Выражение (математика)

В математике выражение — это письменное расположение символов, соответствующее контекстно-зависимым синтаксическим соглашениям математической записи . Символами могут обозначаться числа ( константы ), переменные , операции , функции . Другие символы включают препинания знаки и скобки (часто используемые для группировки, то есть для рассмотрения части выражения как одного символа).

Многие авторы отличают выражение от формулы : первое обозначает математический объект , а второе — утверждение о математических объектах. Это аналогично естественному языку, где существительная группа относится к объекту, а целое предложение относится к факту. Например, $8x-5$ является выражением, тогда как $8x-5\geq 3$ это формула.

Выражения можно оценивать или частично оценивать, заменяя входящие в них операции их результатом. Например, выражение $8\times 2-5$ частично оценивается как $16-5$ и полностью $11.$

Выражение часто используется для определения функции , принимая переменные в качестве аргументов или входных данных функции и присваивая выходным данным общую оценку результирующего выражения. Например, $x\mapsto x^{2}+1$ и $f(x)=x^{2}+1$ определите функцию, которая сопоставляет каждому числу его квадрат плюс один. Выражение без переменных будет определять постоянную функцию .

Примеры

Использование выражений варьируется от простого:

$3+8$

$8x-5$ ( линейный полином )

$7{{x}^{2}}+4x-10$ ( квадратичный полином )

${\frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}$ ( рациональная дробь )

в комплекс:

$f(a)+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}f(u(t))$$+\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(u(t))\,dt.$

Переменные и оценка

Многие выражения включают переменные . Любую переменную можно классифицировать как свободную или связанную переменную .

Для заданной комбинации значений свободных переменных выражение может быть вычислено, хотя для некоторых комбинаций значений свободных переменных значение выражения может быть неопределенным. Таким образом, выражение представляет собой операцию над константами и свободными переменными, выходом которой является результирующее значение выражения.

Например, если выражение $x/y$ оценивается с помощью x = 10, y = 5 и оценивается как 2; это обозначается

$x/y{\text{ }}|_{x=10,\,y=5}=2.$

Оценка не определена для y = 0

Два выражения называются эквивалентными, если для каждой комбинации значений свободных переменных они имеют одинаковый результат, т. е. представляют одну и ту же функцию. Эквивалентность между двумя выражениями называется тождеством и часто обозначается $\equiv .$

Например, в выражении ${\textstyle \sum _{n=1}^{3}(2nx),}$ переменная n равна связана, а переменная x свободна. Это выражение эквивалентно более простому выражению 12 x ; то есть $$\sum _{n=1}^{3}(2nx)\equiv 12x.$$ Значение для x = 3 равно 36, что можно обозначить $$\sum _{n=1}^{3}(2nx){\Big |}_{x=3}=36.$$

Синтаксис против семантики

Основная статья: Формальная грамматика

Синтаксис

Основная статья: Синтаксис (логика)

Выражение – это синтаксическая конструкция. Он должен быть хорошо сформирован . Несколько неформально это можно описать следующим образом: разрешенные операторы должны иметь правильное количество входных данных в правильных местах, символы, составляющие эти входные данные, должны быть допустимыми, иметь четкий порядок операций и т. д. Строки символов, нарушающие правила синтаксиса неправильно сформированы и не являются допустимыми математическими выражениями.

Например, в арифметике выражение 1+2×3 правильно составлено, но

$\times 4)x+,/y$.

нет.

Семантика

Основные статьи: Семантика и Формальная семантика (логика)

Семантика – это изучение значения. Формальная семантика – это придание значения выражениям.

В алгебре выражение может использоваться для обозначения значения, которое может зависеть от значений, присвоенных переменным, встречающимся в выражении. Определение этого значения зависит от семантики, придаваемой символам выражения. Выбор семантики зависит от контекста выражения. Одно и то же синтаксическое выражение 1 + 2 × 3 может иметь разные значения (математически 7, но также и 9), в зависимости от порядка операций, подразумеваемого контекстом (См. также Операции § Калькуляторы ).

