Глоссарий классической алгебраической геометрии

Терминология алгебраической геометрии радикально изменилась в течение двадцатого века с появлением общих методов, инициированных Давидом Гильбертом и итальянской школой алгебраической геометрии в начале века и позже формализованных Андре Вейлем , Жан-Пьером Серром и Александр Гротендик . От большей части классической терминологии, в основном основанной на тематических исследованиях, просто отказались, в результате чего книги и статьи, написанные до этого времени, стало трудно читать. В этой статье перечислены некоторые из этой классической терминологии и описаны некоторые изменения в соглашениях.

Долгачев ( 2012 ) переводит многие классические термины алгебраической геометрии в терминологию теории схем. Другие книги, определяющие часть классической терминологии, включают Бейкера ( 1922a , 1922b , 1923 , 1925 , 1933a , 1933b ), Кулиджа (1931) , Коксетера (1969) , Хадсона (1990) , Салмона (1879) , Семпла и Рота (1949). .

Конвенции

С другой стороны, хотя большая часть материала, рассмотренного в книге, содержится в классических трактатах по алгебраической геометрии, их несколько архаичная терминология и совершенно забытые базовые знания делают эти книги полезными лишь для горстки специалистов по классической литературе.

( Долгачев 2012 , стр.iii–iv)

Изменение терминологии примерно с 1948 по 1960 год — не единственная трудность в понимании классической алгебраической геометрии. Было также много базовых знаний и предположений, большая часть которых сейчас изменилась. В этом разделе перечислены некоторые из этих изменений.

В классической алгебраической геометрии прилагательные часто использовались как существительные: например, «квартика» также могла быть сокращением от «кривая четвертой степени» или «поверхность четвертой степени».
В классической алгебраической геометрии все кривые, поверхности, многообразия и т. д. имеют фиксированные вложения в проективное пространство, тогда как в теории схем их чаще рассматривают как абстрактные многообразия. Например, поверхность Веронезе была не просто копией проективной плоскости, а копией проективной плоскости вместе с вложением в проективное 5-пространство.
Многообразия часто рассматривались лишь с точностью до бирационального изоморфизма, тогда как в теории схем они обычно рассматриваются с точностью до бирегулярного изоморфизма. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 20–21)
Примерно до 1950 года многие доказательства классической алгебраической геометрии были неполными (а иногда просто ошибочными). В частности, авторы часто не утруждали себя проверкой вырожденных случаев.
Слова (например, азигетические или раздвоенные) иногда образовывались из латинских или греческих корней без дальнейших объяснений, предполагая, что читатели воспользуются своим классическим образованием, чтобы понять их значение.

... мы имеем в виду определенную степень неформальности языка, приносящую точность в жертву краткости, ... и которая долгое время характеризовала большую часть геометрического письма. ...[Значение] всегда зависит от контекста и неизменно предполагается, что читатель может однозначно интерпретировать его.

( Семпл и Рот, 1949 , стр.iii)

Определения в классической алгебраической геометрии часто были несколько расплывчатыми, и бесполезно пытаться найти точное значение некоторых старых терминов, поскольку многие из них никогда не имели точного значения. На практике это не имело большого значения, когда термины использовались только для описания конкретных примеров, поскольку в этих случаях их значение обычно было ясно: например, было очевидно, что представляют собой 16 тропов поверхности Куммера , даже если «троп» был вообще не определен точно.
Алгебраическая геометрия часто неявно выполнялась над комплексными числами (а иногда и над действительными числами).
Часто предполагалось, что читатели знают классическую (или синтетическую) проективную геометрию и, в частности, хорошо знают коники, а авторы использовали терминологию из этой области без дальнейших объяснений.
Некоторые термины, такие как «абелева группа», «полный», «комплекс», «плоский», «гармонический», «гомология», «моноид», «нормальный», «полюсный», «регулярный», теперь имеют значения, которые не связаны со своим первоначальным значением. Значения других терминов, таких как «круг», молчаливо изменены для работы в сложном проективном пространстве; например, круг в сложной алгебраической геометрии представляет собой конику, проходящую через круговые точки на бесконечности, и в основе топологического пространства лежит 2-сфера, а не 1-сфера.
Иногда заглавные буквы молчаливо понимаются как точки, а строчные — как линии или кривые.

Символы

[1], [2], . . . , [ н ]: Проективное пространство размерности $1,2,\ldots ,n$ . Это обозначение было введено Шубертом ( 1886 ).
∞¹, ∞², ...: Семейство размерности 1, 2,...
{1}, {2}, ..., { n }: Семья или разновидность измерения $1,2,\ldots ,n$ . ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 288)

А

Абелева группа: 1. Архаичное название симплектической группы .; 2. Коммутативная группа .
отклонение: Отклонение кривой от круговой формы. См. Салмон (1879 , стр. 356).
абсолютный: 1. Фиксированный выбор чего-либо в проективном пространстве, используемый для построения другой геометрии из проективной геометрии. Например, выбор плоскости проективного пространства, называемой абсолютной плоскостью , можно использовать, чтобы превратить его дополнение в копию аффинного пространства. Выбор подходящей коники или полярности, называемой абсолютом Кэли , абсолютной коникой или абсолютной полярностью , в абсолютной плоскости дает возможность поместить метрику в аффинное пространство, чтобы оно стало метрическим пространством.; 2. Абсолютная геометрия — это примерно евклидова геометрия без постулата параллельности.
случайный: Случайная (или неправильная) двойная точка поверхности в 4-мерном проективном пространстве — это двойная точка с двумя различными касательными плоскостями. ( Бейкер 1933b , т. 6, стр. 157)
акнодировать: Акнод — это изолированная точка реальной кривой. См. Салмон (1879 , стр. 23).
помощник: Если C — кривая, сопряженной к C является кривая такая, что любая точка C кратности r имеет кратность не менее r –1 на сопряженной. Иногда требуется, чтобы кратные точки C были обычными, и если это условие не выполняется, используется термин «подсопряженный». ( Семпл и Рот 1949 , стр.55, 231)
родственный: 1. Аффинное пространство — это примерно векторное пространство, в котором забыли, какая точка является началом координат.; 2. Аффинное многообразие — это многообразие в аффинном пространстве.
близость: Автоморфизм аффинного пространства.
совокупность: Набор.
окружающий: Окружающее многообразие — это большое многообразие, содержащее все интересующие нас точки, кривые, делители и т. д.
ангармоническое соотношение: Перекрестное соотношение
антиточка: Одна из пары точек, построенных из двух фокусов кривой. См. Салмон (1879 , стр. 119).
очевидный: Кажущаяся особенность — это особенность проекции многообразия на гиперплоскость. Они названы так потому, что наблюдателю в точке проецирования кажутся сингулярностями. ( Семпл и Рот 1949 , стр.55, 231)
неполярный: Ортогонально относительно полярного спаривания между симметрической алгеброй векторного пространства и двойственным к ней.
арифметический род: Арифметический род многообразия представляет собой вариацию эйлеровой характеристики тривиального линейного расслоения; см . число Ходжа .
Набор Аронхолда: Один из 288 наборов из 7 из 28 битангенсов кривой четвертого порядка, соответствующих 7 нечетным тэта-характеристикам нормального набора.
связанный: 1. Ассоциированная кривая — это образ проективной кривой в грассманиане, заданный путем взятия касательных линий или соприкасающихся плоскостей и т. д.
осевой
ось: Особая линия или линейное подпространство, связанное с некоторым семейством геометрических объектов. Например, специальный линейный комплекс в 4-мерном пространстве состоит из всех прямых, пересекающих заданную плоскость, называемую осевой плоскостью комплекса. ( Семпл и Рот 1949 , стр.274) Аналогично директрисе.
непарный: Непарный. Противоположность сизигетному, что означает парный. Пример: азигетическая триада, азигетическая тетрада, азигетическая совокупность.

