Частотная вероятность

Частотная вероятность или частотность — это интерпретация вероятности ; события он определяет вероятность как предел его относительной частоты во многих испытаниях ( долгосрочная вероятность ). ^[2]Вероятности могут быть найдены (в принципе) посредством повторяемого объективного процесса (и, таким образом, в идеале они лишены мнений). Однако дальнейшее использование частотных методов в научных выводах было поставлено под сомнение. ^[3]^[4]^[5]

Развитие частотной теории было мотивировано проблемами и парадоксами ранее доминирующей точки зрения, классической интерпретации . В классической интерпретации вероятность определялась в терминах принципа безразличия , основанного на естественной симметрии задачи, так, например, вероятности игр в кости возникают из естественной симметричной шестигранности куба. Эта классическая интерпретация натыкалась на любую статистическую задачу, не имеющую естественной симметрии для рассуждений.

Определение

В частотной интерпретации вероятности обсуждаются только в случае четко определенных случайных экспериментов. Совокупность всех возможных результатов случайного эксперимента называется выборочным пространством эксперимента. Событие определяется как определенное подмножество выборочного пространства, которое необходимо учитывать. Для любого данного события может иметь место только одна из двух возможностей: оно происходит или нет. Относительная частота возникновения события, наблюдаемая при нескольких повторениях эксперимента, является мерой вероятности этого события. Это основная концепция вероятности в частотной интерпретации.

Утверждение частотного подхода состоит в том, что по мере увеличения количества испытаний изменение относительной частоты будет уменьшаться. Следовательно, можно рассматривать вероятность как предельное значение соответствующих относительных частот.

Объем

Частотная интерпретация — это философский подход к определению и использованию вероятностей; это один из нескольких таких подходов. Он не претендует на то, чтобы охватить все значения понятия «вероятный» в разговорной речи естественных языков.

Как интерпретация, она не противоречит математической аксиоматизации теории вероятностей; скорее, он дает рекомендации о том, как применять математическую теорию вероятностей к реальным ситуациям. Он предлагает четкое руководство при построении и планировании практических экспериментов, особенно в сравнении с байесовской интерпретацией . Относительно того, полезно ли это руководство или оно может быть неправильно истолковано, стало источником разногласий. Особенно когда частотная интерпретация вероятности ошибочно считается единственной возможной основой для частотного вывода . -значениях сопровождает список неправильных интерпретаций значения p-значений Так, например, статью о $p$ ; Разногласия подробно описаны в статье о проверке статистических гипотез . Парадокс Джеффриса -Линдли показывает, как разные интерпретации, примененные к одному и тому же набору данных, могут привести к разным выводам о «статистической значимости» результата. ^{[ нужна ссылка ]}

Как отмечает Феллер : ^[а]

В нашей системе нет места спекуляциям относительно вероятности того, что солнце взойдет завтра . Прежде чем говорить об этом, нам следует договориться о (идеализированной) модели, которая, по-видимому, будет работать по принципу «из бесконечного множества миров один выбирается случайным образом...». Чтобы построить такую модель, требуется немного воображения, но она кажется и неинтересно, и бессмысленно. ^[6]

История

Частота взглядов, возможно, была предвосхищена Аристотелем в «Риторике» . ^[7]когда он написал:

вероятно то, что по большей части случается ( Аристотель Риторика) ^[8]

Пуассон (1837) четко различал объективные и субъективные вероятности. ^[9]Вскоре после этого появился шквал почти одновременных публикаций Милля и Эллиса (1843 г.). ^[10]и Эллис (1854 г.), ^[11] Курно (1843 г.), ^[12]и Фрайс представили частотную точку зрения. Венн (1866, 1876, 1888) ^[1] представил подробное изложение два десятилетия спустя.Они были дополнительно поддержаны публикациями Буля и Бертрана . К концу XIX века частотная интерпретация прочно утвердилась и, возможно, стала доминировать в науке. ^[9] Следующее поколение разработало инструменты классической статистики вывода (проверка значимости, проверка гипотез и доверительные интервалы), основанные на частотной вероятности.