Семантические правила могут заявлять, что определенные выражения не обозначают никакого значения (например, когда они включают деление на 0); Говорят, что такие выражения имеют неопределенное значение, но, тем не менее, они являются правильно сформированными выражениями. В целом значение выражений не ограничивается обозначением значений; например, выражение может обозначать условие или уравнение , которое необходимо решить, или его можно рассматривать как отдельный объект, которым можно манипулировать в соответствии с определенными правилами. Определенные выражения, обозначающие значение, одновременно выражают условие, которое предположительно выполняется, например выражения, включающие оператор $\oplus$ для обозначения внутренней прямой суммы .

Формальное определение

Правильно сформированное выражение в математике можно описать как часть формального языка и определить рекурсивно следующим образом:

Алфавит : состоит из

• Набор констант/определений: символы, представляющие фиксированные объекты в области дискурса , такие как числа (1, 2,5, 1/7, ...), наборы ( $\varnothing ,\{1,2,3\}$, ...), значения истинности (T или F) и т. д.

• Набор имен переменных: счетное бесконечное количество переменных, используемых для представления математических объектов в предметной области. (Обычно это буквы типа x или y )

• Набор операций: функциональные символы, представляющие операции , которые можно выполнять с элементами в области определения, например сложение (+), умножение (×) или операции над множествами, такие как объединение (∪) или пересечение (∩). (Функции можно понимать как унарные операции )

• Скобки ( )

При использовании этого алфавита рекурсивные правила формирования правильно сформированного выражения (WFE) следующие:

• Любая константа или переменная, как они определены, являются атомарными выражениями (самыми простыми WFE). Например, выражения « $2$" или " $x$" являются синтаксически правильными выражениями.

• Позволять $F$ обозначим некоторую n-арную операцию над областью определения и пусть $\phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n}$ быть метапеременными для любых WFE.

Затем $F(\phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n})$ также является WFE.

Например, если областью разногласий являются действительные числа , $F$ может обозначать бинарную операцию +, тогда $\phi _{1}+\phi _{2}$ является WFE. Или $F$ может быть унарная операция $\surd$, затем ${\sqrt {\phi _{1}}}$ тоже есть.

Скобки изначально заключаются вокруг каждого неатомарного выражения, но их можно удалить в случаях, когда существует определенный порядок операций или когда порядок не имеет значения (т. е. когда операции ассоциативны ).

Правильно сформированное выражение можно рассматривать как синтаксическое дерево . Листовые узлы всегда являются атомарными выражениями. Операции $+$ и $\cup$ иметь ровно два дочерних узла, а операции ${\textstyle {\sqrt {x}}}$, ${\textstyle {\text{ln}}(x)}$ и ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$ есть ровно один. Существует счетное бесконечное число WFE, однако каждый WFE имеет конечное число узлов.

Лямбда-исчисление

Основная статья: лямбда-исчисление

Формальные языки позволяют формализовать концепцию правильно сформированных выражений.

новый тип выражений, названный лямбда-выражениями ввели В 1930-х годах Алонзо Чёрч и Стивен Клини , для формализации функций и их оценки. Они составляют основу лямбда-исчисления — формальной системы, используемой в математической логике и теории языков программирования .

Эквивалентность двух лямбда-выражений неразрешима . Это также относится к выражениям, представляющим действительные числа, которые строятся из целых чисел с помощью арифметических операций, логарифма и экспоненты ( теорема Ричардсона ).

Типы выражений

Алгебраическое выражение

Алгебраическое выражение — это выражение, составленное из алгебраических констант , переменных и алгебраических операций ( сложение , вычитание , умножение , деление и возведение в степень на рациональное число ). Например, 3 х ² − 2 xy + c — алгебраическое выражение. Поскольку извлечение квадратного корня равнозначно возведению в степень ⁠ 1 / 2 ⁠ , следующее также является алгебраическим выражением:

${\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}$

См. Также: Алгебраическое уравнение и алгебраическое замыкание.