Б

база: 1. Базовая точка – это точка, общая для всех членов семьи.; 2. Базовое число ρ — это ранг группы Нерона–Севери .
двукруглый: Наличие узлов в двух круговых точках на бесконечности, как в бициркулярной кривой . См. Салмон (1879 , стр. 231).
двурог: Двурог – это кривая с двумя точками возврата.
двустворчатый: Наличие двух куспидов
двустепенная: Пара целых чисел, задающих степени биоднородного многочлена от двух наборов переменных.
двуэллиптический: 1. Биэллиптическая кривая — это двойное разветвленное накрытие эллиптической кривой.; 2. Биэллиптическая поверхность — это то же самое, что и гиперэллиптическая поверхность .
раздвоенный: 1. Разделить на две равные части; 2. Бифидное отображение — это элемент векторного пространства размерности 2 g над полем из 2 элементов, состоящий из 2 g +1-мерного пространства подмножеств четной мощности множества S из 2 + 2 g элементов по модулю одномерное пространство {0, S }. ( Долгачев 2012 , с.215); 3. Бифидная замена — это перестановка 28 битангенсов кривой четвертой степени в зависимости от одного из 35 разложений 8 символов на два набора по 4 символа. См. Салмон (1879 , стр. 223).
бифлекнод: То же, что и флефлекнод. См. Салмон (1879 , стр. 210).
двойной: Второй плюриген Р ₂ поверхности.
биоднородный: Однороден по каждому из двух наборов переменных, как в биоднородной форме.
двоичный: В зависимости от двух переменных, как в двоичной форме
бинодальный: Наличие двух узлов
бинод: Двойная точка поверхности, касательный конус которой состоит из двух разных плоскостей. См. Unode. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 424)
двусторонний: Наличие двух связанных компонентов. См. Салмон (1879 , стр. 165).
двухпунктовый: 1. Наличие двух точек; 2. О двуточечной конике относительно 3 точек см. Бейкер (1922b , т. 2, с. 123).
бирациональный: 1. Два многообразия бирациональны, если они изоморфны подмножествам меньшей размерности.; 2. Бирациональное отображение – это рациональное отображение с рациональным «обратным»
бирегулярный: 1. Бирегулярное отображение – это регулярное отображение с регулярным обратным; 2. Два многообразия бирегулярны, если существует бирегулярное отображение одного в другое, другими словами, если они изоморфны как абстрактные многообразия.
подписанный: И описанный, и вписанный, или, другими словами, имеющий вершины, лежащие на кривой, и стороны, касающиеся кривой, как в вписанном треугольнике. ( Долгачев 2012 )
касательная: Биткасательная – это линия, касающаяся кривой в двух точках. См. Салмон (1879 , стр. 328).
битангентиальный: Встреча кривой в точках касания ее бикасательных
Брианшонский шестиугольник: Неплоский шестиугольник, три диагонали которого пересекаются. ( Бейкер 1922а , т. 1, стр. 47)

С

канонический: 1. Каноническая серия – это линейная серия канонического линейного расслоения.; 2. Каноническое расслоение — это линейное расслоение дифференциальных форм высшей степени.; 3. Каноническое отображение или каноническое вложение — это отображение проективного пространства сечений канонического расслоения.; 4. Каноническая кривая (или многообразие) — это образ кривой (или многообразия) при каноническом отображении.; 5. Канонический класс — это класс дивизора канонического дивизора.; 6. Канонический дивизор — это дивизор сечения канонического линейного расслоения.
каталектикант: Каталектикант — это инвариант бинарной формы степени 2 n , который обращается в нуль, если форма представляет собой сумму степеней n линейных форм.
едкий: Каустика – это огибающая световых лучей от точки, отраженная на кривой.
Кэли
Кайлиан: Назван в честь Артура Кейли.; 1.
Основная статья: Кайлиан
См. Лосось (1879 г.); 2. Октада Кэли — это набор из 8 точек проективного пространства, заданный пересечением трех квадрик. ( Долгачев 2012 , 6.3.1); 3. Линии Кэли или линии Кэли–Сэлмона — это 20 линий, проходящих через 3 точки Киркмана.; 4. Абсолют Кэли — это коника или квадрика, используемая для определения метрики.
центр
центр: 1. Особая точка, связанная с каким-либо геометрическим объектом; 2. Центр перспективы; 3. Центр изолога
характер
характеристика: 1. Целое число, связанное с проективным многообразием, например его степенью, рангом, порядком, классом, типом. ( Семпл и Рот 1949 , стр.189) В частности, плюкеровскими характеристиками кривой являются порядок, класс, количество узлов, количество бикасательных, количество точек возврата и количество перегибов. ( Кулидж 1931 , стр.99); 2. Характеристическим показателем является показатель степенного ряда с неотрицательным коэффициентом, не кратный на старший общий делитель предшествующих показателей с ненулевыми коэффициентами. ( Кулидж 1931 , стр.220); 3. Характеристической серией линейной системы дивизоров на поверхности является линейная система 0-циклов на одном из дивизоров, заданная его пересечениями с другими дивизорами.
аккорд: Линия, соединяющая две точки множества
хордальная разновидность: Хордальное многообразие — это объединение хорд и касательных пространств проективного многообразия.
круг: Плоская коника, проходящая через круговые точки на бесконечности. Для реальной проективной геометрии это во многом то же самое, что и круг в обычном смысле, но для сложной проективной геометрии все по-другому: например, круги имеют в основе топологические пространства, заданные 2-сферой, а не 1-сферой.
схема: Компонент вещественной алгебраической кривой. Контур называется четным или нечетным в зависимости от того, имеет ли он четное или нечетное число пересечений с общей линией. ( Кулидж 1931 , стр. 50)
круговой: 1. Круговая точка — это одна из двух бесконечно удаленных точек (1: i : 0), (1: − i : 0), через которые проходят все окружности.; 2. Круговая алгебраическая кривая — это кривая, проходящая через две окружные точки на бесконечности. См. также бициркулярный.
ограниченный: 1. Наличие ребер, касающихся некоторой кривой, как в описанном четырехугольнике .; 2. Прохождение через вершины чего-либо, как по описанной окружности .
циссоид: Циссоида — это кривая , образованная из двух кривых и точки. См. Лосось (1879 г.) .
сорт: 1. Класс плоской кривой — это число собственных касательных, проходящих через общую точку плоскости. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 28); 2. Класс пространственной кривой — это число соприкасающихся плоскостей, проходящих через общую точку пространства. ( Семпл и Рот, 1949 , стр.85); 3. Класс поверхности в r -мерном проективном пространстве — это количество касательных плоскостей, пересекающих на прямой общее подпространство коразмерности 2. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 28); 4. Степень контраварианта или сопутствующего коварианта переменных.
коаксиальный
коаксиальный: Пучок окружностей называется коаксиальным, если все их центры лежат на прямой (называемой осью).; Семейство плоских окружностей, проходящих через одни и те же две точки (кроме круговых точек, находящихся на бесконечности). ( Бейкер 1922b , т. 2, стр. 66)
совпадение: 1. Квадрика совпадения — это квадрика, связанная с корреляцией, заданной геометрическим местом точек, лежащих в соответствующей гиперплоскости. ( Семпл и Рот, 1949 , стр.8); 2. Неподвижная точка соответствия, иначе говоря, точка многообразия, соответствующая самой себе при соответствии. ( Кулидж 1931 , стр. 126)
коллинеарный: На той же линии
коллинеация: Коллинеация — это изоморфизм одного проективного пространства другому, часто самому себе. ( Семпл и Рот 1949 , стр.6) См. корреляцию.
полный: 1. Линейный ряд делителей называется полным, если он не содержится в более крупном линейном ряду ( Семпл и Рот 1949 , с.351) .; 2. Схема называется полной, если отображение в точку правильное.; 3. Полный четырехугольник — это 4 точки и 6 линий, соединяющих пары.; 4. Полный четырехугольник – это 4 прямые, попарно сходящиеся в 6 точках.; 5. Полная коника на плоскости — это коника (возможно, вырожденная) вместе с парой (возможно, равных) точек на ней, если она является двойной прямой.
сложный: 1. (Существительное.) Комплекс прямых , семейство прямых коразмерности 1 в семействе всех прямых в некотором проективном пространстве, в частности трёхмерном семействе прямых в трёхмерном проективном пространстве. ( Семпл и Рот 1949 , стр. 236) См. соответствие.; 2. (Прилагательное.) Относится к комплексным числам.; 3. Комплексная группа (линейных) — старое название симплектической группы .
композитный: Приводимый (имеется в виду наличие более одного неприводимого компонента).
раковистая: Раковина круга — это кривая, образованная циссоидой и другой кривой. См. Лосось (1879 г.) .
сопутствующий: (Смешанный) сопутствующий фактор — это инвариантный однородный полином от коэффициентов формы, ковариантной переменной и контравариантной переменной. Другими словами, это (три)однородный полином на SV ⊕ V ⊕ V * для некоторого векторного пространства V , где SV - некоторая симметричная степень V , а V * - ее двойственная степень, инвариантная относительно специальной линейной группы V . На практике V часто имеет размерность 2. Степень, класс и порядок сопутствующего фактора — это его степени по трем типам переменных. Сопутствующие — это обобщения ковариантов, контравариантов и инвариантов.
одновременно: Встреча в точке
конус: 1. Объединение прямых, соединяющих алгебраическое множество с линейным алгебраическим множеством. Называется точкой-конусом, линией-конусом... если линейное множество представляет собой точку, линию... ( Semple & Roth 1949 , стр.18); 2. Подмножество векторного пространства, замкнутое относительно умножения на скаляры.
конфигурация: Конфигурация — это конечный набор точек и линий (а иногда и плоскостей), обычно с равным количеством точек на линию и равным количеством линий на точку.
конфокальный: Имеющие одинаковые фокусы
соответствие: Семейство прямых в проективном пространстве, такое, что через общую точку проходит ненулевое конечное число прямых ( Semple & Roth 1949 , стр. 238, 288). Смотри комплекс.
конический: Коника – это кривая второй степени. Сокращение от «коническое сечение», пересечение конуса с плоскостью.
сопряженный: 1. Сопряженная точка — это акнод . ( Сальмон 1879 , стр.23); 2. Сопряженная точка — это точка, лежащая на гиперплоскости, соответствующая другой точке под полярностью.; 3. Сопряженная линия — это линия, содержащая точку, соответствующую другой прямой под полярностью (или плоской коникой). ( Бейкер 1922b , т. 2, стр. 26); 4. Гармоническое сопряжение см. в разделе гармоника.
соединять: Соответствие между проективным пространством и его двойственным пространством.
последовательный: Бесконечно малое рядом. Например, касательная к кривой — это линия, проходящая через две последовательные точки кривой, а фокальная точка — это пересечение нормалей двух последовательных точек.
контрвариантный: 1. Биоднородный многочлен от двойственных переменных x , y ,... и коэффициентов некоторой однородной формы по x , y ,..., который инвариантен относительно некоторой группы линейных преобразований. Другими словами, это биоднородный полином на SV ⊕ V для некоторого векторного пространства V , где SV — некоторая симметричная степень V , а V * ее двойственная степень, инвариантная относительно специальной линейной группы V . На практике V часто имеет размерность не менее 3, потому что, когда он имеет размерность 2, это более или менее то же самое, что и коварианты. Степень и класс контраварианта — это его степени по двум типам переменных. Контраварианты обобщают инварианты, являются частными случаями сопутствующих и в некотором смысле двойственны ковариантам.
копланарный: В том же самолете
корреляция: Изоморфизм проективного пространства двойственному проективному пространству, часто двойственному самому себе. Корреляция в проективном пространстве векторного пространства по существу аналогична неособой билинейной форме в векторном пространстве, с точностью до умножения на константы. ( Семпл и Рот, 1949 , стр.7)
основной остаток: См. Лосось (1879 , стр. 131).
переписка: Соответствие от X к Y — это алгебраическое подмножество X × Y
одноединственное число: Имеющие те же особенности
пара: Заказанная пара
ковариантный: 1. Биоднородный многочлен от x , y ,... и коэффициенты некоторой однородной формы от x , y ,..., инвариантный относительно некоторой группы линейных преобразований. Другими словами, это биоднородный полином на SV ⊕ V * для некоторого векторного пространства V , где SV — некоторая симметричная степень V , а V * — ее двойственная степень, инвариантная относительно специальной линейной группы V . На практике V часто имеет размерность 2. Степень и порядок коварианта — это его степени по двум типам переменных. Коварианты обобщают инварианты и являются частными случаями сопутствующих факторов и в некотором смысле двойственны контрвариантам.; 2. Многообразие, определяемое ковариантом. В частности, кривая, определяемая ковариантами Гессе или Штейнера кривой, называется ковариантными кривыми. ( Кулидж 1931 , стр.151)
Преобразование Кремоны: — Преобразование Кремоны это бирациональное отображение проективного пространства в себя.
перекрестное соотношение: Перекрестное отношение является инвариантом 4 точек на проективной прямой.
крунода: Крунод — это архаичный термин, обозначающий узел, двойную точку с четкими касательными направлениями.
кубический: Степень 3, особенно проективная разновидность 3 степени.
кубический: Кубо-кубическое преобразование — это преобразование Кремоны, такое, что все гомалоиды преобразования и обратного ему имеют степень 3. Семпл и Рот (1949 , стр.179).
изгиб: Кривая вместе с вложением в проективное пространство.
острие: Особая точка кривой, касательный конус которой является прямой.
край возврата: Место расположения фокальных точек семейства плоскостей ( Семпл и Рот 1949 , стр.85, 87)
циклида: Циклида — это поверхность четвертой степени , дважды проходящая через абсолютную конику. ( Семпл и Рот, 1949 , стр.141)