Альтернативно, ^[13]Бернулли ^[б]понял концепцию частотной вероятности и посмертно опубликовал критическое доказательство ( слабый закон больших чисел ) (Бернулли, 1713). ^[14]Ему также приписывают некоторую оценку субъективной вероятности (до и без теоремы Байеса ). ^[15]^[с]^[16]Гаусс и Лаплас использовали частотную (и другие) вероятности при выводе метода наименьших квадратов столетие спустя, за поколение до Пуассона. ^[13]Лаплас рассматривал вероятности показаний, таблиц смертности, решений трибуналов и т. д., которые вряд ли являются кандидатами на классическую вероятность. С этой точки зрения вкладом Пуассона была его резкая критика альтернативной интерпретации «обратной» (субъективной, байесовской) вероятности. Любая критика со стороны Гаусса или Лапласа была приглушенной и неявной. (Однако обратите внимание, что их более поздние выводы метода наименьших квадратов не использовали обратную вероятность.)

Основными авторами «классической» статистики в начале 20-го века были Фишер , Нейман и Пирсон . Фишер внес свой вклад в большую часть статистики и сделал значимое тестирование основой экспериментальной науки, хотя он критиковал частотную концепцию «повторяющейся выборки из одной и той же популяции» ; ^[17]Нейман сформулировал доверительные интервалы и внес большой вклад в теорию выборки; Нейман и Пирсон объединились для проведения проверки гипотез. Все ценили объективность, поэтому лучшая доступная им интерпретация вероятности была частотной.

Все с подозрением относились к «обратной вероятности» (доступной альтернативе) с априорными вероятностями, выбранными с использованием принципа безразличия. Фишер сказал: «... теория обратной вероятности основана на ошибке [ссылаясь на теорему Байеса] и должна быть полностью отвергнута». ^[18]Хотя Нейман был чистым завсегдатаем, ^[19]^[д]Взгляды Фишера на вероятность были уникальными: и Фишер, и Нейман имели тонкий взгляд на вероятность. фон Мизес предложил сочетание математической и философской поддержки частотности той эпохи. ^[20]^[21]

Этимология

Согласно Оксфордскому словарю английского языка , термин «частый» впервые был использован М. Г. Кендаллом в 1949 году для противопоставления байесовцам , которых он называл «нечастыми» . ^[22]^[23]Кендалл заметил

3. ... мы можем в целом выделить два основных подхода. Один принимает вероятность как «степень рационального убеждения» или какую-то подобную идею... второй определяет вероятность с точки зрения частоты возникновения событий или относительных пропорций в «популяциях» или «коллективах»; ^[23]^{(стр. 101)}

...

12. Можно подумать, что различия между частыми и нечастыми пользователями (если я могу их так назвать) во многом обусловлены различиями в областях, которые они призваны охватить. ^[23]^{(стр. 104)}

...

Я утверждаю, что это не так ... Существенное различие между частыми и нечастыми сторонниками, я думаю, состоит в том, что первые, стремясь избежать чего-либо, отдающего привкусом мнений, стремятся определить вероятность в терминах объективные свойства популяции, реальные или гипотетические, тогда как последние этого не делают. [курсив в оригинале]

«Частотная теория вероятностей» использовалась поколением ранее в качестве названия главы у Кейнса (1921). ^[7]

Историческая последовательность:

Были введены концепции вероятности и получена большая часть математики вероятностей (до 20 века).
были разработаны классические методы статистического вывода
были закреплены математические основы теории вероятности и введена современная терминология (все в 20 веке).

Основные исторические источники по вероятности и статистике не использовали текущую терминологию классической , субъективной (байесовской) и частотной вероятности.

Альтернативные взгляды

Теория вероятностей – это раздел математики. Хотя ее корни уходят в прошлое, она достигла зрелости благодаря аксиомам Андрея Колмогорова в 1933 году. Теория фокусируется на действительных операциях над значениями вероятности, а не на первоначальном присвоении значений; математика в значительной степени независима от какой-либо интерпретации вероятности.

Приложения и интерпретации вероятности рассматриваются философией, науками и статистикой. Всех интересует извлечение знаний из наблюдений — индуктивное рассуждение . Существует множество конкурирующих интерпретаций; ^[24]У всех есть проблемы. Частотная интерпретация действительно разрешает трудности классической интерпретации, например, любую проблему, в которой неизвестна естественная симметрия результатов. Он не затрагивает другие вопросы, такие как голландская книга .

Классическая вероятность определяет вероятности на основе физической идеализированной симметрии (игральные кости, монеты, карты). Классическое определение рискует оказаться зацикленным: вероятности определяются путем предположения равенства вероятностей. ^[25] В отсутствие симметрии полезность определения ограничена.

