Методы Монте-Карло для электронного транспорта

Метод Монте-Карло для электронного транспорта представляет собой полуклассический подход Монте-Карло (MC) к моделированию полупроводникового транспорта. Предполагая, что движение носителя представляет собой свободный полет, прерываемый механизмами рассеяния, компьютер используется для моделирования траекторий частиц, когда они движутся по устройству под воздействием электрического поля, используя классическую механику . События рассеяния и продолжительность полета частиц определяются с помощью случайных чисел.

Фон

Уравнение переноса Больцмана

Модель уравнения переноса Больцмана была основным инструментом, используемым при анализе транспорта в полупроводниках. Уравнение BTE имеет вид :

${\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}E(k)\nabla _{r}f+{\frac {qF(r)}{\hbar }}\nabla _{k}f=\left[{\frac {\partial f}{\partial t}}\right]_{\mathrm {collision} }$

$v={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}E(k)$

Функция распределения — f это безразмерная функция, которая используется для извлечения всех представляющих интерес наблюдаемых и дает полное описание распределения электронов как в реальном, так и в k-пространстве . Кроме того, он физически представляет вероятность занятия частицей энергии k в положении r и времени t . Кроме того, поскольку это семимерное интегро-дифференциальное уравнение (шесть измерений в фазовом пространстве и одно во времени), решение БТЭ является громоздким и может быть решено в замкнутой аналитической форме при весьма особых ограничениях. Численно решение заушного слухового аппарата используется либо детерминистическим методом, либо стохастическим методом. Решение детерминистического метода основано на численном методе на основе сетки, таком как подход сферических гармоник, тогда как метод Монте-Карло представляет собой стохастический подход, используемый для решения BTE.

Метод Монте-Карло

Квазиклассический метод Монте-Карло — это статистический метод, используемый для получения точного решения уравнения переноса Больцмана, которое включает сложную зонную структуру и рассеяния процессы . Этот подход является полуклассическим по той причине, что механизмы рассеяния рассматриваются квантовомеханически с использованием золотого правила Ферми , тогда как перенос между событиями рассеяния рассматривается с использованием понятия классической частицы. Модель Монте-Карло, по сути, отслеживает траекторию частицы при каждом свободном полете и стохастически выбирает соответствующий механизм рассеяния. Двумя большими преимуществами полуклассического метода Монте-Карло являются его способность обеспечивать точную квантовомеханическую обработку различных механизмов рассеяния в рамках условий рассеяния и отсутствие предположений о форме распределения носителей в энергии или k-пространстве. Квазиклассическое уравнение, описывающее движение электрона, имеет вид

${\frac {dr}{dt}}={\frac {1}{\hbar }}\nabla _{k}E(k)$

${\frac {dk}{dt}}={\frac {qF(r)}{\hbar }}$

где F — электрическое поле, E(k) — закон дисперсии энергии, k — волновой вектор импульса. Чтобы решить приведенное выше уравнение, необходимо хорошо знать зонную структуру (E (k)). Зависимость E(k) описывает, как частица движется внутри устройства, а также отображает полезную информацию, необходимую для транспортировки, такую ​​как плотность состояний (DOS) и скорость частицы. Полнозонное соотношение E(K) может быть получено с использованием полуэмпирического метода псевдопотенциала.

Гидродинамический и дрейфово-диффузионный метод

Как дрейфовая диффузионная (DD), так и гидродинамическая (HD) модели могут быть получены из моментов уравнения переноса Больцмана (BTE) с использованием упрощенного приближения, справедливого для устройств с длинным каналом. Схема DD является наиболее классическим подходом и обычно решает уравнение Пуассона и уравнения непрерывности для носителей с учетом дрейфовой и диффузионной составляющих. В этом подходе время прохождения заряда предполагается очень большим по сравнению со временем релаксации энергии. С другой стороны, метод HD решаетсхема ДД с уравнениями баланса энергии, полученными из моментов БТЭ. Таким образом, можно фиксировать и рассчитывать физические детали, такие как нагрев носителя и эффект превышения скорости . Излишне говорить, что при моделировании HD требуется точный метод дискретизации, поскольку основные уравнения сильно связаны и приходится иметь дело с большим количеством переменных по сравнению со схемой DD.

