Список лимитов

Это список ограничений для общих функций, таких как элементарные функции . В этой статье термины a , b и c являются константами относительно x .

Ограничения для общих функций

Определения пределов и связанных с ними концепций

$\lim _{x\to c}f(x)=L$ тогда и только тогда, когда $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0:0<|x-c|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon$. Это (ε, δ)-определение предела .

последовательности Верхний и нижний предел определяются как $\limsup _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\sup _{m\geq n}x_{m}\right)$ и $\liminf _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }\left(\inf _{m\geq n}x_{m}\right)$.

Функция, $f(x)$, называется непрерывным в точке c , если $$\lim _{x\to c}f(x)=f(c).$$

Операции на одном известном пределе

Если $\lim _{x\to c}f(x)=L$ затем:

• $\lim _{x\to c}\,[f(x)\pm a]=L\pm a$
• $\lim _{x\to c}\,af(x)=aL$
• $\lim _{x\to c}{\frac {1}{f(x)}}={\frac {1}{L}}$ если L не равно 0.
• $\lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L^{n}$ если n — положительное целое число
• $\lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L^{1 \over n}$ если n — целое положительное число и если n четное, то L > 0.

В общем, если g ( x ) непрерывен в L и $\lim _{x\to c}f(x)=L$ затем

• $\lim _{x\to c}g\left(f(x)\right)=g(L)$

Операции над двумя известными пределами

Если $\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}$ и $\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}$ затем:

• $\lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}$
• $\lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\cdot L_{2}$
• $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\qquad {\text{ if }}L_{2}\neq 0$

Пределы, включающие производные или бесконечно малые изменения

В этих пределах бесконечно малое изменение $h$ часто обозначается $\Delta x$ или $\delta x$. Если $f(x)$дифференцируема ​ в $x$,

• $\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)$. Это определение производной . Все правила дифференциации также можно переформулировать как правила, включающие ограничения. Например, если g ( x ) дифференцируема в точке x ,
  • $\lim _{h\to 0}{f\circ g(x+h)-f\circ g(x) \over h}=f'[g(x)]g'(x)$. Это правило цепочки .
  • $\lim _{h\to 0}{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) \over h}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$. Это правило продукта .
• $\lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{1/h}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)$
• $\lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1/h}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)$

Если $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы на открытом интервале, содержащем c , за исключением, возможно, c , и самого $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty$, правило Лопиталя можно использовать:

• $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

Неравенства

Если $f(x)\leq g(x)$ для всех x в интервале, содержащем c , за исключением, возможно, самого c , и предела $f(x)$ и $g(x)$ оба существуют в точке c , тогда $$\lim _{x\to c}f(x)\leq \lim _{x\to c}g(x)$$

Если $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L$ и $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$для всех x в открытом интервале , содержащем c , за исключением, возможно, c самого , $$\lim _{x\to c}g(x)=L.$$ Это известно как теорема о сжатии . Это применимо даже в тех случаях, когда f ( x ) и g ( x ) принимают разные значения в точке c или являются разрывными в точке c .

Полиномы и функции вида x ^а

• $\lim _{x\to c}a=a$

Полиномы по x

• $\lim _{x\to c}x=c$
• $\lim _{x\to c}(ax+b)=ac+b$
• $\lim _{x\to c}x^{n}=c^{n}$ если n — положительное целое число
• $\lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\{\text{does not exist}},&a=0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}$

В общем, если $p(x)$является многочленом, то в силу непрерывности многочленов $$\lim _{x\to c}p(x)=p(c)$$ Это также верно для рациональных функций , поскольку они непрерывны в своих областях определения .

Функции вида x ^а

• $\lim _{x\to c}x^{a}=c^{a}.$ В частности,
  • $\lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}$
• $\lim _{x\to c}x^{1/a}=c^{1/a}$. В частности,
  • $\lim _{x\to \infty }x^{1/a}=\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty {\text{ for any }}a>0$
• $\lim _{x\to 0^{+}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{n}}}=+\infty$
• $\lim _{x\to 0^{-}}x^{-n}=\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{n}}}={\begin{cases}-\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\+\infty ,&{\text{if }}n{\text{ is even}}\end{cases}}$
• $\lim _{x\to \infty }ax^{-1}=\lim _{x\to \infty }a/x=0{\text{ for any real }}a$

Экспоненциальные функции

Функции вида a ^{г ( х )}

• $\lim _{x\to c}e^{x}=e^{c}$, в связи с непрерывностью $e^{x}$
• $\lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}$
• $\lim _{x\to \infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}}$
• $\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim _{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{does not exist}},&a<0\end{cases}}$

