвертом измерении и три во всех высших измерениях.

showПравильные выпуклые 4-многогранники
Symmetry group	A4	B4		F4	H4
Name	5-cell Hyper-tetrahedron 5-point	16-cell Hyper-octahedron 8-point	8-cell Hyper-cube 16-point	24-cell 24-point	600-cell Hyper-icosahedron 120-point	120-cell Hyper-dodecahedron 600-point
Schläfli symbol	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Coxeter mirrors
Mirror dihedrals	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
Graph
Vertices	5 tetrahedral	8 octahedral	16 tetrahedral	24 cubical	120 icosahedral	600 tetrahedral
Edges	10 triangular	24 square	32 triangular	96 triangular	720 pentagonal	1200 triangular
Faces	10 triangles	32 triangles	24 squares	96 triangles	1200 triangles	720 pentagons
Cells	5 tetrahedra	16 tetrahedra	8 cubes	24 octahedra	600 tetrahedra	120 dodecahedra
Tori	1 5-tetrahedron	2 8-tetrahedron	2 4-cube	4 6-octahedron	20 30-tetrahedron	12 10-dodecahedron
Inscribed	120 in 120-cell	675 in 120-cell	2 16-cells	3 8-cells	25 24-cells	10 600-cells
Great polygons		2 squares x 3	4 rectangles x 4	4 hexagons x 4	12 decagons x 6	100 irregular hexagons x 4
Petrie polygons	1 pentagon x 2	1 octagon x 3	2 octagons x 4	2 dodecagons x 4	4 30-gons x 6	20 30-gons x 4
Long radius	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
Edge length	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
Short radius	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$
Area	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366$
Volume	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
4-Content	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

Шлефли выполнил эту работу в относительной безвестности, и она была опубликована полностью только посмертно в 1901 году. Она не имела большого влияния, пока не была заново открыта и полностью задокументирована в 1948 году Коксетером Х.С.М. .

В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд представил то, что сейчас называется геометрической алгеброй , объединив кватернионы Гамильтона с алгеброй Германа Грассмана и раскрыв геометрическую природу этих систем, особенно в четырех измерениях. Операции геометрической алгебры приводят к зеркальному отображению, вращению, перемещению и отображению моделируемых геометрических объектов в новые положения. на Тор Клиффорда поверхности 3-сферы — это простейшее и наиболее симметричное плоское вложение декартова произведения двух окружностей (в том же смысле, в каком «плоская» поверхность цилиндра).

Неевклидова геометрия

Основная статья: Неевклидова геометрия

Наиболее влиятельное развитие геометрии в столетии произошло, когда около 1830 года Янош Бойяи и Николай Иванович Лобачевский по отдельности опубликовали работу по неевклидовой геометрии , в которой постулат о параллельности недействителен. Поскольку неевклидова геометрия доказуемо относительно согласуется с евклидовой геометрией, постулат о параллельности не может быть доказан на основе других постулатов.

В XIX веке также стало понятно, что десяти аксиом и общих понятий Евклида недостаточно для доказательства всех теорем, изложенных в « Началах» . Например, Евклид неявно предполагал, что любая прямая содержит по крайней мере две точки, но это предположение не может быть доказано из других аксиом и, следовательно, само должно быть аксиомой. Самое первое геометрическое доказательство в « Элементах», показанное на рисунке выше, состоит в том, что любой отрезок прямой является частью треугольника; Евклид строит это обычным способом, рисуя круги вокруг обеих конечных точек и принимая их пересечение в качестве третьей вершины . Однако его аксиомы не гарантируют, что круги действительно пересекаются, поскольку они не утверждают геометрическое свойство непрерывности, которое в декартовых терминах эквивалентно свойству полноты действительных чисел. Начиная с Морица Паша в 1882 году, было предложено множество улучшенных аксиоматических систем геометрии, наиболее известными из которых являются системы Гильберта . Джордж Биркгоф , и Тарский .

