Вторая производная

Вторая производная функции постоянна . квадратичной

В исчислении вторая производная или второго порядка функции f f является производной производной производная . Неофициально вторую производную можно сформулировать как «скорость изменения скорости изменения»; например, вторая производная положения объекта по времени — это мгновенное ускорение объекта или скорость, с которой скорость объекта изменяется во времени. В обозначениях Лейбница :

$$a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},$$

где a — ускорение, v — скорость, t — время, x — положение, а d — мгновенная «дельта» или изменение. Последнее выражение ${\tfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}$ является второй производной позиции ( x ) по времени.

На графике функции вторая производная соответствует кривизне или вогнутости графика. График функции с положительной второй производной вогнут вверх, а график функции с отрицательной второй производной изогнут в противоположную сторону.

Правило

Степенное правило для первой производной, если применить его дважды, приведет к получению второго степенного правила производной следующим образом:

$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}x^{n}={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left(nx^{n-1}\right)=n{\frac {d}{dx}}x^{n-1}=n(n-1)x^{n-2}.$$

Обозначения

Дополнительная информация: Обозначения для дифференцирования.

Вторая производная функции $f(x)$ обычно обозначается $f''(x)$. То есть:

$$f''=\left(f'\right)'$$

При использовании обозначений Лейбница для производных вторая производная зависимой переменной y по независимой переменной x записывается

$${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$$

Это обозначение получено из следующей формулы:

$${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$$

Пример

Учитывая функцию

$$f(x)=x^{3},$$

производная f - это функция

$$f'(x)=3x^{2}.$$

Вторая производная f является производной $f'$, а именно

$$f''(x)=6x.$$

Связь с графиком

Сюжет $f(x)=\sin(2x)$ от $-\pi /4$ к $5\pi /4$. Касательная линия синяя, где кривая вогнута вверх, зеленая, где кривая вогнута вниз, и красная в точках перегиба (0, $\pi$/2 и $\pi$).

Вогнутость

Вторую производную функции f можно использовать для определения вогнутости графика f . Функция, вторая производная которой положительна, называется вогнутой вверх (также называемой выпуклой), что означает, что касательная линия вблизи точки, где она касается функции, будет лежать ниже графика функции. Точно так же функция, вторая производная которой отрицательна, будет вогнутой вниз (иногда ее называют просто вогнутой), а ее касательная линия будет лежать над графиком функции вблизи точки контакта.

Точки перегиба

Основная статья: Точка перегиба

Если вторая производная функции меняет знак, график функции переключится с вогнутого вниз на вогнутый вверх или наоборот. Точка, в которой это происходит, называется точкой перегиба . Предполагая, что вторая производная непрерывна, она должна принимать нулевое значение в любой точке перегиба, хотя не каждая точка, где вторая производная равна нулю, обязательно является точкой перегиба.

Второй критерий производной

Основная статья: Тест второй производной

Связь между второй производной и графиком можно использовать для проверки того, существует ли стационарная точка для функции (т. е. точка, в которой $f'(x)=0$) является локальным максимумом или локальным минимумом . Конкретно,

• Если $f''(x)<0$, затем $f$ имеет локальный максимум при $x$.
• Если $f''(x)>0$, затем $f$ имеет локальный минимум в $x$.
• Если $f''(x)=0$, второй критерий производной ничего не говорит о точке $x$, возможная точка перегиба.

Причину, по которой вторая производная дает такие результаты, можно увидеть на примере реальной аналогии. Рассмотрим транспортное средство, которое сначала движется вперед с большой скоростью, но с отрицательным ускорением. Очевидно, что положение транспортного средства в точке, где скорость достигает нуля, будет максимальным расстоянием от исходного положения – по истечении этого времени скорость станет отрицательной и транспортное средство начнет двигаться задним ходом. То же самое верно и для минимума, когда транспортное средство сначала имеет очень отрицательную скорость, но положительное ускорение.

Ограничить

можно записать один предел Для второй производной :

$$f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.$$

Предел называется второй симметричной производной . Вторая симметричная производная может существовать, даже если (обычная) вторая производная не существует.

Выражение справа можно записать как частное разности коэффициентов разности:

$${\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\dfrac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.$$

Этот предел можно рассматривать как непрерывную версию второго различия для последовательностей .

