Дополнение (теория множеств)

Круг, заполненный красным внутри квадрата. Область за пределами круга незаполнена. Границы круга и квадрата черные.

Если

A

— это область, окрашенная в красный цвет на этом изображении…

Незаполненный круг внутри квадрата. Область внутри квадрата, не закрытая кругом, закрашена красным. Границы круга и квадрата черные.

…тогда дополнением

A

является все остальное.

В теории множеств дополнение , множества A $часто$ обозначаемое $A^{\complement }$ (или $А'$ ), ^[1] - это набор элементов, не входящих в $A$ . ^[2]

Когда все элементы во , то есть все рассматриваемые элементы, считаются членами данного множества $U$ , абсолютным дополнением A $вселенной$ является набор элементов в $U$ которых нет в $A.$ ,

Относительное дополнение A $, также$ по отношению к множеству $B$ называемое разностью множеств B $и$ A $,$ записываемое $B\setminus A,$ — это набор элементов в $B,$ нет в $A.$ которых

Абсолютное дополнение

Абсолютным **дополнением** белого диска является красная область.

Определение

Если $A$ — это набор, то абсолютное дополнение к $A$ (или просто дополнение к $A$ ) — это набор элементов, не входящих в $A$ (внутри большего набора, который определен неявно). Другими словами, пусть $U$ — множество, содержащее все изучаемые элементы; если нет необходимости упоминать $U$ либо потому, что оно было указано ранее, либо оно очевидно и уникально, то абсолютное дополнение $A$ является относительным дополнением $A$ в $U$ : ^[3] $A^{\complement }=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}.$

Абсолютное дополнение к $A$ обычно обозначается через $A^{\complement }$ . Другие обозначения включают ${\overline {A}},A',$ ^[2] $\complement _{U}A,{\text{ and }}\complement A.$ ^[4]

Примеры

Предположим, что Вселенная представляет собой набор целых чисел . Если $А$ — множество нечетных чисел, то дополнение к $А$ — это множество четных чисел. Если $B$ — это набор чисел, кратных 3, то дополнение к $B$ — это набор чисел, конгруэнтных 1 или 2 по модулю 3 (или, проще говоря, целые числа, не кратные 3).
Предположим, что Вселенная представляет собой стандартную колоду из 52 карт . Если множество $А$ представляет собой пиковую масть, то дополнение $А$ представляет собой объединение мастей треф, бубн и червей. Если множество $B$ представляет собой объединение мастей треф и бубен, то дополнение $B$ представляет собой объединение мастей червей и пик.
Когда вселенная представляет собой вселенную множеств, описанную в формализованной теории множеств , абсолютное дополнение множества обычно само по себе не является множеством, а скорее собственным классом . Дополнительную информацию см. в разделе Универсальный набор .

Характеристики

Пусть $A$ и $B$ два множества во вселенной $U.$ — Следующие тождества отражают важные свойства абсолютных дополнений:

Законы де Моргана : ^[5]

$\left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.$
$\left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.$

Дополняющие законы: ^[5]

$A\cup A^{\complement }=U.$
$A\cap A^{\complement }=\emptyset .$
$\emptyset ^{\complement }=U.$
$U^{\complement }=\emptyset .$
${\text{If }}A\subseteq B{\text{, then }}B^{\complement }\subseteq A^{\complement }.$
(это следует из эквивалентности кондиционала его контрапозитиву ).

Инволюция или закон двойного дополнения:

$\left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.$

Отношения между относительным и абсолютным дополнением:

$A\setminus B=A\cap B^{\complement }.$
$(A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B=A^{\complement }\cup (B\cap A).$

Связь с установленной разницей:

$A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.$

Первые два закона дополнения, приведенные выше, показывают, что если $A$ — непустое подмножество U $собственное$ , то ${A, A ∁}$ это раздел U. $$ —

Относительное дополнение

Определение

Если $A$ и $B$ — множества, то дополнение A $относительное$ в $B$ , ^[5] также называется разностью наборов $B$ и $A$ , ^[6] — это набор элементов в $B$ но не в $A.$ ,

Относительное дополнение $A$ к $B$ обозначается $B\setminus A$ согласно стандарту ISO 31-11 . Иногда пишут $B-A,$ но это обозначение неоднозначно, так как в некоторых контекстах (например, операции над множествами Минковского в функциональном анализе ) его можно интерпретировать как множество всех элементов $b-a,$ где $b$ взято из $B$ а $a$ из $A.$ ,

Формально: $B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.$

Примеры

$\{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.$
$\{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.$
Если $\mathbb {R}$ представляет собой набор действительных чисел и $\mathbb {Q}$ – множество рациональных чисел , то $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ представляет собой набор иррациональных чисел .

Характеристики

Пусть $A$ , $B$ и $C$ — три множества. Следующие тождества отражают примечательные свойства относительных дополнений:

$C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).$
$C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).$
$C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),$
с важным особым случаем $C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)$ демонстрация того, что пересечение можно выразить, используя только операцию относительного дополнения.
$(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).$
$(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).$
$A\setminus A=\emptyset .$
$\emptyset \setminus A=\emptyset .$
$A\setminus \emptyset =A.$
$A\setminus U=\emptyset .$
Если $A\subset B$ , затем $C\setminus A\supset C\setminus B$ .
$A\supseteq B\setminus C$ эквивалентно $C\supseteq B\setminus A$ .

