десятичный

Десятичная iː система счисления также называемая десятичной позиционной системой счисления и десятичной / ˈ d n ər i / ( ^[1] или деканарий ) — стандартная система обозначения целых и нецелых чисел . на нецелые числа ( десятичные дроби ) Это расширение индийско-арабской системы счисления . Способ обозначения чисел в десятичной системе часто называют десятичной системой счисления . ^[2]

Десятичное число (также часто просто десятичное или, что менее правильно, десятичное число ), обычно относится к обозначению числа в десятичной системе счисления. Иногда десятичные дроби можно идентифицировать по десятичному разделителю (обычно «.» или «», например $25,9703$ или $3,1415$ ). ^[3]Десятичная дробь может также относиться конкретно к цифрам после десятичного разделителя, например, в « $3.14$ - это приближение $π$ к двум десятичным знакам ». Нулевые цифры после десятичного разделителя служат для обозначения точности значения.

Числа, которые могут быть представлены в десятичной системе, являются десятичными дробями . То есть дроби вида $a /10 н$ , где $a$ — целое число, а $n$ — неотрицательное целое число . Десятичные дроби также получаются в результате сложения целой и дробной части ; полученную сумму иногда называют дробным числом .

Десятичные дроби обычно используются для приближения действительных чисел. Увеличивая количество цифр после десятичного разделителя, можно сделать ошибки аппроксимации настолько малыми, насколько нужно, если у вас есть метод вычисления новых цифр.

Первоначально и в большинстве случаев десятичное число имело только конечное число цифр после десятичного разделителя. Однако десятичная система была расширена до бесконечных десятичных знаков для представления любого действительного числа за счет использования бесконечной последовательности цифр после десятичного разделителя (см. Десятичное представление ). В этом контексте обычные десятичные дроби с конечным числом ненулевых цифр после десятичного разделителя иногда называют конечными десятичными знаками . Повторяющаяся десятичная дробь — это бесконечная десятичная дробь, которая после некоторого места бесконечно повторяет одну и ту же последовательность цифр (например, $5,123144144144144... = 5,123 144$ ). ^[4] Бесконечная десятичная дробь представляет собой рациональное число , частное двух целых чисел, тогда и только тогда, когда оно является повторяющейся десятичной дробью или имеет конечное число ненулевых цифр.

Источник

Многие системы счисления древних цивилизаций используют число десять и его степени для представления чисел, возможно, потому, что на двух руках десять пальцев, и люди начали считать с помощью пальцев. Примерами являются сначала египетские цифры , затем цифры Брахми , греческие цифры , еврейские цифры , римские цифры и китайские цифры . Очень большие числа было трудно представить в этих старых системах счисления, и только лучшие математики могли умножать или делить большие числа. Эти трудности были полностью решены с введением индийско -арабской системы счисления для представления целых чисел . Эта система была расширена для представления некоторых нецелых чисел, называемых десятичными дробями или десятичными числами , для формирования десятичной системы счисления .

Десятичная запись

Для записи чисел в десятичной системе используются десять десятичных цифр , десятичный знак , а для отрицательных чисел — знак минус «-». Десятичные цифры: 0 , 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; ^[5] десятичный разделитель — точка « $.$ » во многих странах (в основном англоязычных), ^[6] и запятая " $,$ " в других странах. ^[3]

Для представления неотрицательного числа десятичное число состоит из

либо (конечная) последовательность цифр (например, «2017»), где вся последовательность представляет собой целое число:
$a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}$
или десятичный знак, разделяющий две последовательности цифр (например, «20,70828»)

a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}

.

Если $m > 0$ , то есть если первая последовательность содержит хотя бы две цифры, обычно предполагается, что первая цифра $a m$ не равна нулю. В некоторых случаях может быть полезно иметь один или несколько нулей слева; это не меняет значение, представленное десятичной дробью: например, $3,14 = 03,14 = 003,14$ . Аналогично, если последняя цифра справа от десятичной отметки равна нулю, то есть если $b n = 0$ , ее можно удалить; и наоборот, конечные нули могут быть добавлены после десятичной отметки без изменения представленного числа; ^{[примечание 1]} например, $15 = 15,0 = 15,00$ и $5,2 = 5,20 = 5,200$ .

Для обозначения отрицательного числа ставится знак минуса $перед буквой m$ .

цифра $a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}$ представляет число

a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}

.

Целая часть или целая часть десятичного числа — это целое число, записанное слева от десятичного разделителя (см. также усечение ). Для неотрицательного десятичного числа это наибольшее целое число, не превышающее десятичное. Часть от десятичного разделителя справа — это дробная часть , которая равна разнице между числом и его целой частью.

Когда целая часть числа равна нулю, обычно при вычислениях может случиться так, что целая часть не записывается (например, $.1234$ вместо $0,1234$ ). При обычном письме этого обычно избегают из-за риска путаницы между десятичным знаком и другими знаками препинания.

Короче говоря, вклад каждой цифры в значение числа зависит от ее положения в этом числе. То есть десятичная система — это позиционная система счисления .

Десятичные дроби

Десятичные дроби (иногда называемые десятичными числами , особенно в контексте явных дробей) — это рациональные числа , которые можно выразить в виде дроби которой , знаменатель представляет собой степень десяти. ^[7] Например, десятичные выражения $0.8,14.89,0.00079,1.618,3.14159$ представлять дроби $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ 4 / 5 ⁠$ , $⁠ 1489 / 100 ⁠$ , $⁠ 79 / 100000 ⁠$ , $⁠ + 809/500 ⁠$ и $⁠ + 314159/100000, и, следовательно ⁠$ обозначают десятичные дроби. Пример дроби, которую невозможно представить десятичным выражением (с конечным числом цифр): $⁠ 1/3 3 не является ⁠,$ степенью 10.

