Среднее арифметическое

В математике и статистике арифметическое среднее ( / ˌ æ r ɪ θ ˈ m ɛ t ɪ k ˈ m iː n / arr-ith- MET -ik ), среднее арифметическое , или просто среднее или среднее (когда контекст понятен) — это сумма набора чисел делится на количество чисел в коллекции. ^[1] Коллекция часто представляет собой набор результатов эксперимента , наблюдательного исследования или опроса . Термин «среднее арифметическое» предпочтительнее в некоторых контекстах математики и статистики, поскольку он помогает отличить его от других типов средних, таких как геометрические и гармонические .

Помимо математики и статистики, среднее арифметическое часто используется в экономике , антропологии , истории и почти во всех научных областях в той или иной степени. Например, доход на душу населения — это средний арифметический доход населения страны.

Хотя среднее арифметическое часто используется для определения центральных тенденций , оно не является надежным статистическим показателем : на него сильно влияют выбросы (значения, намного большие или меньшие, чем у большинства других). Для асимметричного распределения , такого как распределение дохода , при котором доходы некоторых людей существенно выше, чем у большинства людей, среднее арифметическое может не совпадать с понятием «среднего». В этом случае надежная статистика, такая как медиана , может обеспечить лучшее описание центральной тенденции.

Определение

Среднее арифметическое набора наблюдаемых данных равно сумме числовых значений каждого наблюдения, деленной на общее количество наблюдений. Символически, для набора данных, состоящего из значений $x_{1},\dots ,x_{n}$ , среднее арифметическое определяется по формуле:

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}}{n}}

^[2]

(Пояснения к оператору суммирования см. в разделе суммирование .)

Например, если ежемесячная заработная плата $10$ сотрудники $\{2500,2700,2400,2300,2550,2650,2750,2450,2600,2400\}$ , то среднее арифметическое равно:

{\frac {2500+2700+2400+2300+2550+2650+2750+2450+2600+2400}{10}}=2530

Если набор данных представляет собой статистическую совокупность (т. е. состоит из всех возможных наблюдений, а не только их подмножества), то среднее значение этой совокупности называется средним значением совокупности и обозначается греческой буквой. $\mu$ . Если набор данных представляет собой статистическую выборку (подмножество генеральной совокупности), он называется выборочным средним (что для набора данных $X$ обозначается как ${\overline {X}}$ ).

Среднее арифметическое можно аналогичным образом определить для векторов в нескольких измерениях, а не только для скалярных значений; это часто называют центроидом . В более общем смысле, поскольку среднее арифметическое представляет собой выпуклую комбинацию (то есть сумма ее коэффициентов равна $1$ ), его можно определить в выпуклом пространстве , а не только в векторном пространстве.

Мотивирующие свойства

Среднее арифметическое имеет несколько свойств, которые делают его интересным, особенно как меру центральной тенденции. К ним относятся:

Если числа $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ иметь в виду ${\bar {x}}$ , затем $(x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0$ . С $x_{i}-{\bar {x}}$ — это расстояние от данного числа до среднего значения. Один из способов интерпретировать это свойство — сказать, что числа слева от среднего значения уравновешиваются числами справа. Среднее значение — единственное число, для которого сумма остатков (отклонений от оценки) равна нулю. Это также можно интерпретировать как утверждение, что среднее значение трансляционно инвариантно в том смысле, что для любого действительного числа $a$ , ${\overline {x+a}}={\bar {x}}+a$ .
Если требуется использовать одно число в качестве «типичного» значения для набора известных чисел $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ , то среднее арифметическое чисел делает это лучше всего, поскольку оно минимизирует сумму квадратов отклонений от типичного значения: сумму $(x_{i}-{\bar {x}})^{2}$ . Выборочное среднее также является лучшим одиночным предиктором, поскольку оно имеет наименьшую среднеквадратичную ошибку . ^[3] Если требуется среднее арифметическое совокупности чисел, то его несмещенная оценка представляет собой среднее арифметическое выборки, взятой из совокупности.

