Jump to content

Логическое соединение

(Перенаправлено из Логического соединения )
Логическое соединение
И
Диаграмма Венна логического соединения
Определение
Таблица истинности
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивный
соединительный
Полином Жегалкина
Решетки постовые
0-сохраняющий да
1-сохраняющий да
монотонный нет
Аффинный нет
Самодвойственный нет
Венна Диаграмма

В логике , математике и лингвистике , и ( ) — это истинно-функциональный оператор конъюнкции или логической конъюнкции . Логическая связка этого оператора обычно представляется как [1] или или (префикс) или или [2] в котором является наиболее современным и широко используемым.

Оператор «И» набора операндов истинен тогда и только тогда, когда все его операнды истинны, т. е. верно тогда и только тогда, когда это правда и это правда.

Операндом союза является конъюнкт . [3]

Помимо логики, термин «соединение» также относится к аналогичным понятиям в других областях:

Обозначения

[ редактировать ]

И обычно обозначается инфиксным оператором: в математике и логике он обозначается (Юникод U+2227 ЛОГИЧЕСКОЕ И ), [1] или ; в электронике, ; и в языках программирования, &, &&, или and. В Яна Лукасевича префиксной записи логики оператор , для польского союза . [4]

Определение

[ редактировать ]

Логическое соединение — это операция над двумя логическими значениями , обычно значениями двух высказываний , которая дает значение true тогда и только тогда (также известное как iff), оба ее операнда истинны. [2] [1]

Конъюнктивное тождество истинно, то есть операция И с выражением со значением true никогда не изменит значение выражения. В соответствии с концепцией « пустой истины» , когда конъюнкция определяется как оператор или функция произвольной арности , пустая конъюнкция (команда «И» над пустым набором операндов) часто определяется как имеющая истинный результат.

Таблица истинности

[ редактировать ]
Объединение аргументов слева — Истинный бит s образует треугольник Серпинского .

Таблица истинности : [1] [2]

Ф Ф Ф
Ф Т Ф
Т Ф Ф
Т Т Т

Определено другими операторами

[ редактировать ]

В системах, где логическое соединение не является примитивом, его можно определить как [5]

или

Правила введения и исключения

[ редактировать ]

Как правило, введение союза представляет собой классически допустимую и простую форму аргумента . Форма аргументации имеет две предпосылки: и . Интуитивно это позволяет сделать вывод об их соединении.

,
.
Следовательно А и Б. ,

или в логического оператора записи :

Вот пример аргумента, который соответствует введению союза формы :

Боб любит яблоки.
Боб любит апельсины.
Следовательно, Боб любит яблоки, а Боб любит апельсины.

Устранение союза – еще одна классически допустимая и простая форма аргументации . Интуитивно это позволяет сделать вывод из любого соединения любого элемента этого соединения.

и .
Поэтому, .

...или альтернативно,

и .
Поэтому, .

В логического оператора записи :

...или альтернативно,

Отрицание

[ редактировать ]

Определение

[ редактировать ]

Союз оказывается ложным путем установления либо или . С точки зрения объектного языка это звучит так:

Эту формулу можно рассматривать как частный случай

когда это ложное предложение.

Другие стратегии доказательства

[ редактировать ]

Если подразумевает , то оба а также докажите ложность союза:

Другими словами, ложность конъюнкции на самом деле можно доказать, просто зная об отношении ее конъюнктов, и не обязательно об их истинностных значениях.

Эту формулу можно рассматривать как частный случай

когда это ложное предложение.

Любое из вышеперечисленных является конструктивно действительным доказательством от противного.

Характеристики

[ редактировать ]

коммутативность : да

        
        

ассоциативность : да [6]

        
                

дистрибутивность : с различными операциями, особенно с или

        
                

идемпотентность : да

        
        

монотонность : да

        
                

сохранение правды: да
Когда все входные данные верны, выходные данные верны.