Субъективная (байесовская) вероятность (семейство конкурирующих интерпретаций) учитывает степени доверия: все практические «субъективные» вероятностные интерпретации настолько ограничены рациональностью, что позволяют избежать большей части субъективности. Реальная субъективность отталкивает некоторые определения науки, которые стремятся к результатам, независимым от наблюдателя и аналитика. ^{[ нужна ссылка ]} Другие применения байесовства в науке (например, логическое байесианство) учитывают присущую многим научным исследованиям и объектам субъективность и используют байесовские рассуждения для определения границ и контекста влияния субъективностей на весь анализ. ^[26] Исторические корни этой концепции простираются на такие нечисловые применения, как юридические доказательства.

Вероятность склонности рассматривает вероятность как причинное явление, а не как чисто описательное или субъективное явление. ^[24]

Сноски

^ Комментарий Феллера представляет собой критику решения Пьера-Симона Лапласа проблемы «завтрашнего восхода солнца», в котором использовалась альтернативная вероятностная интерпретация.
Несмотря на в явный и немедленный отказ Лапласа от ответственности источнике , основанный на личном опыте Лапласа как в астрономии, так и в теории вероятностей, последовали два столетия резкой критики.
^ Швейцарский математик Якоб Бернулли из знаменитой семьи Бернулли жил в многоязычной стране и сам вел регулярную переписку и контакты с носителями немецкого и французского языков, а также публиковал публикации на латыни – на всех этих языках он свободно говорил. Он удобно и часто использовал три имени «Джейкоб», «Джеймс» и «Жак», в зависимости от языка, на котором он говорил или писал.
^ Бернулли дал классический пример извлечения из урны множества черных и белых камешков (с заменой). Соотношение выборок позволило Бернулли сделать вывод о соотношении в урне с более жесткими границами по мере увеличения количества образцов.
Историки могут интерпретировать этот пример как классическую, частотную или субъективную вероятность. Дэвид пишет: « Джеймс определенно начал здесь спор об обратной вероятности…» Бернулли писал за несколько поколений до Байеса, Лапласа и Гаусса. Споры продолжаются. - Дэвид (1962) , стр. 137–138. ^[16]
^ Ежи Нейманом Вывод доверительных интервалов включал в себя аксиомы теории меры вероятности, опубликованные Андреем Колмогоровым несколькими годами ранее, и ссылался на определения субъективной вероятности (байесовские), которые Джеффрис опубликовал ранее в этом десятилетии. Нейман определил частотную вероятность (под названием «классическая ») и заявил о необходимости случайности в повторяющихся выборках или испытаниях. Он в принципе признал возможность существования множества конкурирующих теорий вероятности, выразив при этом несколько конкретных оговорок по поводу существующей альтернативной интерпретации вероятности. ^[19]