Сравнение полуклассических моделей

Средняя скорость носителя для 80-нм нМОП в сравнении с различными полуклассическими моделями моделирования (а) Vds= 0,3 В (б) Vds = 0,6 В

Точность полуклассических моделей сравнивается на основе BTE путем исследования того, как они решают классическую проблему перерегулирования скорости, ключевого эффекта короткого канала (SCE) в транзисторных структурах. По сути, выброс скорости — это нелокальный эффект масштабируемых устройств, который связан с экспериментально наблюдаемым увеличением тока и крутизны. Когда длина канала становится меньше, скорость больше не насыщается в области сильного поля, но превышает прогнозируемую скорость насыщения. Причина этого явления в том, что время прохождения носителей становится сравнимым со временем релаксации энергии, и поэтому подвижным носителям не хватает времени для достижения равновесия с приложенным электрическим полем за счет рассеяния в устройствах с коротким каналом. Сводка результатов моделирования (Illinois Tool: MOCA) с моделями DD и HD показана на рисунке рядом. На рисунке (а) показан случай, когда поле недостаточно велико, чтобы вызвать эффект перерегулирования скорости во всей области канала. Обратите внимание, что при таком пределе данные модели DD хорошо соответствуют модели MC в области без превышения, но модель HD переоценивает скорость в этой области. Перерегулирование скорости наблюдается только вблизи стокового перехода в данных MC, и модель HD хорошо подходит для этой области. Из данных MC можно заметить, что эффект выброса скорости является резким в области сильного поля, которая не учитывается должным образом в модели HD. Для условий сильного поля, как показано на рисунке (b), эффект перерегулирования скорости почти по всему каналу, а результаты HD и MC очень близки в области канала.

Монте-Карло для транспорта полупроводников

Структура группы

Зонная структура описывает взаимосвязь между энергией (E) и волновым вектором (k). Зонная структура используется для расчета движения носителей под действием электрического поля, скорости рассеяния и конечного состояния после столкновения. Зонная структура кремния и ее зона Бриллюэна показаны на рисунке ниже, но не существует аналитического выражения, которое удовлетворяло бы всей зоне Бриллюэна . Используя некоторое приближение, можно получить две аналитические модели зонной структуры, а именно параболическую и непараболическую моды.

Параболическая ленточная структура

В концепции зонной структуры для простоты обычно предполагаются параболические энергетические зоны. Электроны находятся, по крайней мере, когда они близки к равновесию, вблизи минимумов зависимости E(k). Тогда соотношение E(k) можно расширить в ряд Тейлора как

$E(k)=E(0)+\left.{\frac {\partial E(k)}{\partial k}}\right|_{\mathrm {k=0} }\cdot k+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}E(k)}{\partial k^{2}}}\cdot k^{2}$

Поскольку первая производная обращается в нуль в минимуме зоны, градиент E(k) равен нулю при k = 0. Таким образом,

$E(k)={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}$

что дает определение тензора эффективной массы

${\frac {1}{m^{*}}}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E(k)}{\partial k^{2}}}$

Это выражение справедливо для полупроводника, имеющего изотропную эффективную массу, например GaAs. В случае кремния минимумы зоны проводимости не лежат при k = 0, а эффективная масса зависит от кристаллографической ориентации минимума как

$E(k)={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left({\frac {k_{l}^{2}}{m_{l}^{*}}}+{\frac {2k_{t}^{2}}{m_{t}^{*}}}\right)$

где $m_{l}^{*},m_{t}^{*}$ описывают продольную и поперечную эффективную массу соответственно.

Непараболическая ленточная структура

Для более сильных полей несущие находятся выше минимума, и дисперсионное соотношение E(k) не удовлетворяет простому параболическому выражению, описанному выше. Эта непараболичность обычно описывается формулой

$E(1+\alpha E)={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m^{*}}}$

где $\alpha$ - коэффициент непараболичности, определяемый формулой

$\alpha ={\frac {(1-m^{*}/m_{0})^{2}}{E_{g}}}$

где $m_{0}$ – масса электрона в вакууме, Eg – энергетическая щель.

Полная структура группы

Для многих приложений непараболическая зонная структура обеспечивает разумное приближение. Однако в случае очень сильного переноса поля требуется лучшая физическая модель полнозонной структуры. Для полнодиапазонного подхода используется численно сгенерированная таблица E(k). Полнополосный подход для моделирования Монте-Карло был впервые использован Карлом Хессом в Университете Иллинойса в Урбана-Шампейн. Этот подход основан на эмпирическом методе псевдопотенциала, предложенном Коэном и Бергстрессером [18]. Полнополосный подход требует больших вычислительных затрат, однако с развитием вычислительной мощности его можно использовать как более общий подход.