Полиномиальное выражение

Полиномиальное выражение — это выражение, построенное с помощью скаляров (количества элементов некоторого поля), неопределенных чисел и операторов сложения, умножения и возведения в степень до неотрицательных целых степеней; например $3(x+1)^{2}-xy.$

Используя ассоциативность , коммутативность и дистрибутивность , каждое полиномиальное выражение эквивалентно полиному , то есть выражению, которое представляет собой линейную комбинацию произведений целых степеней неопределенных. Например, приведенное выше полиномиальное выражение эквивалентно (обозначим тот же полином как $3x^{2}-xy+6x+3.$

Многие авторы не различают полиномы и полиномиальные выражения. В этом случае выражение полиномиального выражения в виде линейной комбинации называется канонической формой , нормальной формой или расширенной формой многочлена.

Вычислительное выражение

Основная статья: Выражение (информатика)

В информатике выражение — это синтаксическая сущность языка программирования , которую можно оценить для определения ее значения. или не удастся завершить работу, и в этом случае выражение не определено. Это комбинация одной или нескольких констант , переменных , функций и операторов , которые язык программирования интерпретирует (в соответствии со своими особыми правилами приоритета и ассоциации ) и вычисляет для создания («возврата» в среде с сохранением состояния ) другого значения. . Этот процесс для математических выражений называется оценкой . В простых настройках результирующее значение обычно является одним из различных примитивных типов , например строковым , логическим или числовым (например , целым , с плавающей запятой или комплексным ).

В компьютерной алгебре формулы рассматриваются как выражения, которые можно оценивать как логические значения, в зависимости от значений, присвоенных переменным, встречающимся в выражениях. Например $8x-5\geq 3$ принимает значение false, если x присвоено значение меньше 1, и значение true в противном случае.

Выражения часто противопоставляются операторам — синтаксическим объектам, не имеющим значения (инструкции).

Представление выражения (8 - 6) × (3 + 1) в виде дерева Лиспа из магистерской диссертации 1985 года.

За исключением чисел и переменных , каждое математическое выражение можно рассматривать как символ оператора, за которым следует последовательность операндов. В программах компьютерной алгебры выражения обычно представляются таким образом. Это представление очень гибкое, и многие вещи, которые на первый взгляд не кажутся математическими выражениями, можно представлять и манипулировать ими как таковые. Например, уравнение — это выражение с оператором «=", матрица может быть представлена ​​как выражение с оператором «матрица» и ее строками в качестве операндов.

См.: Выражение компьютерной алгебры .

Логическое выражение

В математической логике может «логическое выражение» относиться как к терминам , так и к формулам . Термин обозначает математический объект, а формула обозначает математический факт. В частности, термины появляются как компоненты формулы.

Терм первого порядка из рекурсивно конструируется константных символов, переменных и функциональных символов . Выражение, сформированное путем применения символа-предиката к соответствующему числу терминов, называется атомарной формулой значение дает истинное или ложное , которая в бивалентной логике при определенной интерпретации . Например, ⁠ $(x+1)*(x+1)$⁠ — это термин, построенный из константы 1, переменной x и символов двоичной функции ⁠ $+$⁠ и ⁠ $*$⁠ ; это часть атомной формулы ⁠ $(x+1)*(x+1)\geq 0$⁠ который имеет значение true для каждого действительного значения x .

См. также

• Аналитическое выражение
• Выражение в закрытой форме
• Комбинатор
• Определенный и неопределенный
• Функциональное программирование
• Переписывание
• Числовое предложение
• Подпись (логика)
• Точно определенное выражение

Ссылки

• Редден, Джон (2011). «Элементарная алгебра» . Знание плоского мира . Архивировано из оригинала 15 ноября 2014 г. Проверено 18 марта 2012 г.