Теорема Тейлора

Показательная функция ${\textstyle y=e^{x}}$ (красный) и соответствующий полином Тейлора четвертой степени (пунктирный зеленый) вокруг начала координат.

В исчислении дает теорема Тейлора приближение ${\textstyle k}$-раз дифференцируемая функция вокруг заданной точки по многочлену степени ${\textstyle k}$, называемый ${\textstyle k}$ -го порядка Полином Тейлора . Для гладкой функции полином Тейлора представляет собой усечение порядка ${\textstyle k}$ ряда Тейлора функции. Полином Тейлора первого порядка представляет собой линейное приближение функции, а полином Тейлора второго порядка часто называют квадратичным приближением . Существует несколько версий теоремы Тейлора, некоторые из которых дают явные оценки ошибки аппроксимации функции ее полиномом Тейлора.

Теорема Тейлора названа в честь математика Брука Тейлора , который изложил ее версию в 1715 году. хотя более ранняя версия результата уже упоминалась в 1671 году Джеймсом Грегори .

Теорема Тейлора преподается на вводных курсах исчисления и является одним из центральных элементарных инструментов математического анализа . Он дает простые арифметические формулы для точного вычисления значений многих трансцендентных функций, таких как показательная функция и тригонометрические функции .Это отправная точка изучения аналитических функций и имеет фундаментальное значение в различных областях математики, а также в численном анализе и математической физике . Теорема Тейлора также распространяется на многомерные и векторные функции. Он обеспечил математическую основу для некоторых знаковых ранних вычислительных машин: Чарльза Бэббиджа вычисляла разностная машина синусы, косинусы, логарифмы и другие трансцендентные функции путем численного интегрирования первых семи членов их ряда Тейлора.

Мотивация

График ${\textstyle f(x)=e^{x}}$ (синий) с его линейной аппроксимацией ${\textstyle P_{1}(x)=1+x}$ (красный) в ${\textstyle a=0}$.

Если вещественная функция ${\textstyle f(x)}$ дифференцируема в точке ${\textstyle x=a}$, то оно имеет линейное приближение вблизи этой точки . Это означает, что существует функция h ₁ ( x ) такая, что

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+h_{1}(x)(x-a),\quad \lim _{x\to a}h_{1}(x)=0.$$

Здесь

$$P_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$

является линейным приближением ${\textstyle f(x)}$ для x вблизи точки a , график которой ${\textstyle y=P_{1}(x)}$ это касательная к графику ${\textstyle y=f(x)}$ в х = а . Ошибка в приближении: $$R_{1}(x)=f(x)-P_{1}(x)=h_{1}(x)(x-a).$$

Поскольку x стремится к a, эта ошибка стремится к нулю гораздо быстрее, чем $f'(a)(x{-}a)$, изготовление $f(x)\approx P_{1}(x)$ полезное приближение.

График ${\textstyle f(x)=e^{x}}$ (синий) с квадратичным приближением $P_{2}(x)=1+x+{\dfrac {x^{2}}{2}}$ (красный) в ${\textstyle a=0}$. Обратите внимание на улучшение приближения.

Для лучшего приближения к ${\textstyle f(x)}$, мы можем подогнать квадратичный многочлен вместо линейной функции:

$$P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}.$$

Вместо того, чтобы просто сопоставлять одну производную ${\textstyle f(x)}$ в ${\textstyle x=a}$, этот полином имеет одинаковые первую и вторую производные, что видно при дифференцировании.

Теорема Тейлора гарантирует, что квадратичное приближение находится в достаточно малой окрестности ${\textstyle x=a}$, более точное, чем линейное приближение. Конкретно,

$$f(x)=P_{2}(x)+h_{2}(x)(x-a)^{2},\quad \lim _{x\to a}h_{2}(x)=0.$$

Здесь ошибка приближения равна

$$R_{2}(x)=f(x)-P_{2}(x)=h_{2}(x)(x-a)^{2},$$

что, учитывая предельное поведение $h_{2}$, стремится к нулю быстрее, чем $(x-a)^{2}$ поскольку x стремится к a .

Приближение ${\textstyle f(x)={\dfrac {1}{1+x^{2}}}}$ (синий) по полиномам Тейлора ${\textstyle P_{k}}$ порядка ${\textstyle k=1,\ldots ,16}$ сосредоточено в ${\textstyle x=0}$ (красный) и ${\textstyle x=1}$ (зеленый). Приближения вообще не улучшаются за пределами $(-1,1)$ и ${\textstyle (1-{\sqrt {2}},1+{\sqrt {2}})}$, соответственно.

Точно так же мы могли бы получить еще лучшие приближения к f, если бы использовали полиномы более высокой степени, поскольку тогда мы можем сопоставить еще больше производных с f в выбранной базовой точке.

В общем случае ошибка приближения функции многочленом степени k будет стремиться к нулю гораздо быстрее, чем $(x-a)^{k}$ поскольку x стремится к a . Однако существуют функции, даже бесконечно дифференцируемые, для которых увеличение степени аппроксимирующего полинома не увеличивает точность аппроксимации: мы говорим, что такая функция не может быть аналитической при x = a : она не определяется (локально) выражением его производные на данный момент.