Однако существование указанного предела не означает, что функция $f$ имеет вторую производную. Приведенный выше предел просто дает возможность вычислить вторую производную, но не дает определения. Контрпримером является знаковая функция $\operatorname {sgn}(x)$, который определяется как:

$$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$$

Знаковая функция не является непрерывной в нуле, поэтому вторая производная для $x=0$ не существует. Но вышеуказанный предел существует для $x=0$:

$${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}$$

Квадратичная аппроксимация

Точно так же, как первая производная связана с линейными приближениями , вторая производная связана с лучшим квадратичным приближением функции f . Это квадратичная функция , первая и вторая производные которой такие же, как у f в данной точке. Формула наилучшего квадратичного приближения функции f вокруг точки x = a :

$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.$$

второго порядка Это квадратичное приближение представляет собой полином Тейлора для функции с центром в точке x = a .

Собственные значения и собственные векторы второй производной

Для многих комбинаций граничных условий явные формулы для собственных значений и собственных векторов второй производной можно получить . Например, полагая $x\in [0,L]$ и однородные граничные условия Дирихле (т.е. $v(0)=v(L)=0$ где v — собственный вектор), собственные значения равны $\lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$ и соответствующие собственные векторы (также называемые собственными функциями ) равны $v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)$. Здесь, $v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)$, для $j=1,\ldots ,\infty$.

Другие известные случаи см. в разделе «Собственные значения и собственные векторы второй производной» .

Обобщение на более высокие измерения

Гессен

Основная статья: матрица Гессе

Вторая производная обобщается на более высокие измерения посредством понятия вторых частных производных . Для функции f : R ³ → R , они включают три частичных элемента второго порядка

$${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$$

и смешанные частичные

$${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.$$

Если изображение функции и область определения имеют потенциал, то они вместе образуют симметричную матрицу, известную как гессиан . Собственные значения этой матрицы можно использовать для реализации многопараметрического аналога теста второй производной. (См. также второй тест частной производной .)

Лапласиан

Основная статья: оператор Лапласа

Другим распространенным обобщением второй производной является лапласиан . Это дифференциальный оператор $\nabla ^{2}$ (или $\Delta$) определяется

$$\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$$

функции равен дивергенции градиента и Лапласиан следу матрицы Гессе.

См. также

• Веселость , вторая производная мгновенной фазы
• Конечная разность , используемая для аппроксимации второй производной.
• Второй тест частной производной
• Симметрия вторых производных

Дальнейшее чтение

Распечатать

• Антон, Ховард; Бивенс, Ирландия; Дэвис, Стивен (2 февраля 2005 г.), Исчисление: ранние трансцендентальные измерения, одиночные и многомерные (8-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN  978-0-471-47244-5
• Апостол, Том М. (июнь 1967 г.), Calculus, Vol. 1: Исчисление с одной переменной и введение в линейную алгебру , том. 1 (2-е изд.), Уайли, ISBN  978-0-471-00005-1
• Апостол, Том М. (июнь 1969 г.), Calculus, Vol. 2: Исчисление многих переменных и линейная алгебра с приложениями , том. 1 (2-е изд.), Уайли, ISBN  978-0-471-00007-5
• Ивс, Ховард (2 января 1990 г.), Введение в историю математики (6-е изд.), Брукс Коул, ISBN  978-0-03-029558-4
• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт П.; Эдвардс, Брюс Х. (28 февраля 2006 г.), Исчисление: ранние трансцендентные функции (4-е изд.), Houghton Mifflin Company, ISBN  978-0-618-60624-5
• Спивак, Майкл (сентябрь 1994 г.), Исчисление (3-е изд.), Опубликуй или погибни, ISBN  978-0-914098-89-8
• Стюарт, Джеймс (24 декабря 2002 г.), Исчисление (5-е изд.), Брукс Коул, ISBN  978-0-534-39339-7
• Томпсон, Сильванус П. (8 сентября 1998 г.), Calculus Made Easy (пересмотренное, обновленное, расширенное издание), Нью-Йорк: St. Martin's Press, ISBN  978-0-312-18548-0

Интернет-книги

• Кроуэлл, Бенджамин (2003), Исчисление
• Гаррет, Пол (2004), Заметки по исчислению для первокурсников
• Хусейн, Фараз (2006), Понимание исчисления
• Кейслер, Х. Джером (2000), Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых
• Маух, Шон (2004), Полная версия книги Шона по прикладной математике , заархивировано из оригинала 15 апреля 2006 г.
• Слотер, Дэн (2000), От разностных уравнений к дифференциальным уравнениям
• Стрэнг, Гилберт (1991), Исчисление
• Строян, Кейт Д. (1997), Краткое введение в исчисление бесконечно малых , заархивировано из оригинала 11 сентября 2005 г.
• Викибуки, Исчисление

Внешние ссылки

• Дискретная вторая производная от неравномерно расположенных точек