20 век и теория относительности

Опровержение евклидовой геометрии как описания физического пространства. В ходе проверки общей теории относительности в 1919 году звезды (отмеченные короткими горизонтальными линиями) были сфотографированы во время солнечного затмения . Лучи звездного света преломлялись гравитацией Солнца на пути к Земле. Это интерпретируется как свидетельство в пользу предсказания Эйнштейна о том, что гравитация будет вызывать отклонения от евклидовой геометрии.

Эйнштейна Специальная теория относительности предполагает четырехмерное пространство-время , пространство Минковского , которое не является евклидовым . Это показывает, что неевклидовы геометрии, которые были введены несколькими годами ранее для демонстрации невозможности доказательства постулата параллельности , также полезны для описания физического мира.

Однако трехмерная «пространственная часть» пространства Минковского остается пространством евклидовой геометрии. Это не относится к общей теории относительности , для которой геометрия пространственной части пространства-времени не является евклидовой геометрией. Например, если треугольник построен из трех лучей света, то в целом сумма внутренних углов не составит 180 градусов из-за силы тяжести. Относительно слабое гравитационное поле, такое как земное или солнечное, представлено метрикой, которая приблизительно, но не совсем, евклидова. До 20-го века не существовало технологии, способной обнаружить эти отклонения лучей света от евклидовой геометрии, но Эйнштейн предсказал, что такие отклонения будут существовать. Позже они были подтверждены такими наблюдениями, как небольшое отклонение звездного света Солнцем во время солнечного затмения в 1919 году, и такие соображения теперь являются неотъемлемой частью программного обеспечения, которое управляет системой GPS .

Как описание строения пространства

Евклид считал, что его аксиомы являются самоочевидными утверждениями о физической реальности. Доказательства Евклида основаны на предположениях, возможно, неочевидных в основных аксиомах Евклида. в частности, что определенные движения фигур не меняют их геометрических свойств, таких как длины сторон и внутренних углов, так называемые евклидовы движения , которые включают перемещения, отражения и вращения фигур. Постулат 2 (продолжение линии), рассматриваемый как физическое описание пространства, утверждает, что пространство не имеет дыр или границ; постулат 4 (равенство прямых углов) гласит, что пространство изотропно и фигуры можно перемещать в любое место, сохраняя конгруэнтность ; и постулат 5 ( постулат параллельности ) о том, что пространство плоское (не имеет внутренней кривизны ).

Как обсуждалось выше, Альберта Эйнштейна существенно теория относительности модифицирует эту точку зрения.

Неоднозначный характер аксиом, первоначально сформулированных Евклидом, позволяет различным комментаторам расходиться во мнениях по поводу некоторых других их последствий для структуры пространства, например, о том, бесконечно оно или нет. (см. ниже) и какова его топология . Современные, более строгие переформулировки системы обычно стремятся к более четкому разделению этих вопросов. Интерпретируя аксиомы Евклида в духе этого более современного подхода, аксиомы 1–4 согласуются либо с бесконечным, либо с конечным пространством (как в эллиптической геометрии ), а все пять аксиом согласуются с различными топологиями (например, плоскость, цилиндр , или тор для двумерной евклидовой геометрии).

Лечение бесконечности

Бесконечные объекты

Евклид иногда явно различал «конечные линии» (например, Постулат 2) и « бесконечные линии» (книга I, предложение 12). Однако он обычно не делал таких различий, если в них не было необходимости. Постулаты явно не относятся к бесконечным линиям, хотя, например, некоторые комментаторы интерпретируют постулат 3 (существование круга любого радиуса) как предполагающий, что пространство бесконечно.

Понятие бесконечно малых величин ранее широко обсуждалось в Элейской школе , но никто не смог поставить их на прочную логическую основу, при этом возникали такие парадоксы, как парадокс Зенона , которые не были решены к всеобщему удовлетворению. Евклид использовал метод исчерпания, а не бесконечно малых.