Д

децический
десятичный: 1. (Прилагательное) Степень 10; 2. (Существительное) Проективная разновидность 10 степени.
недостаток: 1. Недостатком линейной системы является ее коразмерность в соответствующей полной линейной системе.; 2. Дефект D плоской кривой – это приближение к ее роду, равному роду, когда все особые точки обыкновенны, определяемому формулой ( n –1)( n –2)/2 –( a –1)( a – 2)/2 – ( b –1)( b –2)/2 –..., где n – степень кривой и a . b , ... — кратности его особых точек. ( Семпл и Рот 1949 , стр. 30), ( Салмон 1879 , стр. 28)
степень: 1. Число точек пересечения проективного многообразия с общим линейным подпространством дополнительной размерности.; 2. Число точек делителя на кривой
Загрузки: Фигура или конфигурация Дезарга — это конфигурация из 10 линий и 10 точек в теореме Дезарга .
десмическая система: Десмическая система представляет собой конфигурацию трех десмических тетраэдров .
развивающийся: 1. (Существительное) Одномерное семейство плоскостей в трехмерном проективном пространстве ( Семпл и Рот 1949 , стр.85).; 2. (существительное) Огибающая нормалей кривой; 3. (Существительное) Сокращение от развертывающейся поверхности , которую можно развернуть на плоскость.; 4. Касательная, развертывающаяся к кривой, — это поверхность, состоящая из ее касательных линий.; 5. Ровная, как развертывающаяся поверхность.
дифференциал: 1. Дифференциал первого рода является голоморфной 1-формой.; 2. Дифференциал второго рода — это мероморфная 1-форма такая, что вычеты всех полюсов равны 0. Иногда допускается наличие только одного полюса, который должен быть порядка 2.; 3. Дифференциал третьего рода иногда является мероморфной 1-формой такой, что все полюса простые (порядок 1). Иногда допускается иметь только 2 полюса.
директор: Направляющая окружность коники — это геометрическое место точек, в которых встречаются две ортогональные касательные к конике. В более общем смысле аналогичным образом определяется управляющая коника коники относительно двух точек. ( Бейкер 1922b , т. 2, стр. 26)
директриса: Прямая линия или, в более общем смысле, проективное пространство, связанное с некоторой геометрической конфигурацией, например директрисой конического сечения или директрисой рационального нормального прокрутки.
дискриминант: Инвариант (в векторном пространстве форм степени d от n переменных), обращающийся в нуль ровно тогда, когда соответствующая гиперповерхность в P ^n-1 является единственным.
двойная кривая: Одномерная особенность, обычно поверхности, кратности 2.
двойная точка: 1. 0-мерная особенность кратности 2, например узел.; Одна из двух точек, зафиксированных инволюцией проективной прямой. ( Бейкер 1922b , т. 2, стр.3)
двойная шестерка: Schläfli двойной шестерки Конфигурация
дуада: Набор из двух точек
двойной: 1. Двойственным проективному пространству является множество гиперплоскостей, рассматриваемое как другое проективное пространство.; 2. Двойственная кривая плоской кривой — это совокупность ее касательных линий, рассматриваемая как кривая в двойственной проективной плоскости.; 3. Двойственное число — это число вида a +ε b, где ε имеет квадрат 0. Семпл и Рот (1949 , стр.268)

И

точка Эккардта: Точка Эккардта — это точка пересечения трёх прямых на кубической поверхности .
эффективный: Эффективный цикл или делитель — это цикл, не имеющий отрицательных коэффициентов.
восторг: Коллинеация, которая фиксирует все точки на линии (называемой ее осью ) и все линии, находящиеся за пределами точки на оси (называемой ее центром).
одиннадцатиконечная коническая: Одиннадцатиточечная коника — это коника, содержащая 11 особых точек, связанных с четырьмя точками и линией. ( Бейкер 1922b , т. 2, стр. 49)
встроенный: Встроенное разнообразие — это разнообразие, содержащееся в более крупном разнообразии, иногда называемом окружающим разнообразием.
Эннеаэдро: Набор из 9 трикасательных плоскостей к кубической поверхности, содержащей 27 линий.
конверт: Кривая, касающаяся семейства кривых. См. Салмон (1879 , стр. 65).
эпитрохоид: Эпитрохоида — это кривая , очерчиваемая точкой диска, катящегося по другому диску. Лосось (1879)
эквиаффинный
равносродство: Эквиаффинность — это эквиаффинное преобразование, то есть область, сохраняющая аффинное преобразование.
равногармонический: 1. Четыре точки, чье перекрестное отношение (или ангармоническое отношение) является кубическим корнем из 1.; 2. Эквиангармоническая кубика – это кубическая кривая с j -инвариантом 0.
эквивалентность: В теории пересечений многообразие положительной размерности иногда формально ведет себя так, как если бы оно было конечным числом точек; это число называется его эквивалентностью.
они просыпаются: Контравариант, определенный Сильвестром в зависимости от инварианта. См. Салмон (1879 , стр. 184).
развился: Эволюта — это огибающая нормалей плоской кривой. См. Салмон (1879 , стр. 40).
исключительный: 1. Соответствующий чему-то меньшей размерности при бирациональном соответствии, как в исключительной кривой , исключительный дивизор; 2. Исключительная кривая на поверхности — это такая кривая, которая соответствует простой точке на другой поверхности при бирациональном соответствии. она называется, Исключительной кривой первого рода если она преобразуется в точку другой поверхности, и исключительной кривой второго рода , если она преобразуется в кривую другой поверхности.