Теорема Тейлора имеет асимптотический характер: она лишь говорит нам, что ошибка ${\textstyle R_{k}}$ в приближении ​ ${\textstyle k}$ -го порядка Полином Тейлора P _k стремится к нулю быстрее, чем любой ненулевой ${\textstyle k}$ -й степени Полином как ${\textstyle x\to a}$. Он не говорит нам, насколько велика ошибка в какой-либо конкретной окрестности центра расширения, но для этой цели существуют явные формулы для остаточного члена (приведенные ниже), которые справедливы при некоторых дополнительных предположениях о регулярности f . Эти расширенные версии теоремы Тейлора обычно приводят к равномерным оценкам ошибки аппроксимации в небольшой окрестности центра расширения, но эти оценки не обязательно выполняются для слишком больших окрестностей, даже если функция f является аналитической . В этой ситуации, возможно, придется выбрать несколько полиномов Тейлора с разными центрами разложения, чтобы получить надежные аппроксимации Тейлора исходной функции (см. анимацию справа).

Остаток можно использовать несколькими способами:

1. Оцените ошибку для полинома P _k ( x ) степени k, оценивающего ${\textstyle f(x)}$ на заданном интервале ( a – r , a + r ). (Учитывая интервал и степень, мы находим ошибку.)
2. Найдите наименьшую степень k, для которой полином P _k ( x ) приближается ${\textstyle f(x)}$ с точностью до заданной погрешности на заданном интервале ( a − r , a + r ) . (По интервалу и допуску на ошибку находим степень.)
3. Найдите наибольший интервал ( a − r , a + r ), на котором P _k ( x ) приближается ${\textstyle f(x)}$ с точностью до заданной погрешности. (По степени и допуску ошибок находим интервал.)

Теорема Тейлора об одной действительной переменной

Формулировка теоремы

Точная формулировка самой основной версии теоремы Тейлора выглядит следующим образом:

Теорема Тейлора — Пусть k ≥ 1 — целое и пусть f : R → R дифференцируема k раз в R. точке a ∈ функция число Тогда существует функция hk _что : R → R такая,

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+h_{k}(x)(x-a)^{k},$$и $$\lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.$$Это называется формой Пеано остатка .

Полином, фигурирующий в теореме Тейлора, — это ${\textstyle {\boldsymbol {k}}}$Полином Тейлора -го порядка

$$P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$$

функции f в точке a . Полином Тейлора — это уникальный полином «асимптотического наилучшего соответствия» в том смысле, что если существует функция h _k : R → R и ${\textstyle k}$ -го порядка полином p такой, что

$$f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0,$$

тогда р = Pk _​ . Теорема Тейлора описывает асимптотическое поведение остаточного члена

$$R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),$$

что является ошибкой аппроксимации при аппроксимации f полиномом Тейлора. Используя обозначение «маленькое о» , утверждение в теореме Тейлора читается как

$$R_{k}(x)=o(|x-a|^{k}),\quad x\to a.$$

Явные формулы остатка

При более строгих предположениях о регулярности f существует несколько точных формул для остаточного члена R _k полинома Тейлора, наиболее распространенными из которых являются следующие.

Формы среднего значения остатка . Пусть f : R → R будет k + 1 раз дифференцируемым на открытом интервале с f ^{( к )} непрерывен на замкнутом интервале между ${\textstyle a}$ и ${\textstyle x}$. Затем

$$R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{L})}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}$$

для некоторого действительного числа ${\textstyle \xi _{L}}$ между ${\textstyle a}$ и ${\textstyle x}$. Это Лагранжа форма остатка.

Сходным образом,

$$R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{C})}{k!}}(x-\xi _{C})^{k}(x-a)$$

для некоторого действительного числа ${\textstyle \xi _{C}}$ между ${\textstyle a}$ и ${\textstyle x}$. Это Коши форма остатка.

Оба можно рассматривать как частные случаи следующего результата: $p>0$

$$R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{S})}{k!}}(x-\xi _{S})^{k+1-p}{\frac {(x-a)^{p}}{p}}$$для некоторого действительного числа ${\textstyle \xi _{S}}$ между ${\textstyle a}$ и ${\textstyle x}$. Это Шлёмильха форма остатка (иногда называемая Шлемильхом - Роше ). Выбор ${\textstyle p=k+1}$ является формой Лагранжа, а выбор ${\textstyle p=1}$ является формой Коши.

Эти уточнения теоремы Тейлора обычно доказываются с использованием теоремы о среднем значении , откуда и название. Кроме того, обратите внимание, что это именно теорема о среднем значении, когда ${\textstyle k=0}$. Можно встретить и другие подобные выражения. Например, если G ( t ) непрерывна на замкнутом интервале и дифференцируема с ненулевой производной на открытом интервале между ${\textstyle a}$ и ${\textstyle x}$, затем

$$R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}$$

на какое-то число ${\textstyle \xi }$ между ${\textstyle a}$ и ${\textstyle x}$. Эта версия охватывает формы остатка Лагранжа и Коши как частные случаи и доказывается ниже с использованием теоремы Коши о среднем значении . Форма Лагранжа получается, если взять $G(t)=(x-t)^{k+1}$ а форма Коши получается, если взять $G(t)=t-a$.

Утверждение об интегральной форме остатка является более сложным, чем предыдущие, и требует понимания теории интегрирования Лебега для полной общности. Однако это справедливо и в смысле интеграла Римана при условии, что ( k + 1)-я производная от f непрерывна на замкнутом интервале [ a , x ].