Более поздние древние комментаторы, такие как Прокл (410–485 гг. н.э.), рассматривали многие вопросы о бесконечности как вопросы, требующие доказательства, и, например, Прокл утверждал, что доказал бесконечную делимость прямой, основываясь на доказательстве от противного, в котором он рассматривал случаи четного и нечетного числа составляющих его точек.

На рубеже 20-го века Отто Штольц , Поль дю Буа-Реймон , Джузеппе Веронезе и другие создали противоречивые работы по неархимедовым моделям евклидовой геометрии, в которых расстояние между двумя точками может быть бесконечным или бесконечно малым, в книге Ньютона. – смысл Лейбница . Пятьдесят лет спустя Авраам Робинсон предоставил строгое логическое обоснование работе Веронезе.

Бесконечные процессы

Древние геометры, возможно, считали постулат о параллельности (что две параллельные линии никогда не пересекаются) менее достоверным, чем другие, поскольку он утверждает о бесконечно удаленных областях пространства и поэтому не может быть физически проверен.

Современная формулировка доказательства по индукции не была разработана до 17 века, но некоторые более поздние комментаторы считают ее неявной в некоторых доказательствах Евклида, например, в доказательстве бесконечности простых чисел.

Предполагаемые парадоксы, включающие бесконечные ряды, такие как парадокс Зенона , возникли еще до Евклида. Евклид избегал таких обсуждений, приведя, например, выражение для частных сумм геометрической прогрессии в IX.35, не комментируя возможность допустить, чтобы число членов стало бесконечным.

Логическая основа

См. также: аксиомы Гильберта , аксиоматическая система и действительное замкнутое поле.

Классическая логика

Евклид часто использовал метод доказательства от противного , и поэтому традиционное изложение евклидовой геометрии предполагает классическую логику , в которой каждое предложение либо истинно, либо ложно, т. е. для любого предложения P предложение «P или не P» автоматически истинно. .

Современные стандарты строгости

Помещение евклидовой геометрии на прочную аксиоматическую основу было заботой математиков на протяжении веков. Роль примитивных понятий , или неопределенных понятий, была четко выдвинута Алессандро Падоа из делегации Пеано на Парижской конференции 1900 года:

... когда мы начинаем формулировать теорию, мы можем представить, что неопределенные символы полностью лишены значения и что недоказанные утверждения являются просто условиями, наложенными на неопределенные символы.

Тогда система идей , которую мы изначально выбрали, — это просто одна из интерпретаций неопределенных символов; но... эта интерпретация может быть проигнорирована читателем, который волен заменить ее в своем уме другой интерпретацией ... которая удовлетворяет условиям...

Таким образом, логические вопросы становятся совершенно независимыми от эмпирических или психологических вопросов...

Тогда систему неопределенных символов можно рассматривать как абстракцию, полученную из специализированных теорий , которые возникают, когда... система неопределенных символов последовательно заменяется каждой из интерпретаций...

- Падоа, Очерк алгебраической теории целых чисел с логическим введением в любую дедуктивную теорию.

То есть математика — это контекстно-независимые знания в иерархической структуре. Как сказал Бертран Рассел :

Если наша гипотеза касается чего угодно , а не какой-то одной или нескольких конкретных вещей, то наши выводы составляют математику. Таким образом, математику можно определить как предмет, в котором мы никогда не знаем, о чем говорим, и истинно ли то, что мы говорим.

- Бертран Рассел, Математика и метафизики

Такие основополагающие подходы варьируются между фундаментализмом и формализмом .

Аксиоматические формулировки

Геометрия – это наука о правильном рассуждении о неправильных фигурах.

