Класс питча
В музыке класс высоты тона ( pc или pc ) — это набор всех высот , отстоящих друг от друга на целое число октав ; например, класс высоты C состоит из C во всех октавах. «Класс высоты звука C обозначает все возможные C в любой октавной позиции». [1] Важным для теории музыкальных множеств является то, что класс высоты звука — это «все высоты звука, связанные друг с другом октавой, энгармонической эквивалентностью или тем и другим». [2] Таким образом, используя научное обозначение высоты звука , класс высоты звука «C» представляет собой набор
- {C n : n — целое число } = {..., C −2 , C −1 , C 0 , C 1 , C 2 , C 3 ...}.
Хотя формального верхнего или нижнего предела этой последовательности не существует, человеку слышны лишь некоторые из этих тонов. Класс высоты звука важен, поскольку восприятие высоты звука человеком является периодическим : высоты звука, принадлежащие к одному и тому же классу высоты звука, воспринимаются как имеющие одинаковое качество или цвет, свойство, называемое « октавной эквивалентностью ».
Психологи называют качество звука его «цветностью». [3] Цветность оттенок — это атрибут высоты звука (в отличие от высоты тона ), точно так же, как — атрибут цвета . Класс высоты тона — это набор всех тонов, имеющих одну и ту же цветность, точно так же, как «набор всех белых вещей» — это совокупность всех белых объектов. [4]
В стандартном западном равнотемпераменте разные варианты написания могут относиться к одному и тому же звучащему объекту: B ♯ 3 , C 4 и D. 
4, все относятся к одному и тому же тону, следовательно, имеют одну и ту же цветность и, следовательно, принадлежат к одному и тому же классу тонов. Это явление называется энгармонической эквивалентностью .
Целочисленная запись
[ редактировать ]Чтобы избежать проблемы энгармонического написания, теоретики обычно представляют классы высоты звука, используя числа, начинающиеся с нуля, при этом каждое последующее большее целое число представляет класс высоты звука, который был бы на один полутон выше, чем предыдущий, если бы все они были реализованы как фактические высоты звука в одном и том же языке. октава. Поскольку высота звука, связанная с октавами, принадлежит к одному и тому же классу, при достижении октавы числа снова начинаются с нуля. Эта циклическая система называется модульной арифметикой , и, в обычном случае хроматических двенадцатитоновых гамм, нумерация классов высоты тона равна «по модулю 12» (в литературе по теории музыки обычно обозначается сокращением «mod 12»), то есть каждый двенадцатый член идентичен. Можно сопоставить основную частоту звука f (измеренную в герцах ) с действительным числом p, используя уравнение
Это создает линейное пространство высоты тона , в котором октавы имеют размер 12, полутона (расстояние между соседними клавишами на клавиатуре фортепиано) имеют размер 1, а средней C (C 4 ) присваивается номер 0 (таким образом, высота звука на фортепиано равна — от 39 до +48). Действительно, преобразование высоты звука в действительные числа, определенное таким образом, составляет основу стандарта настройки MIDI , который использует действительные числа от 0 до 127 для представления высоты звука от C -1 до G9 ( таким образом, среднее C равно 60). Чтобы представить классы высоты звука , нам нужно идентифицировать или «склеить» все высоты звука, принадлежащие к одному и тому же классу высоты звука, то есть все числа p и p + 12. В результате получается циклическая группа частных , которую теоретики музыки называют пространством классов высоты звука , а математики называют R. /12 З . Точки в этом пространстве можно пометить действительными числами в диапазоне 0 ≤ x <12. Эти числа представляют собой числовые альтернативы буквенным названиям элементарной теории музыки:
- 0 = С, 1 = С ♯ /Д ♭ , 2 = Д, 2,5 = Д
( четверть тона диеза), 3 = D ♯ /E ♭ ,
и так далее. В этой системе классы высоты звука, представленные целыми числами, представляют собой классы двенадцатитоновой равной темперации (при условии стандартного концерта А).