Ф

факультативный: Факультативная точка – это точка, в которой данная функция положительна. ( Сальмон 1885 , стр.243) ^{[ нужна проверка ]}
первый вид: голоморфный или регулярный (применительно к дифференциалам)
плоский: 1. (Существительное) Линейное подпространство проективного пространства, такое как точка, линия, плоскость, гиперплоскость.; 2. (Прилагательное) Имеющий нулевую кривизну.; 3. (Прилагательное) Термин «плоский» в теории схем см. плоский модуль , плоский морфизм .
флекузел: Двойная точка, которая также является точкой перегиба одной ветви. ( Кейли, 1852 г. ). ( Сальмон 1879 , стр.210)
флефлекнод: Двойная точка, которая также является точкой перегиба обеих ветвей. ( Кейли, 1852 г. ).
гибкий: Сокращенно от точки перегиба
фокусный: 1. Фокусная точка, линия, плоскость... — это пересечение нескольких последовательных элементов семейства линейных подпространств. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 85, 252); 2. Фокальная кривая, поверхность и т. д. являются местом расположения фокальных точек семейства линейных подпространств. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 252)
фокус: Координационный центр. См. Салмон (1879 , стр. 116), ( Semple & Roth 1949 , стр. 85,251).
лиственная сингулярность: См. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 422).
форма: 1. Однородный многочлен от нескольких переменных. То же, что и квантовый.; 2. Дифференциальная форма .
свободное пересечение: Точка пересечения двух членов семейства, не являющаяся базовой точкой.
свобода: Размерность, как и степени свободы . ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 26).
фундаментальный: Этот термин кажется двусмысленным и плохо определенным: Зариский утверждает: «Я не могу найти в литературе четкого определения фундаментальной кривой».; 1. Фундаментальный набор или фундаментальный локус бирационального соответствия, по-видимому, означает (грубо) либо набор точек, где оно не является биекцией, либо набор точек, где оно не определено.; 2. Фундаментальная точка, кривая или многообразие — это точка, кривая или многообразие фундаментального множества бирационального соответствия.

Г

г ^р _д , в ^р _д: Линейная или алгебраическая система делителей размерности r и степени d на кривой. Буква g используется для линейных систем, а буква γ — для алгебраических систем.
генератор: Одна из линий линейчатой поверхности ( Semple & Roth 1949 , стр. 204) или, в более общем смысле, элемент некоторого семейства линейных пространств.
универсальный: 1. Не обладая какими-то особыми свойствами, которые обычно не оговариваются явно.; 2. Точка общего положения — это точка, координаты которой алгебраически независимы над базовым полем.; 3. Родовая точка схемы.
род: 1. Размерность пространства сечений канонического расслоения, как в роде кривой или геометрическом роде поверхности.; 2. арифметический род поверхности; 3. разнообразный
геометрический род: Геометрический род — это размерность пространства голоморфных n -форм на n -мерном неособом проективном многообразии.
оценка: Степень линейной системы дивизоров на n -мерном многообразии — это количество свободных точек пересечения n общих дивизоров. В частности, степень линейной серии делителей на кривой теперь называется степенью и представляет собой количество точек в каждом делителе ( Semple & Roth 1949 , стр. 345), а степень сети кривых на поверхности равна количество свободных пересечений двух общих кривых. ( Семпл и Рот 1949 , стр.45) ( Семпл и Рот 1949 , стр.159)
Грассманиан: Грассманиан — это многообразие , параметризующее линейные подпространства проективного пространства.
группа: 1. Группа или точечная группа — это архаичный термин, обозначающий эффективный дивизор на кривой. Такое использование особенно сбивает с толку, поскольку некоторые такие делители называются нормальными, в результате чего существуют «нормальные подгруппы», не имеющие ничего общего с нормальными подгруппами теории групп. ( Кулидж 1931 ); 2. Группа в обычном понимании.

ЧАС

гармонический: 1. Две пары точек на прямой гармоничны, если их перекрестное отношение равно –1. Четыре точки называются гармоническим множеством , а точки одной пары называются гармонически сопряженными относительно другой пары.; 2. Гармоническая кубика – это эллиптическая кривая с j -инвариантом 1728, заданная двойным накрытием проективной прямой, разветвленной в 4 точках с двойным отношением –1.; 3. Удовлетворение некоторого аналога уравнения Лапласа в гармонической форме.; 4. Гармоническая полярная линия точки перегиба кубической кривой является составляющей полярной коники, отличной от касательной. ( Долгачев 2012 , 3.1.2); 5. Гармоническая сеть — это совокупность точек прямой, содержащая гармоническое сопряжение любой точки относительно любых двух других точек. ( Бейкер 1922а , т. 1, стр. 133); 6. О гармонически сопряженных кониках см. ( Baker 1922b , т. 2, с. 122).
Гессе
Гессен: Назван в честь Отто Гессе .; 1. Матрица Гессе или связанная с ней разновидность. См. Салмон (1879 , стр. 55).; 2. Линия Гессе — это линия, связанная с тремя точками A , B , C коники, содержащая три точки, заданные пересечениями касательных в точках A , B , C с прямыми BC , CA , AB .; 3. Точка Гессиана — это точка, связанная с тремя прямыми, касающимися коники, конструкция которой двойственна конструкции прямой Гессе.; 4. Пара Гессе или дуада Гессе из трех точек на проективной прямой — это пара точек, зафиксированная проективными преобразованиями третьего порядка, переставляющими эти 3 точки. В более общем смысле пара Гессе также определяется аналогичным образом для троек точек рациональной кривой или троек элементов пучка.; 5. Конфигурация Гессе — это конфигурация точек перегиба плоской кубики.; 6. Группа Гессе — это группа автоморфизмов конфигурации Гессе порядка 216.
шестигранник: Набор из 6 очков
гомалоидный: Элемент гомалоидной системы, в частности образ гиперпанели при преобразовании Кремоны .
гомолоидный: 1. Гомалоидальная линейная система дивизоров — это линейная система степени 1, такая как образ линейной системы гиперплоскостей проективного пространства при преобразовании Кремоны . ( Семпл и Рот 1949 , стр. 45) ( Кулидж 1931 , стр. 442) Когда линейная система имеет размерность 2 или 3, она называется гомалоидальной сетью или гомалоидальной сетью .; 2. Гомалоидный означает подобный плоской плоскости.
гомографический: 1. Имеющие одинаковые инварианты. См. Салмон (1879 , стр. 232).; 2. Гомографическое преобразование — это автоморфизм проективного пространства над полем, другими словами, элемент проективной общей линейной группы. ( Сальмон 1879 , стр.283)
гомография: 1. Изоморфизм проективных пространств, индуцированный изоморфизмом векторных пространств.; 2. Ось гомографии — линия, связанная с двумя связанными областями коники. ( Бейкер 1922b , т. 2, стр. 16)
гомология: 1. Как в группе гомологий; 2. Коллинеация, фиксирующая все прямые через точку (центр) и все точки через линию (ось), не содержащую центр. См. восторг. Эту терминологию ввел Ли.; 3. Автоморфизм проективного пространства с гиперплоскостью неподвижных точек (называемой осью ). Она называется гармонической гомологией, если она имеет порядок 2, и в этом случае она имеет изолированную неподвижную точку, называемую ее центром .
Кривая Гурвица
поверхность Гурвица: Кривая Гурвица — это комплексная алгебраическая кривая рода g >0 с максимально возможным числом 84( g –1). автоморфизмов
гиперболизм: По сути, это раздутие кривой в точке. См. Салмон (1879 , стр. 175).
гиперкасп: Особенность кривой некоторой кратности r , касательный конус которой представляет собой одну прямую, пересекающую кривую порядка r +1. ( Кулидж 1931 , стр. 18)
гиперэллиптический: Гиперэллиптическая кривая — это кривая, степень 2 которой соответствует проективной прямой.
гиперфлексия: То же, что и точка волнистости: точка кривой, в которой касательная линия имеет контакт порядка не менее 4.
гипероскулирующая точка: Точка, где касательное пространство встречается с порядком выше обычного.
гиперплоскость: Линейное подпространство проективного пространства коразмерности 1. То же, что простое число.