Функции вида x ^{г ( х )}

• $\lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim _{x\to \infty }{x}^{1/x}=1$

Функции вида f ( x ) ^{г ( х )}

• $\lim _{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}=e^{-k}$
• $\lim _{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e$
• $\lim _{x\to 0}\left(1+kx\right)^{\frac {m}{x}}=e^{mk}$
• $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$
• $\lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}$
• $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}$
• $\lim _{x\to 0}\left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)^{-{\frac {1}{x}}}=e^{a}$. Этот предел может быть получен из этого предела .

Суммы, произведения и композиты

• $\lim _{x\to 0}xe^{-x}=0$
• $\lim _{x\to \infty }xe^{-x}=0$
• $\lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a},$ для всех положительных a .
• $\lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{x}-1}{x}}\right)=1$
• $\lim _{x\to 0}\left({\frac {e^{ax}-1}{x}}\right)=a$

Логарифмические функции

Натуральные логарифмы

• $\lim _{x\to c}\ln {x}=\ln c$, в связи с непрерывностью $\ln {x}$. В частности,
  • $\lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty$
  • $\lim _{x\to \infty }\log x=\infty$
• $\lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {-\ln \left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)}{x}}=a$. Этот предел следует из правила Лопиталя .
• $\lim _{x\to 0}x\ln x=0$, следовательно $\lim _{x\to 0}x^{x}=1$
• $\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=0$

Логарифмы по произвольным основаниям

Для b > 1

• $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-\infty$
• $\lim _{x\to \infty }\log _{b}x=\infty$

Для b < 1,

• $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=\infty$
• $\lim _{x\to \infty }\log _{b}x=-\infty$

Оба случая можно обобщить до:

• $\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x=-F(b)\infty$
• $\lim _{x\to \infty }\log _{b}x=F(b)\infty$

где $F(x)=2H(x-1)-1$ и $H(x)$ это ступенчатая функция Хевисайда

Тригонометрические функции

Если $x$ выражается в радианах:

• $\lim _{x\to a}\sin x=\sin a$
• $\lim _{x\to a}\cos x=\cos a$

Оба эти ограничения следуют из непрерывности греха и cos.

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$. Или, вообще,
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{ax}}=1$, для не равного 0.
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a$
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}$, для b не равного 0.
• $\lim _{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{x}}=0$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}$
• $\lim _{x\to n^{\pm }}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty$, для целого числа n .
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan x}{x}}=1$. Или, вообще,
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan ax}{ax}}=1$, для не равного 0.
  • $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan ax}{bx}}={\frac {a}{b}}$, для b не равного 0.
• $\lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\sin \sin \cdots \sin(x_{0})} _{n}=0$, где x ₀ — произвольное действительное число.
• $\lim _{n\to \infty }\ \underbrace {\cos \cos \cdots \cos(x_{0})} _{n}=d$, где d — число Дотти . x ₀ может быть любым произвольным действительным числом.

Суммы

Вообще любой бесконечный ряд является пределом своих частичных сумм . Например, аналитическая функция является пределом своего ряда Тейлора в пределах его радиуса сходимости .

• $\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=\infty$. Это известно как гармонический ряд .
• $\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log n\right)=\gamma$. Это постоянная Эйлера Маскерони .

Известные специальные ограничения

• $\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e$
• $\lim _{n\to \infty }\left(n!\right)^{1/n}=\infty$. Это можно доказать, рассмотрев неравенство $e^{x}\geq {\frac {x^{n}}{n!}}$ в $x=n$.
• $\lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi$. Это можно вывести из формулы Вьета для π .

Ограничивающее поведение

Асимптотические эквивалентности

Асимптотические эквивалентности , $f(x)\sim g(x)$, верны, если $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$. Следовательно, их также можно переформулировать как ограничения. Некоторые известные асимптотические эквивалентности включают

• $\lim _{x\to \infty }{\frac {x/\ln x}{\pi (x)}}=1$, по теореме о простых числах , $\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}$, где π(x) — функция, считающая простые числа .
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{n!}}=1$, в силу приближения Стирлинга , $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$.

Обозначение большого О

Поведение функций, описываемых нотацией Big O, также можно описать пределами. Например

• $f(x)\in {\mathcal {O}}(g(x))$ если $\limsup _{x\to \infty }{\frac {|f(x)|}{g(x)}}<\infty$