Цитаты

^ Jump up to: ^а ^б Венн, Джон (1888) [1866, 1876]. Логика случая (3-е изд.). Лондон, Великобритания: Macmillan & Co. – через Интернет-архив (archive.org. Очерк об основах и сфере применения теории вероятностей с особым упором на ее логические аспекты и применение к моральным и социальным наукам, а также к статистике.
^ Каплан, Д. (2014). Байесовская статистика для социальных наук . Методология в социальных науках. Публикации Гилфорда. п. 4. ISBN 978-1-4625-1667-4 . Проверено 23 апреля 2022 г.
^ Гудман, Стивен Н. (1999). «К медицинской статистике, основанной на фактических данных. 1: $p$ Ошибка значения ». Анналы внутренней медицины . 130 (12): 995–1004. дои : 10.7326/0003-4819-130-12-199906150-00008 . ПМИД 10383371 . S2CID 7534212 .
^ Мори, Ричард Д.; Хукстра, Ринк; Рудер, Джеффри Н.; Ли, Майкл Д.; Вагенмейкерс, Эрик-Ян (2016). «Ошибочность доверять доверительным интервалам» . Психономический бюллетень и обзор . 23 (1): 103–123. дои : 10.3758/s13423-015-0947-8 . ПМЦ 4742505 . ПМИД 26450628 .
^ Мэтьюз, Роберт (2021). « $Заявление о p$ -value, пять лет спустя». Значение . 18 (2): 16–19. дои : 10.1111/1740-9713.01505 . S2CID 233534109 .
^ Феллер, В. (1957). Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Том. 1. п. 4.
^ Jump up to: ^а ^б Кейнс, Дж. М. (1921). «Глава VIII – Частотная теория вероятностей». Трактат о вероятности .
^ Аристотель . Риторика . Кк 1, Гл 2.
обсуждалось в
Франклин, Дж. (2001). Наука предположений: доказательства и вероятности до Паскаля . Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса. п. 110. ИСБН 0801865697 .
^ Jump up to: ^а ^б Гигеренцер, Герд; Свейтинк, Портер; Дастон, Битти; Дастон, Крюгер (1989). Империя случая: Как вероятность изменила науку и повседневную жизнь . Кембридж, Великобритания / Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 35–36, 45. ISBN. 978-0-521-39838-1 .
^ Эллис, Р.Л. (1843 г.). «Об основах теории вероятностей». Труды Кембриджского философского общества . 8 .
^ Эллис, Р.Л. (1854 г.). «Замечания об основных положениях теории вероятностей». Труды Кембриджского философского общества . 9 .
^ Курно, А.А. (1843 г.). Изложение теории шансов и вероятностей . Париж, Франция: Л. Хашетт – через Интернет-архив (archive.org).
^ Jump up to: ^а ^б Хальд, Андерс (2004). История параметрического статистического вывода от Бернулли до Фишера с 1713 по 1935 год . Копенгаген, ДМ: Андерс Хальд, факультет прикладной математики и статистики Копенгагенского университета . стр. 1–5. ISBN 978-87-7834-628-5 .
^ Бернулли, Якоб (1713). Искусство догадок: использование и применение предыдущего опыта в гражданских, моральных и экономических темах [ Искусство догадок: использование и применение предыдущего опыта в гражданских, моральных и экономических темах ] (на латыни).
^ Финберг, Стивен Э. (1992). «Краткая история статистики в трех с половиной главах: обзорное эссе» . Статистическая наука . 7 (2): 208–225. дои : 10.1214/ss/1177011360 .
^ Jump up to: ^а ^б Дэвид, ФН (1962). Игры, боги и азартные игры . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Хафнер. стр. 137–138.
^ Рубин, М. (2020). « Повторяющаяся выборка из одной и той же популяции?» Критика ответов Неймана и Пирсона Фишеру» . Европейский журнал философии науки . 10 (42): 1–15. дои : 10.1007/s13194-020-00309-6 . S2CID 221939887 .
^ Фишер Р.А. Статистические методы для научных работников .
^ Jump up to: ^а ^б Нейман, Ежи (30 августа 1937 г.). «Очерк теории статистического оценивания, основанной на классической теории вероятностей» . Философские труды Лондонского королевского А. общества 236 (767): 333–380. Бибкод : 1937RSPTA.236..333N . дои : 10.1098/rsta.1937.0005 .
^ фон Мизес, Рихард (1981) [1939]. Вероятность, статистика и истина (на немецком и английском языках) (2-е изд.). Дуврские публикации. п. 14. ISBN 0486242145 .
^ Жиль, Дональд (2000). «Глава 5 – Теория частот». Философские теории вероятности . Психология Пресс. п. 88. ИСБН 9780415182751 .
^ «Самые ранние известные случаи использования некоторых слов вероятности и статистики» . leidenuniv.nl . Лейдин, Нидерланды: Лейденский университет .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Кендалл, МГ (1949). «О согласовании теорий вероятности». Биометрика . 36 (1–2): 101–116. дои : 10.1093/biomet/36.1-2.101 . JSTOR 2332534 . ПМИД 18132087 .
^ Jump up to: ^а ^б Хайек, Алан (21 октября 2002 г.). «Интерпретации вероятности» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии – через plato.stanford.edu.
^ Эш, Роберт Б. (1970). Основная теория вероятностей . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Уайли. стр. 1–2.
^ Фэрфилд, Таша; Чарман, Эндрю Э. (15 мая 2017 г.). «Явный байесовский анализ для отслеживания процессов: рекомендации, возможности и предостережения» . Политический анализ . 25 (3): 363–380. дои : 10.1017/pan.2017.14 . S2CID 8862619 .

Ссылки

Бриджмен, PW (1927). Логика современной физики .

Черч, Алонсо (1940). Концепция случайной последовательности .

Крамер, Харальд (1946). Математические методы статистики .

Феллер, Уильям (1957). Введение в теорию вероятностей и ее приложения .