Виды моделирования Монте-Карло

Одночастичный Монте-Карло

Для этого типа моделирования вводится одна несущая, и движение отслеживается в области до тех пор, пока оно не выйдет через контакт. Затем вводится еще один носитель, и процесс повторяется для моделирования ансамбля траекторий. Этот подход в основном полезен для изучения объемных свойств, таких как скорость стационарного дрейфа в зависимости от поля.

Ансамбль Монте-Карло

Вместо одной несущей одновременно моделируется большой ансамбль несущих. Эта процедура, очевидно, является хорошим кандидатом на супервычисления, поскольку можно применять распараллеливание и векторизацию. Кроме того, теперь можно напрямую вычислять средние значения по ансамблю. Этот подход подходит для моделирования переходных процессов.

Самосогласованный ансамбль Монте-Карло

Этот метод объединяет ансамблевую процедуру Монте-Карло с уравнением Пуассона и является наиболее подходящим для моделирования устройств. Обычно уравнение Пуассона решается через фиксированные промежутки времени, чтобы обновить внутреннее поле и отразить внутреннее перераспределение заряда из-за движения носителей.

Случайный выбор рейса

Вероятность того, что электрон подвергнется следующему столкновению в течение dt около t, определяется выражением

$p(t)\,dt=P[k(t)]\exp[-\int _{0}^{t}P[k(t')]\,dt']\,dt$

где P[k(t)]dt — вероятность того, что электрон в состоянии k столкнется за время dt. Из-за сложности интеграла по показателю степени непрактично генерировать стохастические свободные полеты с распределением приведенного выше уравнения. Чтобы преодолеть эту трудность, люди используют фиктивную схему «саморассеяния». При этом полная скорость рассеяния, включая это саморассеяние, будет постоянной и равной, скажем, $\Gamma$. Путем случайного выбора, если выбрано саморассеяние, k' после столкновения будет таким же, как k, и носитель продолжит полет без возмущений. Введение константы $P(k)=\tau _{0}^{-1}$, приведенное выше уравнение сводится к

$p(t)={\frac {1}{\tau _{0}}}\exp(-t/\tau _{0}).$

Случайные числа r можно очень просто использовать для создания стохастических свободных полетов, продолжительность которых тогда будет определяться выражением $t_{r}=-\tau _{0}\ln(r)$. Компьютерное время, затрачиваемое на саморазброс, с лихвой компенсируется упрощением расчета продолжительности свободного полета. Для повышения скорости расчета времени свободного полета используются несколько схем, таких как «Постоянный метод» и «Кусочный метод», чтобы минимизировать события саморассеяния.

Механизмы рассеяния

Общие сведения о физике твердого тела

Важные свойства переноса заряда полупроводниковых приборов, такие как отклонение от закона Ома и насыщение подвижности носителей, являются прямым следствием механизмов рассеяния. Таким образом, для моделирования полупроводниковых устройств очень важно уловить физику таких механизмов. В этом смысле моделирование полупроводников Монте-Карло является очень мощным инструментом, обеспечивающим простоту и точность, с которой может быть включен почти исчерпывающий набор механизмов рассеяния. Продолжительность свободных полетов определяется по скоростям рассеяния. В конце каждого полета необходимо выбрать соответствующий механизм рассеяния, чтобы определить конечную энергию рассеянного носителя или, что то же самое, его новый импульс и угол рассеяния. В этом смысле можно выделить два широких типа механизмов рассеяния, которые естественным образом вытекают из классического механизма рассеяния.кинетическая теория столкновения двух тел:

Упругое рассеяние , при котором энергия частицы сохраняется после рассеяния. Следовательно, упругое рассеяние изменит только направление импульса частицы. Рассеяние на примесях и поверхностное рассеяние, в достаточном приближении, являются двумя хорошими примерами процессов упругого рассеяния.

Неупругое рассеяние , при котором энергия передается между рассеянной частицей и рассеивающим центром. Электронфононные взаимодействия существенно неупруги, поскольку фонон определенной энергии либо излучается, либо поглощается рассеянной частицей.Прежде чем охарактеризовать механизмы рассеяния более подробно математически, важно отметить, что при моделировании полупроводников методом Монте-Карло приходится иметь дело в основном со следующими типами событий рассеяния:

Акустический фонон: носитель заряда обменивается энергией с акустической модой колебаний атомов кристаллической решетки. Акустические фононы в основном возникают в результате термического возбуждения кристаллической решетки.