Целая форма остатка - Позволять ${\textstyle f^{(k)}}$ быть абсолютно непрерывным на замкнутом интервале между ${\textstyle a}$ и ${\textstyle x}$. Затем

$$R_{k}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt.$$

Ввиду непрерывности f абсолютной ^{( к )} на замкнутом интервале между ${\textstyle a}$ и ${\textstyle x}$, его производная f ^{( к +1)} существует как L ¹ -функция, и результат может быть доказан формальным вычислением с использованием фундаментальной теоремы исчисления и интегрирования по частям .

Оценки на остаток

На практике часто бывает полезно иметь возможность оценить остаточный член, появляющийся в приближении Тейлора, вместо того, чтобы иметь для него точную формулу. Предположим, что ( f k + 1) -раз непрерывно дифференцируема в интервале I, содержащем a . Предположим, что существуют вещественные константы q и Q такие, что

$$q\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q$$

протяжении Я. на Тогда остаточный член удовлетворяет неравенству

$$q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R_{k}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},$$

если x > a , и аналогичная оценка, если x < a . Это простое следствие лагранжевой формы остатка. В частности, если

$$|f^{(k+1)}(x)|\leq M$$

на интервале I = ( a − r , a + r ) с некоторым $r>0$ , затем

$$|R_{k}(x)|\leq M{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq M{\frac {r^{k+1}}{(k+1)!}}$$

для всех x ∈ ( а - р , а + р ). Второе неравенство называется равномерной оценкой , поскольку оно выполняется равномерно для всех x на интервале ( a − r , a + r ).

Пример

Приближение ${\textstyle e^{x}}$ (синий) по полиномам Тейлора $P_{k}$ порядка ${\textstyle k=1,\ldots ,7}$ сосредоточено в ${\textstyle x=0}$ (красный).

Предположим, что мы хотим найти приближенное значение функции ${\textstyle f(x)=e^{x}}$ на интервале ${\textstyle [-1,1]}$ при этом обеспечивая погрешность аппроксимации не более 10 ⁻⁵ . В этом примере мы притворяемся, что знаем только следующие свойства показательной функции:

$e^{0}=1,\qquad {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x},\qquad e^{x}>0,\qquad x\in \mathbb {R} .$ ( ★ )

Из этих свойств следует, что ${\textstyle f^{(k)}(x)=e^{x}}$ для всех ${\textstyle k}$и, в частности, ${\textstyle f^{(k)}(0)=1}$. Следовательно ${\textstyle k}$Полином Тейлора -го порядка ${\textstyle f}$ в ${\textstyle 0}$ и его остаточный член в форме Лагранжа равны

$$P_{k}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad R_{k}(x)={\frac {e^{\xi }}{(k+1)!}}x^{k+1},$$

где ${\textstyle \xi }$ какое-то число между 0 и x . Поскольку е ^х увеличивается на ( ★ ), мы можем просто использовать ${\textstyle e^{x}\leq 1}$ для ${\textstyle x\in [-1,0]}$ оценить остаток на подинтервале $[-1,0]$. Чтобы получить верхнюю оценку остатка от $[0,1]$, мы используем свойство ${\textstyle e^{\xi }<e^{x}}$ для ${\textstyle 0<\xi <x}$ оценить

$$e^{x}=1+x+{\frac {e^{\xi }}{2}}x^{2}<1+x+{\frac {e^{x}}{2}}x^{2},\qquad 0<x\leq 1$$

используя разложение Тейлора второго порядка. Затем мы решаем для e ^х сделать вывод, что

$$e^{x}\leq {\frac {1+x}{1-{\frac {x^{2}}{2}}}}=2{\frac {1+x}{2-x^{2}}}\leq 4,\qquad 0\leq x\leq 1$$

просто максимизируя числитель и минимизируя знаменатель . Объединив эти оценки для e ^х мы видим это

$$|R_{k}(x)|\leq {\frac {4|x|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq {\frac {4}{(k+1)!}},\qquad -1\leq x\leq 1,$$

поэтому требуемая точность заведомо достигается, когда

$${\frac {4}{(k+1)!}}<10^{-5}\quad \Longleftrightarrow \quad 4\cdot 10^{5}<(k+1)!\quad \Longleftrightarrow \quad k\geq 9.$$

(См. факториал или вычислите вручную значения ${\textstyle 9!=362880}$ и ${\textstyle 10!=3628800}$.) В заключение теорема Тейлора приводит к приближению

$$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{9}}{9!}}+R_{9}(x),\qquad |R_{9}(x)|<10^{-5},\qquad -1\leq x\leq 1.$$

Например, это приближение дает десятичное выражение $e\approx 2.71828$, исправьте до пяти десятичных знаков.

Связь с аналитичностью

Разложения Тейлора действительных аналитических функций

Пусть I ⊂ R — открытый интервал . По определению функция f : I → R является вещественно-аналитической , если она локально определяется сходящимся степенным рядом . что для каждого a ∈ I существует некоторое r > 0 и последовательность коэффициентов ck _R ∈ Это означает , такие, что ( a − r , a + r ) ⊂ I и

$$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots ,\qquad |x-a|<r.$$

В общем случае радиус сходимости степенного ряда можно вычислить по формуле Коши – Адамара.

$${\frac {1}{R}}=\limsup _{k\to \infty }|c_{k}|^{\frac {1}{k}}.$$

Этот результат основан на сравнении с геометрическим рядом , и тот же метод показывает, что если степенной ряд, основанный на a, сходится для некоторого b ∈ R , он должен сходиться равномерно на замкнутом интервале ${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$, где ${\textstyle r_{b}=\left\vert b-a\right\vert }$. Здесь рассматривается только сходимость степенного ряда, и вполне может быть, что ( a − R , a + R ) выходит за пределы области определения I функции f .