Мартин-Лёф, П. (1966). О понятии случайной последовательности .

фон Мизес, Рихард (1939) [1928 (на немецком языке)]. Вероятность, статистика и истина .

Нейман, Ежи (1950). Первый курс теории вероятности и статистики .

Райхенбах, Ганс (1949) [1935 (на немецком языке)]. Теория Вероятности .

Рассел, Бертран (1948). Человеческие знания .

Фридман, К. (1999). «Частотная интерпретация в вероятности» . Достижения прикладной математики . 23 (3): 234–254. дои : 10.1006/aama.1999.0653 . "альтернативный источник" (PS) . utexas.edu/~фридман . Остин, Техас: Техасский университет .

[6] Комментарий Феллера представляет собой критику решения Пьера-Симона Лапласа проблемы «завтрашнего восхода солнца», в котором использовалась альтернативная вероятностная интерпретация.
Несмотря на в явный и немедленный отказ Лапласа от ответственности источнике , основанный на личном опыте Лапласа как в астрономии, так и в теории вероятностей, последовали два столетия резкой критики.

[15] Швейцарский математик Якоб Бернулли из знаменитой семьи Бернулли жил в многоязычной стране и сам вел регулярную переписку и контакты с носителями немецкого и французского языков, а также публиковал публикации на латыни – на всех этих языках он свободно говорил. Он удобно и часто использовал три имени «Джейкоб», «Джеймс» и «Жак», в зависимости от языка, на котором он говорил или писал.

[19] Бернулли дал классический пример извлечения из урны множества черных и белых камешков (с заменой). Соотношение выборок позволило Бернулли сделать вывод о соотношении в урне с более жесткими границами по мере увеличения количества образцов.
Историки могут интерпретировать этот пример как классическую, частотную или субъективную вероятность. Дэвид пишет: « Джеймс определенно начал здесь спор об обратной вероятности…» Бернулли писал за несколько поколений до Байеса, Лапласа и Гаусса. Споры продолжаются. - Дэвид (1962) , стр. 137–138. ^[16]

[23] Ежи Нейманом Вывод доверительных интервалов включал в себя аксиомы теории меры вероятности, опубликованные Андреем Колмогоровым несколькими годами ранее, и ссылался на определения субъективной вероятности (байесовские), которые Джеффрис опубликовал ранее в этом десятилетии. Нейман определил частотную вероятность (под названием «классическая ») и заявил о необходимости случайности в повторяющихся выборках или испытаниях. Он в принципе признал возможность существования множества конкурирующих теорий вероятности, выразив при этом несколько конкретных оговорок по поводу существующей альтернативной интерпретации вероятности. ^[19]

[Venn-1888-1] Jump up to: ^а ^б Венн, Джон (1888) [1866, 1876]. Логика случая (3-е изд.). Лондон, Великобритания: Macmillan & Co. – через Интернет-архив (archive.org. Очерк об основах и сфере применения теории вероятностей с особым упором на ее логические аспекты и применение к моральным и социальным наукам, а также к статистике.

[2] Каплан, Д. (2014). Байесовская статистика для социальных наук . Методология в социальных науках. Публикации Гилфорда. п. 4. ISBN 978-1-4625-1667-4 . Проверено 23 апреля 2022 г.

[3] Гудман, Стивен Н. (1999). «К медицинской статистике, основанной на фактических данных. 1: $p$ Ошибка значения ». Анналы внутренней медицины . 130 (12): 995–1004. дои : 10.7326/0003-4819-130-12-199906150-00008 . ПМИД 10383371 . S2CID 7534212 .

[4] Мори, Ричард Д.; Хукстра, Ринк; Рудер, Джеффри Н.; Ли, Майкл Д.; Вагенмейкерс, Эрик-Ян (2016). «Ошибочность доверять доверительным интервалам» . Психономический бюллетень и обзор . 23 (1): 103–123. дои : 10.3758/s13423-015-0947-8 . ПМЦ 4742505 . ПМИД 26450628 .

[5] Мэтьюз, Роберт (2021). « $Заявление о p$ -value, пять лет спустя». Значение . 18 (2): 16–19. дои : 10.1111/1740-9713.01505 . S2CID 233534109 .

[Feller-1957-7] Феллер, В. (1957). Введение в теорию вероятностей и ее приложения . Том. 1. п. 4.