я

индекс специальности: Размерность первой группы когомологий линейного расслоения дивизора D ; часто обозначается i или i ( D ). Семпл и Рот (1949 , стр.381)
бесконечно близкая точка: Точка на раздутии разнообразия
перегиб
перегиб: Перегиб — это точка, в которой кривизна исчезает, или, другими словами, где касательная линия пересекается с порядком не ниже 3. В дифференциальной геометрии используется немного более строгое условие, при котором кривизна меняет знак в этой точке. См. Лосось (1879 , стр. 32).
неполярная квадрика: См. ( Бейкер 1923 , т. 3, стр. 52, 88)
вписанный: 1. Наличие вершин на кривой, как на вписанном рисунке .; 2. Касательная к некоторым прямым, как в вписанной окружности .
интеграл: Интеграл — это (более или менее) то, что сейчас называют замкнутой дифференциальной формой, или иногда результатом интегрирования такой формы.; 1. Интеграл первого рода представляет собой голоморфную замкнутую дифференциальную форму.; 2. Интеграл второго рода представляет собой мероморфную замкнутую дифференциальную форму без вычетов.; 3. Интеграл третьего рода — мероморфная замкнутая дифференциальная форма, все полюса которой просты.; 4. Простой интеграл — это замкнутая 1-форма или результат интегрирования 1-формы.; 5. Двойной интеграл — это замкнутая 2-форма или результат интегрирования 2-формы.
инвариант: (Существительное) Многочлен от коэффициентов однородного вида, инвариантный относительно некоторой группы линейных преобразований. См. также ковариантный, контравариантный, сопутствующий.
инверсия: Инверсия — это преобразование второго порядка, меняющее местами внутреннюю и внешнюю часть круга. См. Салмон (1879 , стр. 103).
инвольвентировать: Эвольвента – это кривая , полученная путем разматывания нити вокруг кривой. См. Салмон (1879 , стр. 278).
инволюция: 1. Преобразование, квадрат которого равен единице. Преобразования Кремоны , являющиеся инволюциями, включают инволюции Бертини , инволюции Гейзера и инволюции Де Жонкьера .
неправильность: Нерегулярность поверхности — это размерность пространства голоморфных 1-форм на неособой проективной поверхности; см . число Ходжа .
изолог: Учитывая преобразование Кремомы T , изолог точки p — это набор точек x таких, что p , x , T ( x ) лежат на одной прямой. Точка р называется центром изолога.

Дж

якобиан: 1. Якобианское многообразие кривой; 2. Кривая Якоби; см. ниже
Кривая Якобиана: Геометрическое место двойных точек кривых сети. ( Семпл и Рот, 1949 , стр.115)
Якобианский набор: Множество свободных двойных точек пучка кривых. ( Семпл и Рот, 1949 , стр.119)
Якобианская система: Линейная система, порожденная кривыми Якоби. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 117)
присоединиться: Соединение двух линейных пространств — это наименьшее линейное пространство, содержащее их оба.

К

кенотема: Пересечение n гиперповерхностей в n -мерном проективном пространстве. (Сильвестр 1853 , Глоссарий, стр. 543–548) Архаичный.
кератоид: Похожий на рог. Кератоидный бугорок — это бугор, две ветви которого изгибаются в противоположном направлении; см. острие рамфоидного отростка. Лосось (1879)
точка Киркмана: Одна из 60 точек, лежащих на 3 линиях Плюкера, соответствует 6 точкам на конике.
Кляйн: 1. Феликс Кляйн; 2. Икосаэдрическая поверхность Клейна — это некоторая кубическая поверхность.; 3. Квартика Клейна – это кривая $x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x=0.$
Индекс Кронекера: Число пересечений двух кривых на поверхности
Поверхность Куммера: Основная статья: Поверхность Куммера
Поверхность четвертой степени с 16 узлами

л

Сеть Лагерра: Сеть V плоских кривых некоторой степени d такая, что базовое множество общего пучка V является базовым множеством V вместе с d –1 коллинеарными точками ( Долгачев 2012 , теорема 7.3.5) ( Кулидж 1931 , стр. 423) )
лемниската: Лемниската — это кривая, напоминающая цифру 8. См. Салмон (1879 , с.42).
Лимасон: Лимасон — это кривая , очерченная точкой на окружности, катящейся по такой же окружности. См. Лосось (1879 , стр. 43).
линия: Линия в проективном пространстве; другими словами, подмногообразие степени 1 и размерности 1.
координаты линии: Проективные координаты. См. Лосось (1879 , стр. 7).
линейный: Степень 1
линейная система: Линейная система делителей , заданная нулями элементов векторного пространства сечений линейного расслоения.
локус: 1-Подмножество проективного пространства, заданное точками, удовлетворяющими некоторому условию

М

многообразие: Алгебраическое многообразие — это цикл проективного пространства, другими словами, формальная линейная комбинация неприводимых подмногообразий. Алгебраические многообразия могут иметь особенности, поэтому лежащие в их основе топологические пространства не обязательно должны быть многообразиями в смысле дифференциальной топологии. Семпл и Рот (1949 , стр.14–15)
встретиться: Встреча двух сетов – это их пересечение.
Тетрады Мёбиуса: Основная статья: Конфигурация Мёбиуса
Две тетрады такие, что плоскость, содержащая любые три точки одной тетрады, содержит точку другой. ( Бейкер 1922а , т. 1, стр. 62)
модель: 1. Многообразие, точки (или иногда гиперплоские сечения) которого соответствуют элементам некоторого семейства. Подобно тому, что сейчас называется пространством параметров или пространством модулей.; 2. Моделью расширения K поля k является проективное многообразие над k вместе с изоморфизмом между K и его полем рациональных функций.
модуль: Функция алгебраических многообразий, зависящая только от типа изоморфизма; другими словами, функция в пространстве модулей
Тетрады Мебиуса: См. #Тетрады Мёбиуса.
моноид: Поверхность степени n с точкой кратности n –1. ( Семпл и Рот, 1949 , стр.187)
моноидальное преобразование: Преобразование Кремоны проективного пространства, порожденное семейством моноидов с одной и той же точкой кратности n –1. В более общем смысле, разрушение подмногообразия, называемого центром моноидального преобразования. ( Семпл и Рот, 1949 , стр.187)
несколько: Кратная точка — это особая точка (с нерегулярным локальным кольцом).
множественность: Кратность точки на гиперповерхности — это степень первого ненулевого коэффициента ряда Тейлора в этой точке. В более общем смысле можно определить кратность любой точки многообразия как кратность ее локального кольца . Точка имеет кратность 1 тогда и только тогда, когда она неособая.

Н

Группа Неро – Севери: Группа Нерона – Севери представляет собой группу модулей числовой эквивалентности дивизоров.
гнездо: Говорят, что две компоненты (схемы) вещественной алгебраической кривой вложены друг в друга, если одна находится внутри другой. ( Кулидж 1931 )
сеть: 1. Двумерная линейная система. См. «карандаш» и «паутина». См. также сеть Лагерра.; 2. Гармоническая сеть — это совокупность точек прямой, содержащая гармоническое сопряжение любой точки относительно любых двух других точек. ( Бейкер 1922а , т. 1, стр. 133)
Многоугольник Ньютона: Основная статья: Многоугольник Ньютона
Выпуклая оболочка точек с координатами, заданными показателями членов многочлена.
узловой: Узловая касательная к особой точке кривой — это одна из линий ее касательного конуса . ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 26)
узел: Особая точка p гиперповерхности f = 0, обычно с определителем гессиана f, отличным от нуля в точке p . ( Кейли 1852 г. )
вершина узла: Особенность кривой, у которой узел и точка возврата совпадают в одной точке. ( Сальмон 1879 , стр. 207)
нормальный: 1. Подмногообразие проективного пространства линейно нормально, если линейная система, определяющая вложение, полна; см. рациональную нормальную кривую .; 2. Ортогонально касательному пространству, например линия, ортогональная касательному пространству или нормальному расслоению .; 3. Нормальное пересечение — это пересечение с «ожидаемой» коразмерностью (при условии суммы коразмерностей). ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 16); 4. Локальные кольца целозамкнуты; смотри нормальную схему .
нулевая полярность: Корреляция, заданная кососимметричной матрицей. Нуль-полярность проективного пространства векторного пространства по существу представляет собой невырожденную кососимметричную билинейную форму с точностью до умножения на скаляры. См. также полярность. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 9)