В более общем смысле десятичная дробь с $n$ цифрами после разделителя (точки или запятой) представляет собой дробь со знаменателем $10. н$ , числителем которого является целое число, полученное удалением разделителя.

Отсюда следует, что число является десятичной дробью тогда и только тогда, когда оно имеет конечное десятичное представление.

Выраженные в виде полностью приведенных дробей , десятичные числа — это те числа, знаменатель которых представляет собой произведение степени 2 на степень 5. Таким образом, наименьшие знаменатели десятичных чисел равны

1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},20=2^{2}\cdot 5^{1},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots

Приближение с использованием десятичных чисел

Десятичные числа не позволяют точно представить все действительные числа . Тем не менее, они позволяют аппроксимировать каждое действительное число с любой желаемой точностью, например, десятичное число 3,14159 приближает $π$ , будучи меньше 10. ⁻⁵ выключенный; Поэтому десятичные дроби широко используются в науке , технике и повседневной жизни.

Точнее, для каждого действительного числа $x$ и каждого положительного целого числа $n$ существуют два десятичных знака $L$ и $u$ с не более чем $n$ цифрами после запятой, такие что $L \leq x \leq u$ и $(u - L) = 10 - п$ .

Числа очень часто получаются в результате измерений . Поскольку измерения подвержены неопределенности измерения с известной верхней границей , результат измерения хорошо представляется десятичной дробью с $n$ цифрами после десятичного знака, как только абсолютная погрешность измерения ограничена сверху $10. - п$ . На практике результаты измерений часто даются с определенным количеством цифр после запятой, которые указывают границы погрешности. Например, хотя 0,080 и 0,08 обозначают одно и то же число, десятичная цифра 0,080 предполагает измерение с ошибкой менее 0,001, а цифра 0,08 указывает на абсолютную ошибку, ограниченную 0,01. В обоих случаях истинное значение измеряемой величины может составлять, например, 0,0803 или 0,0796 (см. также значащие цифры ).

Бесконечное десятичное расширение

Для вещественного числа $x$ и целого числа $n \geq 0$ пусть $[x] n$ обозначает (конечное) десятичное разложение наибольшего числа, не большего, чем $x$ , которое имеет ровно $n$ цифр после десятичной точки. Пусть $d i$ обозначает последнюю цифру $[x] i$ . Нетрудно видеть, что $[x] n$ можно получить добавлением $d n$ справа от $[x] n -1$ . Таким образом, у человека есть

[Икс] п знак равно [Икс] 0 . d 1 d 2 ... d n -1 d n

,

а разница $[x] n -1$ и $[x] n$ составляет

\left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n}<10^{-n+1}

,

который либо равен 0, если $d n = 0$ , либо становится сколь угодно малым при $стремлении n$ к бесконечности. Согласно определению предела , x $—$ это предел $[x] n,$ когда $n$ стремится к бесконечности . Это написано как ${\textstyle \;x=\lim _{n\rightarrow \infty }[x]_{n}\;}$ или

Икс знак равно [Икс] 0 . д 1 д 2 ... д н ...

,

называется бесконечным десятичным разложением x $которое$ .

И наоборот, для любого целого числа $[x] 0$ и любой последовательности цифр ${\textstyle \;(d_{n})_{n=1}^{\infty }}$ (бесконечное) выражение $[x] 0 . d 1 d 2 ... d n ...$ представляет собой бесконечное десятичное разложение действительного числа $x$ . Это разложение уникально, если ни все $d n$ не равны 9, ни все $d n$ не равны 0 для $достаточно большого n$ (для всех $n,$ больших некоторого натурального числа $N$ ).

Если все $d n$ для $n > N$ равны 9 и $[x] n = [x] 0 . d 1 d 2 ... d n$ , предел последовательности ${\textstyle \;([x]_{n})_{n=1}^{\infty }}$ — это десятичная дробь, полученная заменой последней цифры, отличной от 9, т. е.: $d N$ , на $d N + 1$ и заменой всех последующих девяток на 0 (см. 0,999... ).

Любая такая десятичная дробь, то есть: $d n = 0$ для $n > N$ , может быть преобразована в ее эквивалентное бесконечное десятичное разложение путем замены $d N$ на $d N - 1$ и замены всех последующих 0 на 9 (см. 0,999... ).

Таким образом, каждое действительное число, не являющееся десятичной дробью, имеет уникальное бесконечное десятичное разложение. Каждая десятичная дробь имеет ровно два бесконечных десятичных расширения: одно содержит только 0 после некоторого места, которое получается из приведенного выше определения $[x] n$ , а другое содержит только 9 после некоторого места, что получается путем определения $[x] n$ как наибольшее число, меньшее , имеющее $x$ ровно $n$ цифр после десятичной точки.

Рациональные числа

Деление в столбик позволяет вычислить бесконечное десятичное разложение рационального числа . Если рациональное число представляет собой десятичную дробь , деление в конце концов прекращается, образуя десятичное число, которое можно расширить до бесконечности, добавив бесконечное количество нулей. Если рациональное число не является десятичной дробью, деление может продолжаться бесконечно. Однако, поскольку все последовательные остатки меньше делителя, существует только конечное число возможных остатков, и после некоторого места одна и та же последовательность цифр должна повторяться бесконечно в частном. То есть имеется повторяющаяся десятичная дробь . Например,

⁠ 1/81 . ⁠ = 0. 012345679 бесконечно повторяющейся группой 012345679)

Верно и обратное: если в какой-то момент десятичного представления числа одна и та же строка цифр начинает повторяться бесконечно, число является рациональным.