Среднее арифметическое не зависит от масштаба единиц измерения в том смысле, что ${\text{avg}}(ca_{1},\cdots ,ca_{n})=c\cdot {\text{avg}}(a_{1},\cdots ,a_{n}).$ Так, например, вычисление среднего значения в литрах, а затем преобразование в галлоны — это то же самое, что сначала преобразование в галлоны, а затем вычисление среднего значения. Это также называется однородностью первого порядка .

Дополнительные свойства

Среднее арифметическое выборки всегда находится между наибольшим и наименьшим значениями в этой выборке.
Среднее арифметическое любого количества групп чисел одинакового размера вместе взятых является средним арифметическим средних арифметических каждой группы.

Контраст с медианой

Среднее арифметическое можно противопоставить медиане . Медиана определяется так, чтобы не более половины значений были больше и не более половины меньше ее. Если элементы данных увеличиваются арифметически при размещении в определенном порядке, то медиана и среднее арифметическое равны. Например, рассмотрим образец данных $\{1,2,3,4\}$ . Среднее значение $2.5$ , как и медиана. Однако, когда мы рассматриваем выборку, которую нельзя организовать для арифметического увеличения, например $\{1,2,4,8,16\}$ , медиана и среднее арифметическое могут существенно различаться. В этом случае среднее арифметическое равно $6.2$ , а медиана $4$ . Среднее значение может значительно отличаться от большинства значений в выборке и может быть больше или меньше большинства значений.

Это явление находит применение во многих областях. Например, с 1980-х годов средний доход в США рос медленнее, чем среднее арифметическое дохода. ^[4]

Обобщения

Средневзвешенное значение

Средневзвешенное значение или средневзвешенное значение — это среднее значение, в котором некоторые точки данных имеют большее значение, чем другие, поскольку им придается больший вес при расчете. ^[5] Например, среднее арифметическое $3$ и $5$ является ${\frac {3+5}{2}}=4$ или эквивалентно $3{\frac {1}{2}}+5{\frac {1}{2}}=4$ . Напротив, средневзвешенное значение, при котором первое число получает, например, в два раза больший вес, чем второе (возможно, потому, что предполагается, что оно встречается в два раза чаще в общей совокупности, из которой были выбраны эти числа), будет рассчитываться как $3{\frac {2}{3}}+5{\frac {1}{3}}={\frac {11}{3}}$ . Здесь веса, сумма которых обязательно равна единице, равны ${\frac {2}{3}}$ и ${\frac {1}{3}}$ , причем первое в два раза больше последнего. Среднее арифметическое (иногда называемое «невзвешенным средним» или «равновзвешенным средним») можно интерпретировать как частный случай взвешенного среднего, в котором все веса равны одному и тому же числу ( ${\frac {1}{2}}$ в приведенном выше примере и ${\frac {1}{n}}$ в ситуации с $n$ цифры усредняются).

Непрерывные распределения вероятностей

Если числовое свойство и любая выборка данных из него могут принимать любое значение из непрерывного диапазона, а не, например, только целые числа, то вероятность попадания числа в некоторый диапазон возможных значений можно описать путем интегрирования непрерывное распределение вероятностей в этом диапазоне, даже если наивная вероятность того, что число выборок выберет одно определенное значение из бесконечного множества, равна нулю. В этом контексте аналог средневзвешенного значения, в котором существует бесконечно много возможностей для точного значения переменной в каждом диапазоне, называется средним значением распределения вероятностей . Наиболее широко встречающееся распределение вероятностей называется нормальным распределением ; он обладает тем свойством, что все меры его центральной тенденции, включая не только среднее значение, но и упомянутую выше медиану и моду (три Мс), ^[6]), равны. Это равенство не выполняется для других распределений вероятностей, как показано здесь для логарифмически нормального распределения.

Углы

Особая осторожность необходима при использовании циклических данных, таких как фазы или углы . Взяв среднее арифметическое 1° и 359°, получим результат 180 ° .Это неверно по двум причинам:

Во-первых, измерения углов определяются только до аддитивной константы 360° ( $2\pi$ или $\tau$ , если измерять в радианах ). Таким образом, их можно было бы легко назвать 1° и -1° или 361° и 719°, поскольку каждый из них дает разное среднее значение.
Во-вторых, в этой ситуации 0° (или 360°) является геометрически лучшим средним вокруг него меньше значением: дисперсия (точки находятся как на 1° от него, так и на 179° от 180°, предполагаемого среднего).