Полярный оптический: носитель заряда обменивается энергией с одной из полярных оптических мод кристаллической решетки. Эти моды отсутствуют в ковалентных полупроводниках. Оптические фононы возникают в результате вибрации друг против друга атомов разных типов, когда в наименьшей элементарной ячейке находится более одного атома, и обычно возбуждаются светом.

Неполярная оптика: обмен энергией происходит в оптическом режиме. Неполярные оптические фононы обычно следует рассматривать в ковалентных полупроводниках и L-долине GaAs.

Эквивалентный фонон между долинами: из-за взаимодействия с фононом носитель заряда переходит из начальных состояний в конечные состояния, которые принадлежат разным, но эквивалентным долинам. Обычно этот тип механизма рассеяния описывает переход электрона из одной X-долины в другую X-долину или из одной L-долины в другую L-долину.

Неэквивалентный интервальный фонон: включает переход носителя заряда между долинами разных типов.

Пьезоэлектрический фонон: для низких температур.

Ионизированная примесь: отражает отклонение частицы от ее баллистической траектории из-за кулоновского взаимодействия с ионизированной примесью в кристаллической решетке. Поскольку масса электрона относительно мала по сравнению с массой примеси, кулоновское сечение быстро уменьшается с разницей модулей импульса между начальным и конечным состояниями. Поэтому акты примесного рассеяния в основном рассматриваются для внутридолинного рассеяния, внутризонного рассеяния и, в меньшей степени, межзонного рассеяния.

Носитель-носитель: (электрон-электронное, дырочно-дырочное и электрон-дырочное взаимодействия). При высокой концентрации носителей этот тип рассеяния отражает электростатическое взаимодействие между носителями заряда. Эта проблема очень быстро становится трудоемкой с увеличением числа частиц в ансамблевом моделировании. В этой области алгоритмы частица-частица-частица-сетка (P3M), которые различают короткодействующее и дальнодействующее взаимодействие частицы с окружающим ее зарядовым газом, оказались эффективными при включении взаимодействия носителей-носителей в моделирование полупроводника Монте-Карло. Очень часто заряд носителей присваивается сетке с помощью метода «Облако в ячейке», где часть заряда данной частицы присваивается заданному количеству ближайших точек сетки с определенным весовым коэффициентом.

Плазмон: отражает влияние коллективных колебаний носителей заряда на данную частицу.

Включение механизмов рассеяния в Монте-Карло

Эффективный в вычислительном отношении подход к включению рассеяния в моделирование Монте-Карло состоит в сохранении скоростей рассеяния отдельных механизмов в таблицах. Учитывая разные скорости рассеяния для конкретного состояния частицы, можно затем случайным образом выбрать процесс рассеяния в конце свободного полета. Эти скорости рассеяния очень часто получаются с использованием приближения Борна , в котором событие рассеяния представляет собой просто переход между двумя состояниями импульса участвующего носителя. Как обсуждалось в разделах II-I, квантовая задача многих тел, возникающая в результате взаимодействия носителя с окружающей средой (фононами, электронами, дырками, плазмонами, примесями...), может быть сведена к задаче двух тел, используя приближение квазичастиц, которое отделяет интересующий носитель от остальной части кристалла. В рамках этих приближений Золотое правило Ферми дает в первом порядке вероятность перехода в единицу времени механизма рассеяния из состояния $|k\rangle$ в состояние $|k'\rangle$:

$S(k,k')={\frac {2\pi }{\hbar }}\left|\langle k|H'|k'\rangle \right|^{2}\cdot \delta (E-E')$

где H' - гамильтониан возмущения, представляющий столкновение, а E и E' - соответственно начальная и конечная энергии системы, состоящей как из носителя, так и из электронного и фононного газа. Дирак $\delta$-функция означает сохранение энергии. Кроме того, термин $\langle k|H'|k'\rangle$, обычно называемый матричным элементом, математически представляет собой скалярное произведение начальной и конечной волновых функций несущей:

$\langle k|H'|k'\rangle ={\frac {1}{Vol}}\int _{\mathrm {Vol} }\psi _{k}(r)H'\psi _{k'}^{*}(r)\,dr$