Например, x если	0.4156156156...
тогда 10 х 000	4156.156156156...
и 10 х это	4.156156156...
итак, 10 000 x − 10 x , т. е. 9 990 x , равно	4152.000000000...
и х есть	⁠ 4152 / 9990 ⁠

или, разделив числитель и знаменатель на 6, ⁠ 692 / 1665 ⁠ .

Десятичные вычисления

Большинство современных компьютерных аппаратных и программных систем обычно используют внутреннее двоичное представление (хотя многие ранние компьютеры, такие как ENIAC или IBM 650 , использовали внутреннее десятичное представление). ^[8]Для внешнего использования специалистами по компьютерам это двоичное представление иногда представляется в соответствующих восьмеричных или шестнадцатеричных системах.

Однако в большинстве случаев двоичные значения преобразуются в эквивалентные десятичные значения или обратно для представления людям или ввода от них; компьютерные программы по умолчанию выражают литералы в десятичном формате. (Например, 123.1 записывается именно так в компьютерной программе, хотя многие компьютерные языки не способны точно закодировать это число.)

И компьютерное оборудование, и программное обеспечение также используют внутренние представления, которые фактически являются десятичными для хранения десятичных значений и выполнения арифметических операций. Часто эта арифметика выполняется над данными, которые закодированы с использованием какого-либо варианта двоично-десятичного числа . ^[9]^[10] особенно в реализациях баз данных, но используются и другие десятичные представления (включая десятичные числа с плавающей запятой , например, в новых версиях стандарта IEEE 754 для арифметики с плавающей запятой ). ^[11]

Десятичная арифметика используется в компьютерах, так что десятичные дробные результаты сложения (или вычитания) значений с фиксированной длиной их дробной части всегда вычисляются с той же точностью. Это особенно важно для финансовых расчетов, например, требующих в своих результатах целых чисел, кратных наименьшей денежной единице, для целей бухгалтерского учета. В двоичном формате это невозможно, потому что отрицательные степени $10$ не имеют конечного двоично-дробного представления; и вообще невозможно умножить (или разделить). ^[12]^[13] См. Арифметику произвольной точности для точных вычислений.

История

Многие древние культуры считали числа, основанные на десяти, возможно, потому, что на двух человеческих руках по десять пальцев. ^[14] Стандартизированные веса, использовавшиеся в цивилизации долины Инда ( ок. 3300–1300 гг. до н. э. ), основывались на соотношениях: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 и 500, а их стандартизированный правитель – правитель Мохенджо-Даро – был разделен на десять равных частей. ^[15]^[16]^[17] Египетские иероглифы , наблюдаемые примерно с 3000 г. до н.э., использовали чисто десятичную систему счисления. ^[18] как и линейное письмо А ( ок. 1800–1450 до н.э. ) минойцев . ^[19]^[20] и линейное письмо B (ок. 1400–1200 гг. до н. э.) микенцев . Унетицкая культура в Центральной Европе (2300–1600 гг. до н. э.) использовала в торговле стандартизированные веса и десятичную систему. ^[21] В системе счисления классической Греции также использовались степени десяти, включая промежуточное основание 5, как и в римских цифрах . ^[22] Примечательно, что эрудит Архимед (ок. 287–212 до н. э.) изобрел десятичную позиционную систему в своем «Песочном счете» , основанном на 10 ⁸. ^[22]^[23] Хеттские иероглифы (с 15 века до н. э.) также были строго десятичными. ^[24]

Египетские иератические цифры, цифры греческого алфавита, цифры еврейского алфавита, римские цифры, китайские цифры и ранние индийские цифры Брахми — все они представляют собой непозиционные десятичные системы и требуют большого количества символов. Например, в египетских цифрах использовались разные символы: от 10, от 20 до 90, от 100, от 200 до 900, 1000, 2000, 3000, 4000 и 10 000. ^[25]Первой в мире позиционной десятичной системой было китайское стержневое исчисление . ^[26]

Самая ранняя в мире позиционная десятичная система.
Вертикальная форма верхнего ряда
Нижний ряд горизонтальной формы

История десятичных дробей

Начиная со II века до нашей эры, некоторые китайские единицы длины основывались на делении на десять; к III веку нашей эры эти метрологические единицы использовались для непозиционного выражения десятичных дробей длин. ^[27] Расчеты с десятичными долями длин производились с помощью позиционных счетных палочек , как описано в III–V веках нашей эры Суньцзы Суаньцзин . Математик V века нашей эры Цзу Чунчжи вычислил семизначное приближение числа $π$ . Цинь Цзюшао В книге «Математический трактат в девяти разделах » (1247 г.) с использованием счетных палочек явно записана десятичная дробь, представляющая число, а не измерение. ^[28] Число 0,96644 обозначается

дюйм

.

Историки китайской науки предположили, что идея десятичных дробей могла быть передана из Китая на Ближний Восток. ^[26]

Аль-Хорезми представил дроби в исламских странах в начале 9 века нашей эры, записывая их с числителем вверху и знаменателем внизу, без горизонтальной черты. Эта форма дроби использовалась на протяжении веков. ^[26]^[29]

Позиционные десятичные дроби впервые появляются в книге арабского математика Абуль-Хасана аль-Уклидиси, написанной в X веке. ^[30] Еврейский математик Иммануил Бонфилс использовал десятичные дроби около 1350 года, но не разработал никаких обозначений для их представления. ^[31] Персидский математик Джамшид аль-Каши использовал десятичные дроби и утверждал, что открыл их в 15 веке. ^[30]

Предшественник современной европейской десятичной системы счисления был введен Саймоном Стевином в 16 веке. Влиятельный буклет Стевина De Thiende («Искусство десятых») был впервые опубликован на голландском языке в 1585 году и переведен на французский язык как La Disme . ^[32]

Джон Нэпьер представил использование точки (.) для отделения целой части десятичного числа от дробной части в своей книге по построению таблиц логарифмов, опубликованной посмертно в 1620 году. ^[33]^{: с. 8, архив с. 32)}

Естественные языки

В Индии появился метод выражения всех возможных натуральных чисел с помощью набора из десяти символов. ^[34] В нескольких индийских языках используется простая десятичная система. В дравидских языках есть числа от 10 до 20, выраженные обычным способом сложения до 10. ^{[ нужна ссылка ]}

В венгерском языке также используется простая десятичная система. Все числа от 10 до 20 образуются регулярно (например, 11 выражается как «тизенеги», буквально «один на десять»), как и числа от 20 до 100 (23 как «huszonhárom» = «три на двадцати»).