ТО

октада: Набор из 8 очков
октябрьский период: 1. (Прилагательное) Степень 8; 2. (Существительное) Проективная разновидность 8-й степени
пупок: кривая Бесконечная , представляющая собой пересечение любой сферы с бесконечной плоскостью. Все точки омбилики нереальны.
заказ: 1. Теперь называется степенью алгебраического многообразия : количество точек пересечения с общим линейным подпространством дополнительной размерности. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 15); 2. Порядок коварианта или сопутствующего: его степень по контравариантным переменным.; 3. Порядок преобразования Кремоны есть порядок (степень) его гомалоидов. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 46)
обычный: Обычная точка кратности m кривой — это точка с m различными касательными линиями.
рассвет: Двойная точка плоской кривой, которая также является точкой соприкосновения; другими словами, две ветви встречаются в порядке не менее 3. ( Кейли, 1852 г. )
целовать: Целовать; встретиться с высоким порядком. См. Салмон (1879 , стр. 356).
соприкасающаяся плоскость: Касательная плоскость пространственной кривой, имеющая с ней контакт третьего порядка.
внеполярная квадрика: См. ( Baker 1922b , т. 2, стр. 33) и ( Baker 1923 , т. 3, стр. 52)

П

Папп: 1. Папп Александрийский .; 2. Конфигурация Паппуса — это конфигурация из 9 прямых и 9 точек, которая встречается в теореме Паппуса о шестиугольнике .
параболическая точка: Точка разнообразия, которая также лежит в гессиане.
параллельный: 1. Встреча на линии или плоскости в бесконечности, как у параллельных линий.; 2. Параллельная кривая — это огибающая окружности фиксированного радиуса, движущаяся по другой кривой. ( Кулидж 1931 , стр.192)
партитивность: Число компонент связности вещественной алгебраической кривой. См. Салмон (1879 , стр. 165).
Паскаль: Сокращенно от линии Паскаля , линии, определяемой 6 точками коники в теореме Паскаля.
педаль: Педальная кривая C X относительно точки P педали является геометрическим местом точек X таких, что линия, проходящая через , ортогональная PX, касается C . ( Сальмон 1879 , стр.96)
карандаш: Одномерная линейная система. См. карандаш (математика) и карандаш Лефшеца .
пентада: Набор из 5 очков
пятигранник: Объединение пяти плоскостей, в частности пятигранник Сильвестра кубической поверхности.
период: Интеграл дифференциальной формы по подмногообразию
перспективность: Изоморфизм между двумя проективными линиями (или диапазонами) проективного пространства, при котором все линии, соединяющие каждую точку одной линии с соответствующей точкой другой линии, проходят через фиксированную точку, называемую центром перспективы или перспектором.
наблюдатель: Центр перспективы
перспектива: Прямая в теореме Дезарга , на которой лежат пересечения пар сторон двух перспективных треугольников.
ущипнуть: Точка защемления — это особая точка поверхности, где две касательные плоскости точки двойной кривой совпадают в двойной плоскости, называемой плоскостью защемления . ( Семпл и Рот, 1949 , стр.175)
пиппиан: Представлен Кэли ( 1857 г. ). Теперь называется Кайлиан . См. также шутку.
щипчик: Основная статья: Юлиус Плюкер; 1. Характеристики Плюкера см. в характеристике.; 2. Линия Плюккера — это одна из 15 линий, содержащая 4 из 20 точек Штейнера, связанных с 6 точками на конике. Линии Плюкера встречаются по трое на отметке 60 точек Киркмана. ( Долгачев 2012 , с.124)
разнообразный: Многочисленное множество; D - е многородие многообразия — это размерность пространства сечений d- й степени канонического линейного расслоения.
точечная звезда: Семейство прямых с общей точкой
полярный: 1. (Прилагательное) Связанный полярностью; 2. Полярная коника — это нулевое множество квадратичной формы, связанной с полярностью, или, что то же самое, множество самосопряженных точек полярности.; 3. (Существительное) Первая поляра, вторая поляра и так далее — это многообразия степеней n –1, n –2, ... образованные из точки и гиперповерхности степени n путем поляризации уравнения гиперповерхности. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 11); 4. Полярная или полярная линия — это линия, соответствующая точке под полярностью проективной плоскости.
полярность: Корреляция, заданная симметричной матрицей, или корреляция периода 2. Полярность проективного пространства векторного пространства по существу представляет собой невырожденную симметричную билинейную форму с точностью до умножения на скаляры. См. также нулевая полярность. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 9)
нет: 1. Точка, соответствующая гиперплоскости при полярности.; 2. Особенность рациональной функции.
полкоконический
полукубический
полоквартик: Полоконика (также называемая конической полярой) линии на плоскости относительно кубической кривой - это геометрическое место точек, первая поляра которых касается линии. ( Долгачев 2012 , стр. 156–157)
многоугольный: Многоугольная (или k -угольная) кривая — это кривая вместе с отображением (степени k ) проективной прямой. Степень отображения называется гональностью кривой. Когда степень равна 1, 2 или 3, кривая называется рациональной, гиперэллиптической или тригональной.
поризм: 1. Поризм — это следствие, особенно в геометрии, как в поризме Понселе . Точный смысл кажется спорным.; 2. Расположение геометрических фигур (таких как линии или круги), вписанных в одну кривую и описанных вокруг другой, как в поризме Понселе или поризме Штейнера . Кажется, существует некоторая путаница относительно того, относится ли «поризм» к геометрической конфигурации или к формулировке результата.
пористический: Имеющий либо отсутствие решений, либо их бесконечно много ( Семпл и Рот 1949 , стр.186). Например, поризм Понселе и поризм Штейнера предполагают, что если существует один способ расположить линии или круги, то существует бесконечно много способов.
постулированный: Постулируемый объект (точка, линия и т. д.) — это объект в некотором большем пространстве. Например, точка на бесконечности проективного пространства является постулированной точкой аффинного пространства. ( Бейкер 1922а , т. 1, ^{[ нужна страница ]})
постулирование: Постулирование разновидности некоторого семейства — это количество независимых условий, необходимых для того, чтобы элементы семейства содержали разновидность. ( Семпл и Рот, 1949 , стр.440)
мощность точки: Лагер определил степень точки по отношению к алгебраической кривой степени n как произведение расстояний от точки до пересечений с окружностью, проходящей через нее, деленное на n -ю степень диаметра. Он показал, что это не зависит от выбора окружности, проходящей через точку. ( Кулидж 1931 , стр.176)
основной: Старый термин для обозначения гиперплоскости в проективном пространстве . ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 1)
первобытный: Старый термин для проективной гиперповерхности . ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 10)
проективность: Изоморфизм между двумя проективными прямыми (или диапазонами). Проективность — это продукт не более чем трех перспектив.
близость: Число, зависящее от двух ветвей в точке, определенное Кулиджем (1931 , стр. 224).
ближайший: Ближайшие точки см. ( Зариский 1935 , с.9).
чистый: Все компоненты имеют одинаковые размеры. Теперь называется равномерным . ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 15)

вопрос

квадратичное преобразование: 1. Преобразование Кремоны степени 2. Стандартное квадратичное преобразование аналогично отображению, переводящему каждую координату в обратную.; 2. Мономиальное преобразование с центром в точке или, другими словами, раздутие в точке.
квадрика: Степень 2, особенно проективная разновидность 2 степени. Не путать с квантическим или квартическим.
квадратичная: Квадрисеканс . – это прямая, пересекающая что-либо в четырех точках
квадрокубический, квадрочетвертичный: Квадрокубическое или квадрочетвертичное преобразование — это преобразование Кремоны, такое, что гомалоиды преобразования имеют степень 2, а гомалоиды обратного преобразования — степень 3 или 4. ( Semple & Roth 1949 , стр. 180, 188)
Квантик: Однородный многочлен от нескольких переменных, теперь обычно называемый формой. Не путать с квартикой или квадрикой.
кварто-четвертичный: Квартоквартичное преобразование — это преобразование Кремоны, такое, что все гомалоиды преобразования и обратного ему имеют степень 4. ( Семпл и Рот 1949 , стр.187)
четвертичный период: В зависимости от четырех переменных, как в четвертичной форме.
квартик: Степень 4, особенно проективная разновидность 4 степени. Не путать с квантовыми или квадриками.
квинтик: Степень 5, особенно проективная разновидность 5 степени.
остроумный: Киппиан 1857 — это контравариант 3-й степени 5-й степени плоской кубики, введенный Кэли ( ) и обсуждавшийся Долгачевым (2012 , стр.157). См. также пиппиан.
кольцо частных: Факторкольцо точки (или, в более общем плане, подмногообразие) — это то, что сейчас называется ее локальным кольцом , образованное добавлением обратных ко всем функциям, которые не обращаются в нуль тождественно на ней.