Полиномы Тейлора действительной аналитической функции f в точке a представляют собой просто конечные отсечения

$$P_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}c_{j}(x-a)^{j},\qquad c_{j}={\frac {f^{(j)}(a)}{j!}}$$

его локально определяющего степенного ряда, а соответствующие остаточные члены локально задаются аналитическими функциями

$$R_{k}(x)=\sum _{j=k+1}^{\infty }c_{j}(x-a)^{j}=(x-a)^{k}h_{k}(x),\qquad |x-a|<r.$$

Здесь функции

$${\begin{aligned}&h_{k}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\[1ex]&h_{k}(x)=(x-a)\sum _{j=0}^{\infty }c_{k+1+j}\left(x-a\right)^{j}\end{aligned}}$$

также являются аналитическими, поскольку их определяющие степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. Предполагая, что [ a − r , a + r ] ⊂ I и r < R , все эти ряды сходятся равномерно на ( a − r , a + r ) . Естественно, в случае аналитических функций можно оценить остаточный член ${\textstyle R_{k}(x)}$ хвостом последовательности производных f′ ( a ) в центре разложения, но при использовании комплексного анализа возникает и другая возможность, которая описана ниже .

Теорема Тейлора и сходимость рядов Тейлора

Ряд Тейлора для f сходится в некотором интервале, в котором все его производные ограничены и не растут слишком быстро при стремлении k к бесконечности. (Однако, даже если ряд Тейлора сходится, он может не сходиться к f , как объясняется ниже; в этом случае f называется неаналитическим . )

Можно подумать о сериале Тейлора

$$f(x)\approx \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots$$

бесконечно много раз дифференцируемой функции f : R → R как ее «полином Тейлора бесконечного порядка» в точке a . Теперь оценки остатка подразумевают, что если для любого r производные f известны как ограниченные над ( a − r , a + r ), то для любого порядка k и для любого r > 0 существует константа M _k,r > 0 такое, что

$|R_{k}(x)|\leq M_{k,r}{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}$ ( ★★ )

для каждого x ∈ ( а - р , а + р ). Иногда константы M _k,r можно выбрать таким образом, чтобы M _k,r было ограничено сверху для фиксированного r и всех k . Тогда ряд Тейлора функции f сходится равномерно к некоторой аналитической функции

$${\begin{aligned}&T_{f}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\&T_{f}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\left(x-a\right)^{k}\end{aligned}}$$

(Сходимость также достигается, даже если M _k,r не ограничена сверху, если оно растет достаточно медленно.)

Предельная функция T _f по определению всегда аналитична, но она не обязательно равна исходной функции f , даже если f бесконечно дифференцируема. В этом случае мы говорим, что f — неаналитическая гладкая функция , например плоская функция :

$${\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0.\end{cases}}\end{aligned}}$$

используя цепное правило Повторно методом математической индукции , можно показать, что для любого k порядка

$$f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k}}}\cdot e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}$$

для некоторого многочлена p _k степени 2( k − 1). Функция $e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}$ стремится к нулю быстрее, чем любой полином, поскольку ${\textstyle x\to 0}$, поэтому f бесконечно много раз дифференцируема и f ^{( к )} (0) = 0 для любого натурального числа k . Все приведенные выше результаты справедливы и в этом случае:

• Ряд Тейлора функции f сходится равномерно к нулевой функции T _f ( x ) = 0, которая является аналитической со всеми коэффициентами, равными нулю.
• Функция f не равна этому ряду Тейлора и, следовательно, неаналитическая.
• Для любого порядка k ∈ N и радиуса r > 0 существует M _k,r > 0, удовлетворяющий указанной выше границе остатка ( ★★ ).

Однако по мере увеличения k при фиксированном r значение M _k,r растет быстрее, чем r ^к , и ошибка не стремится к нулю .

Теорема Тейлора в комплексном анализе

Теорема Тейлора обобщается на функции f : C → C , которые комплексно дифференцируемы в открытом подмножестве U ⊂ C комплексной плоскости . Однако его полезность затмевается другими общими теоремами комплексного анализа . А именно, более сильные версии связанных результатов можно вывести для комплексных дифференцируемых функций f : U → C, используя интегральную формулу Коши следующим образом.