Простая десятичная система рангов со словом для каждого порядка (10 十 , 100 百 , 1000 千 , 10 000 万 ), в которой 11 выражается как десять-один , 23 как два-десять-три , а 89 345 выражается как 8. (десять тысяч) 万 9 (тысяча) 千 3 (сто) 百 4 (десятки) 十 5 встречается в китайском и вьетнамском языках с некоторыми неточностями. Японцы , корейцы и тайцы импортировали китайскую десятичную систему. Во многих других языках с десятичной системой есть специальные слова для чисел от 10 до 20 и десятилетий. Например, в английском языке 11 — это «одиннадцать», а не «десять-один» или «один-тин».

Языки инков, такие как кечуа и аймара, имеют почти простую десятичную систему, в которой 11 выражается как десять с одним , а 23 — как два-десять с тремя .

Некоторые психологи предполагают, что неточности в английских названиях цифр могут препятствовать умению детей считать. ^[35]

Другие базы

Некоторые культуры используют или использовали другие системы исчисления.

Доколумбовые мезоамериканские культуры, такие как майя, использовали систему с основанием 20 (возможно, основанную на использовании всех двадцати пальцев рук и ног ).
Язык юки в Калифорнии и памеанские языки ^[36] в Мексике есть восьмеричная система ( с основанием -8), потому что говорящие считают, используя промежутки между пальцами, а не сами пальцы. ^[37]
Существование недесятичной системы счисления в самых ранних следах германских языков подтверждается наличием слов и глосс, означающих, что счет ведется в десятичной форме (родственно «десятикратному счету» или «десятикратному»); такого можно было бы ожидать, если бы обычный счет не был десятичным, и необычным, если бы он был десятичным. ^[38]^[39] Там, где известна эта система счета, она основана на « длинной сотне » = 120 и «длинной тысяче» 1200. Такие описания, как «длинная сотня», появляются только после того, как у христиан появилась «малая сотня» из 100. Введение Гордона в древнескандинавский язык. Архивировано 15 апреля 2016 г. в Wayback Machine, с. 293, дает названия чисел, принадлежащих к этой системе. Выражение, родственное слову «сто восемьдесят», переводится как 200, а родственное слову «двести» — 240. Гудэр ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} подробно описывает использование длинной сотни в Шотландии в средние века, приводя такие примеры, как расчеты, в которых перенос подразумевает i C (то есть сто) как 120 и т. д. То, что население в целом не встревожило столкновение с такими числами, предполагает достаточно распространенное использование. . Также можно избежать чисел, подобных сотням, используя промежуточные единицы, такие как стоуны и фунты, вместо длинного счета фунтов. Гудэр приводит примеры таких чисел, как оценка vii, где можно избежать сотни, используя расширенные оценки. Существует также статья У.Х. Стивенсона «Длинная сотня и ее использование в Англии». ^[40]^[41]
Многие или все чумашанские языки изначально использовали систему счета с основанием 4 , в которой названия чисел были структурированы в соответствии с числами, кратными 4 и 16 . ^[42]
Многие языки ^[43] использовать пятеричную систему счисления (с основанием 5) , включая Gumatj , Nunggubuyu , ^[44] Куурн Копан Нут ^[45] и Саравеца . Из них гуматдж - единственный известный настоящий язык с числом 5–25, в котором 25 представляет собой высшую группу из 5.
Некоторые нигерийцы используют двенадцатеричную систему. ^[46] То же самое сделали и некоторые небольшие общины в Индии и Непале, о чем свидетельствует их язык. ^[47]
Сообщается, что язык хули в Папуа-Новой Гвинее имеет числа с основанием 15 . ^[48] Нгуи означает 15, нгуи ки означает 15 × 2 = 30, а нгуи нгуи означает 15 × 15 = 225.
Умбу-Унгу Сообщается, что , также известный как Каколи, имеет числа с основанием 24 . ^[49] Токапу означает 24, токапу талу означает 24 × 2 = 48, а токапу токапу означает 24 × 24 = 576.
Нгити Сообщается, что имеет систему счисления по основанию 32 с циклами по основанию 4. ^[43]
в языке ндом в Папуа-Новой Гвинее Сообщается, что используются цифры с основанием 6 . ^[50] Mer означает 6, mer an thef означает 6 × 2 = 12, nif означает 36, а nif thef означает 36 × 2 = 72.

См. также

Примечания

^ Иногда дополнительные нули используются для обозначения точности измерения. Например, «15,00 м» может означать, что погрешность измерения составляет менее одного сантиметра (0,01 м), а «15 м» может означать, что длина составляет примерно пятнадцать метров и что погрешность может превышать 10 сантиметров.