В музыке представляет целочисленная запись собой перевод классов высоты тона или классов интервалов в целые числа . [5] Таким образом, если C = 0, то C ♯ = 1 ... A ♯ = 10, B = 11, причем в некоторых источниках «10» и «11» заменены на «t» и «e», [5] А и Б в других [6] (например, двенадцатеричная система счисления, в которой также используются «t» и «e» или A и B для «10» и «11»). Это позволяет максимально экономно представить информацию о посттональных материалах. [5]
В целочисленной модели высоты звука все классы высоты звука и интервалы между классами высоты обозначаются числами от 0 до 11. Она не используется для обозначения музыки для исполнения, но является обычным аналитическим и композиционным инструментом при работе с хроматической музыкой, включая двенадцать тональная , серийная или иная атональная музыка.
Классы высоты звука можно обозначить таким способом, присвоив какой-либо ноте номер 0 и присвоив последовательные целые числа последовательным полутонам ; поэтому, если 0 — это натуральный C, 1 — это C ♯ , 2 — это D ♮ и так далее до 11, то есть B ♮ . C выше это не 12, а снова 0 (12 - 12 = 0). Таким образом, арифметика по модулю 12 используется для представления октавной эквивалентности . Одним из преимуществ этой системы является то, что она игнорирует «написание» нот (B ♯ , C ♮ и D все 0) в соответствии с их диатонической функциональностью .
Недостатки
[ редактировать ]У целочисленной записи есть несколько недостатков. Во-первых, теоретики традиционно использовали одни и те же целые числа для обозначения элементов разных систем настройки. Таким образом, цифры 0, 1, 2, ... 5 используются для обозначения классов высоты звука в 6-тоновой равнотемперированной тональности. Это означает, что значение данного целого числа меняется в зависимости от базовой системы настройки: «1» может относиться к C ♯ в 12-тональной равной темперации, но D в 6-тоновой равнотемперированной.
Кроме того, одни и те же числа используются для обозначения высоты звука и интервалов . Например, число 4 служит одновременно меткой класса высоты звука E (если C = 0) и меткой расстояния между классами высоты звука D и F ♯ . (Во многом таким же образом термин «10 градусов» может обозначать как температуру, так и расстояние между двумя температурами.) Только одно из этих обозначений чувствительно к (произвольному) выбору шагового класса 0. Например, если кто-то делает другой выбор относительно того, какой класс шага будет помечен как 0, тогда класс шага E больше не будет обозначаться как «4». Однако расстоянию между D и F ♯ все равно будет присвоено число 4. И это, и вопрос в абзаце непосредственно выше можно рассматривать как недостатки (хотя математически элемент «4» не следует путать с функцией «+» 4").
Другие способы обозначения классов высоты тона
[ редактировать ]| Подача сорт | Тональные аналоги | сольфеджио |
|---|---|---|
| 0 | C (также B ♯ , D ) | делать |
| 1 | C ♯ , D ♭ (также B  ) | |
| 2 | Д (также С , и ) | ре |
| 3 | Д ♯ , Е ♭ (также F ) | |
| 4 | Е (также Д , F ♭ ) | мне |
| 5 | F (также E ♯ , G ) | но |
| 6 | F ♯ , G ♭ (также E ) | |
| 7 | Г (также Ф , А ) | солнце |
| 8 | G ♯ , A ♭ | |
| 9 | А (также Г , Б ) | тот |
| 10, т или А | А ♯ , Б ♭ (также С ) | |
| 11, е или Б | Б (также А , C ♭ ) | и |
Описанная выше система достаточно гибка, чтобы описать любой класс высоты звука в любой системе настройки: например, можно использовать числа {0, 2,4, 4,8, 7,2, 9,6} для обозначения пятитоновой шкалы, которая равномерно делит октаву. Однако в некоторых случаях удобно использовать альтернативные системы маркировки. Например, используя только интонацию , мы можем выражать высоту звука через положительные рациональные числа. p / q , выражается ссылкой на 1 (часто пишется « 1/1 — два положительных рациональных числа , " ), который представляет фиксированный шаг. Если a и b они принадлежат к одному и тому же классу шага тогда и только тогда, когда
для некоторого целого числа n . Следовательно, мы можем представить классы высоты звука в этой системе с помощью соотношений p / q где ни p, ни q не делятся на 2, то есть как отношения нечетных целых чисел. В качестве альтернативы мы можем представить только классы высоты интонации, сократив до октавы, 1 ≤ п / q < 2.