Пусть r > 0 такое, что замкнутый диск B ( z , r ) ∪ S ( z , r содержится в U. ) Тогда интегральная формула Коши с положительной параметризацией γ ( t ) = z + re ^это круга S ( z , r ) с $t\in [0,2\pi ]$ дает

$$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw,\quad f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\,dw,\quad \ldots ,\quad f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\,dw.$$

Здесь все подынтегральные выражения непрерывны на окружности S ( z , r ), что и оправдывает дифференцирование под знаком интеграла. В частности, если f однажды комплексно дифференцируема на открытом множестве U деле она бесконечно много раз комплексно дифференцируема на U. , то на самом Также получены оценки Коши

$$|f^{(k)}(z)|\leq {\frac {k!}{2\pi }}\int _{\gamma }{\frac {M_{r}}{|w-z|^{k+1}}}\,dw={\frac {k!M_{r}}{r^{k}}},\quad M_{r}=\max _{|w-c|=r}|f(w)|$$

для любого z ∈ U и r > 0 такого, что B ( z , r ) ∪ S ( c , r ) ⊂ U . Из этих оценок следует, что комплексный ряд Тейлора

$$T_{f}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(c)}{k!}}(z-c)^{k}$$

функции f сходится равномерно на любом открытом диске ${\textstyle B(c,r)\subset U}$ с ${\textstyle S(c,r)\subset U}$ в некоторую функцию T _f . Кроме того, используя формулы контурного интеграла для производных f ^{( к )} ( с ),

$${\begin{aligned}T_{f}(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(z-c)^{k}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{k+1}}}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z-c}{w-c}}\right)^{k}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\left({\frac {1}{1-{\frac {z-c}{w-c}}}}\right)\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw=f(z),\end{aligned}}$$

поэтому любая комплексная дифференцируемая функция f в открытом множестве U ⊂ C на самом деле является комплексно-аналитической . Все сказанное здесь для вещественных аналитических функций справедливо и для комплексных аналитических функций с заменой открытого интервала I на открытое подмножество U ∈ C и a -центрированных интервалов ( a − r , a + r ) заменой c -центрированных дисков B ( в , р ). В частности, разложение Тейлора имеет вид

$$f(z)=P_{k}(z)+R_{k}(z),\quad P_{k}(z)=\sum _{j=0}^{k}{\frac {f^{(j)}(c)}{j!}}(z-c)^{j},$$

где остаточный член R _k комплексно-аналитический. Методы комплексного анализа дают некоторые мощные результаты в отношении расширений Тейлора. Например, используя интегральную формулу Коши для любой положительно ориентированной жордановой кривой ${\textstyle \gamma }$ который параметризует границу ${\textstyle \partial W\subset U}$ региона ${\textstyle W\subset U}$, получаем выражения для производных f ^{( Дж )} ( c ), как указано выше, и немного изменив вычисление для T _f ( z ) = f ( z ) , можно прийти к точной формуле

$$R_{k}(z)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {(z-c)^{j}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{j+1}}}\,dw={\frac {(z-c)^{k+1}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)\,dw}{(w-c)^{k+1}(w-z)}},\qquad z\in W.$$

Важной особенностью здесь является то, что качество аппроксимации полиномом Тейлора в области ${\textstyle W\subset U}$ доминируют значения самой функции f на границе ${\textstyle \partial W\subset U}$. Аналогично, применяя оценки Коши к выражению ряда для остатка, получаем равномерные оценки

$$|R_{k}(z)|\leq \sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {M_{r}|z-c|^{j}}{r^{j}}}={\frac {M_{r}}{r^{k+1}}}{\frac {|z-c|^{k+1}}{1-{\frac {|z-c|}{r}}}}\leq {\frac {M_{r}\beta ^{k+1}}{1-\beta }},\qquad {\frac {|z-c|}{r}}\leq \beta <1.$$

Пример

Сложный сюжет ${\textstyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$. Модуль отображается высотой, а аргумент — цветом: голубой = ${\textstyle 0}$, синий = ${\textstyle {\frac {\pi }{3}}}$, фиолетовый = ${\textstyle {\frac {2\pi }{3}}}$, красный = $\pi$, желтый = ${\textstyle {\frac {4\pi }{3}}}$, зеленый = ${\textstyle {\frac {5\pi }{3}}}$.

Функция

$${\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}$$

является вещественно аналитическим , то есть локально определяется своим рядом Тейлора. Эта функция была построена выше, чтобы проиллюстрировать тот факт, что некоторые элементарные функции не могут быть аппроксимированы полиномами Тейлора в слишком больших окрестностях центра разложения. Такое поведение легко понять в рамках комплексного анализа. А именно, функция f продолжается в мероморфную функцию

$${\begin{aligned}&f:\mathbb {C} \cup \{\infty \}\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}\\&f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}\end{aligned}}$$

на компактифицированной комплексной плоскости. Он имеет простые полюса на ${\textstyle z=i}$ и ${\textstyle z=-i}$, и в другом месте оно аналитично. Теперь его ряд Тейлора с центром в точке на _{сходится} любом круге B ( z0 _z0 , r ) с r < | z − z ₀ |, где тот же ряд Тейлора сходится в точке z ∈ C . Следовательно, ряд Тейлора для f с центром в точке 0 сходится на B (0, 1) и не сходится ни при каком z ∈ C , где | г | > 1 из-за полюсов в точках i и − i . По той же причине ряд Тейлора функции f с центром в точке 1 сходится на ${\textstyle B(1,{\sqrt {2}})}$ и не сходится ни при каком z ∈ C, таком, что ${\textstyle \left\vert z-1\right\vert >{\sqrt {2}}}$.