Ссылки

^ «денарий» . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации .)
^ Йонг, Лам Лэй; Се, Анг Тиан (апрель 2004 г.). Мимолетные шаги . Всемирная научная . 268. дои : 10.1142/5425 . ISBN 978-981-238-696-0 . Архивировано из оригинала 1 апреля 2023 года . Проверено 17 марта 2022 г.
^ Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. (10 марта 2022 г.). «Десятичная точка» . Вольфрам Математический мир . Архивировано из оригинала 21 марта 2022 года . Проверено 17 марта 2022 г.
^ Винкулум (верхняя линия) в 5.123 144 указывает, что последовательность «144» повторяется бесконечно, т.е. 5.123 144 144 144 144 ... .
^ В некоторых странах, например в странах, говорящих на арабском языке другие глифы . , для цифр используются
^ Вайсштейн, Эрик В. «Десятичный» . mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 18 марта 2020 г. Проверено 22 августа 2020 г.
^ «Десятичная дробь» . Энциклопедия математики . Архивировано из оригинала 11 декабря 2013 г. Проверено 18 июня 2013 г.
^ «Пальцы или кулаки? (Выбор десятичного или двоичного представления)», Вернер Бухгольц , Сообщения ACM , Vol. 2 № 12, стр. 3–11, ACM Press, декабрь 1959 г.
^ Шмид, Герман (1983) [1974]. Десятичные вычисления (1 (переиздание) изд.). Малабар, Флорида: Издательская компания Роберта Э. Кригера. ISBN 0-89874-318-4 .
^ Шмид, Герман (1974). Десятичные вычисления (1-е изд.). Бингемтон, Нью-Йорк: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-76180-Х .
^ Десятичные числа с плавающей запятой: алгоритм для компьютеров , Коулишоу, Майк Ф. , Труды 16-го симпозиума IEEE по компьютерной арифметике , ISBN 0-7695-1894-X , стр. 104–11, IEEE Comp. Соц., 2003 г.
^ «Десятичная арифметика – Часто задаваемые вопросы» . Архивировано из оригинала 29 апреля 2009 г. Проверено 15 августа 2008 г.
^ Десятичные числа с плавающей запятой: алгоритм для компьютеров. Архивировано 16 ноября 2003 г. в Wayback Machine , Коулишоу , М.Ф., Труды 16-го симпозиума IEEE по компьютерной арифметике ( ARITH 16. Архивировано 19 августа 2010 г. в Wayback Machine ), ISBN 0-7695-1894-X , стр. 104–11, IEEE Comp. Социум, июнь 2003 г.
^ Данциг, Тобиас (1954), Число / Язык науки (4-е изд.), The Free Press (Macmillan Publishing Co.), стр. 12, ISBN 0-02-906990-4
^ Серджент, Бернар (1997), Бытие Индии (на французском языке), Париж: Payot, стр. 113, ISBN 2-228-89116-9
^ Коппа, А.; и др. (2006). «Ранненеолитическая традиция стоматологии: кремневые насадки были удивительно эффективны для сверления зубной эмали у доисторического населения». Природа . 440 (7085): 755–56. Бибкод : 2006Natur.440..755C . дои : 10.1038/440755a . ПМИД 16598247 . S2CID 6787162 .
^ Бишт, Р.С. (1982), «Раскопки в Банавали: 1974–77», в Посселе, Грегори Л. (редактор), Хараппская цивилизация: современная перспектива , Нью-Дели: Oxford and IBH Publishing Co., стр. 113– 24
^ Жорж Ифра: От одного до нуля. Универсальная история чисел , Penguin Books, 1988, ISBN 0-14-009919-0 , стр. 200–13 (египетские цифры)
^ Грэм Флегг: Числа: их история и значение, Courier Dover Publications, 2002, ISBN 978-0-486-42165-0 , с. 50
^ Жорж Ифра: От одного до нуля. Универсальная история чисел , Penguin Books, 1988, ISBN 0-14-009919-0 , стр. 213–18 (критские цифры)
^ Краузе, Харальд; Кучер, Сабрина (2017). «Обердингский барный клад: итоги и обзор». Барный клад Обердинга . Музей Эрдинга. стр. 238–243. ISBN 978-3-9817606-5-1 .
^ Jump up to: ^а ^б «Греческие числа» . Архивировано из оригинала 21 июля 2019 г. Проверено 21 июля 2019 г.
^ Меннингер, Карл : Цифры и цифры. Культурная история чисел , Ванденхук и Рупрехт, 3-е. изд., 1979, ISBN 3-525-40725-4 , стр. 150–53.
^ Жорж Ифра: От одного до нуля. Универсальная история чисел , Penguin Books, 1988, ISBN 0-14-009919-0 , стр. 218f. (Хеттская иероглифическая система)
^ Лам Лэй Йонг и др. Мимолетные шаги, стр. 137–39.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Лам Лай Йонг , «Развитие индуистско-арабской и традиционной китайской арифметики», Chinese Science , 1996, стр. 38, обозначения Курта Фогеля
^ Джозеф Нидэм (1959). «19.2 Десятичные дроби, метрология и обработка больших чисел». Наука и цивилизация в Китае . Том. III, «Математика и науки о небе и земле». Издательство Кембриджского университета. стр. 82–90.
^ Жан-Клод Марцлофф, История китайской математики, Springer 1997. ISBN 3-540-33782-2
^ Лэй Ён, Лам . «Китайское Бытие, переписывающее историю нашей системы счисления». Архив истории точных наук . 38 : 101–08.
