Метрическая внешняя мера

В математике метрическая внешняя мера — это внешняя мера µ, определенная на подмножествах данного метрического пространства ( X , d ), такая, что

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)$

для каждой пары положительно разделенных подмножеств A и B из X .

Построение метрических внешних мер

Пусть τ : Σ → [0, +∞] — функция множества, определенная в классе Σ подмножеств X, содержащем пустое множество ∅, такая, что τ (∅) = 0. Можно показать, что функция множества µ , определенная формулой

$\mu (E)=\lim _{\delta \to 0}\mu _{\delta }(E),$

где

$\mu _{\delta }(E)=\inf \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infty }\tau (C_{i})\right|C_{i}\in \Sigma ,\operatorname {diam} (C_{i})\leq \delta ,\bigcup _{i=1}^{\infty }C_{i}\supseteq E\right\},$

есть не только внешняя мера, но фактически и метрическая внешняя мера. (Некоторые авторы предпочитают брать верхнюю границу по δ > 0, а не предел при δ → 0; оба метода дают один и тот же результат, поскольку µ _δ ( E ) увеличивается с уменьшением δ .)

Для функции τ можно использовать

$\tau (C)=\operatorname {diam} (C)^{s},\,$

где s – положительная константа; это τ определено на множестве степеней всех подмножеств X . По теореме Каратеодори о продолжении внешнюю меру можно повысить до полной меры; ассоциированная мера µ является s -мерной мерой Хаусдорфа . В более общем смысле можно использовать любую так называемую функцию измерения .

Эта конструкция очень важна во фрактальной геометрии , так как именно так мера Хаусдорфа получается . Мера упаковки внешне аналогична, но достигается другим способом: путем упаковки шаров внутри набора, а не путем покрытия набора.

Свойства метрических внешних мер

Пусть µ — метрическая внешняя мера в метрическом пространстве ( X , d ).

• Для любой последовательности подмножеств An _с , n ∈ N из X ,

$A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \dots \subseteq A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n},$

и такие, что и _An A \ An +1 _{что положительно} разделены, отсюда следует,

$\mu (A)=\sup _{n\in \mathbb {N} }\mu (A_{n}).$

• Все d - замкнутые подмножества E в X -измеримы µ в том смысле, что они удовлетворяют следующей версии критерия Каратеодори: для всех множеств A и B, для которых A ⊆ E и B ⊆ X \ E ,

$\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).$

• Следовательно, все борелевские подмножества X — те, которые можно получить как счетные объединения, пересечения и теоретико-множественные разности открытых/замкнутых множеств — µ -измеримы.

Ссылки

• Роджерс, Калифорния (1998). Меры Хаусдорфа . Кембриджская математическая библиотека (Третье изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. ххх+195. ISBN  0-521-62491-6 .