Р

рамфоидный: Похожий на клюв. Острие рамфа – это острие, две ветви которого изгибаются в одном направлении; см. кератоидный бугорок.
классифицировать: 1. Ранг проективной кривой — это количество касательных к кривой, пересекающих общее линейное подпространство коразмерности 2. ( Семпл и Рот 1949 , стр.84); 2. Ранг проективной поверхности — это ранг кривой, заданной пересечением поверхности с гиперплоскостью общего положения. ( Семпл и Рот 1949 , стр.193) См. порядок, класс, тип.
диапазон: 1. Совокупность всех точек прямой. ( Коксетер 1969 , стр.242); 2. Размеченное или конечное упорядоченное множество точек на прямой.
рациональный: 1. Бирациональное проективному пространству.; 2. Определено над рациональными числами.
луч: Линия, особенно одна из семейства линий
обычный: 1. Правильная поверхность — это поверхность, неровность которой равна нулю.; 2. Не имеющий особенностей; см. обычный местный звонок .; 3. Симметричный, как у правильного многоугольника , правильного многогранника .; 4. Определено везде, как в обычном (бирациональном) отображении.
Регулус: Один из двух пучков прямых на произведении двух проективных плоскостей или квадричной поверхности.
связанный: Два диапазона (помеченных множества) точек на прямой называются связанными, если существует проективность, переводящая один диапазон в другой.
представительное многообразие: Пространство параметров или пространство модулей для некоторого семейства многообразий.
остаток: Остаточное пересечение двух многообразий состоит из «неочевидной» части их пересечения.
результирующий: 1. Результат двух многочленов, заданный определителем матрицы Сильвестра двух двоичных форм, который обращается в нуль, если они имеют общий корень.; 2. Преобразование Кремоны , образованное из n корреляций n -мерного проективного пространства. ( Семпл и Рот, 1949 , стр.180)
обеспечить регресс: Обратная (функции или бирационального отображения)
правил: Покрыто линиями, как на разлинованной поверхности . См. также прокрутку.

С

С _н: Проективное пространство размерности n .
Лосось конический: Коника Лосося пары плоских коник — это геометрическое место точек, пары касательных к двум коникам гармонически сопряжены. ( Долгачев 2012 , стр. 119)
спутник: 1. Если линия пересекает кубическую кривую в 3 точках, то все остаточные пересечения касательных этих точек с кубикой лежат на линии, называемой линией-спутником исходной линии. См. Салмон (1879 , стр. 127).; 2. Некоторая плоская кривая степени ( n –1)( n –2), построенная из плоской кривой степени n и точки общего положения. ( Кулидж, 1931 , стр. 159–161); 3. О точках-спутниках см. ( Зариский 1935 , с.8). Возможно, что-то связано с базовыми точками.
прокрутка: Линейчатая поверхность с вложением в проективное пространство, так что линии линейчатой поверхности также являются линиями проективного пространства.
секущая: 1. Линия, пересекающая многообразие в двух точках, или, в более общем смысле, n -мерное проективное пространство, встречающее многообразие в n +1 точках.; 2. Секущие многообразия – это объединение секущих многообразия.
второй вид: Все вычеты в полюсах равны нулю
в соответствии с: Пересечение двух простых чисел (гиперплоскостей) в проективном пространстве. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 2)
секрет: 1. Назван в честь Бениамино Сегре или Коррадо Сегре.; 2. Многообразие Сегре или вложение Сегре — это произведение двух проективных пространств или вложение его в большее проективное пространство.; 3. Кубика Сегре — это кубическая гиперповерхность в 4-мерном проективном пространстве.
самосопряженный
самополярный: 1. Инцидент с его изображением под полярностью. В частности, самосопряженные точки полярности образуют полярную конику.; 2. Самосопряженный (или самополярный) треугольник (или триада) — это треугольник, каждая вершина которого соответствует противоположному ребру при определенной полярности.; 3. Самосопряженная тетрада — это набор из 4 точек, полюс каждой стороны которого лежит на противоположной стороне. ( Долгачев 2012 , с.123)
септик
септимический: 1. (Прилагательное) Степень 7; 2. (Существительное) Проективная разновидность 7 степени.; 3. (Существительное) Форма 7 степени
секстатическая точка: Одна из 27 точек эллиптической кривой порядка, делящего 6, но не 3. ( Сальмон 1879 , стр.132)
секстик: Степень 6, особенно проективная разновидность 6 степени.
простой: Простая точка многообразия является неособой точкой. В более общем смысле простое подмногообразие W многообразия V — это многообразие с регулярным локальным кольцом, что грубо означает, что большинство точек W являются простыми точками V .
единственное число: В каком-то смысле особенный, включая, помимо прочего, нынешнее ощущение сингулярности.
перекос: Пересечение в множестве, которое либо пусто, либо имеет «ожидаемое» измерение. Например, косые линии в проективном 3-мерном пространстве не пересекаются, а косые плоскости в проективном 4-мерном пространстве пересекаются в точке.
твердый: Трехмерное линейное подпространство проективного пространства или, другими словами, трехмерный аналог точки, линии или плоскости. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 4)
специальный делитель: Эффективный дивизор, первая группа когомологий которого (соответствующего обратимого пучка) отлична от нуля.
спинод: Куспид. ( Кейли, 1852 г. ), Салмон (1879 г. , стр.23)
звезда: Совокупность линий (а иногда плоскостей и так далее) с общей точкой, называемой центром звезды. ( Бейкер 1922а , т. 1, стр. 109)
стационарная точка: Куспид. См. Салмон (1879 , стр. 23).
Штайнер
Штайнериан: 1. Назван в честь Якоба Штайнера.; 2. Штейнериан — это место особых точек полярных квадрик гиперповерхности. Лосось (1879); 3. Поверхность Штейнера — это некоторое вложение проективной плоскости в проективное 3-пространство.; 4. Точка Штейнера — это одна из 20 точек, лежащих на 3 прямых Паскаля, связанных с 6 точками на конике.
Штайнер-Гессен: Одно из названий Кэли для кейлианцев . См. Салмон (1879 , стр. 352).
поверхность: Абстрактная поверхность вместе с вложением в проективное пространство.
избыток дивизора на поверхности.: Размерность первой группы когомологий соответствующего пучка.
симметроид: Нули определителя симметричной матрицы линейных форм
синтема: Разбиение набора из 6 элементов на 3 пары, или элемент симметричной группы по 6 точкам формы цикла 222. ( Долгачев 2012 )
система: Семейство алгебраических множеств в проективном пространстве; например, система линий представляет собой семейство линий.
сизигетный: В паре. Противоположность непарному, что означает непарный. Пример: сизигетная триада, сизигетная тетрада, сизигетное множество, сизигетный карандаш .
сизигий: 1. Точка находится в сизигии с некоторыми другими точками, если она находится в порожденном ими линейном подпространстве. ( Baker 1922a , том 1, стр. 33) Сизигия — это линейное отношение между точками в аффинном пространстве.; 2. Алгебраическая связь между образующими кольца, особенно кольца инвариантов или ковариантов.; 3. Линейная связь между образующими модуля или, в более общем плане, элементом ядра гомоморфизма модулей.; 4. Глобальная сизигия — разрешение модуля или связки.