Также очень часто классы высоты тона обозначаются со ссылкой на некоторый масштаб . Например, можно обозначить классы высоты звука n -тоновой равной темперации , используя целые числа от 0 до n - 1. Практически таким же образом можно обозначить классы высоты звука гаммы до мажор: C–D–E–F– G – A – B, с использованием цифр от 0 до 6. Эта система имеет два преимущества перед описанной выше системой непрерывной маркировки. Во-первых, это исключает любые предположения о том, что в двенадцатикратном делении октавы есть что-то естественное. Во-вторых, он избегает вселенных основного класса с громоздкими десятичными расширениями, если рассматривать их относительно 12; например, в непрерывной системе 19 классов одинаковой темперации обозначаются 0,63158..., 1,26316... и т. д. Обозначение этих классов тона {0, 1, 2, 3..., 18} упрощает арифметика, используемая при манипуляциях с наборами тонких классов.
Недостатком системы, основанной на гамме, является то, что она присваивает бесконечное количество различных названий аккордам, которые звучат одинаково. Например, в двенадцатитоновом равнотемперированном трезвучии до мажор обозначается {0, 4, 7}. В двадцатичетырёхтоновой равнотемперации это же трезвучие обозначается {0, 8, 14}. Более того, система, основанная на ладах, по-видимому, предполагает, что разные системы настройки используют шаги одного и того же размера («1»), но имеют октавы разного размера («12» в 12-тоновой равнотемперированной системе, «19» в 19-тоновой системе). равная темперация и т. д.), тогда как на самом деле все наоборот: разные системы настройки делят одну и ту же октаву на шаги разного размера.
В общем, часто бывает полезнее использовать традиционную систему целых чисел, когда работаешь в рамках одного темперамента; когда сравнивают аккорды разных темпераментов, непрерывная система может быть более полезной.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Арнольд Уиттолл , Кембриджское введение в сериализм (Нью-Йорк: Cambridge University Press, 2008): 276. ISBN 978-0-521-68200-8 (пбк).
- ^ Дон Майкл Рэндел, изд. (2003). «Теория множеств», Гарвардский музыкальный словарь , стр.776. Гарвард. ISBN 9780674011632 .
- ^ Тимочко, Дмитрий (2011). Геометрия музыки: гармония и контрапункт в расширенной общей практике , стр.30. Оксфордские исследования по теории музыки. ISBN 9780199714353 .
- ^ Мюллер, Мейнард (2007). Поиск информации о музыке и движении , стр.60. ISBN 9783540740483 . «Класс высоты звука определяется как набор всех высот, имеющих одну и ту же цветность».
- ^ Перейти обратно: а б с Уиттолл (2008), стр.273.
- ^ Роберт Д. Моррис, «Обобщение вращающихся массивов», Журнал теории музыки 32, вып. 1 (весна 1988 г.): 75–132, цитирование по 83.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Пурвинс, Хендрик (2005). « Профили классов высоты звука: кругообразность относительной высоты звука и тональности - эксперименты, модели, компьютерный анализ музыки и перспективы ». доктор философии Диссертация. Берлин: Технический университет Берлина .
- Ран, Джон (1980). Основная атональная теория . Нью-Йорк: Лонгман; Лондон и Торонто: Prentice Hall International. ISBN 0-02-873160-3 . Перепечатано в 1987 году, Нью-Йорк: Schirmer Books; Лондон: Кольер Макмиллан.
- Шуйер, Михель (2008). Анализ атональной музыки: теория множеств высоты звука и ее контексты . Исследования Истмана в области музыки 60. Рочестер, Нью-Йорк: University of Rochester Press. ISBN 978-1-58046-270-9 .
- Цао, Мин (2010). Абстрактные музыкальные интервалы: теория групп для композиции и анализа . Беркли, Калифорния: Musurgia Universalis Press. ISBN 978-1430308355.
- Баттерфилд, Шон (2023). Интегрированное музыкальное мастерство: теория . Глава 23 .