^ Jump up to: ^а ^б Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». В Каце, Виктор Дж. (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Издательство Принстонского университета. п. 530. ИСБН 978-0-691-11485-9 .
^ Гандз, С .: Изобретение десятичных дробей и применение экспоненциального исчисления Иммануэлем Бонфилсом из Тараскона (около 1350 г.), Isis 25 (1936), 16–45.
^ Б.Л. ван дер Варден (1985). История алгебры. От Хорезми до Эмми Нётер . Берлин: Springer-Verlag.
^ Нэпьер, Джон (1889) [1620]. Построение чудесного канона логарифмов . Перевод Макдональда, Уильям Рэй. Эдинбург: Blackwood & Sons - через Интернет-архив. В числах, отличающихся таким образом точкой в середине, все, что написано после точки, является дробью, знаменателем которой является единица, а после нее - столько цифр, сколько цифр после точки.
^ «Индийские цифры» . Древнеиндийская математика .
^ Азар, Бет (1999). «Английские слова могут препятствовать развитию математических навыков» . Монитор Американской психологической ассоциации . 30 (4). Архивировано из оригинала 21 октября 2007 г.
^ Авелино, Эриберто (2006). «Типология систем счисления Пейма и пределы Мезоамерики как лингвистической области» (PDF) . Лингвистическая типология . 10 (1): 41–60. дои : 10.1515/LINGTY.2006.002 . S2CID 20412558 . Архивировано (PDF) из оригинала 12 июля 2006 г.
^ Марсия Ашер . «Этноматематика: мультикультурный взгляд на математические идеи». Математический журнал колледжа. JSTOR 2686959 .
^ МакКлин, Р.Дж. (июль 1958 г.), «Наблюдения за германскими цифрами», German Life and Letters , 11 (4): 293–99, doi : 10.1111/j.1468-0483.1958.tb00018.x , Появляются некоторые германские языки . чтобы показать следы древнего смешения десятичной системы с десятичной .
^ Войлс, Джозеф (октябрь 1987 г.), «Кардинальные числительные в до- и протогерманском языке», Журнал английской и германской филологии , 86 (4): 487–95, JSTOR 27709904 .
^ Стивенсон, WH (1890). «Длинная сотня и ее использование в Англии». Археологический обзор . Декабрь 1889 г.: 313–22.
^ Пул, Реджинальд Лейн (2006). Казначейство в двенадцатом веке: лекции Форда, прочитанные в Оксфордском университете в Михайловский семестр 1911 года . Кларк, Нью-Джерси: Обмен юридическими книгами. ISBN 1-58477-658-7 . OCLC 76960942 .
^ Сохранился список числовых слов языка Вентуреньо до 32, записанный испанским священником ок. 1819. «Чумашанские цифры» Мэдисона С. Билера, в журнале Native American Mathematics под редакцией Майкла П. Клосса (1986), ISBN 0-292-75531-7 .
^ Jump up to: ^а ^б Хаммарстрем, Харальд (17 мая 2007 г.). «Редкости в системах счисления». В Вольгемуте, Ян; Сайсоу, Майкл (ред.). Переосмысление универсалий: как редкости влияют на лингвистическую теорию (PDF) . Эмпирические подходы к типологии языка. Том. 45. Берлин: Мутон де Грюйтер (опубликовано в 2010 г.). Архивировано из оригинала (PDF) 19 августа 2007 года.
^ Харрис, Джон (1982). Харгрейв, Сюзанна (ред.). «Факты и заблуждения аборигенных систем счисления» (PDF) . Рабочие документы SIL-AAB серии B. 8 : 153–81. Архивировано из оригинала (PDF) 31 августа 2007 г.
^ Доусон, Дж. « Австралийские аборигены: языки и обычаи нескольких племен аборигенов в западном округе Виктории (1881), стр. xcviii.
^ Мацусита, Сюдзи (1998). Десятичная и двенадцатеричная системы счисления: взаимодействие двух систем счисления . 2-е заседание AFLANG, октябрь 1998 г., Токио. Архивировано из оригинала 5 октября 2008 г. Проверено 29 мая 2011 г.
^ Мазодон, Мартина (2002). «Принципы построения чисел в тибето-бирманских языках». У Франсуа, Жак (ред.). Множественность (PDF) . Левен: Питерс. стр. 91–119. ISBN 90-429-1295-2 . Архивировано из оригинала (PDF) 28 марта 2016 г. Проверено 12 сентября 2014 г.
^ Читам, Брайан (1978). «Счет и число в Хули» . Образовательный журнал Папуа-Новой Гвинеи . 14 :16–35. Архивировано из оригинала 28 сентября 2007 г.
^ Бауэрс, Нэнси; Лепи, Пундиа (1975). «Системы исчисления долины Каугель» (PDF) . Журнал Полинезийского общества . 84 (3): 309–24. Архивировано из оригинала (PDF) 4 июня 2011 г.
^ Оуэнс, Кей (2001), «Работа Глендона Лина о системах счета Папуа-Новой Гвинеи и Океании» , , Журнал исследований математического образования , 13 (1): 47–71, Бибкод : 2001MEdRJ..13...47O , doi : 10.1007/BF03217098 , S2CID 161535519 , заархивировано из оригинала 26 сентября 2015 г.