- Джордж Полиа , Как решить эту проблему , с. 208

• Аксиомы Евклида: В своей диссертации в Тринити-колледже в Кембридже Бертран Рассел резюмировал меняющуюся роль геометрии Евклида в умах философов того времени. Это был конфликт между определенным знанием, независимым от эксперимента, и эмпиризмом, требующим экспериментального ввода. Эта проблема стала ясна, когда было обнаружено, что постулат о параллельности не обязательно был действительным, и его применимость была эмпирическим вопросом, решающим, была ли применимая геометрия евклидовой или неевклидовой .
• Аксиомы Гильберта : Целью аксиом Гильберта было определение простого и полного набора независимых аксиом, из которых можно было бы вывести наиболее важные геометрические теоремы. Выдающиеся цели заключались в том, чтобы сделать евклидову геометрию строгой (избегая скрытых предположений) и прояснить последствия постулата параллельности.
• Аксиомы Биркгофа : Биркгоф предложил четыре постулата евклидовой геометрии, которые можно подтвердить экспериментально с помощью масштаба и транспортира. Эта система во многом опирается на свойства действительных чисел . Понятия угла и расстояния становятся примитивными понятиями.
• Аксиомы Тарского : Альфред Тарский (1902–1983) и его ученики определили элементарную евклидову геометрию как геометрию, которая может быть выражена в логике первого порядка и не зависит от теории множеств в качестве своей логической основы. в отличие от аксиом Гильберта, которые включают множества точек. непротиворечива и полна Тарский доказал, что его аксиоматическая формулировка элементарной евклидовой геометрии в определенном смысле : существует алгоритм, который для каждого предложения может быть показан либо истинным, либо ложным. (Это не нарушает теорему Гёделя , поскольку евклидова геометрия не может описать достаточное количество арифметики для применения этой теоремы. ) Это эквивалентно разрешимости реальных замкнутых полей , моделью которых является элементарная евклидова геометрия.

См. также

• Абсолютная геометрия
• Аналитическая геометрия
• Аксиомы Биркгофа
• Декартова система координат
• Аксиомы Гильберта
• Геометрия падения
• Список программного обеспечения для интерактивной геометрии
• Метрическое пространство
• Неевклидова геометрия
• Упорядоченная геометрия
• Постулат параллельности
• Теория типов

Классические теоремы

• Теорема о биссектрисе угла
• Теорема о бабочке
• Теорема Чевы
• Формула Герона
• Теорема Менелая
• Девятиточечный круг
• Теорема Пифагора

Ссылки

• Болл, У. В. Роуз (1960). Краткий отчет об истории математики (4-е изд. [Перепечатка. Оригинальная публикация: Лондон: Macmillan & Co., 1908] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 50–62 . ISBN  0-486-20630-0 .
• Коксетер, HSM (1961). Введение в геометрию . Нью-Йорк: Уайли.
• Ивс, Ховард (1963). Обзор геометрии (том первый) . Аллин и Бэкон.
• Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг «Элементов Евклида» (2-е изд. [Факсимиле. Оригинальная публикация: Cambridge University Press, 1925] изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. В 3-х т.: т. 1 ISBN   0-486-60088-2 , том. 2 ISBN   0-486-60089-0 , том. 3 ISBN   0-486-60090-4 . Авторитетный перевод «Начал» Евклида, сделанный Хитом, а также его обширные исторические исследования и подробные комментарии по всему тексту.
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . У. Х. Фриман.
• Млодинов (2001). Окно Евклида . Свободная пресса. ISBN  9780684865232 .
• Нагель, Э.; Ньюман, младший (1958). Доказательство Гёделя . Издательство Нью-Йоркского университета.
• Тарский, Альфред (1951). Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии . унив. из Калифорнии Пресс.
• Стиллвелл, Джон (январь 2001 г.). «История 120 ячеек» (PDF) . Уведомления АМС . 48 (1): 17–25.
• Перес-Грасиа, Альба; Томас, Федерико (2017). «О факторизации Кэли четырехмерных вращений и приложениях» (PDF) . Адв. Прил. Алгебры Клиффорда . 27 : 523–538. дои : 10.1007/s00006-016-0683-9 . hdl : 2117/113067 . S2CID   12350382 .

Внешние ссылки

• «Евклидова геометрия» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Плоская тригонометрия» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Киран Кедлайя, Geometry Unbound. Архивировано 26 октября 2011 г. в Wayback Machine (обработка с использованием аналитической геометрии; формат PDF, лицензия GFDL).