Стационарная точка

В математике , особенно в исчислении , стационарной точкой одной дифференцируемой функции переменной является точка на графике функции функции, где производная равна нулю. ^[1]^[2]^[3] Неформально это точка, в которой функция «перестает» увеличиваться или уменьшаться (отсюда и название).

Для дифференцируемой функции нескольких действительных переменных стационарная точка — это точка на поверхности графика, в которой все ее частные производные равны нулю (эквивалентно, градиент имеет нулевую норму ).Понятие стационарных точек действительнозначной функции обобщается как критические точки для комплекснозначных функций .

Стационарные точки легко визуализировать на графике функции одной переменной: они соответствуют точкам на графике, где горизонтальна (т. е. параллельна оси $x$ касательная ). Для функции двух переменных они соответствуют точкам на графике, в которых касательная плоскость параллельна $плоскости xy$ .

Понятие стационарной точки позволяет дать математическое описание астрономического явления, которое было необъяснимым до времен Коперника . Неподвижная точка — это точка видимой траектории планеты на небесной сфере , где движение планеты, кажется, останавливается, прежде чем возобновиться в другом направлении (см. Кажущееся ретроградное движение ). планеты Это происходит из-за проекции орбиты на круг эклиптики .

Поворотные моменты

Точкой поворота дифференцируемой функции называется точка, в которой производная имеет изолированный нуль и меняет знак в этой точке. ^[2] Точкой поворота может быть либо относительный максимум, либо относительный минимум (также известный как локальный минимум и максимум). Таким образом, точка поворота является стационарной точкой, но не все стационарные точки являются точками поворота. Если функция дважды дифференцируема, то изолированные стационарные точки, не являющиеся точками поворота, являются горизонтальными точками перегиба . Например, функция $x\mapsto x^{3}$ имеет точку покоя при x = 0 , которая также является точкой перегиба, но не точкой поворота. ^[3]

Классификация

Изолированные стационарные точки $C^{1}$ действительнозначная функция $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ подразделяются на четыре вида по первому критерию производной :

локальный минимум ( минимальная точка поворота или относительный минимум ) — это тот, где производная функции меняется с отрицательной на положительную;
локальный максимум ( максимальная точка поворота или относительный максимум ) — это тот, где производная функции меняется с положительного на отрицательное;

Седловые точки (стационарные точки, которые не являются ни локальными максимумами, ни минимумами: это точки перегиба . Левая — «восходящая точка перегиба» (производная положительна по обе стороны от красной точки); правая — «нисходящая точка перегиба». » (производная отрицательна по обе стороны от красной точки).

точка восходящая перегиба (или перегиба ) - это точка, в которой производная функции положительна по обе стороны от стационарной точки; такая точка отмечает изменение вогнутости ;
точка падения перегиба (или перегиба ) — это точка, в которой производная функции отрицательна по обе стороны от стационарной точки; такая точка отмечает изменение вогнутости.

Первые два варианта известны под общим названием « локальные экстремумы ». Аналогично точка, которая является либо глобальным (или абсолютным) максимумом, либо глобальным (или абсолютным) минимумом, называется глобальным (или абсолютным) экстремумом. Последние два варианта — стационарные точки, не являющиеся локальными экстремумами, — известны как седловые точки .

По теореме Ферма должны иметь место глобальные экстремумы (при $C^{1}$ функция) на границе или в стационарных точках.

Рисование кривых

Определение положения и характера стационарных точек помогает в построении кривых дифференцируемых функций. Решение уравнения f ′ ( x ) = 0 возвращает координаты x всех стационарных точек; координаты y тривиально являются значениями функции в этих координатах x .Конкретный характер стационарной точки x в некоторых случаях можно определить, исследуя вторую производную f″ ( x ):

Если f″ ( x ) < 0, стационарная точка x вогнута вниз; максимальный экстремум.
Если f″ ( x ) > 0, стационарная точка x вогнута вверх; минимальный экстремум.
Если f″ ( x ) = 0, характер стационарной точки должен определяться другими способами, часто путем наблюдения за изменением знака вокруг этой точки.

Более простой способ определить природу стационарной точки — проверить значения функции между стационарными точками (если функция определена и непрерывна между ними).

Простым примером точки перегиба является функция f ( x ) = x ³. = 0 происходит явное изменение вогнутости В точке x , и мы можем доказать это с помощью исчисления . Вторая производная f — это всюду непрерывная 6 x , а при x = 0 f″ = 0, и около этой точки меняется знак. Итак, x = 0 — это точка перегиба.

В более общем смысле, стационарные точки вещественнозначной функции. $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ это теточки x ₀ , где производная в каждом направлении равна нулю или, что то же самое, градиент равен нулю.

Примеры

Для функции f ( x ) = x ⁴ у нас f ′ (0) = 0 и f″ (0) = 0. Несмотря на то, что f″ (0) = 0, эта точка не является точкой перегиба. Причина в том, что знак f ′ ( x ) меняется с отрицательного на положительный.

Для функции f ( x ) = sin( x ) имеем f ′ (0) ≠ 0 и f″ (0) = 0. Но это не стационарная точка, а скорее точка перегиба. Это происходит потому, что вогнутость меняется с вогнутости вниз на вогнутость вверх, а знак f ′ ( x ) не меняется; оно остается положительным.

Для функции f ( x ) = x ³ у нас f ′ (0) = 0 и f″ (0) = 0. Это одновременно точка покоя и точка перегиба. Это происходит потому, что вогнутость меняется с вогнутости вниз на вогнутость вверх, а знак f ′ ( x ) не меняется; оно остается положительным.

Для функции f ( x ) = 0 имеем f ′ (0) = 0 и f″ (0) = 0. Точка 0 является неизолированной стационарной точкой, которая не является ни точкой поворота, ни горизонтальной точкой перегиба. поскольку знаки f ′ ( x ) и f″ ( x ) не меняются.

Функция f ( x ) = x ⁵ sin(1/ x ) для x ≠ 0 и f (0) = 0 дает пример, где f ′ ( x ) и f″ ( x ) являются непрерывными, f ′ (0) = 0 и f″ (0 ) = 0, и все же f ( x ) не имеет ни локального максимума, ни локального минимума, ни точки перегиба в 0. Итак, $0$ — это стационарная точка, которая не является изолированной.

См. также

Ссылки

^ Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 236 . ISBN 0-07-010813-7 .
^ Jump up to: ^а ^б Сэддлер, Дэвид; Ши, Джулия; Уорд, Дерек (2011), «12 B стационарных точек и поворотных точек» , Кембридж, 2-й класс математики, 11-й класс , Cambridge University Press, стр. 318, ISBN 9781107679573
^ Jump up to: ^а ^б «Поворотные и стационарные точки» . TCS БЕСПЛАТНАЯ школьная математика «Библиотека с практическими рекомендациями» . Проверено 30 октября 2011 г.

Внешние ссылки

Точки перегиба полиномов четвертой степени — удивительное появление золотого сечения при развязывании узла

[1] Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 236 . ISBN 0-07-010813-7 .

[Saddler-2] Jump up to: ^а ^б Сэддлер, Дэвид; Ши, Джулия; Уорд, Дерек (2011), «12 B стационарных точек и поворотных точек» , Кембридж, 2-й класс математики, 11-й класс , Cambridge University Press, стр. 318, ISBN 9781107679573

[TCS-3] Jump up to: ^а ^б «Поворотные и стационарные точки» . TCS БЕСПЛАТНАЯ школьная математика «Библиотека с практическими рекомендациями» . Проверено 30 октября 2011 г.

[1]

[2]

[3]