В кристаллической решетке волновые функции $\psi _{k}(r)$ и $\psi _{k'}(r)$ это просто волны Блоха . Когда это возможно, аналитическое выражение элементов матрицы обычно находится путем расширения Фурье гамильтониана H', как в случае рассеяния на примесях. или рассеяние акустических фононов. В важном случае перехода из энергетического состояния E в энергетическое состояние E' за счет фонона волнового вектора q и частоты $\omega _{q}$, изменение энергии и импульса равно:

$E'-E=E(k')-E(k)\pm \hbar \omega _{q}\,$

$k'-k\pm q={\begin{cases}0&{\text{ }}\\R&{\text{Umklapp-process}}\end{cases}}$

где R — вектор обратной решетки . Процессы переброса (или U-процессы) изменяют импульс частицы после рассеяния и, следовательно, ограничивают проводимость в полупроводниковых кристаллах. Физически U-процессы происходят, когда конечный импульс частицы выходит за пределы первой зоны Бриллюэна. Если известна вероятность рассеяния в единицу времени из состояния k в состояние k', интересно определить скорость рассеяния для данного процесса рассеяния. Скорость рассеяния дает вероятность в единицу времени перейти из состояния k в любое другое состояние в обратном пространстве. Следовательно, скорость рассеяния

$\lambda (k)=\sum _{k'}S(k,k')$

который можно легко использовать для определения времени свободного полета и процесса рассеяния, как обсуждалось в разделе 3-3. Важно отметить, что эта скорость рассеяния будет зависеть от зонной структуры материала (зависимость возникает от матричных элементов).

Выбор режима рассеяния и траектории рассеяния

В конце свободного полета режим и угол рассеяния должны быть выбраны случайным образом. Чтобы определить механизм рассеяния, необходимо рассмотреть все скорости рассеяния $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ механизмов, имеющих отношение к моделированию, а также общую скорость рассеяния во время рассеяния $\lambda _{tot}(t_{sc})=\sum _{i}\lambda _{i}.$ Тогда выбор механизма рассеяния просто приводит к генерации равномерно распределенного случайного числа 0 < r < 1 и соблюдению следующих правил.

${\begin{aligned}r&<{\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{\mathrm {tot} }}}\rightarrow {\text{scattering-mechanism-}}1\\r&<{\frac {\lambda _{1}+\lambda _{2}}{\lambda _{\mathrm {tot} }}}\rightarrow {\text{scattering-mechanism-}}2\\&{}\ \vdots \\r&<{\frac {\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}}{\lambda _{\mathrm {tot} }}}\rightarrow {\text{scattering-mechanism-}}n\end{aligned}}$

Эффективный в вычислительном отношении подход к выбору механизма рассеяния состоит в добавлении «пустого» механизма рассеяния так, чтобы $\lambda _{\mathrm {tot} }$ остается постоянным во времени. Если частица рассеивается по этому механизму, то после рассеяния она сохранит свою баллистическую траекторию. Чтобы выбрать новую траекторию, необходимо сначала получить энергию (или импульс ) частицы после рассеяния

$E(k')=E(k)\pm \hbar \omega _{q}\pm \Delta E_{C}\,$

где термин $\hbar \omega _{q}$ учитывает испускание или поглощение фононов и термин $\Delta E_{C}$ не является нулевым для рассеяния между долинами. Конечная энергия (и зонная структура) непосредственно дают модуль нового импульса k'. На этом этапе нужно только выбрать новое направление (или угол) для рассеянной частицы. В некоторых простых случаях, таких как рассеяние фононов и параболический закон дисперсии, угол рассеяния случайен и равномерно распределен на сфере радиуса k'. Используя сферические координаты, процесс выбора угла эквивалентен случайному выбору двух углов. $\theta$и $\psi$. Если угол распространяется с распределением $p(\theta ,\psi )$, то при равномерном распределении углов вероятность выбрать точку сферы равна

$p(\theta ,\psi )\,d\theta d\psi ={\frac {\sin \theta \,d\theta \,d\psi }{4\pi }}$

В этом случае можно разделить две переменные. Интеграция более $\psi$ потом закончилось $\theta$, можно найти

$p(\theta )={\frac {\sin \theta }{2}}$

$p(\psi )={\frac {1}{2\pi }}$

Затем в однородном случае можно выбрать два сферических угла путем генерации двух случайных чисел 0 < r ₁ , r ₂ < 1 таких, что