В общем случае такая оплошность приведет к искусственному смещению среднего значения в сторону середины числового диапазона. Решение этой проблемы состоит в том, чтобы использовать формулировку оптимизации (то есть определить среднее значение как центральную точку: точку, относительно которой имеется наименьшая дисперсия) и переопределить разницу как модульное расстояние (т. е. расстояние по окружности: поэтому модульное расстояние между 1° и 359° составляет 2°, а не 358°).

Символы и кодировка

Среднее арифметическое часто обозначается чертой ( винкулум или макрон ), как в ${\bar {x}}$ . ^[3]

Некоторые программы ( текстовые процессоры , веб-браузеры ) могут неправильно отображать символ «x». Например, HTML- символ «x̄» объединяет два кода — базовую букву «x» плюс код строки выше ( ̄ или ¯). ^[7]

В некоторых форматах документов (например, PDF ) символ может быть заменен символом «¢» ( цент ) при копировании в текстовый процессор, например Microsoft Word .

См. также

Примечания

^ Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
Используя подобные треугольники , ⁠ HC / GC ⁠ = ⁠ GC / OC ⁠ ∴ HC = ⁠ GC² / OC ⁠ = HM .

Ссылки

^ Джейкобс, Гарольд Р. (1994). Математика: человеческие усилия (Третье изд.). У. Х. Фриман . п. 547. ИСБН 0-7167-2426-Х .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Среднее арифметическое» . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 августа 2020 г.
^ Jump up to: ^а ^б Медхи, Джотипрасад (1992). Статистические методы: вводный текст . Нью Эйдж Интернэшнл. стр. 53–58. ISBN 9788122404197 .
^ Кругман, Пол (4 июня 2014 г.) [осень 1992 г.]. «Богатые, правые и факты: деконструкция дебатов о распределении доходов» . Американский проспект .
^ «Среднее | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 21 августа 2020 г.
^ Thinkmap Visual Thesaurus (30 июня 2010 г.). «Три М статистики: мода, медиана, среднее значение на 30 июня 2010 г.» . www.visualthesaurus.com . Проверено 3 декабря 2018 г.
^ «Заметки о Unicode для символов статистики» . www.personal.psu.edu . Архивировано из оригинала 31 марта 2022 года . Проверено 14 октября 2018 г.

Дальнейшее чтение

Хафф, Даррелл (1993). Как лгать со статистикой . WW Нортон. ISBN 978-0-393-31072-6 .

Внешние ссылки

[8] Если AC = a и BC = b . OC = AM для a и b , а радиус r = QO = OG.
Используя теорему Пифагора , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
Используя теорему Пифагора, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² − OG² = GM .
Используя подобные треугольники , ⁠ HC / GC ⁠ = ⁠ GC / OC ⁠ ∴ HC = ⁠ GC² / OC ⁠ = HM .

[1] Джейкобс, Гарольд Р. (1994). Математика: человеческие усилия (Третье изд.). У. Х. Фриман . п. 547. ИСБН 0-7167-2426-Х .

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Среднее арифметическое» . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 августа 2020 г.

[JM-3] Jump up to: ^а ^б Медхи, Джотипрасад (1992). Статистические методы: вводный текст . Нью Эйдж Интернэшнл. стр. 53–58. ISBN 9788122404197 .

[4] Кругман, Пол (4 июня 2014 г.) [осень 1992 г.]. «Богатые, правые и факты: деконструкция дебатов о распределении доходов» . Американский проспект .

[5] «Среднее | математика» . Британская энциклопедия . Проверено 21 августа 2020 г.

[ThreeMs-6] Thinkmap Visual Thesaurus (30 июня 2010 г.). «Три М статистики: мода, медиана, среднее значение на 30 июня 2010 г.» . www.visualthesaurus.com . Проверено 3 декабря 2018 г.

[7] «Заметки о Unicode для символов статистики» . www.personal.psu.edu . Архивировано из оригинала 31 марта 2022 года . Проверено 14 октября 2018 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[примечание 1]