Односторонний лимит

Функция $f(x)=x^{2}+\operatorname {sign} (x),$ где $\operatorname {sign} (x)$ обозначает знаковую функцию , имеет левый предел $-1,$ правильный предел $+1,$ и значение функции $0$ в точку $x=0.$

В исчислении односторонний предел относится к одному из двух пределов функции . $f(x)$ переменной действительной $x$ как $x$ приближается к указанной точке либо слева, либо справа. ^[1]^[2]

Предел как $x$ снижение стоимости приближается к $a$ ( $x$ подходы $a$ "справа" ^[3] или «сверху») может обозначаться: ^[1]^[2]

$\lim _{x\to a^{+}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\searrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x+)$

Предел как $x$ увеличение стоимости приближается $a$ ( $x$ подходы $a$ "слева" ^[4]^[5] или «снизу») может обозначаться: ^[1]^[2]

$\lim _{x\to a^{-}}f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad \lim _{x\nearrow a}\,f(x)\quad {\text{ or }}\quad f(x-)$

Если предел $f(x)$ как $x$ подходы $a$ существует, то пределы слева и справа существуют и равны. В некоторых случаях, когда предел $\lim _{x\to a}f(x)$ не существует, тем не менее, существуют два односторонних предела. Следовательно, предел как $x$ подходы $a$ иногда называют «двусторонним пределом». ^{[ нужна ссылка ]}

Из двух односторонних пределов возможно существование ровно одного (а другого не существует). Также возможно, что ни один из двух односторонних пределов не существует.

Формальное определение

Определение

Если $I$ представляет собой некоторый интервал содержащийся в области , $f$ и если $a$ это точка в $I$ тогда правый предел как $x$ подходы $a$ может быть строго определен как значение $R$ что удовлетворяет: ^[6]^{[ нужна проверка ]} ${\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<x-a<\delta {\text{ then }}|f(x)-R|<\varepsilon ,$ и левосторонний предел как $x$ подходы $a$ может быть строго определен как значение $L$ что удовлетворяет: ${\text{for all }}\varepsilon >0\;{\text{ there exists some }}\delta >0\;{\text{ such that for all }}x\in I,{\text{ if }}\;0<a-x<\delta {\text{ then }}|f(x)-L|<\varepsilon .$

Мы можем представить то же самое более символически следующим образом.

Позволять $I$ представляют собой интервал, где $I\subseteq \mathrm {domain} (f)$ , и $a\in I$ .

\lim _{x\to a^{+}}f(x)=R~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<x-a<\delta \longrightarrow |f(x)-R|<\varepsilon ))

\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L~~~\iff ~~~(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,(0<a-x<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ))

Интуиция

По сравнению с формальным определением предела функции в точке, односторонний предел (как следует из названия) имеет дело только с входными значениями, расположенными по одну сторону от приближающегося входного значения.

Для справки, формальное определение предела функции в точке выглядит следующим образом:

\lim _{x\to a}f(x)=L~~~\iff ~~~\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon .

Чтобы определить односторонний предел, мы должны изменить это неравенство. Обратите внимание, что абсолютное расстояние между $x$ и $a$ является

$|x-a|=|(-1)(-x+a)|=|(-1)(a-x)|=|(-1)||a-x|=|a-x|.$

Для предела справа мы хотим $x$ быть справа от $a$ , а это значит, что $a<x$ , так $x-a$ является положительным. Сверху, $x-a$ это расстояние между $x$ и $a$ . Мы хотим ограничить это расстояние нашим значением $\delta$ , давая неравенство $x-a<\delta$ . Сложим неравенства $0<x-a$ и $x-a<\delta$ и используя свойство транзитивности неравенств, мы имеем сложное неравенство $0<x-a<\delta$ .

Аналогично, для предела слева мы хотим $x$ быть слева от $a$ , а это значит, что $x<a$ . В данном случае это $a-x$ который положителен и представляет собой расстояние между $x$ и $a$ . Опять же, мы хотим ограничить это расстояние нашим значением $\delta$ , что приводит к сложному неравенству $0<a-x<\delta$ .

Теперь, когда наша ценность $x$ находится в желаемом интервале, мы ожидаем, что значение $f(x)$ также находится в желаемом интервале. Расстояние между $f(x)$ и $L$ , предельное значение левого предела, равно $|f(x)-L|$ . Аналогично, расстояние между $f(x)$ и $R$ , предельное значение правого предела, равно $|f(x)-R|$ . В обоих случаях мы хотим ограничить это расстояние величиной $\varepsilon$ , поэтому мы получаем следующее: $|f(x)-L|<\varepsilon$ для левого предела, и $|f(x)-R|<\varepsilon$ для правого предела.