Дополнительное отношение

Бинарное отношение $R$ определяется как подмножество произведения множеств $X\times Y.$ Дополнительное отношение ${\bar {R}}$ является дополнением множества $R$ в $X\times Y.$ Дополнение отношения $R$ можно написать ${\bar {R}}\ =\ (X\times Y)\setminus R.$ Здесь, $R$ часто рассматривается как логическая матрица , строки которой представляют элементы $X,$ и элементы столбцов $Y.$ Правда о $aRb$ соответствует 1 в строке $a,$ столбец $b.$ Создание дополнительного отношения к $R$ тогда соответствует переключению всех 1 на 0 и 0 на 1 для логической матрицы дополнения.

Вместе с композицией отношений и обратными отношениями дополнительные отношения и алгебра множеств являются элементарными операциями исчисления отношений .

нотация LaTeX

В языке набора текста LaTeX команда \setminus^[7] обычно используется для отображения символа разности наборов, который похож на символ обратной косой черты . При рендеринге \setminus команда выглядит идентично \backslash, за исключением того, что перед и после косой черты немного больше места, как в последовательности LaTeX. \mathbin{\backslash}. Вариант \smallsetminus доступен в пакете amssymb, но этот символ не включен отдельно в Unicode. Символ $\complement$ (в отличие от $C$ ) производится \complement. (Это соответствует символу Юникода U+2201 ∁ ДОПОЛНЕНИЕ .)

См. также

Алгебра множеств - Тождества и отношения с участием множеств.
Пересечение (теория множеств) - набор элементов, общих для всех некоторых множеств.
Список тождеств и отношений множеств . Равенства для комбинаций множеств.
Наивная теория множеств - Неформальные теории множеств
Симметричная разница - элементы ровно в одном из двух наборов.
Союз (теория множеств) - Набор элементов в любом из некоторых множеств.

Примечания

^ «Дополните и установите разницу» . web.mnstate.edu . Проверено 4 сентября 2020 г.
^ Jump up to: ^а ^б «Определение дополнения (множества) (Иллюстрированный математический словарь)» . www.mathsisfun.com . Проверено 4 сентября 2020 г.
^ Таким образом, набор, в котором рассматривается дополнение, неявно упоминается в абсолютном дополнении и явно упоминается в относительном дополнении.
^ Бурбаки 1970 , с. Е II.6.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Халмош 1960 , с. 17.
^ Девлин 1979 , с. 6.
^ [1] Архивировано 5 марта 2022 г. на Wayback Machine. Полный список символов LaTeX.

Ссылки

Бурбаки, Н. (1970). Теория множеств (на французском языке). Париж: Германн. ISBN 978-3-540-34034-8 .
Девлин, Кейт Дж. (1979). Основы современной теории множеств . Университеттекст. Спрингер . ISBN 0-387-90441-7 . Збл 0407.04003 .
Халмос, Пол Р. (1960). Наивная теория множеств . Университетская серия по математике для студентов. Компания Ван Ностранд. ISBN 9780442030643 . Збл 0087.04403 .

Внешние ссылки

[1] «Дополните и установите разницу» . web.mnstate.edu . Проверено 4 сентября 2020 г.

[:1-2] Jump up to: ^а ^б «Определение дополнения (множества) (Иллюстрированный математический словарь)» . www.mathsisfun.com . Проверено 4 сентября 2020 г.

[3] Таким образом, набор, в котором рассматривается дополнение, неявно упоминается в абсолютном дополнении и явно упоминается в относительном дополнении.

[Bou-4] Бурбаки 1970 , с. Е II.6.

[Halmos-1960-5] Jump up to: ^а ^б ^с Халмош 1960 , с. 17.

[6] Девлин 1979 , с. 6.

[The_Comprehensive_LaTeX_Symbol_List-7] [1] Архивировано 5 марта 2022 г. на Wayback Machine. Полный список символов LaTeX.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и Теория множеств
Overview	Set (mathematics)
Axioms	Adjunction Choice countable dependent global Constructibility (V=L) Determinacy Extensionality Infinity Limitation of size Pairing Power set Regularity Union Martin's axiom Axiom schema replacement specification
Operations	Cartesian product Complement (i.e. set difference) De Morgan's laws Disjoint union Identities Intersection Power set Symmetric difference Union
Concepts Methods	Almost Cardinality Cardinal number (large) Class Constructible universe Continuum hypothesis Diagonal argument Element ordered pair tuple Family Forcing One-to-one correspondence Ordinal number Set-builder notation Transfinite induction Venn diagram
Set types	Amorphous Countable Empty Finite (hereditarily) Filter base subbase Ultrafilter Fuzzy Infinite (Dedekind-infinite) Recursive Singleton Subset · Superset Transitive Uncountable Universal
Theories	Alternative Axiomatic Naive Cantor's theorem Zermelo General Principia Mathematica New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoxes Problems	Russell's paradox Suslin's problem Burali-Forti paradox
Set theorists	Paul Bernays Georg Cantor Paul Cohen Richard Dedekind Abraham Fraenkel Kurt Gödel Thomas Jech John von Neumann Willard Quine Bertrand Russell Thoralf Skolem Ernst Zermelo