[7] Иногда дополнительные нули используются для обозначения точности измерения. Например, «15,00 м» может означать, что погрешность измерения составляет менее одного сантиметра (0,01 м), а «15 м» может означать, что длина составляет примерно пятнадцать метров и что погрешность может превышать 10 сантиметров.

[1] «денарий» . Оксфордский словарь английского языка (онлайн-изд.). Издательство Оксфордского университета . (Требуется подписка или членство участвующей организации .)

[2] Йонг, Лам Лэй; Се, Анг Тиан (апрель 2004 г.). Мимолетные шаги . Всемирная научная . 268. дои : 10.1142/5425 . ISBN 978-981-238-696-0 . Архивировано из оригинала 1 апреля 2023 года . Проверено 17 марта 2022 г.

[:1-3] Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. (10 марта 2022 г.). «Десятичная точка» . Вольфрам Математический мир . Архивировано из оригинала 21 марта 2022 года . Проверено 17 марта 2022 г.

[4] Винкулум (верхняя линия) в 5.123 144 указывает, что последовательность «144» повторяется бесконечно, т.е. 5.123 144 144 144 144 ... .

[5] В некоторых странах, например в странах, говорящих на арабском языке другие глифы . , для цифр используются

[6] Вайсштейн, Эрик В. «Десятичный» . mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 18 марта 2020 г. Проверено 22 августа 2020 г.

[8] «Десятичная дробь» . Энциклопедия математики . Архивировано из оригинала 11 декабря 2013 г. Проверено 18 июня 2013 г.

[9] «Пальцы или кулаки? (Выбор десятичного или двоичного представления)», Вернер Бухгольц , Сообщения ACM , Vol. 2 № 12, стр. 3–11, ACM Press, декабрь 1959 г.

[Schmid_1983-10] Шмид, Герман (1983) [1974]. Десятичные вычисления (1 (переиздание) изд.). Малабар, Флорида: Издательская компания Роберта Э. Кригера. ISBN 0-89874-318-4 .

[Schmid_1974-11] Шмид, Герман (1974). Десятичные вычисления (1-е изд.). Бингемтон, Нью-Йорк: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-76180-Х .

[12] Десятичные числа с плавающей запятой: алгоритм для компьютеров , Коулишоу, Майк Ф. , Труды 16-го симпозиума IEEE по компьютерной арифметике , ISBN 0-7695-1894-X , стр. 104–11, IEEE Comp. Соц., 2003 г.

[13] «Десятичная арифметика – Часто задаваемые вопросы» . Архивировано из оригинала 29 апреля 2009 г. Проверено 15 августа 2008 г.

[14] Десятичные числа с плавающей запятой: алгоритм для компьютеров. Архивировано 16 ноября 2003 г. в Wayback Machine , Коулишоу , М.Ф., Труды 16-го симпозиума IEEE по компьютерной арифметике ( ARITH 16. Архивировано 19 августа 2010 г. в Wayback Machine ), ISBN 0-7695-1894-X , стр. 104–11, IEEE Comp. Социум, июнь 2003 г.

[15] Данциг, Тобиас (1954), Число / Язык науки (4-е изд.), The Free Press (Macmillan Publishing Co.), стр. 12, ISBN 0-02-906990-4

[16] Серджент, Бернар (1997), Бытие Индии (на французском языке), Париж: Payot, стр. 113, ISBN 2-228-89116-9

[17] Коппа, А.; и др. (2006). «Ранненеолитическая традиция стоматологии: кремневые насадки были удивительно эффективны для сверления зубной эмали у доисторического населения». Природа . 440 (7085): 755–56. Бибкод : 2006Natur.440..755C . дои : 10.1038/440755a . ПМИД 16598247 . S2CID 6787162 .

[18] Бишт, Р.С. (1982), «Раскопки в Банавали: 1974–77», в Посселе, Грегори Л. (редактор), Хараппская цивилизация: современная перспектива , Нью-Дели: Oxford and IBH Publishing Co., стр. 113– 24

[19] Жорж Ифра: От одного до нуля. Универсальная история чисел , Penguin Books, 1988, ISBN 0-14-009919-0 , стр. 200–13 (египетские цифры)

[20] Грэм Флегг: Числа: их история и значение, Courier Dover Publications, 2002, ISBN 978-0-486-42165-0 , с. 50

[21] Жорж Ифра: От одного до нуля. Универсальная история чисел , Penguin Books, 1988, ISBN 0-14-009919-0 , стр. 213–18 (критские цифры)

[22] Краузе, Харальд; Кучер, Сабрина (2017). «Обердингский барный клад: итоги и обзор». Барный клад Обердинга . Музей Эрдинга. стр. 238–243. ISBN 978-3-9817606-5-1 .

[Greek_numerals-23] Jump up to: ^а ^б «Греческие числа» . Архивировано из оригинала 21 июля 2019 г. Проверено 21 июля 2019 г.

[24] Меннингер, Карл : Цифры и цифры. Культурная история чисел , Ванденхук и Рупрехт, 3-е. изд., 1979, ISBN 3-525-40725-4 , стр. 150–53.

[25] Жорж Ифра: От одного до нуля. Универсальная история чисел , Penguin Books, 1988, ISBN 0-14-009919-0 , стр. 218f. (Хеттская иероглифическая система)

[26] Лам Лэй Йонг и др. Мимолетные шаги, стр. 137–39.

[Lam-27] Jump up to: ^а ^б ^с Лам Лай Йонг , «Развитие индуистско-арабской и традиционной китайской арифметики», Chinese Science , 1996, стр. 38, обозначения Курта Фогеля

[jnfractn1-28] Джозеф Нидэм (1959). «19.2 Десятичные дроби, метрология и обработка больших чисел». Наука и цивилизация в Китае . Том. III, «Математика и науки о небе и земле». Издательство Кембриджского университета. стр. 82–90.

[29] Жан-Клод Марцлофф, История китайской математики, Springer 1997. ISBN 3-540-33782-2

[30] Лэй Ён, Лам . «Китайское Бытие, переписывающее историю нашей системы счисления». Архив истории точных наук . 38 : 101–08.

[Berggren-31] Jump up to: ^а ^б Берггрен, Дж. Леннарт (2007). «Математика в средневековом исламе». В Каце, Виктор Дж. (ред.). Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник . Издательство Принстонского университета. п. 530. ИСБН 978-0-691-11485-9 .

[32] Гандз, С .: Изобретение десятичных дробей и применение экспоненциального исчисления Иммануэлем Бонфилсом из Тараскона (около 1350 г.), Isis 25 (1936), 16–45.

[van-33] Б.Л. ван дер Варден (1985). История алгебры. От Хорезми до Эмми Нётер . Берлин: Springer-Verlag.