Примеры

Пример 1 : Границы слева и справа от $g(x):=-{\frac {1}{x}}$ как $x$ подходы $a:=0$ являются $\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty$ Причина, почему $\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty$ это потому что $x$ всегда отрицательно (поскольку $x\to 0^{-}$ означает, что $x\to 0$ со всеми значениями $x$ удовлетворяющий $x<0$ ), что означает, что $-1/x$ всегда положителен, так что $\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}$ расходится ^{[примечание 1]} к $+\infty$ (и не для $-\infty$ ) как $x$ подходы $0$ слева. Сходным образом, $\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty$ поскольку все значения $x$ удовлетворить $x>0$ (говорят по-другому, $x$ всегда положительно), так как $x$ подходы $0$ справа, что означает, что $-1/x$ всегда отрицательно, так что $\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}$ расходится к $-\infty .$

Пример 2 : Одним из примеров функции с разными односторонними пределами является $f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}},$ (см. рисунок), где предел слева равен $\lim _{x\to 0^{-}}f(x)=0$ и предел справа равен $\lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.$ Чтобы вычислить эти пределы, сначала покажите, что $\lim _{x\to 0^{-}}2^{-1/x}=\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}=0$ (что верно, потому что $\lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty {\text{ and }}\lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty$ )так что, следовательно, $\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1$ тогда как $\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0$ потому что знаменатель уходит в бесконечность; то есть, потому что $\lim _{x\to 0^{-}}1+2^{-1/x}=\infty .$ С $\lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x),$ предел $\lim _{x\to 0}f(x)$ не существует.

Связь с топологическим определением предела

Односторонний предел точки $p$ соответствует общему определению предела с областью определения функции, ограниченной с одной стороны, либо допуская, что область определения функции является подмножеством топологического пространства, либо рассматривая одностороннее подпространство, включая $p.$ ^[1]^{[ нужна проверка ]} В качестве альтернативы можно рассмотреть область с топологией полуоткрытого интервала . ^{[ нужна ссылка ]}

Теорема Абеля

Примечательной теоремой, рассматривающей односторонние пределы некоторых степенных рядов на границах их интервалов сходимости, является теорема Абеля . ^{[ нужна ссылка ]}

Примечания

^ Предел, равный $\infty$ говорят, что он расходится к $\infty$ вместо того, чтобы слиться с $\infty .$ То же самое верно, когда предел равен $-\infty .$

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д «Односторонний предел — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 7 августа 2021 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Фриди, JA (24 января 2020 г.). Вводный анализ: теория исчисления . Профессиональное издательство Персидского залива. п. 48. ИСБН 978-0-12-267655-0 . Проверено 7 августа 2021 г.
^ Хасан, Осман; Хайям, Сайед (02 января 2014 г.). «На пути к формальному линейному криптоанализу с использованием HOL4» (PDF) . Журнал универсальной информатики . 20 (2): 209. doi : 10.3217/jucs-020-02-0193 . ISSN 0948-6968 .
^ Гасич, Андрей Георгиевич (12 декабря 2020 г.). Фазовые явления белков в живом веществе (дипломная работа).
^ Брокейт, Мартин; Манчанда, Пэмми; Сиддики, Абул Хасан (2019), «Предел и непрерывность» , Исчисление для ученых и инженеров , Промышленная и прикладная математика, Сингапур: Springer Singapore, стр. 39–53, doi : 10.1007/978-981-13-8464-6_2 , ISBN 978-981-13-8463-9 , S2CID 201484118 , получено 11 января 2022 г.
^ Гив, Хоссейн Хоссейни (28 сентября 2016 г.). Математический анализ и его внутренняя природа . Американское математическое соц. п. 130. ИСБН 978-1-4704-2807-5 . Проверено 7 августа 2021 г.

См. также

[7] Предел, равный $\infty$ говорят, что он расходится к $\infty$ вместо того, чтобы слиться с $\infty .$ То же самое верно, когда предел равен $-\infty .$

[:0-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д «Односторонний предел — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . Проверено 7 августа 2021 г.

[:1-2] Jump up to: ^а ^б ^с Фриди, JA (24 января 2020 г.). Вводный анализ: теория исчисления . Профессиональное издательство Персидского залива. п. 48. ИСБН 978-0-12-267655-0 . Проверено 7 августа 2021 г.

[3] Хасан, Осман; Хайям, Сайед (02 января 2014 г.). «На пути к формальному линейному криптоанализу с использованием HOL4» (PDF) . Журнал универсальной информатики . 20 (2): 209. doi : 10.3217/jucs-020-02-0193 . ISSN 0948-6968 .

[4] Гасич, Андрей Георгиевич (12 декабря 2020 г.). Фазовые явления белков в живом веществе (дипломная работа).

[5] Брокейт, Мартин; Манчанда, Пэмми; Сиддики, Абул Хасан (2019), «Предел и непрерывность» , Исчисление для ученых и инженеров , Промышленная и прикладная математика, Сингапур: Springer Singapore, стр. 39–53, doi : 10.1007/978-981-13-8464-6_2 , ISBN 978-981-13-8463-9 , S2CID 201484118 , получено 11 января 2022 г.

[6] Гив, Хоссейн Хоссейни (28 сентября 2016 г.). Математический анализ и его внутренняя природа . Американское математическое соц. п. 130. ИСБН 978-1-4704-2807-5 . Проверено 7 августа 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[примечание 1]