Обобщения теоремы Тейлора

Дифференцируемость высшего порядка

Функция f : R ^н → R дифференцируемо ∈ в a R точке ^н тогда и только тогда, когда существует линейный функционал L : R ^н → R и функция h : R ^н → R такой, что

$$f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+L({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+h({\boldsymbol {x}})\lVert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}\rVert ,\qquad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h({\boldsymbol {x}})=0.$$

Если это так, то ${\textstyle L=df({\boldsymbol {a}})}$ является (единственно определенным) f в дифференциалом точке a . Более того, тогда частные производные f , а существуют в точке a дифференциал f в точке a определяется выражением

$$df({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {v}})={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})v_{n}.$$

Введение мультииндексной нотации

$$|\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},\quad \alpha !=\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!,\quad {\boldsymbol {x}}^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}$$

для α ∈ N ^н и x ∈ R ^н . Если все ${\textstyle k}$ -го порядка Частные производные от f : R ^н → R непрерывны в точке a ∈ R ^н , то по теореме Клеро можно изменить порядок смешанных производных при a , поэтому обозначение

$$D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},\qquad |\alpha |\leq k$$

более высокого порядка для частных производных в этой ситуации оправдано. То же самое верно, если все частные производные ( k − 1 )-го порядка от f существуют в некоторой окрестности a и дифференцируемы в точке a . Тогда мы говорим, что f k раз дифференцируема в точке a .

Теорема Тейлора для функций многих переменных

Используя обозначения предыдущего раздела, получаем следующую теорему.

Многомерная версия теоремы Тейлора — Пусть f : R ^н → R — k -кратно непрерывно дифференцируемая функция в точке a ∈ R ^н . Тогда существуют функции h _α : R ^н → R , где $|\alpha |=k,$ такой, что

$${\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha },\\&{\mbox{and}}\quad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})=0.\end{aligned}}$$

Если функция f : R ^н → R k замкнутом + 1 раз непрерывно дифференцируем в шаре $B=\{\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:\left\|\mathbf {a} -\mathbf {y} \right\|\leq r\}$ для некоторых $r>0$, то можно вывести точную формулу остатка через ( k +1 )-го порядка частные производные от f в этой окрестности. А именно,

$${\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}R_{\beta }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\beta },\\&R_{\beta }({\boldsymbol {x}})={\frac {|\beta |}{\beta !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{|\beta |-1}D^{\beta }f{\big (}{\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}){\big )}\,dt.\end{aligned}}$$

В этом случае в силу непрерывности ( k +1 )-го порядка частных производных в компакте B сразу получаются равномерные оценки

$$\left|R_{\beta }({\boldsymbol {x}})\right|\leq {\frac {1}{\beta !}}\max _{|\alpha |=|\beta |}\max _{{\boldsymbol {y}}\in B}|D^{\alpha }f({\boldsymbol {y}})|,\qquad {\boldsymbol {x}}\in B.$$

Пример в двух измерениях

Например, полином Тейлора третьего порядка гладкой функции $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ есть, обозначающий ${\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {v}}$,

$${\begin{aligned}P_{3}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{}&{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{2}}{2!}}\\&+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{2}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{3}}{3!}}\end{aligned}}$$

Доказательства

Доказательство теоремы Тейлора для одной действительной переменной.

Позволять

$$h_{k}(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&x\not =a\\0&x=a\end{cases}}$$

где, как и в формулировке теоремы Тейлора,

$$P(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$$

Достаточно показать, что

$$\lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.$$

Доказательство здесь основано на неоднократном применении правила Лопиталя . Обратите внимание, что для каждого ${\textstyle j=0,1,...,k-1}$, $f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)$. Следовательно, каждый из первых ${\textstyle k-1}$ производные числителя в $h_{k}(x)$ исчезает в $x=a$, и то же самое относится и к знаменателю. Кроме того, поскольку условие, что функция ${\textstyle f}$ быть ${\textstyle k}$ раз дифференцируема в точке, требует дифференцируемости до порядка ${\textstyle k-1}$ в окрестности указанной точки (это верно, поскольку дифференцируемость требует, чтобы функция была определена во всей окрестности точки), числитель и его ${\textstyle k-2}$ производные дифференцируемы в окрестности ${\textstyle a}$. Ясно, что знаменатель также удовлетворяет указанному условию и, кроме того, не обращается в нуль, если ${\textstyle x=a}$, следовательно, все условия, необходимые для правила Лопиталя, выполнены и его применение оправдано. Так

$${\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d}{dx}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d}{dx}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&=\cdots \\[1ex]&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(x-a)^{k}}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}\lim _{x\to a}{\frac {f^{(k-1)}(x)-P^{(k-1)}(x)}{x-a}}\\[1ex]&={\frac {1}{k!}}(f^{(k)}(a)-P^{(k)}(a))=0\end{aligned}}$$

где предпоследнее равенство следует из определения производной при ${\textstyle x=a}$.

Альтернативное доказательство теоремы Тейлора для одной действительной переменной

Позволять $f(x)$ — любая непрерывная функция с действительным знаком, которую можно аппроксимировать полиномом Тейлора.

