Строгость мер

В математике — теснота это понятие теории меры . Интуитивная идея состоит в том, что данный набор мер не «убегает в бесконечность ».

Определения

Позволять $(X,T)$ — хаусдорфово пространство , и пусть $\Sigma$ быть σ-алгеброй на $X$ который содержит топологию $T$ . (Таким образом, каждое открытое подмножество $X$ представляет собой измеримое множество и $\Sigma$ по крайней мере так же хороша, как борелевская σ-алгебра на $X$ .) Позволять $M$ быть набором (возможно, знаковых или сложных ) мер, определенных на $\Sigma$ . Коллекция $M$ называется плотным (или иногда равномерно плотным ), если для любого $\varepsilon >0$ , существует компактное подмножество $K_{\varepsilon }$ из $X$ такая, что для всех мер $\mu \in M$ ,

|\mu |(X\setminus K_{\varepsilon })<\varepsilon .

где $|\mu |$ является вариации полной мерой $\mu$ . Очень часто рассматриваемые меры являются вероятностными мерами , поэтому последнюю часть можно записать как

\mu (K_{\varepsilon })>1-\varepsilon .\,

Если плотный сбор $M$ состоит из одной меры $\mu$ , затем (в зависимости от автора) $\mu$ можно назвать либо жесткой мерой , либо внутренней регулярной мерой .

Если $Y$ это $X$ -значная случайная величина, которой распределение вероятности по $X$ тогда это жесткая мера $Y$ Говорят, что это сепарабельная случайная величина или случайная величина Радона .

Еще один эквивалентный критерий герметичности коллекции. $M$ секвенциально слабо компактен. Мы говорим, что семья $M$ вероятностных мер секвенциально слабо компактна, если для любой последовательности $\left\{\mu _{n}\right\}$ из семейства существует подпоследовательность мер, слабо сходящаяся к некоторой вероятностной мере $\mu$ . Можно показать, что семейство меры является тесным тогда и только тогда, когда оно секвенциально слабо компактно.

Примеры

Компактные помещения

Если $X$ — метризуемый компакт , то любой набор (возможно, комплексных) мер на $X$ тесно. Это не обязательно так для неметризуемых компактов. Если мы возьмем $[0,\omega _{1}]$ со своей порядковой топологией , то существует мера $\mu$ на этом что-то не внутреннее штатное. Таким образом, синглтон $\{\mu \}$ не тесно.

Польские просторы

Если $X$ — польское пространство , то каждая вероятностная мера на $X$ тесно. Кроме того, по теореме Прохорова совокупность вероятностных мер на $X$ является тесным тогда и только тогда, когда оно предкомпактно в топологии слабой сходимости .

Коллекция точечных масс

Рассмотрим реальную линию $\mathbb {R}$ со своей обычной борелевской топологией. Позволять $\delta _{x}$ обозначим меру Дирака , единицу массы в точке $x$ в $\mathbb {R}$ . Коллекция

M_{1}:=\{\delta _{n}|n\in \mathbb {N} \}

не является тесным, поскольку компактные подмножества $\mathbb {R}$ являются в точности замкнутыми и ограниченными подмножествами, и любое такое множество, поскольку оно ограничено, имеет $\delta _{n}$ -измерить ноль для достаточно большого $n$ . С другой стороны, коллекция

M_{2}:=\{\delta _{1/n}|n\in \mathbb {N} \}

плотно: компактный интервал $[0,1]$ будет работать как $K_{\varepsilon }$ для любого $\varepsilon >0$ . В общем, набор дельта-мер Дирака на $\mathbb {R} ^{n}$ является тесным тогда и только тогда, когда набор их носителей ограничен.

Коллекция гауссовских мер

Учитывать $n$ -мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ со своей обычной борелевской топологией и σ-алгеброй. Рассмотрим набор гауссовских мер.

\Gamma =\{\gamma _{i}|i\in I\},

где мера $\gamma _{i}$ имеет ожидаемое значение ( среднее ) $m_{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ и ковариационная матрица $C_{i}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ . Тогда коллекция $\Gamma$ является плотным тогда и только тогда, когда коллекции $\{m_{i}|i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ и $\{C_{i}|i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n\times n}$ оба ограничены.

Плотность и конвергенция

Плотность часто является необходимым критерием для доказательства слабой сходимости последовательности вероятностных мер, особенно когда пространство меры имеет бесконечную размерность . Видеть

Экспоненциальная герметичность

Усиление тесноты — это концепция экспоненциальной тесноты, которая имеет приложения в теории больших уклонений . Семейство вероятностных мер $(\mu _{\delta })_{\delta >0}$ в Хаусдорфа топологическом пространстве $X$ называется экспоненциально тесным , если для любого $\varepsilon >0$ , существует компактное подмножество $K_{\varepsilon }$ из $X$ такой, что

\limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(X\setminus K_{\varepsilon })<-\varepsilon .

Ссылки

Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-00710-2 .
Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-19745-9 .
Леду, Мишель; Талагранд, Мишель (1991). Вероятность в банаховых пространствах . Берлин: Springer-Verlag. стр. xii+480. ISBN 3-540-52013-9 . МИСТЕР 1102015 (см. главу 2)