Метрика Рейсснера – Нордстрема

В физике и астрономии метрика Рейсснера -Нордстрема представляет собой статическое решение уравнений поля Эйнштейна-Максвелла , которое соответствует гравитационному полю заряженного, невращающегося сферически-симметричного тела M. массы Аналогичное решение для заряженного вращающегося тела дается метрикой Керра – Ньюмана .

Метрика была открыта между 1916 и 1921 годами Гансом Рейсснером . Герман Вейль , Гуннар Нордстрем и Джордж Баркер Джеффри независимо.

Метрика

В сферических координатах $(t,r,\theta ,\varphi )$, метрика Рейсснера – Нордстрема (т.е. линейный элемент ) равна $ds^{2}=c^{2}\,d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2},$

• Где $c$ это скорость света .
• $\tau$ самое подходящее время.
• $t$ — координата времени (измеряется стационарными часами, находящимися на бесконечности).
• $r$ — радиальная координата.
• $(\theta ,\varphi )$ являются сферическими углами.
• $r_{\text{s}}$ - радиус Шварцшильда тела, определяемый формулой

$r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},$.

• $r_{Q}$ представляет собой характерный масштаб длины, определяемый выражением

$r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}.$

• $\varepsilon _{0}$ — электрическая постоянная .

Полная масса центрального тела и его неприводимая масса связаны соотношением $M_{\rm {irr}}={\frac {c^{2}}{G}}{\sqrt {\frac {r_{+}^{2}}{2}}}\ \to \ M={\frac {Q^{2}}{16\pi \varepsilon _{0}GM_{\rm {irr}}}}+M_{\rm {irr}}.$

Разница между $M$ и $M_{\rm {irr}}$ происходит из-за эквивалентности массы и энергии , из-за чего энергия электрического поля также вносит вклад в общую массу.

В пределах, в которых заряд $Q$ (или, что то же самое, масштаб длины $r_{Q}$) стремится к нулю, восстанавливается метрика Шварцшильда . Тогда классическая ньютоновская теория гравитации может быть восстановлена ​​в пределе как соотношение $r_{\text{s}}/r$ уходит в ноль. В пределе, когда оба $r_{Q}/r$ и $r_{\text{s}}/r$ при переходе к нулю метрика становится метрикой Минковского для специальной теории относительности .

На практике соотношение $r_{\text{s}}/r$ зачастую чрезвычайно мала. Например, радиус Шварцшильда Земли составляет примерно 9 мм (3/8 дюйма ), тогда как спутник на геостационарной орбите имеет радиус орбиты $r$ это примерно в четыре миллиарда раз больше — 42 164 км (26 200 миль ). Даже на поверхности Земли поправки к ньютоновской гравитации составляют лишь одну миллиардную часть. Это соотношение становится большим только вблизи черных дыр и других сверхплотных объектов, таких как нейтронные звезды .

Заряженные черные дыры

Хотя заряженные черные дыры с r _Q ≪ r _s похожи на черную дыру Шварцшильда , они имеют два горизонта: горизонт событий и внутренний горизонт Коши . Как и в случае с метрикой Шварцшильда, горизонты событий пространства-времени расположены там, где компонент метрики $g_{rr}$ расходится; то есть где $$1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}=-{\frac {1}{g_{rr}}}=0.$$

Это уравнение имеет два решения: $$r_{\pm }={\frac {1}{2}}\left(r_{\rm {s}}\pm {\sqrt {r_{\rm {s}}^{2}-4r_{\rm {Q}}^{2}}}\right).$$

концентрические горизонты событий вырождаются r за 2 s _Q = r _Эти , что соответствует экстремальной черной дыре . Черные дыры с 2 r _Q > r _s не могут существовать в природе, поскольку если заряд больше массы, то не может быть физического горизонта событий (слагаемое под квадратным корнем становится отрицательным). Объекты с зарядом, превышающим их массу, могут существовать в природе, но они не могут коллапсировать в черную дыру, а если бы и могли, то продемонстрировали бы голую сингулярность . Теории с суперсимметрией обычно гарантируют, что такие «суперэкстремальные» черные дыры не могут существовать.

Электромагнитный потенциал ​ $$A_{\alpha }=(Q/r,0,0,0).$$

Если в теорию включены магнитные монополи, то обобщение, включающее магнитный заряд P, получается заменой Q ² автор Q ² + П ² в метрике и включая член P cos θ   dφ в электромагнитный потенциал.