[constructionIA-34] Нэпьер, Джон (1889) [1620]. Построение чудесного канона логарифмов . Перевод Макдональда, Уильям Рэй. Эдинбург: Blackwood & Sons - через Интернет-архив. В числах, отличающихся таким образом точкой в середине, все, что написано после точки, является дробью, знаменателем которой является единица, а после нее - столько цифр, сколько цифр после точки.

[35] «Индийские цифры» . Древнеиндийская математика .

[36] Азар, Бет (1999). «Английские слова могут препятствовать развитию математических навыков» . Монитор Американской психологической ассоциации . 30 (4). Архивировано из оригинала 21 октября 2007 г.

[37] Авелино, Эриберто (2006). «Типология систем счисления Пейма и пределы Мезоамерики как лингвистической области» (PDF) . Лингвистическая типология . 10 (1): 41–60. дои : 10.1515/LINGTY.2006.002 . S2CID 20412558 . Архивировано (PDF) из оригинала 12 июля 2006 г.

[38] Марсия Ашер . «Этноматематика: мультикультурный взгляд на математические идеи». Математический журнал колледжа. JSTOR 2686959 .

[39] МакКлин, Р.Дж. (июль 1958 г.), «Наблюдения за германскими цифрами», German Life and Letters , 11 (4): 293–99, doi : 10.1111/j.1468-0483.1958.tb00018.x , Появляются некоторые германские языки . чтобы показать следы древнего смешения десятичной системы с десятичной .

[40] Войлс, Джозеф (октябрь 1987 г.), «Кардинальные числительные в до- и протогерманском языке», Журнал английской и германской филологии , 86 (4): 487–95, JSTOR 27709904 .

[41] Стивенсон, WH (1890). «Длинная сотня и ее использование в Англии». Археологический обзор . Декабрь 1889 г.: 313–22.

[42] Пул, Реджинальд Лейн (2006). Казначейство в двенадцатом веке: лекции Форда, прочитанные в Оксфордском университете в Михайловский семестр 1911 года . Кларк, Нью-Джерси: Обмен юридическими книгами. ISBN 1-58477-658-7 . OCLC 76960942 .

[43] Сохранился список числовых слов языка Вентуреньо до 32, записанный испанским священником ок. 1819. «Чумашанские цифры» Мэдисона С. Билера, в журнале Native American Mathematics под редакцией Майкла П. Клосса (1986), ISBN 0-292-75531-7 .

[Hammarstrom_2010-44] Jump up to: ^а ^б Хаммарстрем, Харальд (17 мая 2007 г.). «Редкости в системах счисления». В Вольгемуте, Ян; Сайсоу, Майкл (ред.). Переосмысление универсалий: как редкости влияют на лингвистическую теорию (PDF) . Эмпирические подходы к типологии языка. Том. 45. Берлин: Мутон де Грюйтер (опубликовано в 2010 г.). Архивировано из оригинала (PDF) 19 августа 2007 года.

[45] Харрис, Джон (1982). Харгрейв, Сюзанна (ред.). «Факты и заблуждения аборигенных систем счисления» (PDF) . Рабочие документы SIL-AAB серии B. 8 : 153–81. Архивировано из оригинала (PDF) 31 августа 2007 г.

[46] Доусон, Дж. « Австралийские аборигены: языки и обычаи нескольких племен аборигенов в западном округе Виктории (1881), стр. xcviii.

[47] Мацусита, Сюдзи (1998). Десятичная и двенадцатеричная системы счисления: взаимодействие двух систем счисления . 2-е заседание AFLANG, октябрь 1998 г., Токио. Архивировано из оригинала 5 октября 2008 г. Проверено 29 мая 2011 г.

[48] Мазодон, Мартина (2002). «Принципы построения чисел в тибето-бирманских языках». У Франсуа, Жак (ред.). Множественность (PDF) . Левен: Питерс. стр. 91–119. ISBN 90-429-1295-2 . Архивировано из оригинала (PDF) 28 марта 2016 г. Проверено 12 сентября 2014 г.

[49] Читам, Брайан (1978). «Счет и число в Хули» . Образовательный журнал Папуа-Новой Гвинеи . 14 :16–35. Архивировано из оригинала 28 сентября 2007 г.

[50] Бауэрс, Нэнси; Лепи, Пундиа (1975). «Системы исчисления долины Каугель» (PDF) . Журнал Полинезийского общества . 84 (3): 309–24. Архивировано из оригинала (PDF) 4 июня 2011 г.

[51] Оуэнс, Кей (2001), «Работа Глендона Лина о системах счета Папуа-Новой Гвинеи и Океании» , , Журнал исследований математического образования , 13 (1): 47–71, Бибкод : 2001MEdRJ..13...47O , doi : 10.1007/BF03217098 , S2CID 161535519 , заархивировано из оригинала 26 сентября 2015 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[примечание 1]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

v т и Порядки величины
Quantity	Acceleration Angular momentum Area Bit rate Charge Computing Current Data Density Energy / Energy density Entropy Force Frequency Illuminance Length Luminance Magnetic moment Magnetic field Mass Molarity Numbers Power Pressure Probability Radiation Sound pressure Specific heat capacity Speed Temperature Torque Time Voltage Volume
See also	Back-of-the-envelope calculation Best-selling electronic devices Fermi problem Powers of 10 and decades 10th 100th 1000000th Metric (SI) prefix Macroscopic scale Microscopic scale
Related	Astronomical system of units Earth's location in the Universe Cosmic View (1957 book) To the Moon and Beyond (1964 film) Cosmic Zoom (1968 film) Powers of Ten (1968 and 1977 films) Cosmic Voyage (1996 documentary) The Scale of the Universe (2010) Cosmic Eye (2012)
Category