        
        
(будет протестирован)

сохранение ложности: да
Когда все входные данные ложны, выходной сигнал является ложным.

        
        
(будет протестирован)

Спектр Уолша : (1,-1,-1,1)

Нелинейность ) : 1 функция изогнута (

Если использовать двоичные значения для истинного (1) и ложного (0), логическое соединение работает точно так же, как обычное арифметическое умножение .

Приложения в компьютерной технике

[ редактировать ]
И логический вентиль

В компьютерном программировании высокого уровня и цифровой электронике логическое соединение обычно представляется инфиксным оператором, обычно в виде ключевого слова, такого как « AND", алгебраическое умножение или символ амперсанда & (иногда удваивается, как в &&). Многие языки также предоставляют структуры управления коротким замыканием, соответствующие логическому соединению.

Логическое соединение часто используется для поразрядных операций, где 0 соответствует ложному и 1 к истине:

  • 0 AND 0  =  0,
  • 0 AND 1  =  0,
  • 1 AND 0  =  0,
  • 1 AND 1  =  1.

Эту операцию также можно применить к двум двоичным словам, рассматриваемым как цепочки битов одинаковой длины, путем выполнения поразрядного И для каждой пары битов в соответствующих позициях. Например:

  • 11000110 AND 10100011  =  10000010.

Это можно использовать для выбора части битовой строки с помощью битовой маски . Например, 10011101 AND 00001000  =  00001000 извлекает четвертый бит из 8-битной строки битов.

В компьютерных сетях битовые маски используются для получения сетевого адреса подсети внутри существующей сети из заданного IP-адреса путем объединения IP-адреса и маски подсети с помощью операции AND .

Логическое соединение» AND" также используется в операциях SQL для формирования к базе данных запросов .

Соответствие Карри-Ховарда связывает логическое соединение с типами продуктов .

Теоретико-множественное соответствие

[ редактировать ]

Принадлежность элемента множества пересечений в теории множеств определяется в терминах логической конъюнкции: тогда и только тогда, когда . Благодаря этому соответствию теоретико-множественное пересечение разделяет некоторые свойства с логическим соединением, такие как ассоциативность , коммутативность и идемпотентность .

Естественный язык

[ редактировать ]

Как и другие понятия, формализованные в математической логике, логический союз и связан с грамматическим союзом и в естественных языках, но не то же самое.

Английское «и» имеет свойства, не выраженные логическим союзом. Например, «и» иногда подразумевает порядок, имеющий смысл «тогда». Например, фраза «Они поженились и у них родился ребенок» в обиходе означает, что брак предшествовал появлению ребенка.

Слово «и» также может означать разделение вещи на части, например: «Американский флаг — красный, белый и синий». Здесь не имеется в виду, что флаг одновременно красный, белый и синий, а скорее, что в нем есть часть каждого цвета.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Jump up to: а б с д «2.2: Союзы и дизъюнкции» . Математика LibreTexts . 13 августа 2019 г. Проверено 2 сентября 2020 г.
  2. ^ Jump up to: а б с «Соединение, отрицание и дизъюнкция» . Философия.lander.edu . Проверено 2 сентября 2020 г.
  3. ^ Билл, Джеффри С. (2010). Логика: основы . Основы (1. изд.). Лондон: Рутледж. п. 17. ISBN  978-0-203-85155-5 .
  4. ^ Юзеф Мария Боченский (1959), Краткое изложение математической логики , перевод Отто Берда из французского и немецкого изданий, Дордрехт, Южная Голландия: Д. Рейдель, passim.
  5. ^ Смит, Питер. «Типы системы доказательств» (PDF) . п. 4.
  6. ^ Хаусон, Колин (1997). Логика с деревьями: введение в символическую логику . Лондон; Нью-Йорк: Рутледж. п. 38. ISBN  978-0-415-13342-5 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: cafa488250d607bbe28fd8c996153314__1720721880
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ca/14/cafa488250d607bbe28fd8c996153314.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Logical conjunction - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)