Гравитационное замедление времени

Гравитационное замедление времени вблизи центрального тела определяется выражением $$\gamma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}},$$ что относится к локальной радиальной скорости убегания нейтральной частицы $$v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}{\gamma }}.$$

Символы Кристофера

Кристоффеля Символы $$\Gamma _{jk}^{i}=\sum _{s=0}^{3}\ {\frac {g^{is}}{2}}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{sk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{s}}}\right)$$ с индексами $$\{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\to \{t,\ r,\ \theta ,\ \varphi \}$$ дать неисчезающие выражения $${\begin{aligned}\Gamma _{tr}^{t}&={\frac {Mr-Q^{2}}{r(Q^{2}+r^{2}-2Mr)}}\\[6pt]\Gamma _{tt}^{r}&={\frac {(Mr-Q^{2})\left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r^{5}}}\\[6pt]\Gamma _{rr}^{r}&={\frac {Q^{2}-Mr}{r(Q^{2}-2Mr+r^{2})}}\\[6pt]\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=-{\frac {r^{2}-2Mr+Q^{2}}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{r}&=-{\frac {\sin ^{2}\theta \left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\theta r}^{\theta }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{\theta }&=-\sin \theta \cos \theta \\[6pt]\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \theta }^{\varphi }&=\cot \theta \end{aligned}}$$

Зная символы Кристоффеля, можно вычислить геодезические пробной частицы.

Tetrad form

Вместо работы в голономном базисе можно выполнять эффективные вычисления с тетрадой . Позволять ${\bf {e}}_{I}=e_{\mu I}$ быть множеством одноформ с внутренним индексом Минковского $I\in \{0,1,2,3\}$, такой, что $\eta ^{IJ}e_{\mu I}e_{\nu J}=g_{\mu \nu }$. Метрику Рейсснера можно описать тетрадой

${\bf {e}}_{0}=G^{1/2}\,dt$,

${\bf {e}}_{1}=G^{-1/2}\,dr$,

${\bf {e}}_{2}=r\,d\theta$

${\bf {e}}_{3}=r\sin \theta \,d\varphi$

где $G(r)=1-r_{s}r^{-1}+r_{Q}^{2}r^{-2}$. Параллельный транспорт тетрады захватывается одноформой соединения ${\boldsymbol {\omega }}_{IJ}=-{\boldsymbol {\omega }}_{JI}=\omega _{\mu IJ}=e_{I}^{\nu }\nabla _{\mu }e_{J\nu }$. Они имеют только 24 независимых компонента по сравнению с 40 компонентами $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$. Связи могут быть решены путем проверки уравнения Картана. $d{\bf {e}}_{I}={\bf {e}}^{J}\wedge {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}$, где левая часть — внешняя производная тетрады, а правая часть — произведение клина .

${\boldsymbol {\omega }}_{10}={\frac {1}{2}}\partial _{r}G\,dt$

${\boldsymbol {\omega }}_{20}={\boldsymbol {\omega }}_{30}=0$

${\boldsymbol {\omega }}_{21}=-G^{1/2}\,d\theta$

${\boldsymbol {\omega }}_{31}=-\sin \theta G^{1/2}d\varphi$

${\boldsymbol {\omega }}_{32}=-\cos \theta \,d\varphi$

Римана Тензор ${\bf {R}}_{IJ}=R_{\mu \nu IJ}$ может быть построена как совокупность двух форм с помощью второго уравнения Картана ${\bf {R}}_{IJ}=d{\boldsymbol {\omega }}_{IJ}+{\boldsymbol {\omega }}_{IK}\wedge {\boldsymbol {\omega }}^{K}{}_{J},$ который снова использует внешнюю производную и клиновое произведение. Этот подход значительно быстрее, чем традиционные вычисления с $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$; обратите внимание, что существует только четыре ненулевых ${\boldsymbol {\omega }}_{IJ}$ по сравнению с девятью ненулевыми компонентами $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$.

Уравнения движения

Из-за сферической симметрии метрики систему координат всегда можно выровнять таким образом, чтобы движение пробной частицы было ограничено плоскостью, поэтому для краткости и без ограничения общности мы используем θ вместо φ . В безразмерных натуральных единицах G = M = c = K = 1 движение электрически заряженной частицы с зарядом q определяется выражением $${\ddot {x}}^{i}=-\sum _{j=0}^{3}\ \sum _{k=0}^{3}\ \Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}_{k}}$$ что дает $${\ddot {t}}={\frac {\ 2(Q^{2}-Mr)}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {r}}{\dot {t}}+{\frac {qQ}{(r^{2}-2mr+Q^{2})}}\ {\dot {r}}$$ $${\ddot {r}}={\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})(Q^{2}-Mr)\ {\dot {t}}^{2}}{r^{5}}}+{\frac {(Mr-Q^{2}){\dot {r}}^{2}}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}+{\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})\ {\dot {\theta }}^{2}}{r}}+{\frac {qQ(r^{2}-2mr+Q^{2})}{r^{4}}}\ {\dot {t}}$$ $${\ddot {\theta }}=-{\frac {2\ {\dot {\theta }}\ {\dot {r}}}{r}}.$$

Все полные производные относятся к собственному времени. ${\dot {a}}={\frac {da}{d\tau }}$.