$r_{1}=\int _{0}^{\psi }p(\psi ')\,d\psi '={\frac {\psi }{2\pi }}$

$r_{2}=\int _{0}^{\theta }p(\theta ')\,d\theta '={\frac {1-\cos \theta }{2}}$

Квантовые поправки для моделирования Монте-Карло

Эффекты квантовой коррекции

Текущая тенденция к уменьшению размеров полупроводниковых устройств вынудила физиков учитывать вопросы квантовой механики, чтобы получить глубокое понимание поведения устройств. Моделирование поведения наноустройств требует использования полной модели квантового транспорта , особенно в тех случаях, когда квантовые эффекты нельзя игнорировать. Однако этого осложнения можно избежать в случае практических устройств, таких как современный МОП-транзистор , используя квантовые поправки в полуклассической структуре. Затем для моделирования характеристик устройства можно использовать полуклассическую модель Монте-Карло. Квантовые поправки можно включить в симулятор Монте-Карло, просто введя член квантового потенциала, который накладывается на классический электростатический потенциал, видимый моделируемыми частицами. На рисунке рядом наглядно изображены основные особенности этой техники. Различные квантовые подходы, доступные для реализации, описаны в следующих подразделах.

Коррекция по Вигнеру

Уравнение переноса Вигнера составляет основу квантовой коррекции на основе Вигнера.

${\frac {\partial f}{\partial t}}+r\cdot \nabla _{r}f-{\frac {1}{\hbar }}\nabla _{r}V\cdot \nabla _{k}f+\sum _{\alpha =1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\alpha +1}}{\hbar 4^{\alpha }(2\alpha +1)!}}\times (\nabla _{r}\nabla _{k})^{2\alpha +1}Vf=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{c}$

где k - импульс кристалла, V - классический потенциал, член в правой части - эффект столкновения, четвертый член в левой части представляет собой нелокальные квантово-механические эффекты. Стандартное уравнение переноса Больцмана получается, когда нелокальные члены на LHS исчезают в пределе медленных пространственных изменений. Упрощенный (для $\alpha =0$) заушный аппарат с квантовой коррекцией тогда становится

${\frac {\partial f}{\partial t}}+r\cdot \nabla _{r}f-{\frac {1}{\hbar }}\nabla _{r}V\cdot \nabla _{k}f=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{c}$

где квантовый потенциал содержится в слагаемом $V_{\omega }$ (должна быть ошибка: $V_{\omega }$ никогда не упоминался).

Эффективная потенциальная коррекция

Этот метод квантовой коррекции был разработан Фейнманом и Хиббсом в 1965 году. В этом методе эффективный потенциал получается путем расчета вклада в интеграл по траектории квантовых флуктуаций частицы вокруг ее классического пути. Этот расчет проводится вариационным методом с использованием пробного потенциала первого порядка. Тогда эффективный классический потенциал в средней точке на каждом пути становится

$V_{\mathrm {eff} }(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}a}}\int _{-\infty }^{\infty }V(x')e^{-{\frac {(x'-x)^{2}}{2a^{2}}}}dx'$

$a^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{12m^{*}k_{B}T}}$

Коррекция по Шрёдингеру

Этот подход включает периодическое решение уравнения Шредингера в моделировании, в котором входными данными является самосогласованный электростатический потенциал. Точные уровни энергии и волновые функции, относящиеся к решению электростатического потенциала, используются для расчета квантового потенциала. Квантовую поправку, полученную на основе этого метода, можно визуализировать следующим уравнением

$V_{\mathrm {schr} }(z)=-k_{B}T\cdot \log(n_{q}(z))-V_{p}(z)+V_{0}$

где V _schr — потенциал квантовой коррекции, z — направление, перпендикулярное границе раздела, n _q — квантовая плотность из уравнения Шрёдингера, эквивалентная сходящейся концентрации Монте-Карло, V _p — потенциал из решения Пуассона, V ₀ — это произвольный опорный потенциал вдали от квантовой области, такой, что поправка обращается в нуль в области квазиклассического поведения. Несмотря на то, что вышеупомянутые потенциалы квантовой коррекции различаются по методу расчета и базовым предположениям, когда дело доходит до их включения в моделирование Монте-Карло, все они включаются одинаковым образом.

См. также

• Метод Монте-Карло
• Полупроводниковый прибор
• Метод Монте-Карло для транспорта фотонов
• Электронная зонная структура
• Метод квантовых характеристик
• Квантовый Монте-Карло
• Метод квази-Монте-Карло