[keynesVIII-8] Jump up to: ^а ^б Кейнс, Дж. М. (1921). «Глава VIII – Частотная теория вероятностей». Трактат о вероятности .

[aristorhetor-9] Аристотель . Риторика . Кк 1, Гл 2.
обсуждалось в
Франклин, Дж. (2001). Наука предположений: доказательства и вероятности до Паскаля . Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса. п. 110. ИСБН 0801865697 .

[Gig89-10] Jump up to: ^а ^б Гигеренцер, Герд; Свейтинк, Портер; Дастон, Битти; Дастон, Крюгер (1989). Империя случая: Как вероятность изменила науку и повседневную жизнь . Кембридж, Великобритания / Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 35–36, 45. ISBN. 978-0-521-39838-1 .

[ellisfound-11] Эллис, Р.Л. (1843 г.). «Об основах теории вероятностей». Труды Кембриджского философского общества . 8 .

[ellisfund-12] Эллис, Р.Л. (1854 г.). «Замечания об основных положениях теории вероятностей». Труды Кембриджского философского общества . 9 .

[13] Курно, А.А. (1843 г.). Изложение теории шансов и вероятностей . Париж, Франция: Л. Хашетт – через Интернет-архив (archive.org).

[Anders-2004-14] Jump up to: ^а ^б Хальд, Андерс (2004). История параметрического статистического вывода от Бернулли до Фишера с 1713 по 1935 год . Копенгаген, ДМ: Андерс Хальд, факультет прикладной математики и статистики Копенгагенского университета . стр. 1–5. ISBN 978-87-7834-628-5 .

[16] Бернулли, Якоб (1713). Искусство догадок: использование и применение предыдущего опыта в гражданских, моральных и экономических темах [ Искусство догадок: использование и применение предыдущего опыта в гражданских, моральных и экономических темах ] (на латыни).

[17] Финберг, Стивен Э. (1992). «Краткая история статистики в трех с половиной главах: обзорное эссе» . Статистическая наука . 7 (2): 208–225. дои : 10.1214/ss/1177011360 .

[David-1962-18] Jump up to: ^а ^б Дэвид, ФН (1962). Игры, боги и азартные игры . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Хафнер. стр. 137–138.

[20] Рубин, М. (2020). « Повторяющаяся выборка из одной и той же популяции?» Критика ответов Неймана и Пирсона Фишеру» . Европейский журнал философии науки . 10 (42): 1–15. дои : 10.1007/s13194-020-00309-6 . S2CID 221939887 .

[21] Фишер Р.А. Статистические методы для научных работников .

[Neyman-1937-22] Jump up to: ^а ^б Нейман, Ежи (30 августа 1937 г.). «Очерк теории статистического оценивания, основанной на классической теории вероятностей» . Философские труды Лондонского королевского А. общества 236 (767): 333–380. Бибкод : 1937RSPTA.236..333N . дои : 10.1098/rsta.1937.0005 .

[24] фон Мизес, Рихард (1981) [1939]. Вероятность, статистика и истина (на немецком и английском языках) (2-е изд.). Дуврские публикации. п. 14. ISBN 0486242145 .

[25] Жиль, Дональд (2000). «Глава 5 – Теория частот». Философские теории вероятности . Психология Пресс. п. 88. ИСБН 9780415182751 .

[26] «Самые ранние известные случаи использования некоторых слов вероятности и статистики» . leidenuniv.nl . Лейдин, Нидерланды: Лейденский университет .

[Kendall-1949-27] Jump up to: ^а ^б ^с Кендалл, МГ (1949). «О согласовании теорий вероятности». Биометрика . 36 (1–2): 101–116. дои : 10.1093/biomet/36.1-2.101 . JSTOR 2332534 . ПМИД 18132087 .

[SEPIP-28] Jump up to: ^а ^б Хайек, Алан (21 октября 2002 г.). «Интерпретации вероятности» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии – через plato.stanford.edu.

[Ash-29] Эш, Роберт Б. (1970). Основная теория вероятностей . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Уайли. стр. 1–2.

[30] Фэрфилд, Таша; Чарман, Эндрю Э. (15 мая 2017 г.). «Явный байесовский анализ для отслеживания процессов: рекомендации, возможности и предостережения» . Политический анализ . 25 (3): 363–380. дои : 10.1017/pan.2017.14 . S2CID 8862619 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[а]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[б]

[14]

[15]

[с]

[16]

[17]

[18]

[19]

[д]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]