Константы движения определяются решениями $S(t,{\dot {t}},r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},\varphi ,{\dot {\varphi }})$ к уравнению в частных производных $$0={\dot {t}}{\dfrac {\partial S}{\partial t}}+{\dot {r}}{\frac {\partial S}{\partial r}}+{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial \theta }}+{\ddot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}+{\ddot {r}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {r}}}}+{\ddot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}$$ после замены вторых производных, приведенных выше. Сама метрика является решением, если ее записать в виде дифференциального уравнения. $$S_{1}=1=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,{\dot {t}}^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,{\dot {r}}^{2}-r^{2}\,{\dot {\theta }}^{2}.$$

Разделимое уравнение $${\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2}{r}}{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}=0$$ сразу дает постоянный релятивистский удельный угловой момент $$S_{2}=L=r^{2}{\dot {\theta }};$$ третья константа, полученная из $${\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2(Mr-Q^{2})}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}=0$$ - удельная энергия (энергия на единицу массы покоя) $$S_{3}=E={\frac {{\dot {t}}(r^{2}-2Mr+Q^{2})}{r^{2}}}+{\frac {qQ}{r}}.$$

Замена $S_{2}$ и $S_{3}$ в $S_{1}$ дает радиальное уравнение $$c\int d\,\tau =\int {\frac {r^{2}\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.$$

Умножив под знаком интеграла на $S_{2}$ дает орбитальное уравнение $$c\int Lr^{2}\,d\theta =\int {\frac {L\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.$$

Полное замедление времени между пробной частицей и наблюдателем на бесконечности равно $$\gamma ={\frac {q\ Q\ r^{3}+E\ r^{4}}{r^{2}\ (r^{2}-2r+Q^{2})}}.$$

Первые производные ${\dot {x}}^{i}$ и контравариантные компоненты локальной 3-скорости $v^{i}$ связаны $${\dot {x}}^{i}={\frac {v^{i}}{\sqrt {(1-v^{2})\ |g_{ii}|}}},$$ что дает начальные условия $${\dot {r}}={\frac {v_{\parallel }{\sqrt {r^{2}-2M+Q^{2}}}}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}$$ $${\dot {\theta }}={\frac {v_{\perp }}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}.$$

Удельная орбитальная энергия $$E={\frac {\sqrt {Q^{2}-2rM+r^{2}}}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}+{\frac {qQ}{r}}$$ и удельный относительный угловой момент $$L={\frac {v_{\perp }\ r}{\sqrt {1-v^{2}}}}$$ пробной частицы являются сохраняющимися величинами движения. $v_{\parallel }$ и $v_{\perp }$ — радиальная и поперечная компоненты локального вектора скорости. Следовательно, локальная скорость равна $$v={\sqrt {v_{\perp }^{2}+v_{\parallel }^{2}}}={\sqrt {\frac {(E^{2}-1)r^{2}-Q^{2}-r^{2}+2rM}{E^{2}r^{2}}}}.$$

Альтернативная формулировка метрики

Метрику можно выразить в форме Керра – Шилда следующим образом: $${\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\\[5pt]f&={\frac {G}{r^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]\\[5pt]\mathbf {k} &=(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {x}{r}},{\frac {y}{r}},{\frac {z}{r}}\right)\\[5pt]k_{0}&=1.\end{aligned}}$$

Обратите внимание, что k — единичный вектор . Здесь M — постоянная масса объекта, Q — постоянный заряд объекта, а η — тензор Минковского .

См. также

• Электрон черной дыры

Ссылки

• Адлер, Р.; Базен, М.; Шиффер, М. (1965). Введение в общую теорию относительности . Нью-Йорк: Книжная компания McGraw-Hill. стр. 395–401 . ISBN  978-0-07-000420-7 .
• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. стр. 158, 312–324. ISBN  978-0-226-87032-8 . Проверено 27 апреля 2013 г.

Внешние ссылки

• диаграммы пространства-времени , включая диаграмму Финкельштейна и диаграмму Пенроуза Эндрю Дж. С. Гамильтона.
• « Частица, движущаяся вокруг двух крайних черных дыр », Энрике Зелени, Демонстрационный проект Вольфрама .