Шаг 1: Пусть ${\textstyle F}$ и ${\textstyle G}$ быть функциями. Набор ${\textstyle F}$ и ${\textstyle G}$ быть

$${\begin{aligned}F(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}G(x)=(x-a)^{n}\end{aligned}}$$

Шаг 2: Свойства ${\textstyle F}$ и ${\textstyle G}$:

$${\begin{aligned}F(a)&=f(a)-f(a)-f'(a)(a-a)-...-{\frac {f^{(n-1)}(a)(a-a)^{n-1}}{(n-1)!}}=0\\G(a)&=(a-a)^{n}=0\end{aligned}}$$

Сходным образом,

$${\begin{aligned}F'(a)=f'(a)-f'(a)-{\frac {2f''(a)(a-a)}{1!}}-...-{\frac {f^{(n-2)}(a)(n-1)(a-a)^{n-2}}{(n-1)!}}=0\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}G'(a)&=n(a-a)^{n-1}=0\\&\qquad \vdots \\G^{(n-1)}(a)&=F^{(n-1)}(a)=0\end{aligned}}$$

Шаг 3. Используйте теорему Коши о среднем значении

Позволять $f_{1}$ и $g_{1}$ быть непрерывными функциями на $[a,b]$. С $a<x<b$ поэтому мы можем работать с интервалом $[a,x]$. Позволять $f_{1}$ и $g_{1}$ быть дифференцируемым на $(a,x)$. Предполагать $g_{1}'(x)\neq 0$ для всех $x\in (a,b)$.Тогда существует $c_{1}\in (a,x)$ такой, что

$${\begin{aligned}{\frac {f_{1}(x)-f_{1}(a)}{g_{1}(x)-g_{1}(a)}}={\frac {f_{1}'(c_{1})}{g_{1}'(c_{1})}}\end{aligned}}$$

Примечание: $G'(x)\neq 0$ в $(a,b)$ и $F(a),G(a)=0$ так

$${\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}\end{aligned}}$$

для некоторых $c_{1}\in (a,x)$.

Это также может быть выполнено для $(a,c_{1})$:

$${\begin{aligned}{\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}={\frac {F'(c_{1})-F'(a)}{G'(c_{1})-G'(a)}}={\frac {F''(c_{2})}{G''(c_{2})}}\end{aligned}}$$

для некоторых $c_{2}\in (a,c_{1})$.Это можно продолжать и дальше $c_{n}$.

Это дает раздел в $(a,b)$:

$$a<c_{n}<c_{n-1}<\dots <c_{1}<x$$

с

$${\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}=\dots ={\frac {F^{(n)}(c_{n})}{G^{(n)}(c_{n})}}.$$

Набор $c=c_{n}$:

$${\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}$$

Шаг 4: Замените обратно

$${\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}{(x-a)^{n}}}={\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}\end{aligned}}$$

По правилу власти повторяющиеся производные $(x-a)^{n}$, $G^{(n)}(c)=n(n-1)...1$, так:

$${\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}={\frac {f^{(n)}(c)}{n(n-1)\cdots 1}}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}.$$

Это приводит к:

$${\begin{aligned}f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}}.$$

Переставив, получим:

$${\begin{aligned}f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}},$$

или потому что $c_{n}=a$ в конце концов:

$$f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$$

Вывод средних форм остатка

Пусть G — любая вещественная функция, непрерывная на отрезке между ${\textstyle a}$ и ${\textstyle x}$ и дифференцируема с ненулевой производной на открытом интервале между ${\textstyle a}$ и ${\textstyle x}$и определить

$$F(t)=f(t)+f'(t)(x-t)+{\frac {f''(t)}{2!}}(x-t)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}.$$

Для $t\in [a,x]$. Тогда по Коши о среднем значении теореме

${\frac {F'(\xi )}{G'(\xi )}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}$ ( ★★★ )

для некоторых ${\textstyle \xi }$ на открытом промежутке между ${\textstyle a}$ и ${\textstyle x}$. Обратите внимание, что здесь числитель ${\textstyle F(x)-F(a)=R_{k}(x)}$ является в точности остатком полинома Тейлора для ${\textstyle y=f(x)}$. Вычислить

$${\begin{aligned}F'(t)={}&f'(t)+{\big (}f''(t)(x-t)-f'(t){\big )}+\left({\frac {f^{(3)}(t)}{2!}}(x-t)^{2}-{\frac {f^{(2)}(t)}{1!}}(x-t)\right)+\cdots \\&\cdots +\left({\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}-{\frac {f^{(k)}(t)}{(k-1)!}}(x-t)^{k-1}\right)={\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},\end{aligned}}$$

подключите его к ( ★★★ ) и переставьте члены, чтобы найти это

$$R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}.$$

Это форма остаточного члена, упомянутая после фактической формулировки теоремы Тейлора с остатком в форме среднего значения.Лагранжевую форму остатка можно найти выбором $G(t)=(x-t)^{k+1}$ и форму Коши, выбрав $G(t)=t-a$.

Замечание. Используя этот метод, можно также восстановить целую форму остатка, выбрав

$$G(t)=\int _{a}^{t}{\frac {f^{(k+1)}(s)}{k!}}(x-s)^{k}\,ds,$$

но требования к f, необходимые для использования теоремы о среднем значении, слишком строги, если кто-то стремится доказать утверждение в случае, когда f ^{( к )} только абсолютно непрерывен . использовать интеграл Римана Однако если вместо интеграла Лебега , предположения нельзя ослабить.

Вывод интегральной формы остатка

Благодаря абсолютной преемственности $f^{(k)}$ на замкнутом интервале между ${\textstyle a}$ и ${\textstyle x}$ его производная $f^{(k+1)}$ существует как $L^{1}$-функция, и мы можем использовать фундаментальную теорему исчисления и интегрирования по частям . То же самое доказательство применимо и для интеграла Римана, предполагая, что $f^{(k)}$ непрерывна дифференцируема замкнутом интервале и на на открытом интервале между ${\textstyle a}$ и ${\textstyle x}$, и это приводит к тому же результату, что и использование теоремы о среднем значении.