Т

такнод: Такнод — это точка кривой, где две ветви встречаются в одном направлении. ( Кейли 1852 г. )
такнод-касп: Особенность плоской кривой, в которой такнод и точка возврата совмещены в одной точке. ( Сальмон 1879 , стр.207)
такт-инвариант: Инвариант двух кривых, который исчезает, если они касаются друг друга. См. Салмон (1879 , стр. 76).
касательный конус: Касательный конус — это конус, определяемый ненулевыми членами наименьшей степени ряда Тейлора в точке гиперповерхности.
тангенциальное уравнение: Тангенциальное уравнение плоской кривой — это уравнение, определяющее условие касания прямой к кривой. Другими словами, это уравнение двойственной кривой. Это не уравнение касательной к кривой.
тройной: В зависимости от трех переменных, как в троичной форме
tetrad: Набор из 4 очков
тетраграмматон: Синоним полного четырехугольника
тетраэдроид: Тетраэдроид — это особый вид поверхности Куммера .
тетраэдр: Геометрическая конфигурация, состоящая из 4 точек и 6 линий, соединяющих пары. Это похоже на линии и бесконечные ребра многогранного тетраэдра , но в алгебраической геометрии иногда не включают грани тетраэдра.
тетрастигма: Синоним к слову полный четырехугольник
третий вид: Все полюса простые (заказ 1)
тройной: 1. (Прилагательное) Трехмерный; 2. (Существительное) Трехмерное разнообразие.
торсальный генератор.: Генератор свитка (линейчатой поверхности), который соответствует своему последовательному генератору. См. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 204).
туловище: Развертывающаяся поверхность .
трансвектант: Инвариант, зависящий от двух форм.
поперечный: Линия, пересекающаяся с несколькими другими линиями. Например, четыре общие прямые в проективном трехмерном пространстве имеют две пересекающие их все трансверсали.
триада: Набор из 3 очков
трехкруглый: Трехкруговая кривая — это кривая, которая проходит через круговые точки на бесконечности с порядком 3.
трехстворчатый: Наличие трех куспидов
тригональный: Тригональная кривая — это кривая, имеющая соответствие проективной линии третьей степени. См. гиперэллиптический.
трехгранный: Набор из трёх плоскостей. Трехгранник Штейнера — это набор трёх трёхкасательных плоскостей кубической поверхности, точка пересечения которых не находится на поверхности. ( Семпл и Рот, 1949 , стр.152)
трилинейные координаты: Координаты, основанные на расстоянии от сторон треугольника: Трилинейные координаты .
трехузловой: Наличие трех узлов
трехсторонний: Имеющий три связных компонента. Лосось (1879 , с.165)
тройная секущая: Линия, встречающая разнообразие в 3 точках. См. тройное тождество .
тритангенс: Встреча чего-либо в трех точках касания, например, трехкасательного конуса кубической кривой или трикасательной плоскости кубической поверхности.
образ: Троп . — это особое (то есть особое) касательное пространство ( Кейли 1869 , стр.202) Это слово чаще всего используется для обозначения касательного пространства куммеровой поверхности, касающегося ее по конике.
искривленный: Скрученная кубика - это вложение проективной прямой степени 3 в проективное трехмерное пространство.
общий: Набор из 5 разбиений набора из 6 элементов на три пары так, что никакие два элемента из суммы не имеют общей пары. Например, {(12)(36)(45), (13)(24)(56), (14)(26)(35), (15)(23)(46), (16)(25) (34)} ( Долгачев 2012 )
тип: Тип проективной поверхности — это количество касательных плоскостей, встречающихся с общим линейным подпространством коразмерности 4. ( Семпл и Рот 1949 , стр.193)

В

волнистость: Точка волнистости кривой - это место, где касательная пересекает кривую четвертого порядка; также называется гиперфлексом. См. точку перегиба. ( Сальмон 1879 , стр.35, 211)
одноветвистый: Наличие только одной ветки в точке. Например, точка возврата плоской кривой является одноветвевой, а узел — нет.
уникурсальный: Уникурсальная кривая — это та кривая, которая рациональна , другими словами, бирациональна проективной прямой. См. Салмон (1879 , стр. 29).
односторонний: Подключено . См. Лосось (1879 , стр. 165).
нерациональный: 1. Соответствие называется унирациональным, если оно генерически инъективно, т. е. рациональное отображение. ( Семпл и Рот, 1949 , стр. 20); 2. Многообразие называется унирациональным , если оно конечно накрыто рациональным многообразием.
единая точка: Точка пересечения диагонали и соответствие множества самому себе.
отменить: Двойная точка поверхности, касательный конус которой состоит из одной двойной плоскости. См. бинод.

V

валентность
валентность: Валентность или валентность соответствия T на кривой - это число k такое, что все делители T ( P ) + kP линейно эквивалентны. Соответствие не обязательно должно иметь валентность. ( Семпл и Рот, 1949 , стр.368)
Поверхность Веронезе: Основная статья: Поверхность Веронезе
Вложение проективной плоскости в 5-мерное проективное пространство.
виртуальный: Оценка чего-то, что часто, но не всегда верно, например виртуального рода, виртуального измерения и т. д. Если некоторое число задается размерностью пространства сечений некоторого пучка, соответствующее виртуальное число иногда задается соответствующей эйлеровой характеристикой и равно размерности, когда все высшие группы когомологий обращаются в нуль. Увидеть избыток.

В

сеть: Трехмерная линейная система. См. «сетка» и «карандаш». ( Семпл и Рот, 1949 , стр.160)
Поверхность сцепления: Основная статья: Поверхность Weddle
Поверхность четвертой степени в проективном пространстве, заданная геометрическим местом вершины конуса, проходящей через 6 точек общего положения.
Точка Вейерштрасса: Основная статья: точка Вейерштрасса
Точка на кривой, в которой размерность пространства рациональных функций, единственной особенностью которой является полюс некоторого порядка в этой точке, выше нормальной.
Виртингер секстик: Основная статья: Секстик Виртингера
Плоская кривая степени 4 рода 6 с узлами в 6 точках полного четырехугольника .

XYZ

Инвариант Цойтена – Сегре: Инвариант Цойтена –Сегре в 4 раза меньше эйлеровой характеристики неособой проективной поверхности.

См. также

Ссылки

Бейкер, Генри Фредерик (1922a), Принципы геометрии. Том 1. Фонды , Коллекция Кембриджской библиотеки, Издательство Кембриджского университета , doi : 10.1017/CBO9780511718267.007 , ISBN 978-1-108-01777-0 , МР 2849917
Бейкер, Генри Фредерик (1922b), Принципы геометрии. Том 2. Плоская геометрия, коники, круги, неевклидова геометрия , Коллекция Кембриджской библиотеки, Издательство Кембриджского университета , doi : 10.1017/CBO9780511718298.009 , ISBN 978-1-108-01778-7 , МР 2857757
Бейкер, Генри Фредерик (1923), Принципы геометрии. Том 3. Твердотельная геометрия. Квадрики, кубические кривые в пространстве, кубические поверхности. , Коллекция Кембриджской библиотеки, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-1-108-01779-4 , МР 2857520
Бейкер, Генри Фредерик (1925), Принципы геометрии. Том 4. Высшая геометрия. Являясь иллюстрацией полезности рассмотрения высшего пространства, особенно четырех- и пятимерного , Коллекция Кембриджской библиотеки, Cambridge University Press , ISBN 978-1-108-01780-0 , МР 2849669
Бейкер, Генри Фредерик (1933a), Принципы геометрии. Том 5. Аналитические основы теории кривых , Коллекция Кембриджской библиотеки, Cambridge University Press , ISBN 978-1-108-01781-7 , МР 2850139
Бейкер, Генри Фредерик (1933b), Принципы геометрии. Том 6. Введение в теорию алгебраических поверхностей и высших пространств. , Коллекция Кембриджской библиотеки, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-1-108-01782-4 , МР 2850141
Кэли, Артур (1852), «Об особенностях поверхностей» , Кембриджский и Дублинский математический журнал , 7 : 166.
Кэли, Артур (1857), «Мемуары о кривых третьего порядка», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 147 , The Royal Society: 415–446, doi : 10.1098/rstl.1857.0021 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 108626
Кэли, Артур (1869), «Мемуары по теории взаимных поверхностей», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 159 , The Royal Society: 201–229, doi : 10.1098/rstl.1869.0009 , ISSN 0080-4614 , ДЖСТОР 108996 , С2КИД 109359205
Кулидж, Джулиан Лоуэлл (1931), Трактат об алгебраических плоских кривых , Oxford University Press , ISBN 978-0-486-49576-7 , МР 0120551
Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0 , МР 0123930
Долгачев, Игорь В. (2012), Классическая алгебраическая геометрия: современный взгляд (PDF) , Cambridge University Press , ISBN 978-1-107-01765-8 , заархивировано из оригинала (PDF) 31 мая 2014 г. , получено 6 апреля 2012 г.
Хадсон, RWHT (1990), квартическая поверхность Куммера , Кембриджская математическая библиотека, издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-39790-2 , МР 1097176
Джессоп, Чарльз Миншалл (1916), Поверхности четвертой степени с особыми точками , Cambridge University Press, ISBN 978-1-112-28262-1
Салмон, Джордж (1879) [1852], Трактат о кривых высших плоскостей , Нью-Йорк: Ходжес, Фостер и Фиггис, ISBN 978-1-4181-8252-6 , МР 0115124
Салмон, Джордж (1885) [1859], Вводные уроки в современную высшую алгебру (4-е изд.), Дублин, Ходжес, Фиггис и компания, ISBN 978-0-8284-0150-0
Шуберт, Герман (1886), « N -мерные обобщения фундаментальных чисел нашего пространства» , Mathematical Annals , 26 , Springer Berlin/Heidelberg: 26–51, doi : 10.1007/BF01443568 , ISSN 0025-5831 , S2CID 119948968
Семпл, Джон Г .; Рот, Леонард (1949), Введение в алгебраическую геометрию , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853363-4 , МР 0814690
Сильвестр, Джеймс Джозеф (1853), «О теории сизигетических отношений двух рациональных интегральных функций, включающая приложение к теории функций Штурма и теории наибольшей алгебраической общей меры» , Философские труды Лондонского королевского общества , 143 , Королевское общество: 407–548, doi : 10.1098/rstl.1853.0018 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 108572 , S2CID 186210189
Зариский, Оскар (1935), Алгебраические поверхности , Классика математики, том. 61, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-642-61991-5 , ISBN. 978-3-540-58658-6 , МР 1336146