Черная модель

Модель Блэка (иногда известная как модель Блэк-76 ) представляет собой вариант модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза . Его основные приложения – это определение цен на фьючерсные контракты , опционы на облигации , ограничение процентных ставок и минимальные процентные ставки , а также свопы . Впервые он был представлен в статье Фишера Блэка в 1976 году.

Модель Блэка можно обобщить в класс моделей, известных как логарифмически нормальные форвардные модели, также называемые рыночной моделью LIBOR .

Формула Блэка

Формула Блэка аналогична формуле Блэка-Шоулза для оценки опционов на акции, за исключением того, что спотовая цена базового актива заменяется дисконтированной фьючерсной ценой F.

Предположим, что существует постоянная безрисковая процентная ставка r , а фьючерсная цена F(t) конкретного базового актива логарифмически нормальна с постоянной волатильностью σ . Тогда формула Блэка определяет цену европейского опциона колл со сроком погашения Т на фьючерсный контракт с ценой исполнения К и датой поставки Т' (с $T'\geq T$ ) является

c=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]

Соответствующая цена пут равна

p=e^{-rT}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]

где

d_{1}={\frac {\ln(F/K)+(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}

d_{2}={\frac {\ln(F/K)-(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}},

и $N(\cdot )$ — кумулятивная функция нормального распределения .

Обратите внимание, что T' не появляется в формулах, даже если оно может быть больше T . Это связано с тем, что фьючерсные контракты привязаны к рынку, и поэтому выплата реализуется при исполнении опциона. Если мы рассмотрим опцион на форвардный контракт, срок действия которого истекает в момент T' > T , выплата не произойдет до тех пор, пока T' . Таким образом, коэффициент дисконтирования $e^{-rT}$ заменяется на $e^{-rT'}$ поскольку необходимо учитывать временную стоимость денег . Разница в двух случаях очевидна из приведенного ниже вывода.

Вывод и предположения

Формула Блэка легко выводится из формулы Марграбе , которая, в свою очередь, представляет собой простое, но умное применение формулы Блэка-Шоулза .

Выплата по опциону колл на фьючерсный контракт равна $\max(0,F(T)-K)$ . Мы можем рассматривать это как вариант обмена (Марграбе), если считать, что первый актив $e^{-r(T-t)}F(t)$ и второй актив, который будет $K$ безрисковые облигации с выплатой 1 доллара за раз $T$ . Тогда опцион колл исполняется в момент времени $T$ когда первый актив стоит больше, чем $K$ безрисковые облигации. Эти активы удовлетворяют предположениям формулы Марграбе.

Осталось проверить, действительно ли первый актив является активом. В этом можно убедиться, рассмотрев портфель, сформированный в момент времени 0 путем открытия длинной позиции по форвардному контракту с датой поставки. $T$ и длинный $F(0)$ безрисковые облигации (обратите внимание, что при детерминированной процентной ставке форвардные и фьючерсные цены равны, поэтому здесь нет никакой двусмысленности). Тогда в любое время $t$ вы можете аннулировать свои обязательства по форвардному контракту, закоротив другой форвардный контракт с той же датой поставки, чтобы получить разницу в форвардных ценах, но дисконтированную до приведенной стоимости: $e^{-r(T-t)}[F(t)-F(0)]$ . Ликвидация $F(0)$ безрисковые облигации, каждая из которых стоит $e^{-r(T-t)}$ , приводит к чистому выигрышу $e^{-r(T-t)}F(t)$ .

См. также

Ссылки

Блэк, Фишер (1976). Цены на товарные контракты, Журнал финансовой экономики, 3, 167-179.
Гарман, Марк Б. и Стивен В. Кольхаген (1983). Стоимость опционов в иностранной валюте, Журнал международных денег и финансов, 2, 231–237.
Милтерсен К., Сандманн К. и Сондерманн Д. (1997): «Решения в закрытой форме для производных временной структуры с логарифмически нормальными процентными ставками», Journal of Finance, 52 (1), 409-430.

Внешние ссылки

Обсуждение

Опционы на облигации, кепки и черная модель Доктор Милика Кудина, Техасский университет в Остине

Онлайн-инструменты

Калькулятор Caplet и Floorlet Доктор Шинг Хинг Ман, Управление рисками Thomson-Reuters