Основная теорема исчисления гласит, что

$$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}\,f'(t)\,dt.$$

Теперь мы можем интегрировать по частям и снова использовать фундаментальную теорему исчисления, чтобы увидеть, что

$${\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\Big (}xf'(x)-af'(a){\Big )}-\int _{a}^{x}tf''(t)\,dt\\&=f(a)+x\left(f'(a)+\int _{a}^{x}f''(t)\,dt\right)-af'(a)-\int _{a}^{x}tf''(t)\,dt\\&=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{x}\,(x-t)f''(t)\,dt,\end{aligned}}$$

что в точности является теоремой Тейлора с остатком в интегральной форме в случае $k=1$. Общее утверждение доказывается с помощью индукции . Предположим, что

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt.$ ( уравнение 1 )

Интегрируя остаточный член по частям, приходим к

$${\begin{aligned}\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt=&-\left[{\frac {f^{(k+1)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1}\right]_{a}^{x}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1}\,dt\\=&\ {\frac {f^{(k+1)}(a)}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)!}}(x-t)^{k+1}\,dt.\end{aligned}}$$

Подстановка этого в формулу ( eq1 ) показывает, что если это справедливо для значения $k$, оно также должно выполняться для значения $k+1$. Следовательно, поскольку оно справедливо для $k=1$, оно должно выполняться для каждого положительного целого числа $k$.

Вывод остатка многомерных полиномов Тейлора

Докажем частный случай, когда $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ имеет непрерывные частные производные до порядка $k+1$ в каком-то закрытом шаре $B$ с центром ${\boldsymbol {a}}$. Стратегия доказательства состоит в том, чтобы применить случай теоремы Тейлора с одной переменной к ограничению $f$ к отрезку, примыкающему к ${\boldsymbol {x}}$ и ${\boldsymbol {a}}$. Параметризируйте отрезок между ${\boldsymbol {a}}$ и ${\boldsymbol {x}}$ к ${\boldsymbol {u}}(t)={\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})$ Применим версию теоремы Тейлора для одной переменной к функции $g(t)=f({\boldsymbol {u}}(t))$:

$$f({\boldsymbol {x}})=g(1)=g(0)+\sum _{j=1}^{k}{\frac {1}{j!}}g^{(j)}(0)\ +\ \int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{k}}{k!}}g^{(k+1)}(t)\,dt.$$

Применение правила цепочки для нескольких переменных дает

$${\begin{aligned}g^{(j)}(t)&={\frac {d^{j}}{dt^{j}}}f({\boldsymbol {u}}(t))\\&={\frac {d^{j}}{dt^{j}}}f({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))\\&=\sum _{|\alpha |=j}\left({\begin{matrix}j\\\alpha \end{matrix}}\right)(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }\end{aligned}}$$

где ${\tbinom {j}{\alpha }}$ – полиномиальный коэффициент . С ${\tfrac {1}{j!}}{\tbinom {j}{\alpha }}={\tfrac {1}{\alpha !}}$, мы получаем:

$$f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+\sum _{1\leq |\alpha |\leq k}{\frac {1}{\alpha !}}(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k+1}{\frac {k+1}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }\int _{0}^{1}(1-t)^{k}(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))\,dt.$$

См. также

• Лемма Адамара
• Ряд Лорана – Степенной ряд с отрицательными степенями.
• Аппроксимант Паде - «лучшее» приближение функции рациональной функцией заданного порядка.
• Серия Newton – дискретный аналог производных страниц, отображающих краткие описания целей перенаправления.
• Теория приближений - Теория получения приемлемо близких неточных математических расчетов.
• Аппроксимация функции - аппроксимация произвольной функции хорошо работающей.

Ссылки

• Апостол, Том (1967), Исчисление , Уайли, ISBN  0-471-00005-1 .
• Апостол, Том (1974), Математический анализ , Аддисон – Уэсли .
• Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (2011), Введение в реальный анализ (4-е изд.), Wiley, ISBN  978-0-471-43331-6 .
• Хёрмандер, Л. (1976), Линейные операторы с частными производными, Том 1 , Springer, ISBN  978-3-540-00662-6 .
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней, Том 2 , Oxford University Press .
• Клайн, Моррис (1998), Исчисление: интуитивный и физический подход , Дувр, ISBN  0-486-40453-6 .
• Педрик, Джордж (1994), Первый курс анализа , Springer, ISBN  0-387-94108-8 .
• Стромберг, Карл (1981), Введение в классический реальный анализ , Уодсворт, ISBN  978-0-534-98012-2 .
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN  0-07-054234-1 .
• Тао, Теренс (2014), Анализ, Том I (3-е изд.), Книжное агентство Hindustan, ISBN  978-93-80250-64-9 .
• Доказательство теоремы Тейлора (PDF) , Китайский университет Гонконга .

Внешние ссылки

• Теорема Тейлора в ProofWiki
• Приближение косинуса рядами Тейлора при разрезании узла
• Trigonometric Taylor Expansion Интерактивный демонстрационный апплет
• Возвращение к серии Тейлора в Институте целостных численных методов